La linea del 20

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La linea del 20

Antonio Fabbrini
(Istituto Comprensivo “G.Marconi”, San Giovanni Valdarno)
LA RIVINCITA DELL’ANALOGICO
un approccio “non concettuale”
per una matematica intuitiva
San Giovanni Valdarno, 7 marzo 2013
ANALOGICO vs DIGITALE
MATEMATICA INTUITIVA “NON CONCETTUALE”
IL METODO ANALOGICO
DIARIO DI BORDO – CLASSE PRIMA
DIARIO DI BORDO – CLASSE SECONDA
CONCLUSIONI FINALI
BIBLIOGRAFIA
ANALOGICO vs DIGITALE
ANALOGICO
Deriva da “analogia”: tutto
ciò che è analogico si basa
sull’analogia
DIGITALE
Deriva dal latino “digitus” (dito)
che serve per numerare: tutto Ciò
che è digitale è rappresentato da
dati in forma di numeri
CODICE BINARIO
10011100111110
DIGITALE
devo conoscere il codice! (decodificare)
ANALOGICO
Non importa conoscere il codice!
Sulla base del confronto DIGITALE / ANALOGICO è possibile
ipotizzare per i bambini due vie anche per quanto riguarda
L’ APPRENDIMENTO ARITMETICO
LOGICO
ANALOGICO
Il bambino ha bisogno
di ragionamenti precedenti
per “capire la realtà”
CHE NUMERO È ?
Il bambino esamina
la realtà per ricavarne
ragionamenti
Sulla base del confronto DIGITALE / ANALOGICO è possibile
ipotizzare per i bambini due vie anche per quanto riguarda
L’ APPRENDIMENTO ARITMETICO
LOGICO
ANALOGICO
Il bambino ha bisogno
di ragionamenti precedenti
per “capire la realtà”
Il bambino esamina
la realtà per ricavarne
ragionamenti
CHE NUMERO È ?
7!
CINQUINE
1
UNITÀ
2
APPROCCIO
LOGICO
(concettuale)
ABACO
APPROCCIO
ANALOGICO
(non concettuale)
STRUMENTI
ANALOGICI
11 BAMBINI
APPRENDIMENTO LOGICO
11 bambini = 1 bambino grande (che vale 10) + 1 bambino
APPRENDIMENTO ANALOGICO
11 bambini = 11 tasti (analogia = esperienza,
conoscenza del reale, concretezza)
98 €
€
Nella vita di tutti i giorni la rappresentazione analogica è
sicuramente meno meno efficace, ma noi stiamo parlando di
apprendimento della matematica per bambini di scuola primaria!
MATEMATICA INTUITIVA
“NON CONCETTUALE”
MATEMATICA CONCETTUALE
NELLA SCUOLA PRIMARIA
Osserviamo una guida
didattica attuale per la 1
classe della Scuola Primaria
Claudia Riccardi,
“Guide per la scuola”
1 classe, area matematico-scientifica
Raffaello, 2008.
Concetti da
apprendere nella
1a classe della
Scuola Primaria
MATEMATICA
CONCETTUALE
Concetti da
apprendere nella
1a classe della
Scuola Primaria
MATEMATICA
CONCETTUALE
- Raggruppare a
basi diverse.
- Raggruppare a
basi dieci.
- Valore posizionale
delle cifre.
- Decine e unità.
Concetti da
apprendere nella
1a classe della
Scuola Primaria
MATEMATICA
CONCETTUALE
- Raggruppare a
basi diverse.
- Raggruppare a
basi dieci.
- Valore posizionale
delle cifre.
- Decine e unità.
via i concetti !
via i concetti !
via il maestro
con l’imbuto !
OGGI LA RICERCA DIMOSTRA CHE L’INTELLIGENZA NUMERICA È INNATA
NEONATI E BAMBINI DI POCHI MESI RISULTANO GIÀ IN GRADO DI
PERCEPIRE LA NUMEROSITÀ DI UN INSIEME VISIVO DI OGGETTI SENZA
SAPER CONTARE
COMPETENZA NUMERICA PREVERBALE
via i concetti !
via il maestro
con l’imbuto !
SAPER CONTARE
Il bambino ha le
competenze per
apprendere da
solo!
SAPER CONTARE
Il bambino ha le
competenze per
apprendere da
solo!
Con l’aiuto
di specifici
strumenti
SAPER CONTARE
Il bambino ha le
competenze per
apprendere da
solo!
Con l’aiuto
di specifici
strumenti
MATEMATICA SVILUPPATA IN TUTTO IL MONDO !
in Germania
in Francia
in Inghilterra
in U.S.A.
MATEMATICA
TUTTOILILMONDO
MONDO! !
MATEMATICA SVILUPPATA
VILUPPATA ININ TUTTO
in Italia
Al termine di una breve indagine su internet ho scoperto una cosa
curiosa: cercando la parola abaco nelle varie lingue straniere (abacotedesco, àbaque-francese, abacus-inglese) il motore di ricerca non trova
l’abaco tradizionale formato da aste e palline bensì strumenti analogici
molto simili a quelli di Camillo Bortolato chiamati appunto abachi.
Solo in Italia l’abaco è ancora lo stesso che veniva utilizzato negli anni
’60, all’estero invece è ormai diventato uno strumento analogico.
COSA DEVE FARE L’INSEGNANTE?
NON DEVE SPIEGARE O “TRAVASARE” CONCETTI !
X
Camillo Bortolato, “Calcolare a mente” Edizioni Erickson, 2002
 Limitare il linguaggio verbale;
 presentare solo i fatti e aspettare le connessioni;
 privilegiare le simulazioni alle spiegazioni;
 indicare le cose piuttosto che spiegarle;
 avere fiducia nella mente che lavora da sola;
 pensare all’astrazione come un allontanamento dal significato.
X
Camillo Bortolato, “La linea del 1000” Edizioni Erickson, 2009
 Focalizzarsi su un obiettivo per volta (“on point”);
