Soluzione

Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta – Chieti
tel. 0871 – 65843 (cell.: 340 47 47 952) e-mail:[email protected]
Terza Edizione “ Giochi di Achille” (13-12-07) - Olimpiadi di Matematica
Soluzioni Categoria Sup-B (Alunni Biennio delle scuole superiori)
Quesito
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Risposta
esatta
A
A
B
D
D
C
C
E
E
C
80sec
5
15
50000
Punti
previsti
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
6
8
8
15
16
50.4 124
12
12
Il massimo punteggio previsto è 100. Una risposta mancante vale 1 punto. Una risposta
sbagliata vale 0 punti.
1. La sveglia del nonno di Elisabetta ha una levetta per la regolazione degli eventuali ritardi o anticipi. Spostando la levetta verso il “+” il meccanismo della sveglia accelera; spostandola, invece, verso il “-“, il meccanismo della sveglia
rallenta. Per recuperare un ritardo di 35 minuti, una settimana fa il nonno di Elisabetta ha spostato la levetta verso il
“+”. Oggi la sveglia dà l’ora esatta. Quanti secondi ha dovuto recuperare, per ogni ora, la sveglia?
A) 12.5;
B) 10;
C) 24;
D) 35;
E) nessuno dei precedenti.
Risposta esatta: A)
Il ritardo espresso in secondi è pari a secondi (35 x 60) = 2100 secondi da recuperare in una
settimana. I secondi da recuperare in un giorno saranno: (2100: 7 ) = 300 secondi.
I secondi da recuperare in un’ora saranno: (300: 24) = 12.5 secondi.
2. Francesca, Alessandro e Daniele misurano la lunghezza del giro di pista dello stadio dove si stanno allenando. Tutti
e
tre procedono di corsa e contano in silenzio i loro passi. Concluso il giro si hanno queste informazioni:
Francesca ha contato 460 passi. Alessandro ha contato 450 passi. Daniele ha contato 440 passi.
Cosa si può dire dei loro passi?
A) Non è vero che Alessandro ha il passo più lungo rispetto a quello di Daniele;
B) Non è vero che Francesca ha il passo più corto rispetto a quello di Daniele;
C) Alessandro ha il passo più lungo sia rispetto a quello di Francesca che a quello di Daniele;
D) Daniele ha il passo più corto rispetto ai passi degli altri due;
E) Nessuna delle risposte precedenti è esatta.
Risposta esatta: A)
Alessandro, per misurare la stessa distanza, arriva con più passi rispetto a Daniele, perciò il suo
passo è più corto rispetto al passo di Daniele. Quindi, Daniele ha il passo più lungo di Alessandro.
E’ esatta la risposta A).
3. Andrea è un tipo molto preciso. Tutti i giorni dedica lo stesso tempo per svolgere i compiti a casa. Domani deve
studiare cinque materie diverse. Dedica allo studio dell’italiano un quarto del tempo. Alla geografia dedica un quinto
del tempo rimasto. Poi dedica alla storia un sesto del tempo rimasto dopo lo studio delle prime due materie. Infine,
dedica un quarto d’ora all’inglese e gli ultimi 25 minuti alla matematica.
Quanti minuti, complessivamente, dedica Andrea allo studio?
A) 90;
B) 80;
C) 75;
D) 100;
E) nessuno dei precedenti.
Risposta esatta: B) cioè 80 minuti.
1-1/4 = 3/4 (frazione di tempo rimasto dopo lo studio dell’italiano).
1/5 di 3/4 = 1/5x3/4 = 3/20 (frazione del tempo totale dedicato allo studio della geografia).
Soluzioni_Sup-B_III-Ed._Giochi_di_Achille (13-12-2007)
[Il mago dei numeri – CH- Italia]
Pag. 1
3/4-3/20 = 12/20 = 3/5 (frazione di tempo che resta per lo studio delle altre materie).
3/5x1/6 =1/10 (frazione di tempo dedicato allo studio della storia).
3/5-1/10 = 5/10 =1/2 (frazione di tempo rimasto dopo lo studio di tre materie).
Se 1/2 del tempo complessivo corrispondono a (15+25) minuti = 40 minuti, allora il tempo
complessivo sarà: (40:1/2) minuti = (40 x 2) minuti = 80 min.
4. Adoperando sei cifre diverse, tra le dieci disponibili (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), formate due numeri, ciascuno
di tre cifre, e sottraete il minore dal maggiore. La cifra 0 (“zero”) non può occupare il posto delle centinaia.
Quale sarà la differenza minima che si può ottenere?
A) 9;
B) 101;
C) 11;
D) 3;
E) nessuno dei precedenti.
Risposta esatta: D)
Affinché la differenza sia minima, bisogna avere il minuendo ed il sottraendo molto vicini ma
appartenenti a centinaia consecutive.
Siccome le cifre devono essere diverse, la differenza non potrà mai essere uguale a 0, 1 oppure 2.
Due qualsiasi numeri consecutivi di tre cifre, infatti, hanno sempre almeno una cifra ripetuta:
100-101; 120-121; 130-131; ecc; 199-200; ecc: 299-300; ecc:
Lo stesso vale per due numeri che differiscono di due (che vorrebbe anche dire o due numeri pari
consecutivi o due dispari consecutivi): 100-102; 199-201; 298-300; ecc.
La differenza minima è tre ed i numeri stanno alla fine di una centinaia ed all’inizio di quella che
segue: 301-298= 3; 401-398= 3; 501-498=3; 601-598 = 3; 701 – 698 = 3.
I casi: 201-198 e 801-798 sono da escludere in quanto hanno, rispettivamente, la cifra 1 e la cifra 8
che si ripete.
5. In una Raffineria di petrolio, l’impianto, durante i 4 mesi più caldi (maggio-agosto), in media, lavora all’84% della
massima produttività. Nei restanti mesi, invece, lavora all’81%. Qual è lo sfruttamento medio annuo dell’impianto
di quella Raffineria?
A) 85%;
B) 82.5%;
C) 77%;
D) 82%;
E) nessuno dei precedenti.
Risposta esatta: D)
Bisogna fare la media ponderata delle due percentuali di sfruttamento. L’84% e l’81% verranno
moltiplicate per le corrispondenti frazioni di anno (4 mesi e 8 mesi). Il tutto verrà diviso per la
somma dei due pesi (4+8 = 12 mesi).
(84 x 4 + 81 x 8)/(4+8) = 82%.
6. Dovendo scrivere tutti i numeri multipli di 10 da 11090 a 11330 (estremi compresi) qual è la cifra che si ripete
di più?
A) 0;
B) 2;
C) 1;
D) 4;
E) nessuna delle precedenti.
Risposta esatta: C)
Può sembrare strano che tra i multipli di 10 la cifra 1 si possa ripetere più spesso.
Questo perché l’intervallo numerico presenta l’1 nella posizione delle decine di migliaia e delle
migliaia che si ripete per ben 50 volte!! Inoltre la cifra “1” si ripete per 10 volte nella posizione
delle centinaia e 3 volte nella posizione delle decine. In tutto ben 63 volte!!!!
Lo “0”, invece, che sembrerebbe il candidato vincente, si presenta solo 29 volte!!!!!!
Soluzioni_Sup-B_III-Ed._Giochi_di_Achille (13-12-2007)
[Il mago dei numeri – CH- Italia]
Pag. 2
7. La somma di due numeri è 21. La somma dei loro quadrati è 225. Qual è la somma dei loro cubi?
A) 2225;
B) 4725;
C) 2457;
D) 4261;
E) 4625.
Risposta esatta: C)
Indichiamo con a e b i due numeri.
Sappiamo che a + b = 21; e che a2 + b2 = 225. Ricordando i prodotti notevoli scriviamo:
(a + b) (a2 - ab + b2) = a3 + b3.
Sostituendo i dati che conosciamo otteniamo:
21(225 - ab) = a3 + b3;
Se a + b = 21 allora (a + b)2 sarà 212 = 441.
2ab = (a + b)2 – (a2 + b2);
2ab = (21)2 – 225;
ab = (441 – 225)/2 = 216/2 = 108
Ritornando alla formula (*) otteniamo:
a3 + b3 = 21(225 - ab) = 21(225 - 108) = 21x117 = 2457.
(*)
8. Il calcolo della seguente potenza: 999999999999999999, richiede molto tempo!! Non vogliamo sapere tutto il numero,
ma solo le ultime due cifre. Sapresti dire qual è questo numero formato da queste due cifre?
A) 18;
B) 66;
C) 81;
D) 89;
E) nessuno dei precedenti.
Risposta esatta: E) 99.
Tutte le potenze di 99 (o numeri terminanti per 99), con esponente dispari, terminano con le due
cifre 99.
9. La griglia riportata a fianco rappresenta
uno schema del Sudoku 12x12. Per
completarla bisogna rispettare le seguenti
regole:
a
4
b
c
5
d
2) Ogni colonna deve contenere una sola
volta i numeri da 1 a 9 e le lettere A, B,
C (che rappresentano i n. 10, 11 e 12);
f
B
g
A
Che numero o lettera dobbiamo mettere
nella casella (m2) indicata in grigio?
A) B;
D) 1;
B) 7;
C) 4;
E) nessuno dei precedenti.
A
1
A
A
e
5
4
6
7
4
2
l
4
1
9
7
8
2
3
4
5
3
3
A
1
5
6
1
3
5
n
C
2
6
9
8
B
C
i
9
B
4
C
1
B
8
7
h
m
6
2
1) Ogni riga deve contenere una sola volta
i numeri da 1 a 9 e le lettere A, B, C (che
rappresentano i numeri 10, 11 e 12);
3) Ognuna delle 12 sottogriglie, ciascuna
formata da 3 righe e 4 colonne, deve
contenere una sola volta i numeri da 1 a
9 e le lettere A, B, C (per 10, 11 e 12).
C
7
C
1
6
8
A
2
5
B
9
10
7
11
12
Risposta esatta: E): A.
Nella casella m2 la lettera A va bene. Infatti, considerando la sottogriglia 10, escludendo le righe l
ed n e le colonne 1, 3 e 4 dove la A è già presente in altre caselle, non resta, per esclusione, che la
cella m2.
10. Durante un’esercitazione navale, due navi militari partono contemporaneamente da uno stesso punto, alle ore 4 e10
del mattino. La prima è diretta a Sud e procede ad una velocità pari a 18 Km/h, la seconda è diretta ad Ovest e procede ad una velocità di 24 Km/h. A che ora le due navi si troveranno esattamente a 170 Km di distanza ?
A) 5h40m;
B) 4h54m;
C) 9h50m;
D) 9h54m;
E) 21h50m.
Soluzioni_Sup-B_III-Ed._Giochi_di_Achille (13-12-2007)
[Il mago dei numeri – CH- Italia]
Pag. 3
Risposta esatta: C)
Le due navi alle ore 9 e 50 si troveranno a 170 Km di distanza.
Le rotte descritte dalle due navi rappresentano (approssimativamente) i cateti di un triangolo
rettangolo; la distanza tra le due navi rappresenta, invece, l’ipotenusa. Per cui, applicando il teorema
di Pitagora, avremo la distanza dopo un’ora = Km 30 (182+242=302; infatti 324+576=900).
Se in un’ora le due navi si allontanano tra di loro di 30 Km, in 2 minuti (la trentesima parte di
un’ora 60:30=2 min.) le navi si allontaneranno di 1 Km. Per allontanarsi allora di 170 Km,
occorreranno minuti (2x170) = 340 minuti = 5h40m.
4h10m + 5h40m = 9h50m.
11. Un giro di pista di atletica leggera misura esattamente 400 m. Achille e la tartaruga si sfidano in questa gara.
Naturalmente Achille è molto più veloce della tartaruga: Perciò Achille fa posizionare la tartaruga 396 metri
davanti a lui. La velocità di Achille è di 5 m al secondo mentre quella della tartaruga è di 1 m ogni 20 secondi.
Dopo quanto tempo Achille raggiungerà la tartaruga?
Risposta esatta: 80 secondi)
Dopo 80 secondi la tartaruga ha percorso 4 metri e si troverà sulla linea del traguardo (quella stessa
linea da dove è partito un momento prima Achille).
Achille, nel frattempo, in 80 secondi avrà percorso m(5x80) = 400 m.
Quindi proprio sulla linea del traguardo Achille raggiungerà la tartaruga.
12. Pensa un numero. Aggiungi 7 e moltiplica il risultato per 5. Quindi sottrai 10 e dividi il numero ottenuto per 5.
Togli, infine, il numero che avevi pensato. Quale numero hai ottenuto?
Risposta esatta: 5)
Il numero da indovinare non dipende dal numero pensato bensì dalle operazioni indicate nel
quesito. Qualsiasi sia il numero di partenza (numero pari o dispari non fa differenza!!!) aggiungo 7
e moltiplico tutto per 5 e avrò un numero che è la somma del quintuplo del numero pensato più 35
(il quintuplo di 7 che sarebbe il numero che ho aggiunto).
Dal numero così composto (il quintuplo del numero pensato più 35) togliendo 10, mi resterà un
numero formato dal quintuplo di quel numero più venticinque (35-10=25).
E se divido questo numero per 5 avrò il numero pensato più 5.
Togliendo infine il numero pensato non mi resta che 5. Succede sempre così con qualsiasi numero.
Si può risolvere impostando una semplice espressione dove con la incognita “x” indichiamo il
numero pensato. Avremo:
[(x + 7)·5 -10] : 5 - x = [5x + 35 – 10] :5 – x = [5x + 25] : 5 – x = x + 5 –x = 5.
13. Nel Campionato di Calcio Italiano del 2002-2003 in serie A giocavano 18 Squadre. Siccome erano e sono tuttora
previsti due turni o gironi (uno di andata ed uno di ritorno), con 18 squadre presenti, ogni squadra, nel corso del
campionato, deve disputare 34 incontri (due incontri per ognuna delle 17 squadre restanti).
Per la classifica, negli ultimi anni, sono previsti:
per ogni partita vinta 3 punti; per ogni pareggio 1 punto e per ogni sconfitta 0 punti.
In quel campionato la Lazio si è classificata al quarto posto con 60 punti. Sapendo che ha perso solo 4 partite quante
partite ha vinto?
Risposta esatta: 15)
Nelle 4 partite perse ha preso 0 punti. Nelle restanti (34-4) 30 partite disputate, ha preso sempre
punti 3 in caso di vittoria, 1 in caso si pareggio.
Se avesse vinto tutte le 30 partite, avrebbe totalizzato 90 punti. Avendone totalizzato solo 60, i 30
punti in meno sono dovuti ai minor punti presi per ogni pareggio. Siccome per ogni pareggio si
prendono due punti in meno (3-1 = 2), facendo 30:2 = 15 otteniamo il numero delle partite
pareggiate. Partite pareggiate più quelle perse = 15+4=19. Partite vinte = 34-19 = 15.
Quindi, in quel campionato, la Lazio ha vinto solo 15 partite.
Soluzioni_Sup-B_III-Ed._Giochi_di_Achille (13-12-2007)
[Il mago dei numeri – CH- Italia]
Pag. 4
14. Sommate tutti i numeri pari da 100000 a 2 e poi tutti i numeri dispari da 199999 ad 1:
Sottraete la seconda somma (quella dei numeri dispari) dalla prima. Che risultato ottenete?
Risposta esatta: 50000)
Infatti posso disporre così queste operazioni:
100000 – 199999 + 199998 – 199997 + 199996 – 199995 + 199994 - …+ …- …+ 2 -1 =
=(100000-199999) + (199998-199997) + (199996-199995) + ….+ (2-1) =
=1+1+1+1+1+1+
…+ 1 = 50000x1 = 50000
50000 volte
(Nota bene: da 1 a 100 000 i numeri pari o dispari sono esattamente la metà di 100 000).
15. La pista di un velodromo è lunga 200 metri. Due ciclisti partono insieme e procedono nello stesso senso.
Dopo un minuto e quaranta secondi il ciclista più veloce raggiunge l’altro. Sapendo che la velocità del ciclista più
lento è di 43,2 Km/h, qual è la velocità del ciclista più veloce?
Risposta giusta: 50.4)
Il ciclista più veloce impiega 100 secondi (1 minuto e 40 secondi) per percorrere 200 metri in più
(giro della pista). Per cui ogni secondo recupera 2 metri al concorrente.
Ma un’ora è formata da 3600 secondi per cui in un’ora recupera m (2x3600) = 7.2 Km che
sommati ai 43.2 dell’avversario fanno 50,4 Km/h.
16. Apri bene gli occhi!!!
Quanti parallelogrammi, di tutte le dimensioni, si possono
contare nella figura?
Nota Bene: (si devono escludere i quadrati ed i
rettangoli)
Risposta giusta: 124)
4x5 = 20
4x5 = 20
3x5 = 15
3x5 = 15
2x5 = 10
2x5 = 10
1x5 = 5
1x5 = 5
Soluzioni_Sup-B_III-Ed._Giochi_di_Achille (13-12-2007)
[Il mago dei numeri – CH- Italia]
Pag. 5
2x4 = 8
2x4 = 8
1x4 = 4
1x4 = 4
In tutto 2x(20+15+10+5+8+4) = 2x62 = 124
Soluzioni_Sup-B_III-Ed._Giochi_di_Achille (13-12-2007)
[Il mago dei numeri – CH- Italia]
Pag. 6