A. Languasco - Esercizi “Matematica B”

A. Languasco - Esercizi “Matematica B” - 3. Prodotto scalare e forme quadratiche
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Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica
Testi di Esercizi
A: Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, ortogonale di un sottospazio
A1. Sia V =< v1 , v2 , v3 > dove v1 = (1, 2, 0, 0), v2 = (1, 0, 2, 0) e v3 = (0, 1, 1, 1). Determinare una base
ortonormale di V .
(R. w1 = ( √15 , √25 , 0, 0), w2 = ( √230 , − √130 , √530 , 0), w3 = (− √215 , √115 , √115 , √315 )).
A2. Sia W =< v1 , v2 >⊂ R4 dove v1 = (1, 2, 1, 1) e v2 = (2, 1, 2, 2). Determinare dim Wq⊥ ed una base
ortonormale di W ⊥ . (R. 2, W ⊥ =< u1 , u2 > con u1 = (− √12 , 0, √12 , 0), u2 = (− √16 , 0, − √16 , 23 )).
A3. Sia W un sottospazio vettoriale di V . Provare che (W ⊥ )⊥ = W .
A4. Determinare una base ortonormale del sottospazio W di R3 generato dai vettori v1 = (−1, 1, −1),
v2 = (2, 1, 4), v3 = (4, −1, 6).
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(R. w1 = √13 (−1, 1, −1), w2 = ( √114
, √114
, √114
).
A5. Sia U = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x + y = 0}. Determinare una base ortonormale di U .
(R. w1 = √15 (1, −2, 0), w2 = (0, 0, 1)).


1 −1 0
A6. Siano A = −1 2 −1, z = (1, 0, −2). Determinare l’equazione del sottospazio U di R3 definito
0 −1 1
da: U = {u ∈ R3 :< z, Au >= 0}.
(R. x + y − 2z = 0).
A7. Sia V = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x + 2y + t = z − 2t = 0} un sottospazio di R4 . Calcolare una base v1 , v2 per
V ed una base v3 , v4 per V ⊥ . Definire una applicazione lineare ϕ : R4 → R4 tale che ker ϕ = V e Im ϕ = V ⊥ .
Scrivere la matrice associata a ϕ rispetto alla base B = {v1 , v2 , v3 , v4 }.
A8. Completare i due vettori ortonormali v1 = (1, 2, 0, 1) e v2 = (0, 1, 1, −2) a base ortonormale di R4
mediante due vettori v3 , v4 . Provare che L(v3 , v4 ) = (L(v1 , v2 ))⊥ . Scrivere un sistema di 2equazioni in 4
incognite soddisfatto da tutti e soli i vettori di V = L(v1 .v2 ).
A9. Determinare una base ortonormale per ognuno dei seguenti spazi euclidei V = {(x, y, z) ∈ R3 |x+z = 2y},
U = {(x, y, z, t, u) ∈ R5 |x + z = 2y = t − 2u}, U ⊥ , W = {(x, y, z, t) ∈ R4 |x + 2y − z = t}.
A10. Determinare una base ortonormale di V = L(1, x, x2 ) sottospazio di C ∞ ([0, 1]) con il prodotto scalare
R1
f (x)g(x)dx.
0
A11. Determinare una base ortonormale per ognuno dei seguenti spazi euclidei V = {(x, y, z) ∈ R3 |x + z =
2y}, U = {(x, y, z, t, u) ∈ R5 |x + z = 2y = t − 2u}, U ⊥ , W = {(x, y, z, t) ∈ R4 |x + 2y − z = t}.
A12. Provare che tre sottospazi V1 , V2 , V3 di R6 , ognuno avente dimensione 2 e ortogonali a coppie verificano
R6 = V 1 ⊕ V 2 ⊕ V 3 .
B: Diagonalizzazione di matrici simmetriche reali

0 4 0
B1. Sia ϕ : R3 → R3 l’endomorfismo associato alla matrice A = 4 0 3 mediante al base canonica. Si
0 3 0
consideri su R3 il prodotto scalare euclideo. Determinare una base ortonormale di R3 formata da autovettori
di ϕ. Diagonalizzare A mediante una matrice P ortogonale.

 √
3 2 4 4
4
3
4
3
1 
0
5 −5, ∆ = diag (0, 5, −5)).
, − √12 , 5√
; P = 5√
(R. w1 = (− 53 , 0, 45 ), w2 = ( 5√
, √12 , 5√
, w3 = ( 5√
√
2
2
2
2
2
4 2 3 3


0 2 1
B2. Diagonalizzare le seguenti matrici simmetriche reali mediante una matrice ortogonale: A = 2 0 1
1 1 1




1
2 −1 1
0 −1 3
2
4 −2 2 

.
B = −1 0 −3 C = 
−1 −2 1 −1
3 −3 8
1
2 −1 1

A. Languasco - Esercizi “Matematica B” - 3. Prodotto scalare e forme quadratiche
2
 √
3 2
3
1 
3
4
4
√1 , √
√
√1 , √
√
0
;
P
=
(R. w1 = (− 53 , 0, 45 ), w2 = ( 5√
,
,
w
=
(
,
−
3
√
2 5 2
5 2
2 5 2
5 2
2
4 2

4 4
5 −5, ∆ = diag (0, 5, −5)).
3 3


3
1 −1
3 −1.
B3. Diagonalizzare la seguente matrice simmetrica reale mediante una matrice ortogonale: A =  1
−1 −1 3


1 0 1
B4. Diagonalizzare la seguente matrice simmetrica reale mediante una matrice ortogonale: A = 0 1 0 .
1 0 −1


5 0 0
B5. Diagonalizzare la seguente matrice simmetrica reale mediante una matrice ortogonale: A = 0 1 2.
0 2 4
Determinare una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A.