 non allungare il programma inserendo troppa didattica fine a se stessa;
 evitare eccessive istruzioni verbali;
 non usare altro metodo se non quello di provare, nel senso di agire, fare,
sperimentare;
IL METODO ANALOGICO
UN PO’ DI STORIA
Il primo strumento di calcolo utilizzato come ausilio per
effettuare operazioni matematiche è L’ABACO, usato sin
dal 2000 a.C. in Cina e utilizzato in seguito anche tra i Greci
e i Romani.
ABACO ROMANO
(Naturalmente
ancora non si usava
il sistema decimale
posizionale)
Se si usano i numeri romani non c’è una
notazione che abbia efficacia algoritmica.
BISOGNAVA USARE L’ABACO!
IL LIBER ABBACI
Il Liber abbaci è un voluminoso trattato di
aritmetica e algebra del 1202 con il quale,
Fibonacci ha introdotto in Europa il
sistema numerico decimale indo-arabico
e i principali metodi di calcolo ad esso
relativi.
Leonardo Pisano
(Fibonacci)
Il sistema decimale posizionale consente una comoda
esecuzione di operazioni aritmetiche senza l’abaco:
Si mettono i numeri da sommare uno
sotto l’altro e li si può addizionare
colonna per colonna riportando i totali
eccedenti il 10 nella colonna a fianco.
L’ABACO NON SERVE PIÙ !
TRATTATI D‘ABBACO:
( secoli XIII, XIV e XV )
Sono testi scritti quasi esclusivamente in volgare
toscano ad imitazione del Liber Abbaci di Leonardo
Pisano. Questi testi venivano scritti prevalentemente da
maestri d’abbaco, cioè maestri artigiani, che avevano
spesso delle scuole di matematica pratica per gli
apprendisti mercanti, dove si studiavano le tecniche per
eseguire le operazioni aritmetiche
1921: ABBACO per
giovanetti principianti
1930: ABBACO INTUITIVO
per la seconda classe
Il bambino era considerato un piccolo adulto,
non doveva comprendre i concetti matematici,
ma imparare a memoria.
Le cose cambiano negli anni ‘60
1968
Robert Dottrens NUOVE LEZIONI DI DIDATTICA
Armando Armando, Roma
Opera originale: 1966, Eduquer et instruire Unesco, Paris
Ritorna l’abaco come strumento per far
comprendere al bambino il conteggio a
base dieci e il valore posizionale delle cifre.
Robert Dottrens
NUOVE LEZIONI DI DIDATTICA
1968, Editore Armando Armando
PIAGET
Ha formulato le prime
fondamentali teorie cognitive
riguardo l’elaborazione del
concetto di numero (1941).
“La costruzione dei numeri interi, si effettua nel
bambino in stretta connessione con quella delle
seriazioni e delle inclusioni in classi. Non bisogna
credere , infatti, che un bambino piccolo possegga il
numero per il solo fatto di aver appreso a contare
verbalmente” j. Piaget – B. Inhelder, La psicologie del l’enfant , 1966
Secondo Piaget per poter avere accesso al
concetto di numero è necessario che l’intelligenza del
bambino abbia compiuto il passaggio dal livello del
pensiero pre–operatorio (caratteristico del periodo dei 4 e
5 anni), al livello del pensiero operatorio concreto, che
invece si svilupperebbe nella fase scolare.
PIAGET
ESPERIMENTO DEI GETTONI
“Quando un bambino di 5-6 anni
ha messo 12 gettoni rossi a fronte
di 12 blu per verificare che siano
altrettanti, basta distanziare i blu o
i rossi perché concluda che la fila
più lunga contiene più elementi”
Solo giunto al periodo delle operazioni concrete, il
bambino può apprendere i concetti matematici!
LA MATEMATICA CHE SI INSEGNA OGGI NELLA
NOSTRA SCUOLA PRIMARIA SI BASA ANCORA SULLE
SUE TEORIE RIGUARDO ALL’ELABORAZIONE DEL
CONCETTO DI NUMERO
RICERCHE RECENTI
LA TEORIA PIAGETIANA è stata messa in discussione
Le ultime scoperte della ricerca tendono ad
evidenziare le grandi potenzialità dei bambini fin dalla
nascita.
A partire circa dagli anni ’80 numerosi ricercatori
sostengono che in realtà i bambini si avvicinano
all’aritmetica ed al calcolo molto precocemente e non
come diceva Piaget, dopo aver acquistato determinati
schemi cognitivi.
RICERCHE RECENTI
Antell e Keating
(1983)
Gelman e Gallistel
(1978)
Mandler e Shebo
(1982)
Fuson
(1991)
Xu e Spelke
(2000)
Karen Wynn
(1992)
Clearfield e Mix
(1999)
Haith e Benson
(1998)
I risultati di molte ricerche suggeriscono l’esistenza
di una COMPETENZA NUMERICA PREVERBALE che
permette sia la rappresentazione mentale delle
quantità, sia l’approssimazione del risultato di
un’operazione aritmetica semplice.
RICERCHE RECENTI
NEONATI DI 4-5 MESI GUARDANO PIÙ A LUNGO
GLI EVENTI CHE VIOLANO LE LORO ASPETTATIVE.
Karen Wynn
(1992)
RICERCHE RECENTI
Veniva presentato un pupazzo successivamente
nascosto con uno schermo,
Karen Wynn
(1992)
RICERCHE RECENTI
Karen Wynn
(1992)

