Modelli Lineari Contenuto e scopo presentazione Problemi e

Transcript

Contenuto e scopo presentazione
Contenuto
• esempi di modelli lineari per problemi pratici
Modelli Lineari
Scopo
• presentare i passi che conducono allo sviluppo di modelli a partire da un
problema pratico
• presentare alcuni “trucchi del mestiere” che permettono di ricondurre alla
linearità anche problemi che apparentemente non lo sono.
Esempi
Versione 07/03/2006
Raffaele Pesenti
Raffaele Pesenti
Problemi e Istanze
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Problemi di ottimizzazione
• Problema P: domanda la cui risposta dipende dal valore assunto da un
insieme di parametri e variabili.
P è definito tramite la descrizione dei parametri e la descrizione delle
proprietà di cui deve godere la risposta (soluzione) cercata.
Una possibilità è fornire:
– l’insieme delle soluzioni ammissibili F
– una funzione obiettivo c che permette di valutare il costo/profitto
associato ad ogni soluzione.
• Problema di ottimizzazione: problema in cui si cerca, tra le soluzioni
ammissibili x∈ F, una soluzione x* (detta ottima) che massimizza o
minimizza la funzione obiettivo c:
P = (F, c; min) ⇔ min{ c(x) : x ∈ F }
oppure
P = (F, c; max) ⇔ max{ c(x) : x∈ F }
c:F →ℜ
• Istanza di un problema P : particolare domanda che si ottiene fissando i
valori di tutti i parametri di P.
Raffaele Pesenti
3
Raffaele Pesenti
4
Problemi di programmazione lineare
Forme compatte
max c1x1 + c2x2 + c3x3 +.....+ cnxn
a11x1 + a12x2 + a13x3 +.....+ a1nxn ≤ b1
......
am1x1 + am2x2 + am3x3 +.....+ amnxn ≤ bm
x1, x2, x3, ..., xn ≥ 0
• Problema di programmazione lineare PL: problema di ottimizzazione in cui:
– la funzione obiettivo c è lineare
– le condizioni che descrivono l’insieme F sono lineari (e chiuse)
– le soluzioni ammissibili sono continue
– i parametri sono deterministici
e.g.:
max c1x1 + c2x2 + c3x3 +.....+ cnxn
a11x1 + a12x2 + a13x3 +.....+ a1nxn ≤ b1
......
am1x1 + am2x2 + am3x3 +.....+ amnxn ≤ bm
x1, x2, x3, ..., xn ≥ 0
Raffaele Pesenti
max cx
Ax ≤ b
x ≥ 0
5
Σ i =1..n aji xi ≤ bj, per j=1,..,m
xi ≥
0,
per i= 1,..,n
Raffaele Pesenti
Definizioni
6
Esempio
max cx
Ax ≤ b
x ≥ 0
Descrizione del problema.
• obiettivo:
– massimizzare profitto vendite
modelli Astro e Cosmo
• vincoli:
– non più di 60 Astro al giorno
possono essere vendute;
– non più di 50 Cosmo al giorno
possono essere vendute;
– non sono disponibili più di 120
ore di lavoro uomo.
• c, A, b : parametri del problema PL
– c : vettore funzione obiettivo
– A : matrice tecnologica
– b : vettore termini noti
• x : variabili del problema PL
– F = { x : Ax ≤ b, x ≥ 0 } : insieme delle soluzioni ammissibili
– G = { x : Ax ≤ b} : insieme delle soluzioni
Raffaele Pesenti
max Σ i=1..n c i xi
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Raffaele Pesenti
• leve decisionali:
– produrre Astro e Cosmo
(eventualmente in numero
frazionario)
• dati tecnologici:
– una Astro richiede 1 ora uomo
– una Cosmo richiede 2 ore
uomo
– una Astro rende 20 dollari
– una Cosmo rende 30 dollari
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Formulazione matematica
• I vincoli:
Formulazione del problema.
• Le variabili:
la quantità di Astro e Cosmo prodotte
– non produrre più di 60 Astro al giorno
xA ≤ 60
xA , xC ∈ ℜ
– non produrre più di 50 Cosmo al giorno
xC ≤ 50
sono variabili (si ipotizza) continue
– la produzione non deve richiedere più di 120 ore di lavoro uomo
• La funzione obiettivo:
il profitto della produzione
xA + 2 xC ≤ 120
– le quantità prodotte sono sempre non negative
20 xA + 30 xC
xA, xC ≥ 0
Raffaele Pesenti
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Raffaele Pesenti
10
xA
xC
xA + 2 xC
xA, xC ≥ 0
≤ 60
≤ 50
≤ 1 20
(profitto)
capacità Astro
(capacità Astro)
Cosmo
max 20 xA + 30 xC
Interpretazione grafica
(capacità Cosmo)
(lavoro)
50
scelta ottima
soluzioni
ammissibili
0
Raffaele Pesenti
11
Raffaele Pesenti
capacità Cosmo
Astro
lavoro
obiettivo
60
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Ipotesi
Difficoltà
• Linearità
– gli effetti di una variabile o attività sono proporzionali
– l’interazione tra le variabili sono additive
– le variabili devono essere continue (se intere in genere il problema è
molto difficile)
• soluzioni illimitate (cattivo modello)
• formulazione senza soluzioni ammissibili (si cerca di risolvere un problema
senza soluzioni)
• soluzioni ottime multiple (alternative equivalenti meritano un’ulteriore
inoltre si assume
analisi)
• Deterministicità
• cycling (vincoli ridondanti)
Raffaele Pesenti
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Raffaele Pesenti
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Esempio: mix di produzione
Cosa interessa?
• n prodotti ognuno dei quali necessita di una data quantità di materie prime
• m materie prime in disponibilità limitata
• ci profitto per ogni unità prodotta
• quale è la soluzione ottima
Product:
Profit/Unit:
• quali vincoli sono stringenti
P1
30
P2
45
P3
24
P4
26
P5
24
P6
30
• quali risorse sono in eccesso
• come varierebbe il ricavo se variassero i ricavi unitari dei prodotti
Steel
Wood
Plastic
Rubber
Glass
• come varierebbe il ricavo se variasse la tecnologia
Raffaele Pesenti
Start
Inv.