1 0 0
B6. Sia A = 0 −1 0. Dati u, v, w vettori linearmente indipendenti di R3 , siano F = (u, v, w) e
0 0 1
E
G = (w, v, u) basi di R3 e siano P = MFE e Q = MG
. Determinare gli autovalori e gli autospazi delle matrici
−1
−1
A, P AP
e QAQ .
C: Proiezioni Ortogonali
C1. Dato W =< (1, 2, −1, 0), (1, 0, 1, 2) >, calcolare la proiezione ortogonale del vettore (1, 1, 1, 1) su W .
C2. Dato W =< (2, 2, 0, 1), (0, 0, 7, 9) >, scrivere una base ortonormale per W . Calcolare la proiezione
ortogonale del vettore (1, 0, 0, 0) su W .
C3. Dato W =< (1, 1, 0, 1), (0, 1, 0, −1), (1, −1, 1, 0) >, scrivere una base ortonormale per W ed una base
ortonormale per W ⊥ . Calcolare la proiezione ortogonale del vettore (1, 0, 1, 0) su W e su W ⊥ .
C4. Dato W =< (1, 2, −1), (1, 0, 1) >, scrivere una base ortonormale per W ed una base ortonormale per
W ⊥ . Calcolare la proiezione ortogonale del vettore (1, 1, 0) su W e su W ⊥ .
C5. Sia T = {(x, y, z) ∈ R3 : x+y = 0 = 2y +z}. Determinare T ⊥ . Determinare poi la proiezione ortogonale
del vettore u = (1, 0, −1) su T .
1
(R. T ⊥ =< (1, 1, 0), (0, 2, 1) >, uT = <u,(1,−1,2)>
||(1,−1,2)|| (1, −1, 2) = − 6 (1, −1, 2)).
C6. Determinare la proiezione ortogonale del vettore u = (1, 0, 0) sul sottospazio V di R3 generato dai
vettori v1 = (−2, 1, 0), v2 = (1, 1, 1).
C7. Sia V =< (1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 2), (0, −1, 1, 1) > un sottospazio di R4 . Calcolare una base ortonormale di
V . Calcolare la proiezione ortogonale del vettore (1, 1, 0, 2) su V e su V ⊥ . Definire una applicazione lineare
ϕ : R4 → R4 tale che ker ϕ = V e Im ϕ = V ⊥ e 2 sia l’unico autovalore non nullo.
(R. V =< √13 (1, 1, 0, 1), √13 (0, −1, 1, 1) >, pV ((1, 1, 0, 2)) = 43 (1, 1, 0, 1)+ 13 (0, −1, 1, 1) = ( 43 , 1, 13 , 53 ); pV ⊥ ((1, 1, 0, 2)) =
(1, 1, 0, 2) − pV (1, 1, 0, 2) = (1, 1, 0, 2) − ( 34 , 1, 13 , 53 ) = (− 13 , 0, − 13 , 13 )).
C8. Sia V = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x − z = 0, y + t = 0} e sia ϕ : V → R4 tale che ϕ(x, y, z, t) = (2x + y, −x +
z, x + y + z, −x + z). Determinare ϕ−1 (3, −1, 2, −1), una base di Ker ϕ ed una di Im ϕ. Dire inoltre se esiste
ed è unica una applicazione lineare ψ : R4 → R4 tale che ψ|V = ϕ e ψ|V ⊥ = 0. Dire se esiste un sottospazio
(e in caso affermativo determinarlo) W ⊂ V tale che ϕ(W ) ⊂ W .


2 1 0 0
0 0 0 0

(R. ∅, Ker ϕ =< (1, −2, 1, 2) >, Im ϕ =< (1, 0, 1, 0) >, M F,F (ψ) = 
0 0 0 0 dove F = {(1, 0, 1, 0),
0 0 0 0
(0, 1, 0, −1), (1, 0, −1, 0), (0, 1, 0, 1)}, W =< (1, 0, 1, 0) >).
C9. Sia V = L{(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0)} un sottospazio di R4 . Trovare una base ortonormale di R4 . Decomporre
il vettore w = (1, 0, 0, 0) nella forma w = v + v 0 dove v ∈ V e v 0 ∈ V ⊥ . Definire una trasformazione lineare
ϕ da R4 in R4 tale che Ker ϕ = V , che il suo polinomio caratteristico sia x2 (x2 − 1) e che abbia la matrice
associate a ϕ mediante la base canonica sia simmetrica.