Un secondo pupazzo veniva aggiunto al primo dietro lo
schermo.
RICERCHE RECENTI
Karen Wynn
(1992)
Lo schermo si veniva alzato rivelando i 2 pupazzi.
I tempi di fissazione risultavano maggiori nella seconda
situazione.
RICERCHE RECENTI
Antell e Keating
(1983)
I NEONATI DISCRIMINANO PICCOLE
QUANTITÀ SENZA BISOGNO DI CONTARE
RICERCHE RECENTI
Antell e Keating
(1983)
Hanno mostrato a
neonati, da uno a dodici
giorni di vita, dei
cartoncini con disegnati
due pallini neri posti a
distanza variabile.
Dopo ripetute visualizzazioni,
i neonati cominciavano a
porre meno attenzione ai
disegni essendosi abituati alla
loro presentazione;
RICERCHE RECENTI
Antell e Keating
(1983)
Hanno mostrato a
neonati, da uno a dodici
giorni di vita, dei
cartoncini con disegnati
due pallini neri posti a
distanza variabile.
Dopo ripetute visualizzazioni,
i neonati cominciavano a
porre meno attenzione ai
disegni essendosi abituati alla
loro presentazione;
appena i pallini presentati
cambiavano in numerosità,
diventando 3, notavano il
cambiamento tornando a
“guardare” la nuova
configurazione
L’abilità di discriminare
tra i due insiemi si
manteneva anche
quando si procedeva
per sottazione,
mostrando prima tre
elementi e poi due.
RICERCHE RECENTI
I NEONATI POSSIEDONO L’ABILITÀ DI DISCRIMINARE
FRA PICCOLE QUANTITÀ SENZA BISOGNO DI CONTARE
TALE PROCESSO PERCETTIVO,LIMITATO AL RICONOSCIMENTO
DI 3-4 ELEMENTI È DEFINITO
SUBITIZING
RICERCHE RECENTI
SUBITIZING
QUANTE SONO?
RICERCHE RECENTI
SUBITIZING
QUANTE SONO?
RICERCHE RECENTI
SUBITIZING
POSSIAMO SUBITIZZARE AL MASSIMO 3-4 ELEMENTI,
OLTRE DOBBIAMO CONTARE!
QUANTE SONO?
QUANTE SONO?
QUANTE SONO?
QUANTE SONO?
“SUBITIZING ARTIFICIALE”
permette di superare il
limite di 3-4 elementi
METODO ANALOGICO
Camillo Bortolato, “La linea del 100”, Erickson, 2002
METODO ANALOGICO
ogni scaffale è
una decina
10 scaffali
dell’armadio
del 100
ABACO
vale 1 centinaio
METODO ANALOGICO
METODO ANALOGICO
ABACO
vale 1 migliaio
METODO ANALOGICO
METODO ANALOGICO
METODO ANALOGICO
LINEA DEI NUMERI
1 2 3 4 5 6
Per contare devo fare i salti (1,2,3,4,5,6)
operazione di conteggio che non
produce abilità (es: pallottoliere)
LINEA DEL 20
Trovo subito il numero senza contare
operazione che produce abilità
METODO ANALOGICO
Vedo la quantità 6, ma non vedo il n.6
Pallina n.6
quantità 6
METODO ANALOGICO
STRATEGIE DI CALCOLO
quantità 6
METODO ANALOGICO
STRATEGIE DI CALCOLO
addizioni e sottrazioni
9+6
Senza contare pallina per pallina
12 - 9
Tolgo le prime 9 invece di togliere dalla fine
FACCIAMO BENE A RIMPROVERARE GLI ALUNNI
QUANDO RICORRONO ALLE DITA PER CONTARE ?
3+3
COSÌ NO!
COSÌ SI!
1,2,3,4,5,6
semplice operazione di
conteggio
5+1
si conta solo un dito
della seconda mano
NON PRODUCE ABILITA’
PRODUCE ABILITA’
METODO ANALOGICO
Il calcolo mentale è il superamento del conteggio!
Se per la matematica è indifferente come sei
mele siano disposte sul tavolo per continuare a
essere sei, per la nostra mente è diverso.
Abbiamo bisogno di disporre i nostri oggetti
mentali con un ordine prestabilito e stabile se
vogliamo conservarli nella mente.
Camillo Bortolato, “Calcolare a mente”, Erickson, 2002
DIARIO DI BORDO
ATTIVITÀ IN CLASSE PRIMA
ATTIVITÀ SUL LIBRO
(quaderno)
ATTIVITÀ CON
GLI STRUMENTI


LETTURA
Possiamo presentare la linea del 20
sin dalle prime lezioni(si integra con
il libro)
DELLE QUANTITÀ