Product Resource Requirements
• di quanto aumenterebbe il ricavo se si avessero più risorse
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Raffaele Pesenti
1
4
0
2
2
4
5
3
0
4
0
3
8
1
2
4
0
0
2
2
2
1
1
1
2
0
0
0
5
4
<=
<=
<=
<=
<=
1200
1160
1780
1050
1360
16
• obiettivo:
– massimizzare i profitti
• vincoli:
– non consumare più materie
prime di quelle disponibili
– quantità prodotte di beni
– ci profitto unitario del
bene i-mo
– aji consumo unitario di materia prima
j-ma per produrre il bene i-mo
– bj disponibilità materia prima j-ma
• Le variabili:
le quantità prodotte di ogni bene
xi ∈ ℜ ,
per i = 1,..., n
tali variabili sono continue
il profitto complessivo
Σ i =1..n ci xi
Raffaele Pesenti
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Raffaele Pesenti
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• I vincoli:
Formulazione generale: per n prodotti e m risorse
– per ciascuna risorsa la quantità totale di risorsa utilizzata per eseguire le
max Σ i=1..n c i xi
produzioni non può superare la disponibilità massima della risorsa stessa
Σ i =1..n aji xi ≤ b j ,
Σ i =1..n aji xi ≤ bj,
per j = 1,..., m
xi ≥
0
per j=1,..,m
per
i=1,..,n
– per ciascun bene la quantità prodotta è sempre non negativa
xi ≥ 0 ,
Raffaele Pesenti
Estensioni:
– vincoli sulla capacità minima/massima di assorbimento del mercato
per i = 1,..., n
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Raffaele Pesenti
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Esempi SW
Formulazione istanza specifica
(profit) max 30 x1 + 45 x2 + 24 x3 + 26 x4 + 24 x5 + 30 x6
≤ 1 200
(steel)
x1 + 4 x2
+ 4 x4 + 2 x5
• risoluzione del problema con LINDO
x5
x5
≤ 1 160
≤ 1 780
• risoluzione del problema con EXCEL
• modellamento e soluzione del problema con GAMS
(wood)
(plastic)
4 x1 + 5 x2 + 3 x3
3 x2 + 8 x3
(rubber)
2 x1
x5 + 5 x6
≤ 1 050
(glass)
2 x1 + 4 x2 + 2 x3 + 2 x4 + 2 x5 + 4 x6
x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0
≤ 1360
+
+
+
x3 + 2 x4 +
Raffaele Pesenti
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Raffaele Pesenti
Esempio: dieta
Esempio: dieta
n alimenti ognuno dei quali fornisce di una data quantità di elementi
nutrizionali base
m elementi nutrizionali base che devono essere soddisfatti
ci costo per ogni unità di prodotto consumato
Item
Nutrients Per Unit Weight of Grain
G1
G2
G3
G4
Nutrient A
Nutrient B
Nutrient C
2,2
1,4
2,3
3,4
1,1
5,6
7,2
0
11,1
Cost/Weight
35
50
80
Raffaele Pesenti
22
1,5 >=
0,8 >=
1,3 >=
Minimum
Req'd
2,4
0,7
5
• obiettivo:
– ci costo unitario dell’alimento i-mo
– minimizzare i costi
– aji apporto di nutriente j-mo per
• vincoli:
assunzione di una quantità unitaria
– soddisfare i requisiti alimentari
dell’alimento i-mo
minimi
–
b
j richiesta minima di nutriente j-mo
– quantità di alimenti acquistate
95
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Raffaele Pesenti
24
Esempio: dieta
Esempio: dieta
• Le variabili:
la quantità assunte di ogni alimento
xi ∈ ℜ ,
• I vincoli:
– per ogni elemento nutrizionale la quantità totale fornita dagli alimenti
assunti deve essere non inferiore alla soglia minima
per i = 1,..., n
Σ i =1..n aji xi ≥ b j ,
il costo complessivo di acquisto degli alimenti
per j = 1,..., m
– per ogni alimento la quantità assunta è sempre non negativa
Σ i =1..n ci xi
xi ≥ 0 ,
Raffaele Pesenti
25
per i = 1,..., n
Raffaele Pesenti
Esempio: dieta
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Esempio: dieta
Formulazione generale: per n alimenti e m nutrienti
min Σ i=1..n c i xi
Σ i =1..n aji xi ≥ bj
(costo) min 35 x1 + 50 x2 + 80 x3 + 95 x4
,
per
(nutrA)
2.2 x1 + 3.4 x2 + 7.2 x3 + 1.5 x4
per
(nutrB)
1.4 x1 + 1.1 x2
(nutrC)
2.3 x1 + 5.6 x2 + 11.1 x3 + 1.3 x4
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
j=1,..,m
i=1,..,n
xi ≥
0,
Estensioni:
– vincoli sulla capacità massima di assunzione di certi nutrienti
– vincoli sulla capacità massima di assunzione di certi alimenti
– scelta di alimenti per più periodi (e.g., una settimana invece di un solo
giorno)
Raffaele Pesenti
27
Raffaele Pesenti
+ 0.8 x4
≥ 2.4
≥ 0.7
≥ 5.0
28
Esempio: dieta con costi convessi
• Le variabili:
per il primo alimento si considerano due quantità continue
x1, y1 ∈ ℜ ,
Linearizzazione di costi convessi in problemi di minimo
Data l'istanza precedente del problema della dieta si assuma che si verifichi
una situazione inversa allo sconto dovuta alla scarsità di certi alimenti sul
mercato.
Ad esempio si supponga che il primo alimento abbia un costo di 35 fino ad
un acquisto unitario e di 45 per acquisti superiori.
dove
– x1 rappresenta la quantità acquistata a prezzo normale
– y1 rappresenta la quantità acquistata a prezzo maggiorato
il costo complessivo di acquisto degli alimenti
Per gestire i costi convessi si devono introdurre i seguenti cambiamenti nella
formulazione del problema ….
