Il Pendolo. Una proposta di indagine non convenzionale

Il Pendolo
una proposta di indagine non convenzionale... ascoltando e guardando
(di Gaetano Passarelli)
premessa: il percorso didattico qui presentato è stato svolto in una classe prima di liceo scientifico opzione scienze applicate ed ha
richiesto un tempo complessivo di circa dieci ore di lezione.
•
Perché può interessare agli studenti?
L'aspetto innovativo proposto in questo percorso di didattica di laboratorio è rappresentato dal diretto
coinvolgimento degli allievi, ai quali viene posta, via via, una serie di domande-stimolo a cui essi sono
chiamati a rispondere mediante indagini sperimentali, decise ed attuate in piena autonomia, con la
supervisione dei docenti. La possibilità, per gli studenti, di essere i protagonisti attivi delle scelte
metodologiche di indagine, ha evidenziato un maggiore coinvolgimento degli stessi, un livello di
apprendimento più alto (dato emerso in fase di verifica sommativa) ed anche un incremento della
motivazione dei docenti.
•
Quali sono le domande-stimolo per catturare l’interesse degli studenti?
Si inizia con una discussione sulla necessità di definire una unità campione per la misura della grandezza
fisica “intervallo di tempo”.
Domanda stimolo: cosa possiamo scegliere, convenientemente, come unità di misura della grandezza
“intervallo di tempo” (∆t)?
Di solito gli allievi si orientano verso una gamma di fenomeni anche molto diversi tra loro. Dalle evoluzioni
temporali legate al moto relativo del Sole e della Luna rispetto alla Terra, fino a fenomeni gestibili con
maggiore praticità ed immediatezza, che abbiano cioè durate tali da poter essere fruibili anche nell'arco di
una normale lezione didattica di laboratorio: il conteggio ad alta voce -a ritmo il più possibile costante- il
battito del proprio cuore, il gocciolamento attraverso un foro (clessidre), ecc.
Analizzati e discussi gli aspetti critici dell'una e dell'altra scelta (durata “comoda”, riproducibilità, livello di
invarianza del valore scelto, sua dipendenza da fattori esterni -ad esempio, il battito cardiaco di chi è
emozionato per l'essere il protagonista attivo dell'attività di ricerca, avrà probabilmente una durata minore
del battito di chi assiste ad una lezione di tipo trasmissivo), si passa alla misura di alcuni intervalli di tempo.
Domanda stimolo: quanto vale l'intervallo di tempo che un pendolo impiega per compiere
un'oscillazione completa?
(nota: prima di procedere oltre, è opportuno discutere in maniera collegiale, con tutta la classe, in modo da
individuare una definizione operativa condivisa, del termine “oscillazione completa”).
Prima di procedere alle misure, conviene dare un nome, alla grandezza oggetto delle misure: si definisce in
tal modo il periodo di oscillazione di un pendolo.
La misura del periodo di oscillazione del pendolo, fatta da tutti gli studenti (ciascuno utilizzando il proprio
campione unitario di ∆t), risulta essere, entro l'incertezza sperimentale, indipendente dall'ampiezza
dell'oscillazione (l'eventuale dipendenza dalla massa dell'oggetto oscillante può essere oggetto di una
indagine parallella, oppure preliminare, o anche successiva).
Possiamo allora affermare...?
Domanda stimolo: il periodo di oscillazione di un pendolo di lunghezza nota è indipendente
dall'ampiezza dell'oscillazione (?) Dipende!
Si scopre che ciò è solo parzialmente vero. In particolare, l'affermazione è tanto più vera, quanto più le
oscillazioni sono di piccola ampiezza, fino ad arrivare al caso limite in cui, oltre un certo valore di ampiezza,
si ottengono valori di ∆t non confrontabili nemmeno entro il margine di incertezza sperimentale (a questo
punto del percorso, sono state già affinate le tecniche utili a minimizzare l'incertezza sperimentale di una
misura).