NUMERO SCRITTO

ORGANIZZARE LA QUANTITÀ

LINGUAGGIO MATEMATICO

ADDIZIONI E SOTTRAZIONI

CALCOLO OLTRE IL 20

PROBLEMI
ATTIVITÀ CON
GLI STRUMENTI
linea del 20
da 0 a 20
0
2….
linea del 20
1
…..20
da 20 a 0
19
17….
linea del 20
18
…..0
numeri cugini
1
linea del 20
numeri cugini
11
linea del 20
numeri cugini
2
linea del 20
numeri cugini
12
linea del 20
numeri cugini
3
linea del 20
numeri cugini
13…
linea del 20
contiamo in
modo diverso
linea del 20
quanti sono ? 5
contiamo in
modo diverso
linea del 20
quanti sono ? 5
contiamo in
modo diverso
linea del 20
quanti sono ? 10
contiamo in
modo diverso
linea del 20
quanti sono ? 10
contiamo in
modo diverso
linea del 20
quanti sono ? 1
contiamo in
modo diverso
linea del 20
quanti sono ? 2
contiamo in
modo diverso
linea del 20
quanti sono ? 3…
contiamo in
modo diverso
linea del 20
quanti sono ? 8
contiamo in
modo diverso
linea del 20
alza il numero 6
contiamo in
modo diverso
linea del 20
alza 6 tasti
scomposizione:
10 bambini svegli
linea del 20
quanti dormono? 10
scomposizione:
quanti svegli? 9
linea del 20
quanti dormono? 11
scomposizione:
quanti svegli? 8
linea del 20
quanti dormono? 12
linea del 20
5 tasti
5 tasti
5 + 5 = 10
linea del 20
ne aggiungiamo 5
5 tasti
5 + 5 = 10 + 3 = 13
linea del 20
ne aggiungiamo 3
strategie di calcolo:
quanti sono?
1
2
linea del 20
10 – 6
quanti sono?
1
2
linea del 20
10 – 6
quanti sono?
1
2
linea del 20
10 – 6
LA CONOSCENZA NUMERICA
Daniela Lucangeli (a cura di) “La discalculia e le difficoltà in aritmetica”, Giunti, 2012



LIVELLO SEMANTICO
LIVELLO LESSICALE
LIVELLO SINTATTICO
(riconoscere e manipolare
quantità)
(dire, leggere e scrivere
i numeri)
(organizzare la quantità
in diversi ordini di
grandezza)
quarantacinque
45
LIVELLO SINTATTICO
Calcolo
scritto
quarantacinque
LIVELLO LESSICALE
LIVELLO SEMANTICO
METODO ANALOGICO
numerario
 Focalizzarsi su un obiettivo per volta (“on point”)
Con la LINEA DEL 20 e la LINEA DEL 100 ci siamo focalizzati
prevalentemente sull’aspetto semantico.
Con il NUMERARIO impariamo a leggere i numeri (aspetto lessicale)
e scopriamo il valore posizionale delle cifre .
METODO ANALOGICO
numerario
Leggi il numero
METODO ANALOGICO
numerario
Scrivi il numero dettato dall’insegnante
ATTIVITÀ SUL LIBRO
E SUL QUADERNO

LETTURA DELLE QUANTITÀ

NUMERO SCRITTO



CALCOLO

OLTRE IL 20
PROBLEMI
LIBRO
QUADERNO
LETTURA INTUITIVA DELLE QUANTITÀ

LIVELLO SEMANTICO (sviluppato molto con lo strumento)
Esercizi per sviluppare il riconoscimento istantaneo della
quantità (subitizzare) che è alla base del calcolo mentale
(attività che continuerà fino alla classe III)
LIBRO
NUMERO SCRITTO

QUADERNO
LIVELLO LESSICALE
Esercizi per sviluppare il riconoscimento del codice scritto
dei numeri (anche questo sviluppato con lo strumento)
NUMERO SCRITTO

LIVELLO LESSICALE
LIBRO
NUMERO SCRITTO

LIVELLO LESSICALE
LIBRO
NUMERO SCRITTO

LIVELLO LESSICALE
LIBRO
NUMERO SCRITTO

LIVELLO LESSICALE
QUADERNO
NUMERO SCRITTO

LIVELLO LESSICALE
QUADERNO
NUMERO SCRITTO

LIVELLO LESSICALE
QUADERNO
NUMERO SCRITTO

LIVELLO LESSICALE
QUADERNO
NUMERO SCRITTO

LIVELLO LESSICALE
QUADERNO
NUMERO SCRITTO

LIVELLO LESSICALE
QUADERNO
NUMERO SCRITTO

LIVELLO LESSICALE
QUADERNO
NUMERO SCRITTO

LIVELLO LESSICALE
QUADERNO
NUMERO SCRITTO

LIVELLO LESSICALE
QUADERNO

LIVELLO SINTATTICO
Maggiore – minore
 Ordinare dal più grande al più piccolo e viceversa

