x - Macroarea di Scienze

Richiami di Matematica
Nelle pagine successive sono riportate alcune concetti o formule matematiche
indispensabili per seguire il corso.
Mi aspetto che vi andiate a riguardare le operazioni ed i metodi che saranno
NECESSARI per la comprensione degli argomenti che tratteremo.
Regole fondamentali dell’algebra=> Moltiplicazione , divisione e addizione
algebriche ( da riguardare da soli)
Potenze
Logaritmi
Equazioni lineari
Fattorizzazioni
Equazioni di secondo grado
Equazioni di curve famose
Un po’ di geometria euclidea
TRIGONOMETRIA!!!!!
Derivate ed integrali
Potenze
Potenza :
xm
Casi particolari:
x=base m=esponenziale
x0=1, x1=x
Basi particolari:
x=10 => 10m
x=e
=> em
dove e, detto numero di Eulero, è un numero costante irrazionale pari a:
e=2,71828 18284 59045 23536 02874 71352……
Operazioni tra potenze:
Moltiplicazione di due potenze con stessa base:
Divisione tra due potenze con la stessa base:
Una potenza che ha per esponente una frazione
è pari ad una radice come segue:
In particolare:
Potenza di potenza:
x1/ 2  x
x n x m  x n  m 
xn
n  m 

x
xm
xn / m  m xn
x1/ 3  3 x
x 
n m
 x n m
Logaritmi
Il logaritmo è l’operazione inversa della potenza.
x a
y
“il logaritmo y è
l’esponente da dare
ad a per ottenere x”
y  log a x
argomento
base
Affinchè il logaritmo sia definito si deve avere: a1
ed x>0
Basi particolari: x=10 (base comune) => 10m
x=e (base naturale) => em
Proprietà dei logaritmi:
log a a  1
log a 1  0
log a ab  b
log c (ab)  log c a  log c b
a loga x  log a a x  x
a
log c  log c a  log c b
b
1
log a   log a b
b
log b x
log a x 
log b a
 
log c a n  n log c a
Funzioni esponenziale e logaritmo
Funzione logaritmo f(x)=logbx
Funzione esponenziale
f(x)=ex
la funzione esponenziale è l’elevamento a
potenza con base e
ex
e
e
1
La Funzione logaritmo è definita sulla
semiretta positiva cioè l'insieme entro cui
variano i valori delle x, è compreso nei
valori tra (0,+∞), mentre l’insieme in cui
variano i valori delle y, è (-∞,+ ∞).
x
Per la funzione esponenziale, l'insieme
entro cui variano i valori delle x, è
compreso nei valori tra (- ∞,+∞), mentre il
valore dell’esponenziale varia tra (0,+∞).
Equazioni Lineari (1)
y  mx  b
L’equazione lineare ha la forma generale:
dove m e b sono costanti
Sul piano cartesiano xy l’equazione rappresenta una retta
b= intercetta della retta (il punto lungo l’asse y in cui la retta
interseca l’asse stesso)
y
m= pendenza della retta (coefficiente angolare)
(x1 ,y1 )
Definiti due punti qualsiasi, (x1,y1), (x2,y2) lungo la retta
il coefficiente angolare è dato da:
y2  y1 y
m