Chiarito questo, nasce l'esigenza di dare un nome a tale scoperta. Si definisce così (meglio se dopo aver
verificato comportamenti analoghi con pendoli di lunghezza diversa) il concetto operativo della
Isocronia delle Piccole Oscillazioni del Pendolo: IPOP -da non confondere con il genere musicale dell'hip hop :-) -
Se il pendolo si è rivelato essere un apparato che gode di tale proprietà (IPOP), allora forse val la pena
utilizzarlo per definire il campione unitario (unità di misura) dell'intervallo di tempo (facilmente
riproducibile, affidabile, comodo). Al tempo stesso, inoltre, il pendolo rappresenterebbe anche un “contatore”
di intervalli di tempo.
Il pendolo come “intervallometro”, strumento di misura (conteggio) degli intervalli di tempo. Ad esempio,
si potrebbe ipotizzare di scegliere come intervallo di tempo unitario (a cui si potrebbe dare il nome
onomatopeico di “TOC”), quello corrispondente al periodo di oscillazione di un pendolo di lunghezza
unitaria (un metro). In tal modo, ancora una volta, è di immediata evidenza il significato fisico, l'importanza
e l'utilità di dotarsi, “costruirsi”, una definizione operativa.
È allora possibile -ha senso- chiedersi...
Domanda stimolo: quanti TOC dura un periodo di oscillazione di un pendolo di lunghezza qualsiasi?
Si effettuano quindi alcune misure dei periodi di oscillazione di pendoli aventi diversa lunghezza
(possibilmente maggiore di due metri). L'esperienza mostra che all'aumentare della lunghezza dei pendoli,
aumenta anche il loro periodo di oscillazione (“se aumenta l'una, aumenta l'altro”).
Domanda stimolo: possiamo allora affermare che la lunghezza di un pendolo e il rispettivo periodo di
oscillazione siano grandezze direttamente proporzionali?
Domanda stimolo: dato un pendolo di lunghezza L1, con periodo di oscillazione ∆t1, quanto dovrà
essere lungo un secondo pendolo, L2, per avere un periodo di oscillazione ∆t2 che sia la metà di ∆t1?
Appare sensato ipotizzare che la lunghezza L 2 debba essere minore di L 1 e che, in particolare, L 2 debba
essere uguale alla metà di L1. Si costruiscono quindi due pendoli, uno con lunghezza doppia dell'altro, e si
dispongono in modo che i loro piani di oscillazione risultino affiancati (paralleli).
(nota: d'ora in poi, lavorando con coppie di pendoli, con il pedice 1 si indicherà il pendolo di lunghezza maggiore e
con il pedice 2 quello di lunghezza minore).
È opportuno sottolineare che, a questo punto dell'indagine, non è tanto il valore assoluto dei diversi ∆t a
dover essere oggetto dell'interesse scientifico (ogni ∆t, infatti, può essere facilmente misurato grazie
all'intervallometro appena ideato), quanto piuttosto la relazione esistente tra di essi. Si tratta in sostanza di
un'attività volta alla verifica sperimentale della bontà dell'ipotesi scientifica proposta, ossia...
Domanda stimolo: pendoli di lunghezza doppia hanno anche periodi di oscillazione doppi?
Aver disposto i pendoli con i loro piani di oscillazione affiancati permette, visivamente (guardando), ma in
maniera molto accurata, di verificare immediatamente se i periodi di oscillazione sono in rapporto di uno a
due, come le rispettive lunghezze, ossia se vale la seguente proposizione logica:
L1 = 2 L2 implica (?) ∆t1 = 2 ∆t2
Per scoprirlo, basta far in modo che i due pendoli inizino ad oscillare in maniera sincrona (condizione
realizzabile lasciandoli partire simultaneamente, oppure, nel caso non fosse possibile, lasciando partire prima
solo quello lungo e, successivamente, lasciando partire il secondo in uno qualsiasi degli istanti in cui il primo
ha completato un numero intero di oscillazioni).
Previsione: se l'ipotesi venisse confermata, allora i pendoli dovrebbero ritornare in fase, rintoccare
simultaneamente (riprodurre, in altre parole, le stesse condizioni dell'atto di moto iniziale), ogni volta che il
più lungo compie un'oscillazione completa (intervallo di tempo a cui dovrebbe corrispondere un numero
doppio di oscillazioni del più corto).
Suggerimenti operativi per la conduzione dell'esperimento.