LIBRO

LIVELLO SINTATTICO
LIBRO

LIVELLO SINTATTICO
LIBRO

LIVELLO SINTATTICO
QUADERNO

LIVELLO SINTATTICO
QUADERNO

LIVELLO SINTATTICO
QUADERNO

LIVELLO SINTATTICO
QUADERNO

LIVELLO SINTATTICO
QUADERNO

LIVELLO SINTATTICO
QUADERNO















LIVELLO SEMANTICO + LESSICALE + SINTATTICO
Colora 3 palline– colora la pallina numero 3 – colora la terza pallina……
Colora 10 palline – colora la decima pallina – colora una decina di palline
colora dieci palline – colora la pallina numero 10 – colora dieci unità
colora la decima unità – colora una decina di unità – colora mezza decina
colora cinque unità – colora una cinquina – colora due cinquine
colora la decima unità – colora due unità di palline………
Colora tutte le palline – colora tutte tranne una – colorane alcune
colora ciascuna pallina – colora ognuna – colora ogni pallina
colora quasi tutte le palline……..
Colora la seconda pallina – colora la seconda pallina della seconda decina
colora la seconda pallina della prima decina – colora una decina e due unità
colora la penultima pallina – colora la penultima pallina della prima decina
colora dodici unità – colora una decina di unità – colora due decine di unità
colora l’ultima pallina – colora la terzultima pallina……….
LIBRO
LIBRO
LIBRO
LIBRO
QUADERNO

si eseguono alcuni esempi con lo strumento
non
c’è nulla da spiegare perché il significato di queste
operazioni è “AGGIUNGERE” e “TOGLIERE”
TASSONOMIA (valida sia per l’addizione che per la sottrazione)

Esegui con lo strumento

Esegui guardando lo strumento chiuso

Esegui guardando le palline

Esegui senza strumento
LIBRO
LIBRO
LIBRO
LIBRO
FATTI
NUMERICI
LIBRO
LIBRO
FATTI NUMERICI
CALCOLO OLTRE IL 20

ARMADIO DEL 100

CASA DEL 1000
TASSONOMIA

LETTURA INTUITIVA DELLE QUANTITÀ ( livello semantico)

NUMERO SCRITTO IN CIFRE E IN LETTERE (livello lessicale)
CALCOLO OLTRE IL 20
LIBRO
CALCOLO OLTRE IL 20
CALCOLO OLTRE IL 20
CALCOLO OLTRE IL 20
LIBRO
CALCOLO OLTRE IL 20
LIBRO
CALCOLO OLTRE IL 20
QUADERNO
CALCOLO OLTRE IL 20
LIBRO
CALCOLO OLTRE IL 20
CALCOLO OLTRE IL 20
LIBRO
CALCOLO OLTRE IL 20
LIBRO
PROBLEMI
MATEMATICA
PROCEDURALE
Addestra l’alunno
a eseguire procedure e
direttive senza dargli gli
strumenti per ragionare
di testa propria.

Diagrammi

Parole chiave
MATEMATICA
INTUITIVA
L’alunno comprende il
problema sfruttando le
proprie capacità intuitive.

Problemi con immagini
(metodo analogico)
PROBLEMI
Matematica procedurale:
Problemi con il diagramma
“ Il tempo dei draghi ”
Minerva Scuola, 2011
PROBLEMI
“ Il tempo dei draghi ”
Minerva Scuola, 2011
PROBLEMI
Molti bambini credono che risolvere un problema consista
nel cerchiare di rosso i dati, di sottolineare di verde la
domanda; per alcuni, per fortuna sempre per meno,
tentare la strada del cosiddetto diabolico “diagramma di
flusso”. Il bambino non sa più che cosa sta facendo e
perché: ha delle direttive da seguire.
Per cui LA MATEMATICA DIVENTA BEN PRESTO UN
COACERVO DI REGOLETTE: FAI COSÌ E COSÌ, USA
QUESTO E QUESTO, SCRIVI COSÌ.
Avrai successo valutativo se avrai fatto quello che dico io,
non se sei autonomo nel fare, anche sbagliando.
Martha Isabel Fandino Pinilla, “Valutare le competenze in
matematica”, in “La vita scolastica n.9 - 2013, pp.gg. 14-15
La trappola delle parole chiave
PROBLEMI
“ Ieri la mamma ha regalato a Luigi alcune figurine.
Oggi, giocando con gli amici, Luigi si è accorto di averne perse 4.
Se oggi Luigi possiede 24 figurine quante sono le figurine che ieri
gli ha regalato la mamma? ”
Un bambino “addestrato” a riconoscere le parole chiave di un testo
verbale viene indotto all’errore dal fatto che luigi perde 4 figurine e
arriva alla seguente conclusione:
24
(Figurine che
ha Luigi)
-
4
(Figurine che
perde Luigi)
=
20
I PROBLEMI
La trappola delle parole
chiave
Un bambino invece abituato a immaginare i problemi
si rappresenta operativamente la seguente situazione:
Questo esempio mostra chiaramente come l’approccio
dei “problemi per immagini” salva il bambino da un tipo
di matematica puramente procedurale che “addestra”
l’alunno al banale riconoscimento di parole chiave
senza dargli gli strumenti per ragionare di testa propria.
PROBLEMI
Bruno D’amore,
“Problemi di matematica”,
Pitagora Editrice, 2003
PROBLEMI
Bruno D’amore, “Problemi di matematica”, Pitagora Editrice, 2003
PROBLEMI
Bruno D’amore, “Problemi di matematica”, Pitagora Editrice, 2003
PROBLEMI
Matematica intuitiva:
LE IMMAGINI SONO IL PUNTO DI PARTENZA
IL TESTO VERBALE È IL PUNTO DI ARRIVO
Qual è il prezzo di ciascun gelato?
I PROBLEMI
prima i problemi per
immagini ………….
I PROBLEMI
…… dopo immagini per i
problemi!
“Nel prato ci sono 3 bambini , 4 bambine e 1 genitore.
Quante persone ci sono in tutto?”
PROBLEMI
COMPRENSIONE
DEL PROBLEMA
CALCOLO
MECCANICO
Sono funzioni diverse della mente
È importante distinguere bene questi due
obiettivi e perseguirli uno per volta”
AFFRONTARE I PROBLEMI QUANDO TUTTI GLI
APPRENDIMENTI RELATIVI AL CALCOLO SONO
STATI RAGGIUNTI.
PROBLEMI
TESTO
VERBALE
“SPESSO L’INCAPACITÀ DI RISOLVERE PROBLEMI DERIVA
DALLA DIFFICOLTÀ DI DECODIFICARE IL TESTO VERBALE”
Camillo Bortolato, “Problemi per immagini”, Erickson, 1994
Il testo verbale è presentato più avanti con gradualità.
Pochissime parole sono essenziali per la
determinazione del significato dei problemi.
Per evitare problemi aggiuntivi di decodificazione
verbale, il testo è reso chiaro e semplice nella sua
struttura sintattica.
PROBLEMI
TASSONOMIA
1. Comprensione
comprendere le domande leggi e disegna – leggi e completa i disegni
2. Scegliere l’operazione osservando il disegno
quanti sono in Tutto? ; quanti restano? qual è la differenza?;
quanti in più?; quanti €?.....
3. Scegliere l’operazione senza l’aiuto del disegno
quanti sono in tutto? ; quanti restano? qual è la differenza?;
quanti in più?; quanti €?.....
PROBLEMI
PROBLEMI
PROBLEMI
PROBLEMI
PROBLEMI
PROBLEMI
PROBLEMI
PROBLEMI
PROBLEMI
PROBLEMI
PROBLEMI
LIBRO PER LE VACANZE
DIARIO DI BORDO
ATTIVITÀ IN CLASSE SECONDA
ATTIVITÀ CON
GLI STRUMENTI
ATTIVITÀ SUL LIBRO
(quaderno)