Σ i =1..n ci xi + d1 y1
dove
– c1 è il prezzo unitario normale
– d1 è il prezzo unitario maggiorato
Raffaele Pesenti
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Raffaele Pesenti
30
• I vincoli:
– per ogni elemento nutrizionale la quantità totale fornita dagli alimenti
assunti deve essere non inferiore alla soglia minima
Σ i =1..n aji xi + aj1 y1 ≥ bj ,
per j = 1,..., m
(il primo alimento a prezzo maggiorato viene visto come un nuovo
prodotto con valori nutritivi identici al primo alimento a prezzo normale)
– per il primo alimento a prezzo normale la quantità assunta è sempre non
negativa ma non può superare il valore unitario
0
(costo) min 35 x1 + 45 y1 + 50 x2 + 80 x3 + 95 x4
(nutrA)
(nutrB)
(nutrC)
≤ x1 ≤ 1
≥ 2.4
1.4 x1 + 1.4 y1 + 1.1 x2
+ 0.8 x4 ≥ 0.7
2.3 x1 + 2.3 y1 + 5.6 x2 + 11.1 x3 + 1.3 x4 ≥ 5.0
2.2 x1 + 2.2 y1 + 3.4 x2 + 7.2 x3 + 1.5 x4
0
– per il primo alimento a prezzo maggiorato la quantità assunta è sempre
non negativa
≤ x1 ≤ 1
y1, x2, x3, x4 ≥
0
y1 ≥ 0
Raffaele Pesenti
31
Raffaele Pesenti
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Esempi SW
Note:
• essendo
– le caratteristiche nutritive associate a y1 identiche a quelle di x1,
– il problema di minimo,
– il costo associato a y1 maggiore di quello associato a x1,
nella soluzione ottima y1 può assumere valore maggiore di zero solo
se x1 =1
• risoluzione del problema con LINDO
• risoluzione del problema con EXCEL
• modellamento e soluzione di un problema di dimensioni maggiori con
• i costi concavi (sconti) non si riescono a linearizzare, si devono gestire con la
programmazione lineare mista. Se ci si comportasse come coi costi convessi
la soluzione ottima prevederebbe sempre x1 = 0 anche per y1 > 0, infatti non
vi sarebbe convenienza a comprare l’alimento a prezzo non scontato
Raffaele Pesenti
33
GAMS
Raffaele Pesenti
Esempio: trasporto
34
Esempio: trasporto
consumatori
fornitori
• n fornitori con capacità massima ai
• m consumatori con richiesta
minima bj
• cij costo trasporto da i a j
Raffaele Pesenti
cij
• obiettivo:
– minimizzare i costi di trasporto
• vincoli:
– nessun fornitore può inviare
più della propria capacità
– tutti i clienti devono ricevere
almeno quanto desiderato
bj
ai
35
Raffaele Pesenti
– quantità inviate dai fornitori ai
clienti
– ai capacità fornitore i-mo
– bj richiesta cliente j-mo
– cij costo trasporto unitario da
fornitore i-mo a cliente j-mo
36
Esempio: trasporto
Esempio: trasporto
• Le variabili:
le quantità di prodotto trasportate su ciascun arco
Ipotesi di ammissibilità
Perché il problema possa ammettere una soluzione deve essere verificata la
seguente condizione necessaria sui dati
xij ∈ ℜ ,
Σ i =1..n ai ≥ Σ j =1..m bj
il costo complessivo del trasporto
che stabilisce che la quantità totale di prodotto disponibile non può essere
inferiore alla richiesta totale del prodotto stesso.
Se tutti i fornitori sono collegati a tutti i clienti questa condizione diventa
anche sufficiente per l’esistenza di soluzioni ammissibili.
Raffaele Pesenti
Σ i =1..n Σ j = 1..m cij xij
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Raffaele Pesenti
38
Esempio: trasporto
Esempio: trasporto
Formulazione generale: per n fornitori e m clienti
min Σ i=1..n Σ j =1..m cij xij
• I vincoli:
Σ j =1..m xij ≤ a i ,
– per ogni fornitore la quantità totale di prodotto spedita non può superare
la disponibilità del fornitore stesso
Σ j =1..m xij ≤ a i ,
Σ i =1..n xij ≥ bj ,
xij ≥ 0 ,
per i = 1,..., n
Σ i =1..n xij ≥ bj ,
per j = 1,..., m
– le quantità di prodotto trasportate su ogni arco sono sempre non negative
xij ≥ 0 ,
per i = 1,..., n
per j = 1,..., m
per i = 1,..., n, per j = 1,..., m
Estensioni:
– capacità massime per gli archi
– non tutti i fornitori sono connessi a tutti i destinatari
– il trasporto non avviene direttamente tra fornitore e destinatario, ma
attraverso dei centri di raccolta e distribuzione intermedi
– possibili perdite nel trasporto
– più prodotti da trasportare con vincoli di capacità comuni
– per ogni cliente la quantità totale di prodotto ricevuta deve essere non
minore di quella richiesta
Raffaele Pesenti
per i = 1,..., n, per j = 1,..., m
per i = 1,..., n, per j = 1,..., m
39
Raffaele Pesenti
40
Esempi SW
Esempio: miscela (blending)
Generare una nuova lega miscela di date caratteristiche a partire da
• n composti base caratterizzati percentualmente (in peso) da m proprietà
elementari (e.g., quantità di zolfo, piombo, etc.)
• ci prezzo composto base i
• risoluzione di un problema con LINDO
• modellamento e soluzione di un problema con GAMS
Raffaele Pesenti
41
Raffaele Pesenti
Esempio: miscela
• obiettivo:
– minimizzare i costi acquisto
composti base per unità di
miscela desiderata
• vincoli:
– la miscela desiderata deve
soddisfare le caratteristiche
richieste
Raffaele Pesenti
42
Esempio: miscela
– quantità ogni composto base da
utilizzare in termini percentuali
di miscela finale
– aji caratteristica j-ma composto
base i-mo
– bj caratteristica j-ma richiesta
per miscela desiderata
– ci costo unitario (in peso)
composto i-mo
43
• Le variabili:
le quantità percentuale (in peso) di composto base nel prodotto finale
xi ∈ ℜ ,
per i = 1,..., n
il costo complessivo acquisto composto base per unità di peso di prodotto
finale
Σ i =1..n ci xi
Raffaele Pesenti
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Esempio: miscela
Esempio: miscela
Formulazione generale: per n miscele e m caratteristiche
• I vincoli:
min Σ i=1..n ci xi
– per ogni caratteristica la somma dei contributi forniti da ogni composto
base deve essere uguale al valore desiderato per il prodotto finale
Σ i =1..n aji xi = b j ,
Σ i =1..n xi = 1 ,
per j = 1,..., m
– il peso complessivo dei composti base deve essere uguale all’unità
xi ≥ 0 ,
Σ i =1..n xi = 1
per i = 1,..., n
Raffaele Pesenti
45
Raffaele Pesenti
Esempio: miscela
Osservazioni(cont.):
dimostrazione:
dati
per i = 1,...,n
per j = 1,..., m
questi implicano
Σ j =1..m Σ i=1..n aji xi = Σ j =1..m bj ⇔
in questo caso il vincolo
⇔ Σ i=1..n Σ j =1..m aji xi = Σ j =1..m bj ⇔ Σ i=1..n xi = 1 .
Σ i =1..n xij = 1 ,
è ridondante (implicitamente imposto dai rimanenti vincoli) e quindi è
inutile
Raffaele Pesenti
46
Esempio: miscela
Osservazioni:
se l’insieme delle caratteristiche è completo e comprende anche quelle inerti,
valgono le condizioni
Σ j =1..m aji = 1 ,
Σ j =1..m bj = 1
per i = 1,..., n
Estensioni:
– introduzione di caratteristiche minime e massime (invece che esatte)
– tolleranza rispetto a piccole violazioni delle caratteristiche richieste
– le quantità di composti base sono sempre non negative
xi ≥ 0 ,
per j = 1,..., m
Il vincolo non è ridondante se sono imposte condizioni di disuguaglianza
invece che di uguaglianza.
