Soluzioni Seconda Edizione “Giochi di Achille” (14-12

Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta – Chieti
tel. 0871 – 65843 (cell.: 340 47 47 952) e-mail:[email protected]
Terza Edizione “ Giochi di Achille” (13-12-07) - Olimpiadi di Matematica
Soluzioni Categoria M3 (Alunni di terza media)
Soluzioni Cat. M3:
Quesito
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Risposta
esatta
C
B
C
D
A
E
A
E
C
E
84
885 1000
Punti
previsti
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
6
13
8
14
15
16
240
21
110
8
12
12
Il massimo punteggio previsto è 100. Una risposta mancante vale 1 punto. Una risposta
sbagliata vale 0 punti.
1. Marco è molto arrabbiato perché dal suo libro preferito, sui giochi matematici, gli hanno strappato delle pagine che
contenevano i giochi più interessanti. Tenendo il libro aperto, Marco vede, alla sinistra la pagina contrassegnata
“pagina 108”, mentre alla destra la pagina contrassegnata “209”. Quanti fogli sono stati strappati dal libro di
Marco?
A) 101;
B) 99;
C) 50;
D) 102;
E) 101.
Risposta giusta C)
Le pagine mancanti sono in tutto 100 (da 109 a 208). Siccome ogni foglio contiene due pagine, i
fogli mancanti saranno (100:2) = 50 fogli.
Si può ragionare anche in questo modo: ogni foglio è formato da una pagina con numero dispari
seguita subito dalla pagina successiva che porta il numero pari. Basterebbe contare tutti i dispari che
ci sono a partire da 109 per terminare a 207.
109, 111, 113, 115, 117,
149, 151, 153, 155, 157,
189, 191, 193, 195, 197,
119, 121, 123, 125, 127,
159, 161, 163, 165, 167,
199, 201, 203, 205, 207.
129, 131, 133, 135, 137,
169, 171, 173, 175, 177,
139, 141, 143, 145, 147,
179, 181, 183, 185, 187,
2. A quale frazione dell’intera figura corrisponde la parte tratteggiata in grigio ?
Attenzione: La frazione deve essere ridotta ai minimi termini.
A) 1/3 ;
B) 6/17;
C) 32/90;
D) 2/5;
E) nessuna delle precedenti.
Risposta esatta: B)
La figura è un rettangolo formato da 204 quadretti (34 x 6); la parte in grigio è formata da 8 + 4 +
10 + 10 + 9 + 10 + 9 + 10 + 2 = 72 quadretti. La frazione sarà 72/204; semplificando per 12
otteniamo 6/17.
Soluzioni_M3_III-Ed._Giochi_di_Achille (13-12-2007)
[Il mago dei numeri – CH- Italia]
Pag. 1
3. Francesco, Alessandra e Daniela misurano la lunghezza del giro di pista dello stadio dove si stanno allenando. Tutti
e tre procedono di corsa e contano in silenzio i loro passi. Concluso il giro si hanno queste informazioni:
Francesco ha contato 420 passi. Alessandra ha contato 450 passi. Daniela ha contato 440 passi.
Cosa si può dire dei loro passi?
A)
B)
C)
D)
E)
Alessandra ha il passo più lungo rispetto a Daniela;
Francesco ha il passo più corto rispetto al passo di Daniela;
Alessandra ha il passo più corto sia rispetto a quello di Francesco che a quello di Daniela;
Daniela ha il passo più lungo rispetto agli altri due.
Nessuna delle risposte precedenti è esatta.
Risposta giusta C)
Alessandra, per misurare la stessa distanza, impiega più passi (sia rispetto a Francesco che a
Daniela), quindi, il suo passo è più corto sia rispetto al passo di Francesco che al passo di Daniela.
4. Assunta utilizza un quarto del suo tempo (dedicato per svolgere i compiti a casa) ai compiti di matematica. Dedica
un quinto del tempo rimasto per studiare la lingua straniera. I restanti sessanta minuti li dedica allo studio delle altre
materie. Quanti minuti, complessivamente, dedica Assunta per i compiti fatti a casa?
A) 80;
B) 90;
C) 75;
D) 100;
E) nessuno dei precedenti.
Risposta esatta: D) cioè 100 minuti.
Indichiamo con 1 il tempo dedicato allo studio (che non sappiamo a quanti minuti corrisponda).
1-1/4 = 3/4. (Frazione di tempo che resta dopo aver studiato matematica).
1/5 di 3/4 = 1/5x3/4 = 3/20. (Tempo dedicato allo studio della lingua straniera).