CONOSCERE IL CENTINAIO

CALCOLO MENTALE ENTRO IL 100
CALCOLO


MENTALE OLTRE IL 100
CONSOLIDARE I CONCETTI ACQUISITI
CON ATTIVITÀ SUL QUADERNO

CALCOLO SCRITTO

PROBLEMI

TABELLINE
linea del 100
ATTIVITÀ CON
GLI STRUMENTI
matrice (o tabella)
per addizioni e
sottrazioni
linea del 100
moltiplicazioni e
divisioni
linea del 100
linea del 100
linea del 100
i 10 scaffali
dell’armadio
del 100
linea del 100
strategie di calcolo
linea del 100
decine e unità
1 decina (scaffale)
1 decina (scaffale)
1 decina (scaffale)
6 unità (palline)
3 decine e 6 unità = 36
scomposizione
linea del 100
Trova prima 40 e poi 45
40 (4 decine)
scomposizione
linea del 100
Trova prima 40 e poi 45
40 (4 decine)
45 (+ 5 unità)
linea del 100
Tappa alla decina
8
Quanto manca per arrivare
Alla prima decina?
linea del 100
Tappa alla decina
8 + 2 = 10
Alla prima decina?
linea del 100
Tappa alla decina
13
Alla seconda decina?
linea del 100
Tappa alla decina
13 + 7 = 20
Alla seconda decina?
linea del 100
Tappa alla decina
18 + 6
18
Tappa alla decina
linea del 100
18 + 6
18 + 2 (=20)
Tappa alla decina
linea del 100
18 + 6
18 + 2 (=20)
+ 4 (=24)
15
addizioni
linea del 100
+
7
15
addizioni
linea del 100
+
7=
22
linea del 100
sommare decine e unità
25
+
12
addizioni
linea del 100
addizioni
25
20 (2 scaffali)
5 (5 palline)
+
12
10 (1 scaffale)
2 (2 palline)
linea del 100
addizioni
25
20
5
+
12
10
2
20 + 10
(sommo gli
scaffali)
+
5+2
(sommo le
palline)
65
sottrazioni
linea del 100
-
20
65
linea del 100
-
sottrazioni
20 = 45
MOLTIPLICAZIONI
linea del 100
MOLTIPLICAZIONI
linea del 100
3x3
3x1
3x2
3x3
MOLTIPLICAZIONI
linea del 100
3x3
3x1
3x2
3x3 = 9
moltiplicazioni
6X8
linea del 100
6x1
6x2
6x3
6x4
6x5
6x6
6x7
6x8
moltiplicazioni
6X8
linea del 100
6x1
6x2
6x3
6x4
6x5
6x6
6x7
6x8 = 48
ATTIVITÀ SUL LIBRO
E SUL QUADERNO


CALCOLO MENTALE ENTRO IL 100
CALCOLO

MENTALE OLTRE IL 100
CONSOLIDARE I CONCETTI ACQUISITI
CON ATTIVITÀ SUL QUADERNO

CALCOLO SCRITTO

PROBLEMI

TABELLINE
LIBRO
QUADERNO
LIBRO
LIBRO
CALCOLO MENTALE
“quanto fa 16 + 18 ?”
16 +
18 =
NO!
SI!
CALCOLO ENTRO IL 100 (addizione)
LIBRO
CALCOLO ENTRO IL 100 (sottrazione)
LIBRO
LIBRO
LIBRO
LIBRO
CALCOLO ENTRO IL 1000
QUADERNO
LIBRO
LIBRO
LIBRO
LIBRO
LIBRO
CONSOLIDARE SUL QUADERNO I CONCETTI ACQUISITI
Nella mia esperienza con il metodo analogico in classe
prima e seconda ho usato gli strumenti ed i libri di
Camillo Bortolato, utilizzando quindi il cosiddetto
“METODO BORTOLATO”; nonostante ciò, durante il
mio percorso didattico ho sentito l’esigenza di
modificarne parzialmente lo sviluppo.