x2  x1 x
(x2 ,y2 )
y
x
(0,b)
Coefficiente
angolare
x
NB: m è anche uguale alla tangente dell’angolo che la retta forma con l’asse delle x
Equazioni Lineari (2)
II
y  mx  b
La retta ha una pendenza
positiva (I e III quadrante)
y2  y1
m
 0  y2  y1
x2  x1
y2  y1
m
0
x2  x1
2
1
m=0
b>0
2
I
1
1
m>0
b>0
m e b possono essere positivi , negativi o nulli:
y2  y1
m
0
x2  x1
y
2
x
m=0
b<0
m>0
b<0
III
La retta è parallela all’asse delle x
(I e II quadrante o III e IV quadrante)
La retta ha una pendenza negativa
(II e IV quadrante)
m<0
b>0
IV
Fattorizzazione di un’equazione ed equazioni di secondo grado
Fattor comune:
ax+by+cz= a(x+y+z)
Quadrato perfetto:
a2+2ab+b2=(a+b)2
Differenza di quadrati:
a2-b2=(a-b)(a+b)
ax2 +bx+c=0
Equazioni di secondo grado:
dove a b e c sono i coefficienti (fattori numerici ) ed x è la grandezza incognita
Le Soluzione dell’equazione di secondo grado sono:
 b  b 2  4ac
x
2a
Affinchè le soluzioni siano reali il termine sotto radice (determinante) deve essere
positivo o nullo.
  b2  4ac  0
 b2  4ac
Nel caso particolare di determinante nullo le due soluzioni sono coincidenti. (cioè vi è
un’unica soluzione.)
x   b 2a
Alcune equazioni “famose”
Equazione di una retta:
y
y  mx  b
x
y
Equazione di una circonferenza di
raggio R e centrata nell’origine del
sistema cartesiano xy
x2  y 2  R2
R
x
y
Equazione di un’ellisse centrata
nell’origine
a= semiasse maggiore
b= semiasse minore
Equazione di una parabola il cui
vertice si trova in y=b.
2
2
x
y
 2 1
2
a
b
y  ax  b
2
b
a
y
y
a>0
b
a<0
x
b
Se a>0 la parabola è convessa
Se a<0 la parabola è concava
Equazione di un’iperbole equilatera
x
xy  costante
x
y
x
Concetti di base
Teorema di Pitagora:
c= ipotenusa
a=cateto maggiore
b=cateto minore
c  a b
2
c
2
b
a
La distanza d tra due punti di coordinate (x1,y1) ed (x2,y2) si ottiene
applicando il teorema di pitagora:
y
d  x 2  y 2 
x2  x1    y2  y1 
2
2
d
(x2 ,y2 )
y
(x1 ,y1 )
x
x
Se una retta interseca due rette parallele,
con esse individua coppie di angoli alterni interni
e coppie di angoli corrispondenti uguali tra loro
e angoli interni da una stessa parte la cui
somma è pari a 180°
Trigonometria
1°Teorema
In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura
dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente oppure per il seno dell’angolo
opposto.
x  r cos
y  r sin
x
cos 
r
y
sin 
r
2° Teorema
In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale a quella dell’altro cateto
moltiplicato per la tangente dell’angolo opposto al primo, o per la cotangente
dell’angolo adiacente.
y
P = (x,y)
sin
yx
cos
 y  x tg
r

x
cos
xy
sin
 x  y cotg
y
x
Funzioni trigonometriche
Le funzioni trigonometriche (sin, cos, tan, cotan, …) sono funzioni periodiche, cioè
che dopo un determinato periodo si ripetono identiche a loro stesse; per le funzioni
seno e coseno il periodio è pari a 2 (360°), per la tangente e la cotangente il periodo
è pari a 
y
y  tan x
y  cosx
y  sinx
y
x
/2
-/2
0
-1≤ sinx ≤1
-1 ≤ cosx ≤ 1
1
x
cosx
sinx
tanx
Periodo
Periodo
-∞<tanx<∞

x
Identità trigonometriche
a  c cos
c
b  c sin
b

a
sin 2   cos 2   1
sin(   )  sin  cos   cos  sin 
sin 2  2 sin  cos 
cos(   )  cos  cos   sin  sin 
cos 2  cos 2   sin 2 
1

1

sin   sin   2 sin      cos     
2

2


sin 2
2
cos 2

2

1
1  cos    1  cos    2 sin 2 
2
2

1
1  cos  
2
tan 2 
tan

2

2 tan 
1  tan 2 
1  cos 
1  cos 
1

1

cos   cos   2 cos      cos     
2

2

1
 1

cos   cos   2 sin      sin     
2
 2

tan 2 
2 tan 
1  tan 2 
Radiante
Il radiante (generalmente indicato rad) è un numero puro ed è l'unità di misura
degli angoli del SI. Tale misura rappresenta il rapporto tra la lunghezza l di un arco
di circonferenza spazzato dall'angolo , e la lunghezza del raggio r di tale
circonferenza.
 rad
l

r
 rad (l  r )  1 rad
Se consideriamo una circonferenza di raggio unitario (r=1)
avremo che:
•L’angolo giro (360°), poiché sottende l’intera circonferenza (lunga 2) misura 2 rad
•L’angolo piatto (180°), poiché sottende una semicirconferenza (lunga ), vale  rad
In generale, un angolo di x gradi, x°, sottende x/360 di circonferenza e
quindi misura:
2

Conversione
x ( rad) 
x rad
x ( rad) 
x rad
360
180
gradi-radianti
Conversione
180 ( rad)
x 
x
radianti-gradi