3/4-3/20 = 12/20 = 3/5. (Frazione di tempo che resta per lo studio delle altre materie).
Se i 3/5 del tempo complessivo corrispondono a 60 minuti, il tempo complessivo sarà:
(60:3/5) minuti = (60 x 5/3) minuti = (300:3) minuti = 100 min.
5. Dovendo scrivere tutti i numeri multipli di 10 da 11090 a 11330 (estremi compresi) qual è la cifra che si ripete di
più?
A) 1;
B) 2;
C) 0;
D) 4;
E) nessuna delle precedenti.
Risposta giusta A)
Può sembrare strano che tra i multipli di 10 la cifra 1 si possa ripetere più spesso!!!
Questo perché l’intervallo numerico presenta l’1 nella posizione delle decine di migliaia e delle
migliaia 25 volte, in quella delle centinaia 10 volte e in quella delle decine 3 volte. In tutto si ripete
per ben 63 volte!!!
Lo zero, invece, si ripete solo 29 volte (25 volte nella posizione delle unità, 3 volte nella posizione
delle decine ed una sola volta nella posizione delle centinaia).
6. La griglia riportata a fianco rappresenta uno schema del Sudoku
9x9.
Per completare la griglia bisogna rispettare le seguenti regole:
1) Ogni riga deve contenere una sola volta i numeri da 1 a 9;
2) Ogni colonna deve contenere una sola volta i numeri da 1 a 9;
3) Ognuna delle 9 sottogriglie, ciascuna formata da 3 righe e 3
colonne, deve contenere una sola volta i numeri da 1 a 9.
Che numero dobbiamo mettere nella casella d4 (indicata in grigio) ?
A) 9;
B) 5;
C) 7;
D) 8;
E) 2.
a
b
c
6
2
7
9
3
2
d
e
f
6
g
h
i
1
4
5
4
5
4
1
7
9
8
6
1
5
3
7
9
2
8
2
3
4
5
6
7
8
9
Risposta esatta: E) 2.
Soluzioni_M3_III-Ed._Giochi_di_Achille (13-12-2007)
[Il mago dei numeri – CH- Italia]
Pag. 2
Il 9 non può stare in d4 perché sul rigo d il 9 deve stare necessariamente in d8 perché in quella
sottogriglia deve stare in colonna 8.
Il 5 è già presente sul rigo (vedi d2).
Il 7 è presente già [sia sulla colonna 4 che nella sottogriglia 5 (d6)].
L’8 è pure esso presente sul rigo d.
Non resta che 2.
7. Dall’inizio del 2007 e fino alla fine del 2037 quanti sono i mesi che iniziano e finiscono con lo stesso giorno della
settimana? (per es. 1° giorno del mese = ultimo giorno del mese = venerdì).
A) 8;
B) 30;
C) 9;
D) 7.5;
E) nessuno dei precedenti.
Risposta esatta: A)
I mesi sono otto. L’unico mese in cui il primo giorno può coincidere con l’ultimo è quello di
febbraio negli anni bisestili (29 giorni). Infatti, solo in questo modo se il primo febbraio cade, per
es., di giovedì, il 28 cadrà di mercoledì (4x7 = 28) ed il 29 cadrà di giovedì come il primo. Durante
questi anni questo evento si verificherà solo 8 volte. Infatti, tanti sono gli anni bisestili (divisibili
cioè per 4). Ecco gli anni: 2008, 2012, 2016, 2020, 2024, 2028, 2032 e 2036.
8. Tutto intorno ad un prato
avente la forma illustrata
nella figura c’è un vialetto
lungo tutti i lati. Sapendo che
il perimetro interno è più
corto di 20 m rispetto a
quello esterno, sapreste dire
quant’è largo il viale?
A) 1.5 m;
B) dipende dalla misura
dell’aiuola;
C) 2 m;
D) 1.8 m;
E) nessuna delle precedenti.
Risposta esatta: E)
Il vialetto ha un larghezza di 2.5 m. La larghezza della stradina non dipende dalla lunghezza o dalla
sua forma, bensì dal divario tra le due misure (perimetro esterno - perimetro interno): questa
differenza è sempre otto volte la larghezza del vialetto. Infatti, è proprio nei quattro angoli che il
perimetro esterno aumenta. Aumenta di due volte la larghezza per ognuno dei quattro spigoli.
