Pitagora con soluz.
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Pitagora con soluz.
Consolidamento Conoscenze 1. Scrivi l’enunciato del teorema di Pitagora. “ In ogni …triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.” 2. Siano c, C e i rispettivamente i cateti e l’ipotenusa di un triangolo rettangolo , quale delle seguenti scritture esprime correttamente il teorema di Pitagora? i2=c2 +C2 i C2=i2 + c2 c i2=C2- c2 C 3. Completa. a. La misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo si calcola estraendo la …radice quadrata della somma dei quadrati della misura dei due cateti……………………… b. La misura di un cateto di un triangolo rettangolo si calcola estraendo la radice quadrata della differenza tra il quadrato della misura dell’ipotenusa e il quadrato della misura dell’altro cateto 4. Nella seguente tabella sono date, in centimetri, le misure dei cateti (c,C) oppure quelle di un cateto e dell'ipotenusa (i) di un triangolo rettangolo. Indica qual è la misura incognita esatta, scegliendola fra le tre opzioni proposte. c 12 ….. 16 21 C 9 8 ….. 20 i ….. 10 34 …… 15 5 29 28 misura incognita 16 6 32 29 17 7 30 27 5. Rispondi. a. Che cos’è una terna pitagorica?.....una terna di numeri che soddisfa il teorema di Pitagora...... b. Quando una terna pitagorica è detta primitiva?..quando è formata da numeri primi tra di loro c. Come possono essere ottenute le terne pitagoriche derivate?... moltiplicando o dividendo per uno stesso, diverso da zero, numero tutti i numeri della terna...... 6. Vero falso? a. Se tre numeri rispettano la relazione pitagorica possono esprimere le misure dei lati di un triangolo rettangolo ……V b. Dati tre numeri a, b e c se risulta che c2=a2 + b2 allora i tre numeri formano una terna pitagorica……………….V c. Una terna pitagorica primitiva è formata solo da tre numeri naturali……………F d. La terna 5, 10, 13 è una terna pitagorica………………….. F 7. Osserva la figura e rispondi: C a. nel triangolo ABC cosa rappresenta il segmento CH?.l’altezza relativa ad AB b. come si chiamano i segmenti AH e HB ?...proiezioni dei cateti su i c. nel triangolo ACH quali sono i cateti, qual è l’ipotenusa? Cateti: AH e CH e ipotenusa AC A H B d. nel triangolo CHB quali sono i cateti, qual è l’ipotenusa? Cateti: CH e BH e ipotenusa BC Scegli il completamento esatto. C D A B 8. Dato il rettangolo ABCD si ha: a. AC = AB 2 + CB 2 AB 2 − CB 2 AB + CB b. AB = AC 2 + CB 2 AC 2 − CB 2 AC + CB 9. Dato il quadrato ABCD si ha: a. d = 2l l 2 2l d 2 d 2 d 2 b. l = C D d l A B 10. Dato il triangolo equilatero ABC l’altezza si calcola : l 3 l 3 2l 3 a. h = 2 h h 2h b. l = 3 3 2 3 C l h H A l/2 B 11. Le formule relative al calcolo dell’altezza e del lato di triangolo isoscele sono state scritte in modo sbagliato, correggile: C Formula errata b h = l2 + 2 l h H A b/2 l = h+ B Formula corretta 2 b 2 b h = l2 − 2 2 b l = h + 2 2 2 12. Dato il rombo ABCD il lato si calcola. D C 2 d d' l = − 2 2 d/2 2 2 d d' l = + 2 2 2 l= (d )2 + (d ')2 l d'/2 B A 13. Nel trapezio ABCD sono stati evidenziati i triangoli rettangoli ACK e CKB. Scrivi le formule che ti permettono, applicando Pitagora, di D C conoscere: il lato obliquo, l’altezza, la proiezione, la diagonale. A H K B CB = CK 2 + BK 2 CK = BC 2 − BK 2 BK = BC 2 − CK 2 CA = AK 2 − CK 2 Abilità 1. Completa la seguente tabella riferita ad alcuni triangoli rettangoli Cateto minore c 12 cm 18,3 cm 16 cm Cateto maggiore C 35 cm 24,4 cm 30 cm Ipotenusa i 37cm 30,5 cm 34 cm 2. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa misura 39 cm e che un cateto è i 5/13 dell’ipotenusa. [90 cm; 270 cm2] 3. Stabilisci quali delle seguenti terne di numeri rappresentano terne pitagoriche. a. 10, 24, 26; b. 13, 7, 11; c. 21, 28, 35, d. 21, 24, 50 4. Scrivi due terne pitagoriche derivate dalla terna: 8, 15, 17 ………., ………., ………..; ………., ………, ………… 5. L’ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 45 cm e il cateto maggiore è i suoi 4/5. Calcola la misura del perimetro, dell’area e dell’altezza relativa all’ipotenusa. [108 cm; 486 cm2; 21,6 cm] 6. Completa la seguente tabella, riferita al quadrato ABCD ( 2 = 1,414): Area ( in cm2) Lato ( in cm ) Perimetro ( in cm ) Diagonale ( in cm ) 961 31 124 31√2 ≈ 43,834 1936 44 176 44√2 ≈ 62,216 7,84 2,8 11,2 2,8√2 ≈ 3,959 1296 36 144 36 2 ≈ 50,904 C D d A l B 7. Il lato di un quadrato è congruente al cateto maggiore di un triangolo rettangolo avente l’ipotenusa di 52 cm e il cateto minore che supera di 7 cm 1/4 dell’ipotenusa stessa. Calcola il perimetro e la diagonale del quadrato. [192 cm; 67, 872 cm] 8. Completa la seguente tabella riferita ad un triangolo isoscele ABC. AB (in cm) AC=BC (in cm) CH (in cm) P (in cm) A(in cm2) 10 13 12 36 60 24 20 16 64 192 16 17 15 50 120 9. Calcola l’area di un trapezio isoscele che ha il perimetro di 228 cm e il lato obliquo di 34 cm, sapendo che la base minore è 2/3 della maggiore. [2400cm2] Esercizio 1 Soluzione: Esercizio 2 Soluzione: Esercizio 3 Soluzione: Esercizio 4 Soluzione: Esercizio 5 Soluzione: Esercizio 6 Soluzione: Esercizio 7 Soluzione: Esercizio 8 Soluzione: Esercizio 9 Soluzione: Esercizio 10 Soluzione: Esercizio 11 Soluzione: Esercizio 12 Soluzione: Esercizio 13 Soluzione: Esercizio 14 Soluzione: Esercizio 15 Soluzione: Esercizio 16 Soluzione: Esercizio 17 Soluzione: Esercizio 18 Soluzione: Esercizio 19 Soluzione: Esercizio 20 Soluzione: Esercizio 21 Soluzione: Esercizio 22 Soluzione: Esercizio 23 Soluzione: Esercizio 24 Esercizio 25 Soluzione: Esercizio 26 Esercizio 27 Soluzione: Esercizio 28 Soluzione: Esercizio 29 Soluzione: Esercizio 30 Soluzione: RECUPERO 1. Vero o falso? a. Il teorema di Pitagora si può applicare a tutti i tipi di triangoli …………..F b. Il teorema di Pitagora si può applicare a tutte quelle figure in cui si possono ricavare triangoli rettangoli…......V c. Se i lati di un triangolo formano una terna pitagorica allora il triangolo è rettangolo………..V 2. Dato il triangolo rettangolo ABC, scrivi le formule che ti permettono di calcolare : i c C a. la misura dell’ipotenusa quando sono noti i due cateti i = c + C 2 2 b. la misura di un cateto quando sono noti l’ipotenusa e l’altro cateto … c = i 2 − C 2 .... 3. Osserva le figure e calcola quanto richiesto: C Q1 = 784 cm2 Q2 = 441 cm2 Q3 = 1225 cm2 Q3 Q1 C Q3= 1156 cm2 Q2 = 900 cm2 Q1= …256 cm2.. Q3 Q1 A A B B Q2 Q2 C Q3 Q1 Q1 = 1764 cm2 Q2 = 1600 cm2 CB = 58 cm A Q2 C B A Q2 B Q3= 3721cm2 Q2 = 3600 cm2 AB = 11cm Q1 Q3 Scegli il completamento corretto. 