Esercizio 1 Dati v = ,w = ∈ R4 , dire, giustificando la risposta, se

G EOMETRIA A NALITICA E A LGEBRA L INEARE – A . A . 2014/2015
C ORSO DI LAUREA TRIENNALE IN I NGEGNERIA A EROSPAZIALE
E SERCIZI AGGIUNTIVI – 11
Esercizio 1
1
1
0
1
Dati v = ( 10 ) , w = ( 00 ) ∈ R4 , dire, giustificando la risposta, se esiste una forma bilineare non degenere
g ∶ R4 × R4 → R tale che
g(v, v) = g(w, w) = g(v, w) = 0.
Esercizio 2
Sia g∶ R4 × R4 → R l’applicazione bilineare tale che
αE (g) = (
0
1
0
−1
1
0
−1
0
0
−1
0
1
−1
0 ).
1
0
Si calcoli la dimensione di ker(g). Inoltre, per ogni t ∈ R, siano
1
−1 ) , w = (
vt = ( 2+t
t
−1
0
1
0 )
2
t +t+1
∈ R4 .
Si determinino i valori di t per cui il sottospazio ⟨vt , wt ⟩ generato da vt e wt è contenuto in ker(g), e si trovi
inoltre un valore t0 di t tale che g(vt0 , wt0 ) = 0 e {vt0 , wt0 } si estende ad una base g –ortogonale di R4 .
Prima di fare gli esercizi seguenti si rammenti che, se V è uno spazio vettoriale reale di dimensione finita,
g ∶ V × V → R è un’applicazione bilineare con nucleo N di dimensione d0 e V = W ⊕ N , la segnatura di g è
la terna (d+ , d− , d0 ), dove (d+ , d− ) è la segnatura di g∣W ×W .
Esercizio 3
1
0
Posto v = ( 0 ) e w = ( 0 ), dire, giustificando la risposta, se esiste un’applicazione bilineare simmetrica
0
1
g ∶ R3 × R3 → R di segnatura (1, 1, 1) tale che g(v, v) = g(w, w) = g(v, w) = 0.
Esercizio 4
Sia q∶ R3 → R la forma quadratica data da
x
q (( yz )) = 4xy − y 2 + 2xz.
Determinare la matrice, rispetto alla base canonica, della forma bilineare simmetrica g associata a q , calcolarne
la segnatura e trovare una base di R3 ortogonale rispetto a g .
Esercizio 5
Sia g la forma bilineare simmetrica su R4 che corrisponde alla forma quadratica
x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x1 .
Si determini la segnatura di g e la segnatura della restrizione di g al sottospazio
W = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 ∣ x1 + x2 + x3 + x4 = 0}.
S OLUZIONI .
Esercizio 1
0
0
0
1
Una tale g esiste. Infatti, posto u1 ∶= v , u2 ∶= w , u3 ∶= ( 01 ), u4 ∶= ( 00 ), U = {u1 , u2 , u3 , u4 } è una base di
0001
R . Definiamo g come l’unica applicazione bilineare simmetrica su R4 tale che αU (g) = ( 00 01 10 00 ). Poiché
4
1000
αU (g) è non singolare, g è non degenere e soddisfa le proprietà richieste.