47
Raffaele Pesenti
48
Esempi SW
Esempio: portafoglio titoli (portfolio)
Selezionare alternative di investimenti tenendo conto di
• n titoli (azioni/buoni/obbligazioni) disponibili sul mercato
• m tipologie di investimenti azionario/obbligazionario/buoni
• q caratteristiche dei titoli (affidabilità, maturità, profitto atteso, tassazione)
• risoluzione di un problema con LINDO
• modellamento e soluzione di un problema con GAMS
Raffaele Pesenti
49
Raffaele Pesenti
Esempio: portafoglio titoli
• obiettivo:
– quantità da acquistare di ogni titolo i
– massimizzare il ritorno atteso
•
dati
tecnologici:
• vincoli:
– aji caratteristica j-ma titolo i-mo
– l’affidabilità media del
portafoglio deve essere non
– bj caratteristica j-ma minima richiesta
inferiore ad un dato livello
per portafoglio
minimo
– dk numero minimo di titoli di tipo k– la maturità media deve essere
mo che devono essere presenti
non inferiore ad un dato livello
– Q(k) insieme dei titoli di tipo k-mo
minimo
– pi profitto atteso unitario titolo
– il portafoglio deve essere
i-mo
differenziato come tipologia di
– ti tassazione titolo i-mo
titoli
Raffaele Pesenti
50
51
• Le variabili:
le quantità di titoli (in capitale investito) da acquistare per il portafoglio
xi ∈ ℜ ,
per i = 1,..., n
il profitto atteso complessivo (scontato della tassazione)
Σ i =1..n pi (1-ti ) xi
Raffaele Pesenti
52
• I vincoli:
Formulazione generale: per n titoli
– per ogni caratteristica (affidabilità, maturità) la media dei contributi
forniti da ogni titolo deve essere non minore del valore desiderato
max Σ i=1..n pi (1-ti ) xi
Σ i =1..n aji xi / Σ i=1..n xi ≥ b j ⇔
Σ i =1..n aji xi ≥ bj Σ i=1..n xi, per j = 1,..., m
⇔ Σ i=1..n aji xi ≥ b j Σ i =1..n xi ,
Σ i ∈ Q(k) xi ≥ d k ,
xi ≥ 0 ,
per j = 1,..., q
– per ogni tipologia il numero dei titoli presenti deve essere non inferiore
ad una quota minima
Σ i ∈ Q(k) xi ≥ d k ,
Osservazione:
– se esiste almeno una soluzione ammissibile diversa da 0 il problema è
illimitato superiormente ...
per k = 1,..., m
– le quantità di titoli sono sempre non negative
xi ≥ 0 ,
per i = 1,..., n,
Raffaele Pesenti
53
Raffaele Pesenti
54
Osservazione (cont.)
Dimostrazione dell’illimitatezza:
(si dimostra che a partire da una qualunque soluzione ammissibile si può
determinare un’altra soluzione ammissibile a cui è associato una valore della
funzione obiettivo maggiore.) Siano dati:
– una qualunque x(1) ≠ 0 soluzione ammissibile a cui è associato il valore
della funzione obiettivo z( x(1) ) = p(1-t) x(1)
– uno scalare λ > 0 e un vettore v (detto direzione)
posto v= x(1), la soluzione x(2) = x(1) + λ v banalmente soddisfa i vincoli del
problema, quindi è ammissibile, ad essa è associato un valore della funzione
obiettivo z( x(2) ) strettamente maggiore di z( x(1) ):
Commento
Quando un problema risulta illimitato vuol dire che il modello matematico
della realtà analizzata non tiene conto di qualche vincolo significativo,
eventualmente espresso solo implicitamente.
Nel caso del problema del portafoglio titoli certamente non si ha a
disposizione un capitale infinito per acquistare i titoli.
Sia:
– C massimo capitale di rischio a disposizione
deve aggiungersi il vincolo
Σ i =1..n xi ≤ C
λ v) =
= (1+ λ )p(1-t) x(1) = (1+λ ) z( x(1) ) > z( x(1) )
z( x(2) ) = p(1-t) x(2) = p(1-t)(x(1) +
Raffaele Pesenti
per k = 1,..., q
per i = 1,..., n
55
Raffaele Pesenti
56
Esempio: portafoglio azioni
Esempio: pianificazione della produzione
Formulazione generale: per n titoli
max Σ i=1..n pi (1-ti ) xi
Σ i =1..n aji xi ≥ bj Σ i=1..n xi, per j = 1,..., m
Σi∈
Q(k) xi
≥ dk ,
Σ i =1..n xi ≤ C
xi ≥ 0 ,
• Scopo
per k = 1,..., q
data la previsione della domanda su orizzonte T,
– massimizzare profitti e minimizzare costi
per i = 1,..., n
Estensioni:
– formulazioni più complete tengono conto del rischio dell’investimento
attraverso le varianze dei profitti attesi, in questo caso però i modelli
risultano quadratici.
Raffaele Pesenti
– livellare la produzione, in modo da potere rispondere con risorse finite e
di limitata flessibilità alle fluttuazioni della domanda
– individuare possibili colli di bottiglia e risorse critiche
57
Raffaele Pesenti
58
• Considerazioni:
– in fase di pianificazione a medio/lungo termine non si considerano
singoli prodotti ma insiemi di prodotti. Gerarchie:
• Problemi
• prodotti/items: singolo modello/codice
– determinare costi e tempi caratterizzanti un insieme di prodotti
• famiglie/families: gruppi di prodotti con costi analoghi di set up
della produzione
– determinare la lunghezza dell’orizzonte T e gestire il transitorio finale
– stimare la domanda, che è trattata in modo deterministico
• tipi/types: gruppi di famiglie con caratteristiche fisiche analoghe che
competono per le stesse risorse di produzione.
– disaggregare i risultati
– analogamente si considerano famiglie di risorse e non singole risorse
* la previsione su singoli prodotti è soggetta ad eccessivi errori.
Raffaele Pesenti
59
Raffaele Pesenti
60
Esempio: pianificazione della produzione 1
• obiettivo:
– massimizzare profitti e
minimizzare costi complessivi
gestione risorse, prodotti,
magazzino
• vincoli:
– rispettare capacità produttive e
di rifornimento
– rispettare conservatività risorse
– non offrire più di quanto
richiesto dalla domanda
– la domanda insoddisfatta è
persa
Costi:
–
–
–
–
–
– quantità di materie prime
utilizzate e di beni prodotti
• variabili di stato:
– livello delle scorte
(vedi lucidi successivi)
Capacità
– capacità produttiva massima del prodotto finito i-mo per unità di tempo: Pi
– capacità di fornitura massima materia prima: Q
Nel seguito per semplicità si
supporrà un unica materia
prima e più prodotti finiti
Raffaele Pesenti
61
Raffaele Pesenti
62
Le variabili:
– quantità prodotto finito i-mo venduto intervallo t: Wti
– volume magazzino occupato intervallo t: Ut
– livello delle scorte materia prima alla fine dell’intervallo: It
– livello delle scorte prodotto finito i-mo alla fine dell’intervallo t: Vti
– quantità materia prima acquisita nell’intervallo t: Ht
– quantità materia prima utilizzata nell’intervallo t: Yt
– quantità prodotto finito i-mo realizzato nell’intervallo t: Xti
tutte le variabili sono definite in ℜ , per t = 1,...,T, e sono continue
Nota:
• le variabili Xti, Wti e Ut sono imposte dal tipo di obiettivo da ottimizzare,
• le variabili It e Vti sono variabili di stato,
• le variabili Xti, Wti,Ht e Yt corrispondono a leve decisionali.
