il pendolo - liceo bonghi
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Ministero della Pubblica Istruzione Unione Europea Dipartimento per la Programmazione Fondo Sociale Europeo Direzione Generale per gli Affari Internazionali P.O.N. Ufficio V “Competenze per lo sviluppo” Con l’Europa, investiamo nel vostro futuro LICEO CLASSICO “R. BONGHI” (SEZIONE SCIENTIFICA ANNESSA) Viale Ferrovia, 19 ‐ 71036 LUCERA (FG) Progetto “FISICA IN LABORATORIO”- Codice C-1-FSE-2007-1472 Alunni: Beccia , Mantini, Marella IL PENDOLO • Obiettivi: 1. Verifica dell’isocronismo del pendolo (per piccole oscillazioni), 2. della dipendenza del suo periodo dalla lunghezza, 3. misura dell’accelerazione di gravità. • Richiami teorici: • Un pendolo semplice è costituito da una sferetta di massa m appesa ad un filo flessibile, inestensibile, di massa trascurabile e di lunghezza l, fissato all’altro estremo ad un sostegno. La posizione d’equilibrio O del pendolo è quella nella quale il centro di sospensione, il filo teso e il centro della massa m sono allineati lungo la verticale. Quando si sposta la sferetta dalla sua posizione di equilibrio O e poi la si abbandona in un punto A, essa esegue oscillazioni periodiche attorno ad O descrivendo un arco AB (B è il punto in cui la sferetta inverte il moto). • Il periodo del pendolo è il tempo che esso impiega a compiere una oscillazione completa, cioè a percorrere due volte l’arco AB (in andata e in ritorno) tornando nella posizione da cui è partito e nelle stesse condizioni di movimento. Quando l’ampiezza delle oscillazioni è piuttosto piccola (minore di circa 5 gradi), la sferetta si muove di periodo indipendente dall’ampiezza dell’oscillazione medesima (isocronismo del pendolo); in tal caso il moto del pendolo può essere considerato un moto armonico semplice. Variando la lunghezza l del filo cambia il periodo T secondo la relazione T = 2π l g (1) dove g è l'accelerazione di gravità. • Strumenti e materiali adoperati o Pendolo: costituito da un supporto rigido a forma di T, un filo inestensibile di nilon all’estremità del quale viene agganciata una massa; o Cronometro o Asta metrica Parte preliminare: verifica sperimentale dell’isocronismo. Poiché il periodo cresce con la lunghezza del pendolo, in questa parte dell’esperienza, abbiamo effettuato le prove con un pendolo lungo circa 1m; in questo modo gli errori relativi alla misura sono più piccoli. In secondo luogo conviene fissare la posizione di partenza e di arresto della misura al centro dell’oscillazione, anziché ad uno degli estremi; in questo modo è più facile stabilire quando avviene il passaggio dalla posizione centrale. Per provare l’isocronismo abbiamo misurato il periodo di una singola oscillazione, ripetendo la misura man mano che l’ampiezza di oscillazione diminuiva. Per far regolarizzare il moto si è aspettato qualche oscillazioni e poi abbiamo cronometrato il tempo di una singola oscillazione. Non abbiamo arrestato il moto, ma abbiamo lasciato oscillare il pendolo, così che l’ampiezza si è ridotta, e poi abbiamo eseguito un’altra misura del periodo. In questo modo abbiamo raccolto una decina di rilevamenti. n. l (m) T (s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2,00 2,01 1,99 2,00 1,99 2,01 2,00 2,00 1,97 1,99 Analisi dei risultati: Calcoliamo la media dei valori rilevati 10 Tmedio = ∑T i = 2,00 s 10 il dispositivo da noi realizzato è buono poiché il periodo di i =1 oscillazione è indipendente dall’ampiezza; le differenze dei singoli valori dalla media sono contenuti entro un margine di 0,03 s in più o in meno, margine che possiamo attribuire all’errore di sincronismo compiuto nell’azionare il cronometro. Seconda parte: misura del periodo; dipendenza del periodo dalla lunghezza. Avendo accertato l’isocronismo, per calcolare il periodo è sufficiente contare N oscillazioni e misurare la durata totale TN. In tal modo si riduce l’errore, in quanto la durata totale TN degli N periodi è affetta da un errore massimo ΔT uguale a quello che si compie nella misura di un singolo periodo, mentre l’errore massimo sulla misura di un singolo periodo sarà ΔT/N. n. l (m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Analisi dei valori: TN (s) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 6,50 9,00 11,00 12,68 14,22 15,52 16,81 18,01 19,00 20,00 21,08 22,01 Elevando al quadrato la relazione (1) otteniamo T 2 = 4π 2 l = k ⋅l g (2) dove k=4π2/g. Pertanto la relazione che intercorre tra il quadrato del periodo del pendolo e la sua lunghezza è di tipo lineare. n. l (m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 T (s) 0,650 0,900 1,100 1,268 1,422 1,552 1,681 1,801 1,900 2,000 2,108 2,201 T2 (s2) k=T2/l (s2/m) 0,4225 0,8100 1,2100 1,6078 2,0221 2,4087 2,8258 3,2436 3,6100 4,0000 4,4437 4,8444 4,225 4,050 4,033 4,020 4,044 4,015 4,037 4,055 4,011 4,000 4,040 4,037 Il valor medio di k è 12 k medio = ∑k i =1 i 12 = 4,047 s2/m poiché abbiamo diversi valori del rapporto k, possiamo calcolare la deviazione standard utilizzando la relazione seguente: 12 σ= ∑ (k i =1 i − k medio ) 2 11 = 0,058 s2/m. La (2) è una funzione lineare che può essere determinata con il metodo dei minimi quadrati scegliendo come variabile indipendente (x) la lunghezza del pendolo, perché è affetta da meno errori. La misura di T, invece, viene inficiata dal tempo di reazione dello sperimentatore, dall’errore dello strumento (cronometro), da eventuali correnti d’aria in laboratorio, da un eventuale urto del tavolino ecc …. Con l’ausilio del foglio di calcolo Excel calcoliamo la retta dei minimi quadrati. Notiamo che k=4,019 s2/m appartiene all’intervallo ] k medio ‐ σ,k medio + σ [=]3,989 ; 4,106[. Terza parte: misurazione dell’accelerazione di gravità. Il pendolo semplice può essere impiegato per determinare l’accelerazione di gravità del luogo dove si esegue l’esperienza. Infatti dalla (2) si ricava g= 4π 2 l T2 L’errore assoluto su g è ΔT ⎞ ⎛ Δl Δg = g ⎜ + 2 ⎟ T ⎠ ⎝ l da cui, compilando la seguente tabella, si nota che il valore g=9,8 m/s2 appartiene a ciascun intervallo. n. l (m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 T2 (s2) g=4π2l/T2 (m/s2) 0,4225 0,8100 1,2100 1,6078 2,0221 2,4087 2,8258 3,2436 3,6100 4,0000 4,4437 4,8444 Δg 9,33 9,74 9,78 9,81 9,75 9,82 9,77 9,73 9,83 9,86 9,76 9,77 0,96 0,51 0,34 0,26 0,21 0,18 0,15 0,13 0,12 0,11 0,10 0,09 g - Δg g +Δg 8,37 9,23 9,43 9,55 9,54 9,65 9,62 9,59 9,71 9,75 9,66 9,68 10,30 10,25 10,12 10,07 9,96 10,00 9,92 9,86 9,95 9,97 9,86 9,86