Incertezza sperimentale e cifre significative
 La fisica è una scienza sperimentale e le misure e l’incertezza con cui vengono
effettuate sono il fulcro di ogni esperimento.
 Le misure possono essere dirette o indirette e vengono sempre espresse mediante
un numero seguito dall’errore e dall’unità di misura
1)
2)
Misure dirette : la grandezza viene confrontata con campioni multipli (o sottomultipli)
dell’unità fondamentale (es: misura della lunghezza di un tavolo mediante un righello
tarato)
Misure indirette: la grandezza è legata ad altre grandezze che possono essere misurate
direttamente ( es: volume di un parallelepipedo che si può ottenere a partire dalla
misura diretta dei suoi lati)
 Se la misura di una stessa grandezza viene ripetuta più volte in genere si
otterranno valori diversi anche se molto vicini tra loro => errore sperimentale
(che può essere sistematico o casuale)
 Se la misura è eseguita con strumenti tarati ( come di solito avviene), alla misura
stessa sarà associato un’incertezza che sarà pari alla minima variazione che lo
strumento stesso riesce a definire
Es: misurando un tavolo con un metro di legno che ha una sensibilità di 1 cm ( tra due
tacche consecutive sullo strumento c’è la distanza di 1 cm) la misura effettuata non
potrà avere una precisione maggiore del centimetro => Ltavolo = 1,50 m ±0.01m
 L’errore sulla misura stabilisce il numero di cifre significative che si possono
garantire come esatte (approfondimento sulle cifre significative durante la
prossima lezione di esercitazioni)
Analisi Dimensionale(1)
 L’analisi dimensionale è uno strumento “teorico” di controllo della correttezza
“dimensionale” delle formule che mettono in relazioni varie grandezze fisiche e di supporto
nell’individuazione delle dimensioni e delle unità di misura corrette dei termini che
compaiono in una formula.
L’analisi dimensionale si basa sulle seguenti osservazioni:
 Ogni grandezza fisica ha una sua “dimensione”, cioè può essere espressa come una ben
precisa combinazione delle grandezze fisiche fondamentali [T],[M] ed [L]
 Le dimensioni delle varie grandezze fisiche che compaiono in una relazione
matematica devono rispettare alcune regole formali affinché la formula stessa
abbia una propria coerenza.(prossima trasparenza)
 È possibile definire delle quantità adimensionali ( senza dimensioni ),
che si possono ottenere come rapporto tra due quantità fisiche che hanno la stessa
dimensione.
Una quantità adimensionale non ha bisogno di unità di misura, e viene detta numero
puro
Es:
Il coefficiente di attrito dinamico μd per un corpo che striscia su una superficie scabra è dato dal rapporto tra la
forza di attrito dinamico Fa subita dal corpo e la componente N della forza esercitata dal corpo sulla superficie, in
direzione perpendicolare al corpo stesso:
2
0
0
0
a
d
d
2
 
F
N
   M LT 
M LT 
 M  L T 
Poichè numeratore e denominatore ( entrambi forze) hanno la stessa dimensione, il coefficiente di attrito dinamico è
adimensionale
Analisi dimensionale (2)
Regole formali dell’analisi dimensionale :
 Le dimensioni di un prodotto tra grandezze fisiche si ottengono facendo il
prodotto delle dimensioni dei singoli fattori. L’analogo vale anche per le
dimensioni del rapporto;
v
v  L  LT 1
T 
s
t
 Tutte le grandezze che compaiono in una somma o in una differenza devono
avere le stesse dimensioni;
s t
L  T 
 Il primo membro di un’uguaglianza deve avere le stesse dimensioni del
secondo membro; es: sia v una velocità, t un tempo, affinché la grandezza x possa essere:
la dimensione di x deve essere quella di una lunghezza, infatti [x]=[v][t] =>
x=vt
[v][t]=[L][T]-1[T]1=[L]
 L’argomento di una funzione trascendente (es. sin, cos, log, exp) deve essere
un numero puro;
e