Essendo 4 gli spigoli, l’aumento è di 2x4 volte, cioè di 8 volte: cm (20:8 ) = 2.5 m. Tutte le altre
curve che assume la strada, anche con mille circonvoluzioni, non modificano niente perché, in quel
caso, c’è perfetta parità tra le eccedenze del perimetro interno e quello esterno o viceversa.
9. Il calcolo della seguente potenza: 999999999999999999, richiede molto tempo!! Non vogliamo sapere tutto il numero
ma solo l’ultima cifra. Sapresti dire qual è questa cifra?
A) 6;
B) 3;
C) 9;
D) 1;
E) nessuno dei precedenti.
Risposta esatta: C)
Tutte le potenze di 99 (oppure numeri terminanti per 99), quando l’esponente è dispari, terminano
sempre con due cifre 99. Perciò l’ultima cifra è sempre 9.
Soluzioni_M3_III-Ed._Giochi_di_Achille (13-12-2007)
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Pag. 3
10. La pista di un velodromo è lunga 200 metri. Due ciclisti partono insieme e procedono nello stesso senso. Dopo un
minuto e quaranta secondi il ciclista più veloce raggiunge l’altro. Sapendo che la velocità del ciclista più lento è di
43,2 Km/h, qual è la velocità del ciclista più veloce?
A) 53.2;
B) 48.4;
C) 49.4;
D) 46.4;
E) 50.4.
Risposta esatta: E)
Il ciclista più veloce impiega 100 secondi (1 minuto e 40 secondi) per percorrere 200 metri in più
(giro della pista). Per cui ogni secondo recupera 2 metri al concorrente. Ma un’ora è formata da
3600 secondi per cui in un’ora recupera m (2x3600) = m 7200 = 7.2 Km che sommati ai 43.2
dell’avversario fanno 50,4 Km/h.
11. Questa figura è formata da 7 quadrati tutti di dimensione diversa. Si sa che il lato del quadrato A è di 1 m inferiore
a quello del quadrato D ed è il triplo del lato del quadrato G il cui lato è esattamente la metà di quello del quadrato
C. Sapendo che l’area del quadrato C è pari a 36 m2 , trovate il perimetro della figura.
9
A
1
4
4
E
1
7
B
2
F
D
C
4
G
3
6
10
3
Risposta esatta: 84 m.
Se l’area del quadrato C è di 36 m2, il lato del quadrato C misurerà m 6 (la radice quadrata di 36,
infatti, è 6).
Il lato del quadrato G è la metà di quello del quadrato C: 6.2 = m 3.
Il lato del quadrato A, essendo il triplo di quello del quadrato G, misurerà 3x3 = m 9.
Il lato del quadrato D sarà di 1 m maggiore di quello del quadrato A: 9+1 = m 10.
Il lato del quadrato B sarà ottenuto per differenza tra i lati dei due quadrati D e C: 10-6 = m 4.
Il lato del quadrato E sarà ottenuto per differenza tra i lati dei due quadrati D e A: 10-9 = m 1.
Il lato del quadrato F sarà ottenuto per differenza tra i lati dei due quadrati D e G: 10-3 = m 7.
Soluzioni_M3_III-Ed._Giochi_di_Achille (13-12-2007)
[Il mago dei numeri – CH- Italia]
Pag. 4
A questo punto, conoscendo tutte le misure, possiamo trovare il perimetro della figura. Partendo dal
vertice destro in alto e procedendo in senso orario avremo:
9+8+1+1+7+7+4+3+3+10+6+6+2+4+4+9 = m 84.
12. Adoperando sei cifre diverse, tra le dieci disponibili (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), formate due numeri, ciascuno di tre
cifre, e sottraete il minore dal maggiore. La cifra 0 (“zero”) non può occupare il posto delle centinaia.
Quale sarà la differenza massima che si può ottenere?
Risposta esatta: 885.
Affinché la differenza sia massima bisogna avere il minuendo più grande possibile ed il sottraendo
più piccolo possibile. Il numero più grande con tre cifre diverse è 987. Il numero più piccolo con tre
cifre diverse è 102. Perciò avremo: 987 – 102 = 885.
13. Sommate tutti i numeri pari da 2000 a 2 e poi tutti i numeri dispari da 1999 ad 1. Sottraete la seconda somma
(quella dei numeri dispari) dalla prima. Che risultato ottenete?
Risposta esatta: 1000.
Infatti posso disporre così queste operazioni:
2000 – 1999 + 1998 – 1997 + 1996 – 1995 + 1994 - …+ …- …+ 2 -1 =
(2000-1999) + (1998-1997) + (1996-1995) + …
.+ (2-1) =
1
+
1
+
1+ …+1
+1 +
+ 1 = 1000x1 = 1000.