Altri parametri:
• lunghezza orizzonte: T
• domanda prevista nel sottoperiodo t prodotto i-mo: Dti
• livello iniziale scorte materia prima: I0
• livello finale scorte materia: IT
• livello iniziale scorte prodotto finito i-mo: V0i
• livello finale scorte prodotto finito i-mo: VTi
• quantità di materia prima richiesta per unità di prodotto i-mo : ai
• volume occupato da materia prima: v
• volume occupato da prodotto finito i-mo: ui
Raffaele Pesenti
costi acquisizione materia prima : cH
costi mantenimento per unità di volume per unità di tempo: cU
costi produzione di un prodotto finito i-mo: cRi
ricavo vendita prodotto finito i-mo: ri
costi penuria manufatto i-mo: cPi
63
Raffaele Pesenti
64
il profitto e i costi complessivi di acquisizione materie prime, produzione e scorte
• I vincoli: (cont.)
– in ogni periodo la tecnologia e le capacità produttive devono essere rispettate
per t = 1,..., T,
Σ i ai Xti = Yt ,
per t = 1,..., T, per i = 1,...,
Xti ≤ P i ,
Σ t ( Σ i (riWti - cpi (Dti – Wti)- cRi Xti) - cU Ut - cH Ht)
– in ogni periodo la domanda e le scorte si bilanciano
Vti = V(t-1)i - Wti + Xti ,
per t = 1,..., T, per i = 1,...,
Wti ≤ D ti ,
per t = 1,..., T, per i = 1,...,
I vincoli:
– in ogni periodo la materia prima si conserva
It= It-1 + Ht - Yt,
per t = 1,..., T
– in ogni periodo non si può ordinare più di una data quantità di materia prima
Ht ≤ Q,
per t = 1,..., T
– volume magazzino occupato in ogni periodo
per t = 1,..., T,
Ut = Σ i uiVti + v It ,
– le quantità sono sempre non negative
Xti , Yt , Vti , Wti , It , Ht , Ut , ≥
Raffaele Pesenti
65
0,
per t = 1,..., T, per i = 1,...,
Raffaele Pesenti
66
Formulazione generale: per T periodi
max Σ t ( Σ i (riWti - cpi (Dti – Wti )- cRi Xti) - cU Ut - cH Ht)
It= It-1 + Ht - Yt,
per t = 1,..., T
Ht ≤ Q,
per t = 1,..., T
Σ i ai Xti = Yt ,
per t = 1,..., T,
Xti ≤ P i ,
per t = 1,..., T, per i = 1,...,
Vti = V(t-1)i - Wti + Xti ,
per t = 1,..., T, per i = 1,...,
Wti ≤ D ti ,
per t = 1,..., T, per i = 1,...,
Ut = Σ i uiVti + v It ,
per t = 1,..., T,
Xti , Yt , Vti , Wt , It , Ht , Ut , ≥
Raffaele Pesenti
0,
• obiettivo:
– minimizzare costi complessivi
gestione risorse, prodotti,
magazzino
• vincoli:
– rispettare capacità produttive
– rispettare conservatività risorse
– rispondere alla domanda anche
con backorder
per t = 1,..., T, per i = 1,...,
67
Raffaele Pesenti
– quantità di risorse utilizzate e
di beni prodotti
• variabili di stato:
– livello delle scorte
(vedi lucidi successivi)
68
Costi:
• costi di livellamento
– costi acquisizione risorse: cH
Altri parametri:
– costi/profitti cessione risorse: cF
• lunghezza orizzonte: T
– costi mantenimento risorse: cW
• costi delle scorte
• domanda prevista nel sottoperiodo t: Dt
• numero giorni lavorativi nel sottoperiodo t: nt
– costi mantenimento: cI
– costi penuria: cP
• costi delle risorse
• livello iniziale scorte: I0
• livello finale scorte: IT
– costi produzione normale di un manufatto: cR
– costi di mancato utilizzo delle capacità (idelness): cU
• capacità iniziale risorse: W0
– costi produzione in straordinario o subfornitura di un manufatto: cO , cS
• capacità di risorsa richiesta per unità di prodotto: a
Raffaele Pesenti
69
Raffaele Pesenti
70
• Le variabili:
il costo complessivo di gestione risorse, produzione e scorte
– disponibilità risorse: Wt
– risorse acquisite: Ht
Σ t ( cH Ht+ cF Ft + cW Wt + cU Ut + cO Ot + cI I+t+ cP I-t+ cR Pt + cS St )
– risorse cedute: Ft
– risorse usate in modo straordinario: Ot
– risorse non utilizzate: Ut
• I vincoli:
– in ogni periodo le risorse si conservano
– unità prodotte: Pt
– unità prodotte in subfornitura: St
Wt= Wt-1 + Ht - Ft ,
– livello delle scorte: It , positive: I+t , negative: I-t: It =I+t - I-t
per t = 1,..., T
tutte le variabili sono definite in ℜ , per t = 1,...,T, e sono continue
Raffaele Pesenti
71
Raffaele Pesenti
72
• I vincoli: (cont.)