t

t   1
 
   T 
 Il risultato di una funzione trascendente è un numero puro.
Analisi dimensionale (3)
Quindi quando si fa l’analisi dimensionale di un’equazione bisogna
1) Assegnare a ciascun simbolo che compare nell’equazione una dimensione
in accordo con la natura della grandezza che esso misura
2) Moltiplicare o dividere le dimensioni secondo la medesima algebra valida
per i valori numerici
3) Accertarsi che le dimensioni che così risultano per ciascun termine
dell’equazione siano le stesse
NB:
Questo tipo di analisi non permette di determinare il valore numerico di uno
qualunque dei termini dell’equazione, né di accorgersi dell’assenza di valori
adimensionali che dovrebbero essere presenti nell’equazione.
Questa analisi può AIUTARE nel controllo la validità di un’equazione poiché
se le dimensioni dei termini non sono coerenti l’equazione non può essere
corretta.
Dimensioni delle grandezze derivate
Elenco di alcune grandezze derivate, usate in Meccanica ed in Elettromagnetismo, con le
dimensioni corrispondenti, espresse in funzione delle 4 grandezze fondamentali: lunghezza
(L), tempo (T), massa (M) ed intensità di corrente elettrica A
Analisi Dimensionale (4)
Es:
Si scrivano le dimensioni di ciascuna delle grandezze che compaiono nell’equazione:
v 2  2ax  x1   v12
e si stabilisca se l’equazione è dimensionalmente corretta sapendo che v = velocità,
a = accelerazione, x = spostamento
Soluzione:
x  x1   L
a  L2  LT 2
T 
v  L  LT 1
T 
 L 
 L 
L
   2 L  L    

  T  
 T   T  
L 
2
v2  ax  x1   v1 2
v 2  2ax  x1   v12
2
 L   L 
    
 T    T  
2
2
Le dimensioni di ciascun termine sono uguali e l’equazione è, almeno dal
punto di vista dimensionale, corretta.
Grandezze Scalari e Grandezze Vettoriali
Massa, temperatura,
distanza, intervallo
temporale, energia, lavoro,
potenza …
Grandezza completamente
definita da un VALORE
NUMERICO (positivo o
negativo) espresso nell’unità di
misura appropriata
Grandezze Scalari
Aritmetica ordinaria
somma, sottrazione,
moltiplicazione,
divisione,…
Spostamento, velocità, accelerazione,
forza, momento angolare, momento di
una forza, …
Grandezza completamente definita da un valore
numerico positivo,detto MODULO, espresso
nell’unità appropriata, da una DIREZIONE e da
un VERSO
Grandezze Vettoriali
Vettori
Algebra vettoriale
somma e sottrazione di vettori,
proiezioni, prodotto scalare,
prodotto vettoriale, …
Vettori
 Un vettore si rappresenta graficamente attraverso una freccia
 Si indica:
 Con una lettera in grassetto :
Con una lettera e una freccia :
Con gli estremi e una freccia :
a

a
B

a
AB
a
La lunghezza del corpo della
freccia indica il modulo
La retta su cui giace la freccia
indica la direzione
A
La punta della freccia
indica il verso
Caso particolare di vettore:
Versore: vettore adimensionale di lunghezza unitaria
introdotto per specificare una data direzione orientata:
Notazione:  Vettore entrante nel foglio
â
a=1
Vettore uscente
Somma di Vettori(1)
•Non possono essere sommati vettori associati a grandezze diverse
•Non possono essere sommati vettori associati alla stessa grandezza ma espressi con
unità di misura diverse ( bisogna prima effettuare una conversione ad un’unità di
misura comune)


A(cm)  B(cm)


A(cm)  B(mm)
Conversione di unità di misura

(moltiplicando il modulo di B per
cm
)
10mm

Acm 

Acm 

Bmm

Bcm 
Somma di Vettori (metodo geometrico)(2)

B

A
 
A B 

B

A
Regola del
parallelogramma
  
R  A B
Proprietà
Commutativa della
somma

A
    
R  A B  B  A

B

B

A
  
R  B A

C
 
A B

B

B
 
BC

A
   
R  A B C


   
R  A B C

   
R  A B C
  
R  A B

A


C
Proprietà
associativa della
somma


  
   
R  A B C  A B C
  
  
 A B C  B  AC




Vettore opposto
e Differenza diVettori

Si definisce opposto del vettore A quel vettore che sommato ad A dà come risultato 0

Ma quale è quel vettore che sommato ad A mi dà zero?