Esercizio 2
ker(g) risulta definito dalle equazioni cartesiane x1 = x3 , x2 = x4 , che sono ovviamente indipendenti. Dunque
0
dim ker(g) = 2. Inoltre, posto A = αE (g), si ha Avt = ( −1−t
0 ) e Awt = (
1+t
−t2 −t
0 ),
t2 +t
0
per cui Avt = Awt = 0 se
e solo se t = −1. Dunque ⟨vt , wt ⟩ ⊆ ker(g) se e solo se t = −1. Un semplice calcolo mostra che g(vt , wt ) =
t(1 + t)2 , che si annulla se e solo se t ∈ {0, −1}. Quindi l’insieme {vt , wt } può estendersi ad una base g –
ortogonale solo se t = 0 o t = −1. Se t = −1, i vettori v1 , w1 , essendo evidentemente linearmente indipendenti,
danno una base di ker(g), per cui se W è un sottospazio di R4 tale che R4 = ker(g) ⊕ W e i vettori u, z
sono una base g –ortogonale di W , allora {v1 , w1 , u, z} sarà la base g –ortogonale voluta. Il valore t = 0 non
funziona. Infatti, è immediato verificare che si ha g(v0 , v0 ) = 0, ma v0 ∉ ker(g), e ciò implica che v0 non può
far parte di alcuna base ortogonale di R4 rispetto a g . Infatti, se v0 facesse parte di una tale base B , allora v0
sarebbe ortogonale sia a se stesso sia a tutti gli altri elementi di B , per cui sarebbe ortogonale a tutti i vettori di
R4 , e dovrebbe pertanto appartenere a ker(g).
Esercizio 3
Tale g esiste. I vettori v e w sono indipendenti, pertanto la coppia ordinata (v, w) può essere completata ad
0
una base B di R3 . Possiamo completarla, ad esempio, col vettore u ∶= ( 1 ). Sia allora g l’unica applicazione
0
000
bilineare tale che αB (g) = ( 0 0 1 ). Per costruzione, g(v, w) = g(w, w) = g(v, w) = 0. Inoltre, nella base
√ 010
√
00 0
{v, (w + u)/ 2, (w − u)/ 2} ha matrice ( 0 1 0 ), quindi e quindi g ha segnatura (1, 1, 1).
0 0 −1
Esercizio 4
0 2 1
Dai coefficienti che appaiono in q si ricava immediatamente αE (g) = ( 2 −1 0 ). Poiché questa matrice è non
1 0 0
singolare, g è non degenere. Applicando il procedimento di Gram–Schmidt alla base {v1 = e2 , v2 = e1 , v3 = e3 }
0
1
−1/4
0
0
1
si ottiene la base ortogonale {( 1 ) , ( 2 ) , ( −1/2 )}, sui cui vettori q prende i valori (−1, 4, −1/4). Dunque la
segnatura di g è (1, 2, 0).
Esercizio 5
x1
Poiché su W vale la relazione x4 = −x1 − x2 − x3 , un vettore di W ha vettore delle coordinate ( xx2 ) nella
base W = {w1 =
1
( 00 ) , w2
−1
=
0
( 10 ) , w3
−1
=
0
( 01 )},
−1
3
e la restrizione di g a W ha forma quadratica associata
x1 x2 + x2 x3 − (x3 + x1 )(x1 + x2 + x3 ) = −x21 − 2x1 x3 − x23 ,
−1 0 −1
dunque la restrizione di g a W ha matrice ( 0 0 0 ) nella base W , e matrice ( 0 0 0 ) nella base W ′ =
−1 0 −1
0 0 −1
{w2 , w1 − w3 , w3 }. Questo mostra che la restrizione di g a W ha segnatura (0, 1, 2). Dalla forma quadratica
⎛ 0 1/2 0 1/2 ⎞
1/2 0 1/2 0
si deduce che la matrice di g nella base canonica è G = ⎜ 0 1/2 0 1/2 ⎟ , che ha rango 2. Quindi ker(g) ha
⎝ 1/2 0 1/2 0 ⎠
dimensione due, e si vede subito che coincide con ⟨w2 , w1 − w3 ⟩. Per calcolare la segnatura di g vogliamo
ottenere una base g –ortogonale di R4 completando la base W ′ tramite un vettore g –ortogonale a w3 , ovvero
00 0
x1
0
x4
1
un vettore v = ( xx23 ) tale che −x1 + x2 − x3 + x4 = 0. Ad esempio, possiamo aggiungere w4 = ( 01 ) a W ′ . Il
fatto che g(w4 , w4 ) = 1 > 0 ci dice che la segnatura di g è (1, 1, 2).