– in ogni periodo le capacità produttive devono essere rispettate
aPt = nt Wt + Ot - Ut ,
Formulazione generale: per T periodi
per t = 1,..., T
min
– in ogni periodo la domanda e le scorte si bilanciano
It = It-1 + Pt + St - Dt ,
It= I+t - I-t ,
Wt= Wt-1 + Ht - Ft
,
aPt = nt Wt + Ot - Ut ,
It = It-1 + Pt + St - Dt ,
It= I+t - I-t,
per t = 1,..., T
per t = 1,..., T
Ht , Ft , Ut , Wt , I+t , I-t , Pt , Ot , St ≥
– le quantità (tranne le scorte complessive) sono sempre non negative
Ht , Ft , Ut , Wt , I+t , I-t , Pt , Ot , St ≥
73
per t = 1,..., T
per t = 1,..., T
0, per t = 1,..., T
per t = 1,..., T, ∀ j
Σ i aji Pit = njt Wjt + Ojt - Ujt
per t = 1,..., T, ∀ j
74
Osservazioni:
– alcune delle variabili potrebbero essere intrinsecamente intere. Si deve
ricorrere alla programmazione mista (ma l’onere computazionale
potrebbe diventare eccessivo) oppure, se i valori ottenuti sono
significativamente superiori all’unità, si può arrotondare senza introdurre
notevoli errori (ma può essere difficile mantenere l’ammissibilità delle
soluzioni)
– il modello a molti prodotti considera anche parzialmente il problema del
make or buy, infatti le sue soluzioni indicano quali prodotti realizzare
all’interno dell’azienda e quali affidare in subfornitura. Si deve invece
passare alla programmazione lineare mista per gestire gli eventuali costi
di set-up. Si tratta di introdurre nei costi una componente cYiYi dove Yi è
una variabile binaria uguale a uno se non tutta la produzione del prodotto
i è affidata alla subfornitura
Σ t ( Σ j (cHj Hjt+ cFj Fjt + cWj Wjt + cU jUjt + cOj Ojt )+
+ Σ i ( cIi I+it+ cPi I-it+ cRi Pit + cSi Sit))
Wjt = Wjt-1 + Hjt - Fjt
Raffaele Pesenti
Formulazione generale: per T periodi, i prodotti e j risorse
Iit= Iit-1 + Pit+ Sit - Dit
per t = 1,..., T, ∀ i
Iit= I+it - I-it
per t = 1,..., T, ∀ i
Hjt ,Fjt ,Ujt ,Wjt ,I+it , I-it , Pit ,Oit ,Sit ≥ 0
per t = 1,..., T, ∀ i, j
Raffaele Pesenti
per t = 1,..., T
per t = 1,..., T
0, per t = 1,..., T
Raffaele Pesenti
min
Σ t ( cH Ht+ cF Ft + cW Wt + cU Ut + cO Ot + cI I+t+ cP I-t+ cR Pt + cS St )
75
Raffaele Pesenti
76
Esempio: schedulazione attività
Estensioni:
– i modelli assumono il back-order, quando si realizzano mancate vendite, i
vincoli sulle scorte devono essere modificati
It = I+t-1 + Pt + St - Dt
Schedulare (i.e., definire tempi inizio) n attività tenendo conto che:
• ogni attività i potrebbe dovere sottostare a dei vincoli di precedenza rispetto
ad altre attività (i.e., non potere iniziare prima che altre siano terminate)
• le attività devono essere completate il prima possibile
It= I+t - I-t
– possono esistere limiti superiori o inferiori su tutte le grandezze, e.g.,
Ot ≤ K o
– può essere richiesto che i livelli di produzione o di magazzino non varino
eccessivamente da un periodo al successivo
(1- α ) Pt-1 ≤ P t ≤ (1+ α ) Pt-1
Raffaele Pesenti
77
Raffaele Pesenti
• obiettivo:
– minimizzare il tempo del
completamento complessivo di
tutte le attività
• vincoli:
– i vincoli di precedenza tra le
attività devono essere rispettati.
78
Rappresentazione grafica
• attività i-ma:
– istanti di inizio di ogni
attività
– pi tempo di esecuzione
attività i-ma
– prec(i) insieme delle attività
che precedono quella i-ma
nodo: evento (primo istante possibile) inizio attività / fine ultima attività
precedente
arco: attività
ti
pi
pred(i)
Raffaele Pesenti
79
Raffaele Pesenti
80
• Le variabili:
istanti di inizio delle attività
Rappresentazione grafica (cont.)
• un’istanza:
p3
ti ∈ ℜ ,
p7
p1
per i = 1,..., n
p8
p4
p10
0 = min{t1,t2}
p5
p9
p11
p2
tempo di completamento dell’ultima attività terminata
T=
= max{t10+p10,t11 +p11}
maxi=1..n { ti + pi }
p6
Raffaele Pesenti
81
Raffaele Pesenti
82
Formulazione generale: per n attività
min maxi=1..n { t i + pi }
• I vincoli:
ti
– per ogni attività il suo tempo di inizio deve essere non minore del tempo
di completamento delle attività che la precedono
ti
≥ t j + pj ,
ti ≥ 0 ,
per i = 1,..., n, per j ∈ prec(i)
min T
≥ t i + pi,
ti ≥ t j + p j ,
T
per i = 1,..., n
ti ≥ 0 ,
Raffaele Pesenti
per i = 1,..., n
formulazione linearizzabile in
– i tempi di inizio sono convenzionalmente non negativi
ti ≥ 0 ,
≥ t j + pj ,
83
Raffaele Pesenti
per i = 1,..., n
per i = 1,..., n
84
Osservazioni:
– i problemi di schedulazione della produzione spesso presentano vincoli
ulteriori, e.g.: incompatibilità di esecuzione contemporanea di due o più
attività poiché in competizione per la stessa risorsa/macchina.
Questi casi sono molto più difficili di quello visto e possono essere
formulati attraverso programmazione lineare mista (anche se spesso non
conviene risolverli con tale approccio)
– la soluzione del problema proposto fornisce altre informazioni oltre a
quelle riguardanti i tempi di inizio e fine, e.g., permette di evidenziare le
attività critiche, i.e., quelle che se ritardate posticiperebbero la occlusione
complessiva, e viceversa i tempi di slack, i.e. i tempi di cui si possono
ritardare le attività non critiche
– nella seconda formulazione il vincolo T ≥ t i + pi poteva essere
applicato alle sole attività senza successori
Raffaele Pesenti
– le due formulazioni sono equivalenti poiché
T ≥ maxi=1..n { t i + pi } ≥ ti + pi ,
inoltre, dato che T viene minimizzato, almeno uno dei vincoli T ≥ ti + pi è
stringente, i.e., esiste un’attività j t.c.:
T = maxi=1..n{ t i + pi } = tj + pj .
Si noti che non si sarebbe invece potuto linearizzare un maxmax.