Se si suddivide l'osservazione del fenomeno assegnando a due gruppi differenti di allievi il compito di
“tenere il conto” delle oscillazioni di ciascun pendolo, sarà possibile rendersi conto anche acusticamente
(ascoltando), oltre che visivamente, della bontà o meno dell'ipotesi fatta. È sufficiente, infatti, che il gruppo
che segue le evoluzioni del pendolo lungo, batta le mani al termine di ogni singola oscillazione completa
(chiamiamolo “applauso-rintocco” del pendolo lungo), mentre il gruppo che segue le evoluzioni del pendolo
corto batta le mani ogni due oscillazioni complete (“applauso-rintocco” del pendolo corto). Se gli “applausirintocco” dei due gruppi risultano sempre simultanei, allora vuol dire che l'intervallo di tempo impiegato dal
pendolo lungo a fare un rintocco (oscillazione completa) è uguale all'intervallo di tempo impiegato dal
pendolo corto a fare due rintocchi, confermando quindi l'ipotesi fatta.
Purtroppo, l'ipotesi non trova conferma nell'evidenza sperimentale: gli applausi dei due gruppi non sono
simultanei. Essa va quindi rigettata (per cautela, meglio eseguire l'esperimento un'altra volta, magari anche
con una diversa coppia di pendoli -fermo restando il rapporto dato delle lunghezze-).
Eppure, appare sensato ipotizzare che esista una lunghezza “privilegiata”, tra le tante, una che possa
realizzare la seguente condizione sperimentale: ∆t1 = 2 ∆t2.
Domanda stimolo: Come dovrà essere, allora, tale lunghezza L 2, una volta fissato L1, affinché si
verifichi la condizione sperimentale voluta (∆t1 = 2 ∆t2)?
È possibile cioè, in termini equivalenti, individuare sperimentalmente una coppia di lunghezze tale per cui i
periodi di oscillazione dei rispettivi pendoli stiano in rapporto di uno a due?
Applauso dopo applauso, si scopre che la condizione sperimentale cercata, ∆t1 = 2 ∆t2, si ottiene nel caso in
cui, tra le lunghezze, valga la seguente relazione L 1 = 4 L2
Dunque, è ragionevole ipotizzare una nuova struttura di proposizione logica, la seguente:
 t 1=2  t 2 implica (!) L1=4 L2
[1]
Dalla [1], si evince che quando il rapporto dei periodi di oscillazione è pari a 1/2, il corrispondente rapporto
tra le rispettive lunghezze vale 1/4. Reciprocamente, se si considera un rapporto tra periodi di oscillazione
pari a 2, il corrispondente rapporto tra le rispettive lunghezze vale 4.
Domanda stimolo: possiamo allora generalizzare la [1], affermando che i pendoli godono della
seguente proprietà, scritta in forma di relazione funzionale tra rapporti?
   
L2
1  t2
=
L1
2  t1
oppure, in maniera equivalente,
   
[2]
L1
 t1
=2
L2
 t2
(nota: si noti l'asimmetria (reciprocità) di una tale eventuale legge fenomenologica, evidenziata dal fatto che la relazione funzionale
tra i rapporti dipende dall'ordine con il quale essi vengono considerati, in particolare, la relazione funzionale “cambia aspetto”, a
seconda che si considerino rapporti maggiori o minori dell'unità)
Sperimentalmente, si “applaudono” pendoli con rapporto di lunghezze diversi da quelli utilizzati per
giungere alla [1], ad esempio pendoli con rapporto di lunghezze pari a 1/3. In tal caso, se l'ipotesi [2] venisse
confermata, allora si dovrebbero ottenere periodi di oscillazione con rapporto pari a 1/6.
Purtroppo, l'ipotesi avanzata non trova conferma sperimentale. Essa va dunque riformulata.
Domanda stimolo: è possibile ipotizzare l'esistenza di un'altra relazione, di carattere generale, tra i
rapporti delle lunghezze e i rispettivi rapporti dei periodi di oscillazione del pendolo?