Le sottrazioni sono 1000 (la metà di 2000) perché in ognuna di esse compaiono due numeri (un
numero pari ed il suo precedente dispari).
14. Tre amici, Paolo, Pierluigi e Piero (conosciuti dagli amici come le “tre P” per le iniziali dei loro nomi) hanno gli
orologi che non vanno d’accordo. L’orologio di Paolo, ogni 48 ore, ritarda di ben 6 minuti: Quello di Pierluigi è
preciso mentre quello di Piero accelera di 3 minuti al giorno.
Se decidono di sincronizzare oggi i loro orologi, tra quanti giorni questi torneranno a segnare la stessa ora?
(attenzione: gli orologi sono quelli tradizionali con quadrante e due lancette: uno, più lungo, per i minuti ed uno, più
corto, per le ore).
Risposta esatta: 240 giorni.
I quadranti dei tre orologi sono identici nel senso che tutti riportano 12 ore.
Per ritrovarsi nello stesso punto, le lancette dei due orologi non precisi devono fare almeno un giro
(in più o in meno) rispetto a quelle dell’orologio di Pierluigi (che è preciso).
L’orologio di Paolo, in 48 ore, rallenta di 6 minuti: in 24 ore rallenterà di tre minuti, in 12 ore
rallenterà di 90 secondi (un minuto e mezzo).
L’orologio di Piero va avanti di 3 minuti in un giorno: in 24 ore avanzerà di 180 secondi, in 12 ore
di 90 secondi.
L’intero quadrante è formato da 12 ore che corrispondono a 12x60x60 = 43200 secondi.
Quando l’orologio di Pierluigi ha percorso 480 volte l’intero quadrante (43200:90 = 480), la
lancetta dell’orologio di Paolo avrà percorso solo 479 volte il quadrante, mentre quella dell’orologio
di Piero ne avrà percorso 481. Ma ogni giorno la lancetta percorre due volte l’intero quadrante per
cui i giorni necessari saranno: 480:2 = 240 giorni.
15. Nel Campionato di Calcio Italiano del 2002-2003 in serie A giocavano 18 Squadre. Siccome erano e sono tuttora
previsti due turni o gironi (uno di andata ed uno di ritorno), con 18 squadre presenti, ogni squadra, nel corso del
campionato, deve disputare 34 incontri (due incontri per ognuna delle 17 squadre restanti). Per la classifica, negli
ultimi anni, sono previsti: per ogni partita vinta 3 punti; per ogni pareggio 1 punto e per ogni sconfitta 0 punti.
In quel campionato la Juventus si è classificato al primo posto con 72 punti. Sapendo che ha perso solo 4 partite
quante partite ha vinto?
Risposta esatta: 21 partite vinte.
Soluzioni_M3_III-Ed._Giochi_di_Achille (13-12-2007)
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Pag. 5
Risposta: Nelle 4 partite perse ha preso 0 punti. Nelle restanti (34-4) 30 partite disputate ha preso
sempre punti 3 in caso di vittoria; 1 in caso si pareggio).
Se avesse vinto tutte le 30 partite, avrebbe totalizzato 90 punti.
Avendone totalizzati solo 72, i 18 punti in meno sono dovuti ai minor punti presi per ogni pareggio.
Siccome per ogni pareggio si prendono due punti in meno (3-1 = 2), facendo 18:2 = 9 otteniamo il
numero delle partite pareggiate. Partite pareggiate più quelle perse = 9+4=13.
Partite vinte = 34-13 = 21.
Quindi in quel campionato la Juve ha vinto ben 21 partite.
16. Apri bene gli occhi!!!
Quanti triangoli, di tutte le dimensioni, si possono contare
nella figura?
Risposta esatta: I triangoli sono in tutto 110.
I triangoli 1x1 (mezza casella)
I triangoli 2x2 (formati da 4 triangolini 1x1) sono 16+16
I triangoli 3x3 (formati da 9 triangolini) sono 9+9
I triangoli 4x4 (formati da 16 triangolini) sono 4+4
I triangoli 5x5 (formati da 25 triangolini) sono 1+1
Totale
25 + 25 = 50
4x4+4x4=16+16=32
3x3+3x3 = 9+9=18
Soluzioni_M3_III-Ed._Giochi_di_Achille (13-12-2007)
sono 50
32
18
8
2
110
2x2+2x2 = 4+4= 8
1+1=2
[Il mago dei numeri – CH- Italia]
Pag. 6