– analoghi ragionamenti valgono per obiettivi maxmin e minmin
– obiettivi min c|x| si possono linearizzare in modo analogo
min T
-T/c
85
Raffaele Pesenti
86
Esercizi
Esercizi
1) Studiare i modelli lineari proposti in Gams e Lingo
2) Risolvere graficamente i seguenti problemi
max 7 x1 + x2
-6x1 + 6x2
≤ 42
≤ 1 99
5x1 + 13x2
5x1 + 3x2
≤ 1 19
3x1 - 4x2
≤ 54
x1, x2 ≥ 0
Raffaele Pesenti
≤ x ≤ T /c,
non si possono linearizzare obiettivi max c|x|
max x1 + x2
3x1 + 8x2
≤ 56
4x1 + 2x2
≤ 40
min 3 x1 + 2x2
13x1 +
6x1 5x1 4x1 +
-2x1 +
x1, x2 ≥
3x2
14x2
x2
5x2
13x2
0
≥
≤
≤
≤
≤
149
38
1 17
1 69
1 79
7x1 +
4x2
-6x1 + 3x2
x1, x2 ≥ 0
87
Raffaele Pesenti
≥
≥
49
3
min 5 x1 + 2x2
-4x1 +
8x2
x2
2x1 + x2
5x1 + 4x2
x1, x2 ≥ 0
≥
24
≤ 7
≥
23
≤ 68
88
Esercizi
max 6x1 + 13x2
8x2
≤ 24
-2x1 + 9x2
≤ 16
13x1 + 5x2
15x1 - 4x2
x1, x2 ≥ 0
≥
≥
65
30
Raffaele Pesenti
Esercizi
5) Risolvere graficamente i seguenti problemi ed indicare se esistono e
quali sono i vincoli ridondanti
min x1 + 2x2
max 7x1 + 2x2
7x1 2x2
≤ 14
2x1 + x2
≥ 2
3x1 + 4x2
≤ 28
≥ 14
x1 +
7x2
≥ 6
-2x1 + 6x2
3x1 + x2
≤ 22
7x1 + 3x2
≤ 42
≤ 32
2x1 + 5x2
x1, x2 ≥ 0
-3x1 + x2
≤ 3
x1, x2 ≥ 0
min x1 + 2x2
3x1 +
2x2
x1 +
6x1 x1 x1, x2 ≥
4x2
x2
2x2
0
≥
≥
12
14
≤ 45
≤ 2
89
Raffaele Pesenti
90
Esercizi
Esercizi
7) Trasporto con vincoli di bundle.
6) Considerare i problemi di programmazione lineare degli esercizi precedenti e
determinare di quanto possono essere variati i coefficienti della funzione
obiettivo senza che la soluzione ottima cambi.
Considerare i problemi di programmazione lineare degli esercizi precedenti e
determinare di quanto possono essere variati i termini noti dei vincoli senza
che cambi il vertice su cui giace la soluzione ottima.
Raffaele Pesenti
91
La ACME s.p.a. produce carta in 4 stabilimenti S1,..., S4. Gli stabilimenti S1 e S2 sono
specializzati in carta per usi speciali, gli stabilimenti S3 e S4 sono specializzati in carta da
ufficio. La ditta vende i suoi prodotti in 10 città V1,..., V10 distribuite su un vasto territorio.
Il sistema logistico di distribuzione prevede che giornalmente i prodotti vengano avviati
durante la notte a due grandi centri di distribuzione M1 e M2 e quindi da essi consegnati alle
differenti città il mattino seguente. Sono note rispettivamente le necessità d1,...d10 di carta
speciale ed e1,...,e10 di carta da ufficio delle 10 città. Sono note inoltre: le capacità produttive
a1,..., a4 dei diversi stabilimenti; le capacità massime complessive dei due magazzini f1 e f2,
le capacita massime dei magazzini per prodotto rispettivamente g1, g2 e h1, h2; le capacità di
trasporto complessive dagli stabilimenti ai magazzini q1,1,..., q4,2 e dai magazzini alle città
r1,1,..., r1,10, r2,1,..., r2,10; i costi di trasporto dagli stabilimenti ai magazzini c1,1,..., c4,2, e dai
magazzini alle città b1,1,..., b2,10 (i costi sono indipendenti dal tipo di carta).
Minimizzare i costi di trasporto giornalieri, sapendo che le capacità complessive sono
espresse in termini di unità di carta da ufficio e che un’unità carta speciale occupa il doppio
del volume di un’unità di carta da ufficio.
Indicare le condizioni necessarie di esistenza della soluzione.
Raffaele Pesenti
92
Esercizi
Esercizi
8) Allocazione di risorse energetiche
Un ente che fornisce servizi nel campo dell’energia deve pianificare gli investimenti
strategici nel lungo periodo tenendo conto della domanda di potenza prevista. In
particolare si prevede una domanda di potenza de da elettricità, dr per riscaldamento in
varie forme, db da benzina e dg da gas. L’ente prevede di investire nello sviluppo di
raffinerie, impianti a carbone, idroelettrici e geotermici. Il costo di produzione di un
kw nei diversi impianti è rispettivamente cp, cc, ci e cg. La produzione delle raffinerie
può soddisfare solamente la richiesta di benzina ed olio da riscaldamento, la
produzione degli impianti a carbone può soddisfare solamente la richiesta di gas per
riscaldamento, gas per altri usi e di elettricità, gli impianti idroelettrici possono
soddisfare solo la domanda di elettricità, infine gli impianti geotermici la domanda di
elettricità e di riscaldamento.
Per motivi strategici e tecnologici non più di una quantità fij di domanda di tipo j deve
essere soddisfatta da un impianto di tipo i.
Determinare l’investimento minimo che deve essere fatto per soddisfare la domanda
tenendo presente che vi sono delle perdite di potenza nel trasporto e quindi solo una
quantità di energia aij < 1 giunge a soddisfare la domanda di tipo j per ogni kw
prodotto da un impianto di tipo i.
Raffaele Pesenti
9) Schedulazione di attività
Un cantiere navale ha ricevuto una commessa e deve pianificare le proprie operazioni
(vedi tabella). Il pagamento avviene al compimento di determinati milestone. In
particolare, il 10% della commessa viene pagato al termine delle operazioni D ed E, un
rimanente 30% al termine delle operazioni G ed H, la rimanente parte del pagamento
avviene a commessa completata.
Determinare le date in cui si ritiene di potere consegnare la commessa finita al cliente e
quando si ritiene di potere raggiungere i milestone. Si tenga presente che, a causa degli
accordi contrattuali con i fornitori dei semilavorati, alcune operazioni non possono
iniziare prima di determinate date di rilascio (release time) ri e a causa del
cambiamento della legislazione fiscale in vigore è estremamente conveniente eseguire
certe lavorazioni che utilizzano particolari materiali entro certe date di scadenza
(duedate) di.
(continua)
93
10)Pianificazione uso territorio.
Una multinazionale del settore agroalimentare deve pianificare l’uso dei propri terreni in
una determinata regione e la quantità di risorse da acquisire in termini di forza lavoro e
materiali per il prossimo anno solare.
Esistono terreni di varia natura, alcuni dei quali utilizzabili solo per il foraggio, altri che
possono modificare la propria natura attraverso l’intervento umano. Sia ls la quantità di
terreno disponibile di tipo s, inoltre sia CTrafst il costo di trasformazione di un ettaro da tipo
s a tipo r, per ogni (s,r) in L = { (s,r): tipo s modificabile in r}.
Si possono realizzare diversi tipi di coltivazioni, alcune delle quali permettono di mettere a
semina diversi tipi di prodotti contemporaneamente su uno stesso appezzamento. Sia epus la
quantità di prodotto u ottenuto per ogni ettaro di coltivazione p su un terreno di tipo s. (Tra i
prodotti u vanno compresi anche i foraggi citati nel seguito.)