ATTIVITÀ DI CONSOLIDAMENTO SUL QUADERNO NON
PREVISTE DAL METODO BORTOLATO PURO
ALCUNI ESEMPI
I SIMBOLI MAGGIORE MINORE E UGUALE
(in classe prima)
Dopo aver verificato la completa comprensione ed
assimilazione dei concetti di maggiore, minore e uguale, ho
usato l’immagine del pesciolino che apre la bocca e si gira a dx
o sx per mangiare il numero maggiore (favorendo un’analogia
con i simboli). I bambini hanno associato con facilità i concetti
appresi in precedenza ai simboli >, <, =.
RIGA E COLONNA
I concetti di riga e colonna sono stati introdotti addirittura fin
dai primi giorni sfruttando le occasioni che si presentavano a
scuola. Per esempio, ogni volta che i bambini si dovevano
mettere in fila per andare alla mensa io chiamavo i bambini
indicando le righe o le colonne di banchi (prima , seconda ,
terza, quarta, quinta riga oppure colonna). In tal modo i bambini
hanno appreso tali concetti che poi ho utilizzato per gli
schieramenti.
u, da, h
ALCUNI ESEMPI
I concetti di unità, decina e centinaio i bambini li hanno
compresi tramite l’armadio (il centinaio), gli scaffali
dell’armadio (le decine) e le palline (unità); per esempio, il
numero 256 può corrispondere a 256 palline (o 256 unità), a due
armadi e 56 palline (due centinaia e 56 unità), oppure a 2
armadi, 5 scaffali e 6 palline (due centinaia, 5 decine e 6 unità).
Una volta acquisiti tali concetti è stato semplice introdurre i
relativi simboli u, da e h, che i bambini hanno poi individuato
nelle cifre dei numeri proposti con il numerario.
Successivamente ho potuto anche proporre esercizi di
scomposizione.
LE VARIE ATTIVITÀ SONO STATE SVILUPPATE PRIMA
CON GLI STRUMENTI, POI (DOPO AVER ACQUISITO I
CONCETTI) CONSOLIDATE IN FORMA SCRITTA SUL
QUADERNO.
u, da, h
CONSOLIDARE SUL QUADERNO I
CONCETTI ACQUISITI
u, da, h
CONCETTI ACQUISITI
u, da, h
CONCETTI ACQUISITI
u, da, h
CONCETTI ACQUISITI
u, da, h
CONCETTI ACQUISITI
u, da, h
CONCETTI ACQUISITI
u, da, h
CONCETTI ACQUISITI
CONCETTI ACQUISITI
CONCETTI ACQUISITI
CONCETTI ACQUISITI
CONCETTI ACQUISITI
CALCOLO SCRITTO
Matematica concettuale
Francesca Fortunato, Germana Girotti,
“Il tempo dei draghi 2”,
Minerva scuola, 2009
1
Francesca Fortunato, Germana Girotti, “Il tempo dei draghi”, MINERVA SCUOLA, 2009
2
3
4
5
6
Matematica intuitiva - “non concettuale”
Camillo Bortolato, “La linea del 100”, Erikson, 2008
Camillo Bortolato, “La linea del 100”, Erikson, 2008
Matematica
concettuale
1
Matematica intuitiva
1
2
3
4
5
6
“Le operazioni del calcolo scritto sono una serie di procedimenti che
ci permettono di fare i calcoli più complessi con il massimo della
leggerezza, come fossero dei giochi. Tutta l’attenzione va indirizzata
sulle procedure algoritmiche che sono regole disciplinari esterne da
accettare senza discutere”
Camillo Bortolato,
“La magia del calcolo scritto è che i calcoli difficili vengono
sminuzzati, segmentati in tanti piccoli calcoli mentali, colonna
per colonna, e poi vengono accostati alla fine”
Camillo Bortolato,
“Gli algoritmi in se stessi non sono altro che intrecci di cifre
della cui costituzione non serve preoccuparsi troppo (…) sono
infatti esercizi che riescono a fare anche persone che
concettualmente non sono abili matematici”
Camillo Bortolato,
IL CALCOLO SCRITTO
“Gli algoritmi (…). Intelligente è chi li ha inventati, non chi li usa”
Camillo Bortolato,
TECNICHE INVENTATE PER LA MOLTIPLICAZIONE
Moltiplicazione
per ripieghi
Moltiplicazione
A scacchiero
Moltiplicazione
per “scapezzo”
Moltiplicazione
Per testa
Campigli A. e Eugeni V., “Dalle dita al calcolatore”, Bompiani, 1990
Moltiplicazione
per gelosia
Moltiplicazione
Attuale
IL CALCOLO SCRITTO
 nel calcolo scritto utilizziamo procedure rigide che ci permettono
di trasformare il calcolo mentale in calcoli più semplici.
 una volta incolonnate, dimentichiamo il valore posizionale
delle cifre e le processiamo colonna per colonna, come se si
trattassero tutte di unità.
Nel calcolo scritto applichiamo procedure, al contrario
nel calcolo mentale ognuno è libero di inventarsi delle
strategie.
Camillo Bortolato, “Calcolare a mente”, Erickson, 2002
MOLTIPLICAZIONI
QUADERNO
MOLTIPLICAZIONI
QUADERNO
MOLTIPLICAZIONI
QUADERNO
MOLTIPLICAZIONI
schieramenti con lo strumento
MOLTIPLICAZIONI
MOLTIPLICAZIONI
LIBRO
MOLTIPLICAZIONI
LIBRO
MOLTIPLICAZIONI
LIBRO
MOLTIPLICAZIONI
LIBRO
DIVISIONI
(divisione come ripartizione)
LIBRO
DIVISIONI
(divisione di contenenza)
LIBRO
DIVISIONI
QUADERNO
DIVISIONI
QUADERNO
DIVISIONI
QUADERNO
DIVISIONI
QUADERNO
DIVISIONI
QUADERNO
DIVISIONI
LIBRO
Per trovare il numero
del divisore