In effetti, l'ipotesi [2] sembrava sensata, data la coppia di numeri (2 e 4) che compare in [1]. Essi però
formano una coppia di numeri notevoli, infatti, oltre ad essere uno il doppio dell'altro, sono anche uno il
quadrato dell'altro. Allora si può forse ipotizzare un'altra relazione funzionale che coinvolga i rapporti
implicati nella [2], la seguente:
2
( )( )
2
( )( )
L2
Δt2
L
Δt1
=
oppure, in maniera equivalente 1 =
L1
Δt1
L2
Δt2
[3]
(nota: la [3] è ovviamente compatibile con la [2] ma, in aggiunta, la [3] ha una formulazione perfettamente simmetrica, cosa che
mancava nella [2]. La [3], infatti, comunque la si scriva, rappresenta sempre l'uguaglianza tra il rapporto delle lunghezze ed il
quadrato del rapporto tra i rispettivi periodi di oscillazione, a prescindere dal fatto che il rapporto considerato sia maggiore o
minore dell'unità. In altre parole, il suo aspetto non cambia, al contrario di quanto accadeva in [2])
La [3] dice, ad esempio, che per avere pendoli il cui rapporto tra i periodi di oscillazione vale 1/3, è
necessario costruirli in modo che il rapporto delle rispettive lunghezze sia 1/9, oppure, analogamente, che
pendoli le cui lunghezze hanno un rapporto pari a 4, avranno un rapporto dei rispettivi periodi di oscillazione
pari a 2 (che è poi la condizione sperimentale già acclarata in [1]).
In generale, se si esprime la lunghezza del pendolo corto in percentuale di quella del pendolo lungo, si nota
che esiste una serie di valori notevoli che consentono di testare in maniera pressoché immediata la bontà
dell'ipotesi fatta in [3].
Considerando infatti le coppie di lunghezza il cui rapporto rappresenta un quadrato perfetto
(ad esempio: L2=25 % L1 , L2=36 % L1 , L 2=49 % L1 , ecc.), se la previsione fatta in [3] fosse
confermata, allora si dovrebbero ottenere, sperimentalmente, le coppie di rapporti notevoli riportate in
Tabella 1.
 
L2
L1
 
4
100
2 1
=
10 5
9
100
3
10
16
100
4 2
=
10 5
25
100
5 1
=
10 2
36
100
6 3
=
10 5
49
100
7
10
64
100
8 4
=
10 5
81
100
9
10
 t2
 t1
Tabella 1: coppie di valori notevoli dei rapporti tra le lunghezze e i rispettivi valori dei rapporti tra periodi di
oscillazione che si dovrebbero ottenere sperimentalmente nel caso venisse confermata l'ipotesi fatta in [3])
Aver individuato i valori notevoli di Tabella 1, permette di dotarsi di una serie di coppie di pendoli di facile
costruzione. È infatti sufficiente costruire un pendolo di riferimento, adeguatamente lungo (se possibile,
appendendolo al soffitto del laboratorio), la cui lunghezza viene suddivisa in parti uguali (si può procedere
indifferentemente ad una suddivisione in base due, operativamente molto semplice e comoda da realizzare;
oppure in base dieci, che richiede una procedura operativa più articolata, come la suddivisione di un
segmento in N parti uguali). Una volta individuate visivamente le varie parti (che potrebbero essere
evidenziate mediante colorazione del filo, ad esempio ogni sedicesimo della lunghezza, oppure ogni
decimo), si dispone il secondo pendolo in modo che la sua lunghezza realizzi una delle coppie indicate in
Tabella 1; ad esempio si potrebbe costruire il secondo pendolo in modo che abbia una lunghezza pari al 49%
(praticamente molto prossima alla metà) di quella del pendolo di riferimento. Se la previsione fatta in [3]
trova conferma sperimentale, vuol dire che i pendoli (dall'istante in cui saranno in fase) torneranno in fase
nell'istante in cui il pendolo lungo ha compiuto 7 oscillazioni e il pendolo corto ne ha compiute 10. In
pratica, i due gruppi di allievi che osservano le evoluzioni dei due pendoli, devono verificare se l'applauso
che segna il rintocco ogni 7 oscillazioni del pendolo lungo, sia o meno simultaneo all'applauso che segna il
rintocco ogni 10 oscillazioni del pendolo corto.
Analogamente, si possono verificare tutte le coppie di valori riportanti in Tabella 1, e oltre.
In effetti, questa volta, l'ipotesi fatta sembra davvero trovare robuste conferme sperimentali.