A

A
  
R  A B
  
R  A B

B

B

A
  
R  A B  0

B

A

A
 


A  A  0


I vettori A e  A hanno stesso modulo e direzione, ma verso opposto
Possiamo vedere la sottrazione come la somma di un vettore con l’opposto dell’altro

B

A

B

B
 
  

A B  A  B
  
R  A B

B

A

B
Moltiplicazione di un vettore per uno scalare


Il prodotto s A di un vettore A per un numero s (scalare) è un vettore avente:

 direzione uguale a quella di A ;
 verso uguale a quello di A se s>0;
verso opposto a quello di A se s<0;
se s=0 si ottiene il vettore nullo;
modulo uguale
al prodotto tra il

modulo di A e il valore assoluto di s.
s= 2

A

A

sA =
s= -2

2A

2A

 2A
Vettori (nello spazio tridimensionale)
 Un vettore è rappresentato graficamente da un segmento, la cui lunghezza o “modulo”, una
volta fissata l’unità di misura, definisce l’intensità del vettore stesso

A1

A
z

A2

B
P(x,y,z)


A3
O


A  Vettore libero
  
A1 , A2 , A3
 


A  A1  A2  A3
Vettori equipollenti:
Due vettori si dicono uguali se
hanno stesso modulo e puntano
nella stessa direzione e verso
y
x

B
Vettore definito univocamente

dal punto di applicazione (B,P)

B
Il modulo del vettore è pari alla lunghezza del segmento OP

La direzione del vettore B nello spazio è definita dai due angoli  e  che il vettore forma con
all’asse z e con l’asse x rispettivamente
Componenti di Vettori e Versori(1)
 Il metodo geometrico per la somma di vettori diventa complicato da attuare quando si ha bisogno di
descrivere i vettori nello spazio tridimensionale
 Conviene utilizzare un metodo più analitico che fa uso delle proiezioni di un vettore lungo gli assi di
un sistema cartesiano ( sistema di coordinate ortogonali … sperando che questa sia una
puntualizzazione ovvia)
Se con la somma troviamo un vettore che rappresenta la combinazione di uno o più vettori,
analogamente si può anche scomporre un vettore nella somma di altri due o più vettori (
Decomposizione)

I Valori numerici Ax, Ay, Az sono le proiezioni di A sui
rispettivi assi x, y, z
Az
z

A
P(A
P x,Ay,Az)

Ax
x
iˆ
k̂
O

ĵ
Ay
y
iˆ, ˆj , kˆ sono i versori,della terna cartesiana.
In particolare:
• iˆ è diretto lungo l’asse positivo delle x
• ĵ è diretto lungo l’asse positivo delle y
• k̂ è diretto lungo l’asse positivo delle z

A
Possiamo quindi riscrivere il vettore
intermini dei tre
versori iˆ, ˆj , kˆ e delle sue proizioni

A  Axiˆ  Ay ˆj  Az kˆ
ˆ
Axiˆ, Ay ˆj, A
 z k sono a loro volta 3 vettori la cui somma dà il
vettore A
Vettori e componenti
Un vettore quindi, una volta scelti gli assi cartesiani, può essere individuato anche
tramite le sue componenti lungo tali assi (per comodità consideriamo solo un piano
bidimensionale invece dello spazio tridimensionale):



A  Axiˆ  Ay ˆj  Ax  Ay
y
Ay

A

Ay  Ay ˆj
ĵ
O iˆ
I vettori componenti: hanno per modulo il valore
assoluto delle componenti e direzione e verso del
versore associato all’asse di proiezione.
P
Teorema di Pitagora
A


Ax  Axiˆ
Ax  A cos  
Ay sin 



A
cos 
x
Ay  A sin  
Ay
 Modulo:

Ax x

A  A  Ax2  Ay2
Ax
 Angolo  :
 tan
NB: le proiezioni di un vettore possono essere anche negative
tan  
Ay
Ax
Somma per componenti
Abbiamo visto che un vettore può essere espresso mediante le sue componenti lungo gli assi cartesiani
Domanda:


Come si fa a sommare ad un vettore A di componenti Ax e Ay un vettore B di componenti Bx e By?
Risposta:
Si sommano le componenti lungo x e lungo y separatamente

Dati i due vettori A e

  
B , sia R  A  B il vettore risultante dalla somma di essi.