Prima concentrarsi solo
sull’esecuzione dell’algoritmo !
DIVISIONI
LIBRO
DIVISIONI
QUADERNO
PROBLEMI
Comprensione
LIBRO
PROBLEMI
LIBRO
PROBLEMI
Scegliere l’operazione
PROBLEMI
LIBRO
PROBLEMI
LIBRO
PROBLEMI
Individuare e trascrivere i dati del problema
LIBRO
PROBLEMI
LIBRO
PROBLEMI
LIBRO
PROBLEMI
Fare il disegno e scrivere i dati
LIBRO
PROBLEMI
Problemi senza immagini
LIBRO
TABELLINE
IMMAGINI GANCIO
TABELLINE
CONCLUSIONI FINALI
Il metodo analogico è un sistema di apprendimento della matematica per i
bambini della scuola primaria sviluppato in tutto il mondo.
Nasce dal bisogno di adeguare la didattica alle ultime scoperte della ricerca
che dimostrano la presenza di una competenza numerica preverbale sin dai
primi giorni di vita.
Si tratta di un metodo “non concettuale” perché non impone al bambino la
conoscenza dei concetti matematici, ma sfrutta le sue competenze numeriche
innate per favorire l’apprendimento di tali concetti in modo intuitivo.
Fondamentale diventa l’uso di strumenti specifici che all’estero hanno
sostituito l’abaco tradizionale, mentre in Italia (linea del 20, linea del 100 e
numerario) sono stati ideati da Camillo Bortolato.
Bortolato è anche l’autore di un percorso didattico specifico (chiamato
“metodo Bortolato”) che permette di sviluppare con particolare efficacia il
calcolo mentale.
Dal settembre del 2011 utilizzo il metodo analogico con i bambini della scuola
primaria anche se in realtà, come si può dedurre dall’attività mostrata, non
utilizzo il “Metodo Bortolato puro”.
Antonio Fabbrini.
BIBLIOGRAFIA
TESTI CARTACEI
Bortolato C. (1994), “Problemi per immagini”, Trento, Erickson.
Bortolato C. (2000), “La linea dei numeri”, Trento, Erickson.
Bortolato C. (2002), “Calcolare a mente”, Trento, Erickson.
Bortolato C. (2005), “La linea del 20”, Trento, Erickson.
Bortolato C. (2008),“La linea del 100”, Trento, Erickson.
Bortolato C. (2009), “La linea del 1000”, Trento, Erickson.
Bortolato C. (2010), “Apprendere con il metodo anaogico e la LIM 1”, Trento, Erickson.
Bortolato C. (2012), “Apprendere con il metodo anaogico e la LIM 2”, Trento, Erickson.
Campigli A. e Eugeni V. (1990), “Dalle dita al calcolatore”, Milano, Bompiani.
D’amore B. (2003), “Problemi di matematica nella scuola primaria”, Bologna, Pitagora.
Dottrens R. (1968), “Nuove lezioni di didattica”, Roma, Armando Armando.
Galvan N. e Biancardi A. (2007) “Una didattica per la discalculia”, Firenze, Libri Liberi.
Lucangeli D. (2012), “La discalculia e le difficoltà in aritmetica” , Firenze, Giunti.
Moates D. e Shumacher G. (1983) “Psicologia dei processi cognitivi”, Bologna, Il mulino.
Piaget J. e Inhelder B. (1970) “La psicologia del bambino”, Torino, Einaudi.
Pinilla M.I.F. (2013), “Valutare le competenze in matematica”, in La vita scolastica n.9
MATERIALE SCARICATO DA INTERNET
Biancon E. (2012) Lo sviluppo della conoscenza numerica e delle abilità di calcolo,
cos’altro può fare la scuola?
Caligaris L. (2010) La discalculia.
Englaro G. (2013) L’intelligenza numerica: abilità innate e sviluppo della conoscenza
del numero.
Fabbri M. (2008) Componenti spaziali della rappresentazione cognitiva della grandezza
del numero.
Farruggia M. (2011) Metodologie e strategie che favoriscono l’apprendimento degli
alunni con discalculia evolutiva.
Gobbi L. (2011) Storia dell’abaco: una introduzione
Miceli S.S. (2004) Il bambino e l’apprendimento del numero.
Perticone G. (2010) Lo sviluppo delle capacità di calcolo e di comprensione del numero.
Profumo E. (2009) La discalculia evolutiva .
SITI WEB
 http://www.camillobortolato.com
http://mathematica.sns.it/autori/1324/
 http://it.wikipedia.org/wiki/Liber_abbaci
http://mathematicallyminded.com
http://eurolocarno.es
http://www.multididacticos.com
http://www.edelight.de
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