È corretto allora formulare una legge fenomenologica del pendolo, di carattere generale, avendo però cura di
specificare bene qual è il suo ambito di validità.
Una possibile formulazione, è la seguente:
In regime di piccole oscillazioni, il legame esistente tra la lunghezza di un pendolo ed il suo periodo di
oscillazione è dato dalla seguente relazione funzionale.
  
LA
tA
=
LB
tB
2
[4]
La [4] è già un ottimo punto di arrivo, nel percorso di indagine sperimentale sul comportamento di un
pendolo. Essa è ovviamente valida fino a prova contraria ed ha carattere previsionale.
Grazie alla [4] è infatti possibile prevedere, nota una qualsiasi coppia di valori  L A ,  t A  , quanto varrà il
valore di Δ t B di un pendolo lungo L B , oppure, reciprocamente, che valore L B di lunghezza dovrà
avere un pendolo, affinché il suo periodo di oscillazione valga  t B .
La [4] inoltre suggerisce l'esistenza di una relazione di diretta proporzionalità, tra la lunghezza di un pendolo
ed il quadrato del suo periodo di oscillazione.
Se tale ipotesi fosse confermata, se ne dovrebbe avere una chiara evidenza sperimentale anche dal punto di
vista grafico.
Si realizza quindi un grafico, ottenuto sulla base di dati individuati sperimentalmente, riportando i valori di L
in ordinata ed i valori di (Δt)2 in ascissa.
Se l'ipotesi di diretta proporzionalità trovasse conferma, allora la curva rappresentata dal grafico sarebbe una
semiretta uscente dall'origine degli assi, di cui sarebbe anche possibile calcolarne la pendenza, come rapporto
k p=
L
 t 2
[5]
In effetti, i dati sperimentali riportati in grafico confermano la validità dell'ipotesi fatta:
i valori di L risultano essere direttamente proporzionali al quadrato dei valori di Δt.
La [4] può pertanto essere scritta, in maniera equivalente, anche nel modo seguente:
L=k p  t2
[6]
Il calcolo della costante che compare nella [6] può essere determinato con un grado di precisione variabile da
caso a caso. Si considera adeguato, in un contesto di scuola dell'obbligo, fornirlo con due cifre significative.
In tal caso, una buona stima di kp, ricavabile graficamente, è dato dal seguente valore sperimentale:
cm
k P=25±2 2 che, espresso in notazione scientifica, con unità di misura fondamentali del Sistema
s
−1 m
Internazionale (SI), diventa: k P = 2,5±0,2⋅10
in ottimo accordo con il seguente valore:
s2
L
g
−1 m
desumibile dalla ben nota formula:
2=
2 ≈ 2,48⋅10
T  2
s2
T=2

L
g
[7]
in cui con T si indica il periodo di oscillazione del pendolo, con L la sua lunghezza e con g la costante di
gravità sulla Terra, di solito approssimata al valore di
9,81
m
.
s2
Si noti come la [6] e la [7] siano del tutto equivalenti, avendo verificato la seguente uguaglianza:
2
k p= g / 2  . Rispetto alla tradizionale [7] (di solito usata in laboratorio come punto di partenza), la [6]
(ricavata sperimentalmente in laboratorio, dunque intesa come punto di arrivo), consente di fare anche la
seguente ulteriore importante considerazione.
La relazione esistente tra lunghezza e periodo di oscillazione di un pendolo coinvolge una grandezza costante
che ha le dimensioni fisiche di un'accelerazione. Si noti, infine, come tale considerazione non sia in alcun
modo subordinata ad una precedente definizione della grandezza “accelerazione di gravità”, la cui esistenza,
anzi, potrebbe essere ipotizza (quindi essere oggetto di un'ulteriore indagine sperimentale) proprio a partire
da tale evidenza sperimentale...
ringraziamenti: l'autore desidera ringraziare l'amico e collega Alberto Martini, ideatore e realizzatore delle
“macchine galileiane” (www.galileiana.it), convinto sostenitore dell'apprendimento della fisica “guardando
e ascoltando”. In particolare, l'idea di questo lavoro è nata, e si è sviluppata negli anni, dopo aver visto una
delle macchine galileiane dedicate alle proprietà del pendolo semplice.