A  Ax iˆ  Ay ˆj    
 R  A  B  A iˆ  A ˆj  B iˆ  B ˆj   A  B iˆ  A  B ˆj

x
y
x
y
x
x
y
y

B  Bx iˆ  B y ˆj 
Rx
Ry


R  Rxiˆ  Ry ˆj
y


 


Rx  Ax  Bx

Ry  Ay  By
Modulo
R  Rx  R y 
2
2
Angolo
tan  
 Ax  Bx   Ay  By 
2
Ry
Rx

Ay  B y
Ax  Bx
2
Ry

R
By
Ay
O

B
 
A
Ax
Bx
Rx
x
Moltiplicazione di vettori
I vettori sono quantità più complicate degli scalari
‼ la somma di due scalari è una semplice operazione algebrica
( es: 2 s +3 s = 5 s senza ambiguità)
‼ la somma di due vettori non è la semplice somma delle intensità dei due vettori,
(queste al massimo danno solo il limite inferiore ed il limite superiore
dell’intervallo di valori che il modulo del vettore risultante potrebbe acquisire
senza sapere le direzioni ed i versi dei due vettori), ma un’operazione che tiene
conto anche della direzione e del verso che i due vettori hanno l’uno rispetto
all’altro
Lo stesso discorso vale per la moltiplicazione tra vettori… tanto che, se per gli
scalari esiste un’unica operazione di moltiplicazione, per i vettori ne esistono 2.
1) Prodotto scalare
 
A B
“A scalar B”
2) Prodotto vettoriale
 
A B
“A vettor B”
Moltiplicazione di vettori-Prodotto
 scalare(1)



Il prodotto scalare di due vettori A e B , si scrive A  B è una grandezza
scalare uguale al prodotto dei moduli dei due vettori con
dell’angolo () formato tra di essi (l’angolo minore dei due)
il coseno
y

AA
R


B

2-
2-

A
x


Prodotto scalare tra A e B
Rcos=
Rcos(2-)
R
 
A  B  AB cos 
cos2     cos
 cos   sin
 sin   cos   0  cos 
2
2
cos2     cos 
1
0
 
A  B  AB cos2     AB cos 
Altro modo di vedere il prodotto scalare:


A e B è una grandezza scalare
Il prodotto scalare di due vettori qualsiasi



uguale al prodotto del modulo di A moltiplicato per la proiezione di B su A

B

B

B
Proiezione di
B

A

A

B cos

A


su
B A
 
A  B  AB cos 
Moltiplicazione di vettori-Prodotto scalare(2)
Proprietà del prodotto scalare e casi particolari:
 Il prodotto scalare PUÒ avvenire tra vettori con unità di misura diverse e le unità di misura del
risultato del prodotto sono semplicemente il prodotto delle unità di misura (ne vedremo diversi esempi)
Proprietà Commutativa
   
A B  B  A
Proprietà distributiva della moltiplicazione:


  
   
A B  C  A B  AC
 
il loro prodotto scalare è:
A  B  AB cos
0  A B

1


 
SeA  B il loro prodotto scalare è:
A  B  AB cos
90

  0
0
   
 
Se A  B  0 il loro prodotto scalare è nullo: A  B  0  0  0
 
Se A // B
Se consideriamo i tre versori ortogonali iˆ, ˆj , kˆ
iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  1
iˆ  ˆj  iˆ  kˆ  ˆj  kˆ  0
Moltiplicazione di vettori-Prodotto scalare(3)
Definito un sistema di coordinate cartesiane di riferimento, il prodotto scalare si può anche
scrivere nella forma:
 
A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz
(dimostrazione alla lavagna)
Ed in particolare:
 
A  A  Ax Ax  Ay Ay  Az Az  Ax2  Ay2  Az2  A2
Le due equazioni che descrivono il prodotto scalare, sono del tutto equivalenti
e la scelta di una o dell’altra per determinare il prodotto scalare dipende da
come vengono definiti i vettori ( se viene fornito l’angolo conviene la prima
espressione, se vengono fornite le componenti, la seconda)
Moltiplicazione di vettori-Prodotto vettoriale(2)
 


Il prodotto vettoriale di due vettori A e B , si scrive A  B ed è un vettore
che ha per modulo il prodotto dei moduli dei due vettori con il seno
dell’angolo () minore formato tra di essi.
  
C  A B

B

2  
Modulo

A

C  C  AB sin 
NB: sin   sin2   
sin 2     sin
 cos   sin  cos
   sin 
2
2
0
1

 La direzione di C è PERPENDICOLARE al piano definito dai due vettori
 Il verso è quello dato dalla regola della mano destra.
(pollice lungo il primo vettore, indice lungo il secondo, il medio definisce il verso del
vettore risultante)