4. Tre numeri a, b, c (con a<b<c) formano una terna pitagorica se: a. c = a + b b. c2= a2 – b2 c. c2= a2+ b2 5. Stabilisci quali terne di numeri possono rappresentare, in cm, i lati di un triangolo rettangolo: a. 18, 24, 30 b. 10, 13, 15 c. 5, 12, 13 d. 9,16,18 6. Calcola l’area e il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che i due cateti misurano rispettivamente 4,8 cm e 6,4 cm. [19,2 cm; 15,36 cm2] C D 7. Calcola l’area di un rettangolo sapendo che la diagonale è i 5/4 della base e la loro somma misura 54 cm. [432cm2] B B d'/2 d/2 A D 8. Calcola il perimetro di un rombo avente le diagonali lunghe rispettivamente 20 cm e 48 cm . (Osserva la figura nella quale è stato già individuato un triangolo rettangolo...!) [104 cm] l C A (punti ..../4) C 9. L’area di un triangolo isoscele misura 1680 cm2 e l’altezza misura 70 cm. Calcola il perimetro del triangolo. (Osserva la figura……) [196 cm] l h A H b/2 B 10. In un trapezio isoscele la base maggiore e la base minore misurano rispettivamente 65 cm e 17 cm. Sapendo che l’altezza del trapezio misura 45 cm, calcola: a. il perimetro del trapezio; b. la diagonale di un quadrato che ha lo stesso perimetro del trapezio. [184 cm; 65,044 cm] POTENZIAMENTO 1. Vero o falso? a. Il teorema di Pitagora permette di classificare un triangolo senza conoscere la misura degli angoli …………….V b. Se due triangoli rettangoli hanno uguali l’area e un cateto hanno uguale anche il perimetro….V c. I quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo isoscele sono ciascuno la metà del quadrato costruito sull’ipotenusa ………………V d. Una terna pitagorica non può essere costituita da numeri decimali………..F 2. Completa le seguenti terne pitagoriche , ricordando che a < b < c a b c 14 …48… 50 36 48 …60…… ...33.. 56 65 3. Trova la terna primitiva di ciascuna delle seguenti terne derivate (Rifletti: se per trovare le terne derivate moltiplichi, ……………..) Terna derivata 40, 42, 58 15, 36, 39 Terna primitiva 20 21 29 5 12 13 4. Osserva il seguente disegno che rappresenta un triangolo rettangolo sui cui lati sono stati disegnati dei rettangoli aventi una dimensione coincidente con un lato del triangolo. Sapendo che AB = 4 cm, AC= 3 cm e BC = 5 cm e che l’altezza di ogni rettangolo è doppia della base, verifica che R3 = R1 + R2 50cm2 = 18cm2 + 32cm2 R3 C R1 B A R2 5. Completa la seguente tabella in modo che i valori assegnati alle lettere a, b, c rappresentino i lati di un triangolo rettangolo (ricorda che a<b<c!) a 10 3 di b =18 4 20 b 2a + 4 = 24 c 26 30 4 di a + 5 =21 5 29 C 6. Calcola perimetro e area del triangolo ABC , sapendo che l’altezza CH misura 12 cm. (Approssima i risultati ai centesimi) [73,75 cm; 196,68 cm2] 45° 30° A H B 7. L’area di un rettangolo è 2352 cm2 e una dimensione è i 3/4 dell’altra. Calcola il perimetro di un quadrato che ha il lato congruente alla diagonale del rettangolo. [280 cm ] 8. Da un punto P esterno ad una circonferenza di centro O sono state condotte le tangenti alla circonferenza nei punti A e B. Sapendo che il punto P dista dal centro 10,2 cm e che il raggio della circonferenza misura 4,8 cm, calcola perimetro e area del quadrilatero AOBP. [27,6 cm; 43,2 cm2] 9. Un trapezio isoscele è inscritto in una circonferenza. La base maggiore del trapezio coincide con il diametro e misura 40 cm mentre la base minore misura 24 cm. Calcola l’altezza e l’area del trapezio. [16 cm; 512 cm2] Esercizio 1 Soluzione: Esercizio 2 Soluzione: Esercizio 3 Soluzione: Esercizio 4 Soluzione: Esercizio 5 Soluzione: Esercizio 6 Soluzione: Esercizio 7 Soluzione: Esercizio 8 Soluzione: Esercizio 9 Soluzione: Esercizio 10 Soluzione: Esercizio 11 Soluzione: Esercizio 12 Soluzione: Esercizio 13 Soluzione: Esercizio 14 Soluzione: Esercizio 15 Soluzione: Esercizio 16 Soluzione: Esercizio 17 Risolvi il seguente problema mediante l’applicazione del teorema di Pitagora. Soluzione: