Lezione15

Problema
 Cercare la soluzione di
Equazioni non lineari
• dove
• Se
è soluzione dell’ equazione,
cioè
allora si dice
RADICE o ZERO della funzione
Metodo grafico
 Graficamente si tratta di individuare
l’intersezione del grafico di
con
l’asse delle x.
Teorema
 Se
è continua in
e si ha
allora esiste un
punto
tale che
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Metodo di bisezione
 Costruire una successione di
intervalli per arrivare alla soluzione
Metodo di bisezione
 Costruire una successione di
intervalli per arrivare alla soluzione
Metodo di bisezione
 Costruire una successione di
intervalli per arrivare alla soluzione
Metodo di bisezione
 Costruire una successione di
intervalli per arrivare alla soluzione
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Esempio
 Si vuole risolvere
Osservazioni
in
 Ad ogni passo l’ampiezza dell’intervallo
(in cui si trova la soluzione) viene
dimezzata. Dopo k passi si ha
 Per ogni punto dell’intervallo
vale che
Osservazioni
 In particolare per il punto medio
 Quindi dopo k passi
è
un’approssimazione della soluzione e
l’errore che si commette è maggiorato
da
 La successione
converge a
con
la stessa velocità con cui
tende a
zero.
Nell’esempio di prima
 Avevamo a = 6, b=12 e dopo 8 passi
avevamo ottenuto
 L’errore commesso è maggiorato
da
 Infatti il valore “esatto” è ~ 8.8769
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Viceversa
 Se noi vogliamo ottenere un errore
che non superi una tolleranza fissata
poniamo
Esempio
 Determinare il numero di iterazioni
del metodo di bisezione necessarie
per risolvere
in
con una tolleranza
 Numero di passi sufficienti per avere una
approssimazione a meno di
della
soluzione
Complessità computazionale
 Stiamo considerando un problema
non lineare.
 La valutazione di una funzione non
lineare si ottiene con
un’approssimazione di Taylor
 Sono richieste più operazioni
algebriche
Complessità computazionale
 La complessità computazionale si
misura in numero di valutazioni di
funzione.
 Fissata una tolleranza
, la
complessità del metodo di bisezione
è di
valutazioni di
funzione.
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Pro e contro del metodo di
bisezione
 Poche ipotesi sulla
funzione per avere
convergenza
 Convergenza
lenta (1 cifra
decimale ogni 3
iterazioni).
Regula falsi
 Si applica ad
tale che
definita in
Regula falsi
 Si applica ad
tale che
definita in
Metodi dicotomici
 Convergenza sotto l’ipotesi di
continuità
 Convergenza lenta
Valutazione della velocità di convergenza
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Ordine di convergenza
 Un metodo iterativo che genera una
successione di iterati
convergenti a
si dice di ordine p (ha velocità di
convergenza pari a p) se
Osservazione
 Il limite
per k grande può essere letto come
Esprime quanto in una iterazione ci si
avvicina al punto
rispetto
all’iterazione precedente.
Casi particolari
 Convergenza quadratica p=2
Esempio
 Metodo di bisezione
 Convergenza lineare p=1, 0<C<1
 Convergenza superlineare p=1, C=0
 Il metodo di bisezione ha convergenza
lineare
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Metodo di Newton o metodo
delle tangenti
Esempio
Intersezione della tangente
al grafico di f in
con l’asse x
Convergenza quadratica
 Supponiamo che
Esempio
 Estrazione di radici.
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Casi critici
Casi critici
Se ci sono più soluzioni, partendo da punti
iniziali diversi si possono trovare soluzioni
diverse
Condizioni per la convergenza
Esistenza
e
unicità
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 L’ultima ipotesi serve per evitare di finire
fuori dall’intervallo dove valgono le
ipotesi “buone”
 Se non vale non è detto che le iterate
stiano in [a,b].
Condizioni analoghe
Condizioni analoghe
Condizioni analoghe
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Osservazioni
 Condizioni per la convergenza
globale
 Velocità quadratica
 Possibile estensione al caso si sistemi
di equazioni non lineari e al calcolo
di minimo di funzioni di più variabili.
Criteri d’arresto
Metodo delle secanti
 Si approssima la derivata prima con
un rapporto incrementale
Attenzione a queste
situazioni
Qui ƒ assume un valore piccolo ma siamo lontani dalla
soluzione
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