Ogni tipo di coltivazione richiede nei diversi mesi dell’anno una differente quantità di
lavoro da parte della manodopera. Sia dpst la quantità di giorni uomo necessari alla
coltivazione p su un ettaro di terreno di tipo s durante il mese t. Sia CPersT il costo
giornaliero di una lavoratore temporaneo, sia CPersI il costo annuale di un lavoratore a
tempo indeterminato. Ogni tipo di coltivazione implica inoltre il consumo di differenti
quantità di risorse (e.g., fertilizzanti). Sia fpsk la quantità di risorsa k necessaria alla
coltivazione p su un ettaro di terreno di tipo s. Sia CRisk il costo unitario di una risorsa di
tipo k.
(continua)
(continuazione)
Raffaele Pesenti
Predecessori
B
B
A
DCA
BE
D
FG
Durata
3
6
2
5
7
5
9
13
6
94
Esercizi
Esercizi
Attività
A
B
C
D
E
F
G
H
I
Raffaele Pesenti
Release time
Duedate
8
14
13
20
10
95
Raffaele Pesenti
96
Esercizi
Esercizi
(continuazione)
Per ogni capo di bestiame che si decide di allevare è necessaria una certa quantità di
del foraggio gv, dove v è uno tra i possibili tipi di foraggio producibili.
Ogni capo di bestiame richiede inoltre una certa quantità di ore uomo per essere
accudito, il tempo richiesto dipende a sua volta dalle stagioni dell’anno. Sia mt il
numero di giorni uomo richiesti da ogni capo di bestiame il mese t. Infine, sia CVet il
costo per il veterinario in cui si incorre per ogni capo di bestiame.
I costi unitari delle risorse da acquisire sono abbastanza stabili nel tempo, mentre i
prezzi a cui si vendono i prodotti agricoli hanno subito notevoli variazioni negli anni
passati. Siano PProduy, PBesty rispettivamente il prezzo di vendita di un quintale di un
prodotto u e di un capo di bestiame nell’anno y.
Sviluppare un modello lineare che permetta alla multinazionale di massimizzare i
profitti attesi minimizzando i rischi (si supponga di avere sufficienti dati storici da
ritenere che una previsione ragionevole dei prezzi di vendita sia la media dei prezzi
dei cinque anni precedenti e che il rischio sia proporzionale alla deviazione standard
dei prezzi stessi oltre che alla quantità di prodotto coltivato o al numero di capi
allevati).
Raffaele Pesenti
97
11)Schedulazione di macchine.
Le 4 tipologie di prodotti T1,..., T4 dalla ACME s.p.a. possono essere realizzate nei 3 centri
di lavorazione M1, M2, M3. In particolare ogni centro di lavorazione jmo può produrre aij
tonnellate di prodotto imo all’ora al costo cij per tonnellata.
Sia bj il numero di ore mensili disponibili al centro di lavorazione jmo, sia di la domanda
mensile in tonnellate di prodotto imo e gi il ricavo unitario ottenibile dalla vendita di ogni
tonnellata dello stesso prodotto.
Massimizzare i profitti ottenibili sapendo che la domanda devono essere soddisfatta
completamente.
Indicare le condizioni necessarie di esistenza di una soluzione.
Raffaele Pesenti
Esercizi
Esercizi
12)Pianificazione risorse e produzione
La ACME s.p.a. è un’industria di trasformazione alimentare che utilizza materie prime il cui
costo per tonnellata è soggetto a forti variazioni stagionali. Per ogni materia prima i-ma, cit è
il valore atteso del costo per tonnellata durante il t-mo mese dell’anno e di è il costo di
mantenimento in magazzino per mese di ogni tonnellata. La produzione di ogni alimento j
non può superare uj tonnellate mensili. Ogni tonnellata di alimento j richiede aij tonnellate di
ogni materia prima i, può essere mantenuta in magazzino al prezzo ej, richiede l’utilizzo di gj
ore uomo delle ht disponibili il mese t ed induce ulteriori costi di produzione fj oltre a quelli
di acquisto e gestione delle materie prime e quelli del personale (questi ultimi sono fissi e
proporzionali ad ht).
Massimizzare i profitti attesi, attualizzando costi e ricavi ad un tasso del 20% annuo, nei
prossimi 12 mesi sapendo che ogni prodotto j può essere venduto al prezzo pj per tonnellata e
che la sua domanda mensile non eccede qjt. Attualmente sono presenti in magazzino ri
tonnellate di ogni materia prima i e sj tonnellate di ogni prodotto finito j e si ritiene che si
dovrebbero avere le stesse scorte anche tra un anno.
Indicare le condizioni necessarie di esistenza di una soluzione che soddisfi completamente la
domanda qjt.
Raffaele Pesenti
98
99
13)Controllo della rabbia
In una zona delle alpi si sono censite 250 volpi rabbiose e 15 cani rabbiosi
nell’anno 2001. E’ noto che il numero delle volpi rabbiose nell’anno corrente è
uguale a 4 volte il numero delle volpi rabbiose dell’anno precedente più 2 volte il
numero di cani rabbiosi dell’anno precedente meno il numero di volpi che non
verranno contagiate grazie all’intervento profilattico mirato alle volpi. Analoga
legge di propagazione esiste per i cani. Il numero dei cani rabbiosi nell’anno
corrente è uguale a 1.3 volte il numero delle volpi rabbiose dell’anno precedente
più 1.5 volte il numero di cani rabbiosi dell’anno precedente meno il numero di cani
che non verranno contagiati grazie all’intervento profilattico mirato ai cani. Ogni
intervento profilattico per le volpi costa 250 euro e salva 2 volpi. Ogni intervento
profilattico per i cani costa 100 euro e salva 3 cani.
Minimizzare i costi degli interventi profilattici nei prossimi 5 anni rispettando il
vincolo che, per ogni anno, il numero delle volpi rabbiose non sia superiore a 150 e
il numero dei cani rabbiosi non sia superiore a 3.
Raffaele Pesenti
100
Esercizi
14)Transshipment
La ACME deve pianificare quanta merce spedire dai propri stabilimenti s=1..S ai
propri magazzini centrali m=1..M e dai magazzini centrali ai propri clienti r=1..R
nei prossimi giorni t=1..T
È noto che non può spedire più di Usm materiale al giorno da ogni stabilimento s ad
ogni magazzino m e più di Qmr da ogni magazzino m ad ogni cliente r. La capacità
produttiva giornaliera di ogni impianto non supera Ks. La capacità massima dei
magazzini è Nm. Nel trasporto della merce da un magazzino ad un cliente si perde
generalmente amr di quanto trasportato. Inizialmente i magazzini sono vuoti.
Determinare quanto produrre e quanto trasportare in modo che in T ogni cliente
cliente abbia ricevuto complessivamente Er . I costi di trasporto sono
rispettivamente Csm e Dmr.
Raffaele Pesenti
101

Modelli Lineari Contenuto e scopo presentazione Problemi e

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