Coniche Inviluppo: costruzione mediante angoli in movimento nel

Coniche Inviluppo:
costruzione mediante angoli in movimento nel piano.
1. Parabole.
Ricordiamo la costruzione
per punti di una parabola,
t
dati il fuoco F e la direttrice
a
d. Preso un punto A
variabile su d (Fig. 1) e
P
tracciato il segmento FA, si
P'
consideri l’intersezione P
tra l’asse di FA (che
F
indicheremo in seguito con
s
t) e la perpendicolare
V
H
condotta da A alla direttrice
A
d
d. Al variare di A, il punto
P descrive la parabola.
Fig. 1
T
Sia T l’intersezione tra
l’asse del segmento FA e l’asse della parabola (perpendicolare condotta da F alla
direttrice d ). Il quadrilatero FPAT è un rombo. Quando A si muove su d, il punto H
(intersezione delle diagonali del rombo) descrive la retta s, che corrisponde a d nella
omotetia di centro F e rapporto 1/2.
Il punto V, intersezione tra le rette
a
FT ed s, è il vertice della parabola.
Sia P’ la proiezione ortogonale di P
F
sull’asse della parabola. Il
t segmento P’T ha sempre V come
H
punto medio: quindi la retta t è
tangente alla parabola in P. La retta
s
s, tangente alla parabola in V, è la
podaria della parabola rispetto al
fuoco F.
d
A
Fig. 2
Ciò che si è detto consente di
costruire il semplice meccanismo
piano rappresentato schematicamente in Fig. 2.
Le aste rigide aH e Ht sono saldate insieme in modo da formare un angolo retto.
L’asta aH, scanalata, è vincolata a muoversi attorno al perno fisso F mentre il vertice
H dell’angolo retto scorre lungo la scanalatura rettilinea s. Quando H si muove lungo
s la retta t inviluppa un arco di parabola (di fuoco F) tangente nel vertice alla
scanalatura s. E’ evidente che il meccanismo può essere pilotato sia dal punto H (che
giace sulla podaria s), sia dal punto A (che giace sulla direttrice d ed è il simmetrico
di F rispetto ad H). Infatti (come già osservato) le rette s e d si corrispondono in una
omotetia di centro F (rapporto 2 oppure 1/2).
Consideriamo ora lo strumento di Fig. 3. Si tratta di due aste rigide bB e Bt saldate
insieme in modo da formare un angolo α di ampiezza prefissata (≠ π/2). L’asta bB
(scanalata) è costretta a passare per il perno fisso F mentre il vertice B dell’angolo
scorre lungo la scanalatura rettilinea r. Quando B si muove lungo r la retta Bt
inviluppa (nel piano individuato da F
ed r) un arco di parabola.
Dimostrazione:
t
Siano H e K (Fig. 4) rispettivamente
a
b
le proiezioni ortogonali di F su t ed r.
Il quadrilatero FHBK (convesso o
intrecciato) ha due angoli opposti retti,
F
quindi è inscrittibile in una
circonferenza di diametro FB, e si ha
a
r
B
inoltre: α = angolo FBH = angolo
FKH. Segue che, quando B percorre la
retta r, il punto H descrive la retta p =
Fig. 3
KH inclinata rispetto ad r di 90° − α.
Allora le rette FH e t = HB formano un angolo retto avente il vertice scorrevole su
una retta (p) e un lato passante per il punto fisso F: perciò l’altro lato (t) descrive
(come sappiamo: cfr. Fig. 2) l’insieme delle rette tangenti alla parabola di fuoco F e
vertice V (proiezione ortogonale di F sulla retta p, tangente alla parabola in V). Si
noti che quando la retta b è inclinata rispetto alla r di un angolo uguale ad α, le rette t
ed r coincidono: dunque anche la retta r è
una delle tangenti alla parabola di fuoco F
e vertice V.
b
t
E’ anche possibile giungere alla stessa
p
conclusione costruendo la retta QB
F
(perpendicolare condotta da B alla retta b)
H
e osservando che quando B si muove su r,
Q
QB inviluppa (cfr. sempre Fig. 2) la
V
parabola di vertice K e fuoco F. Ma i
triangoli FKB e FVH, avendo gli angoli
r
B
uguali, sono simili (cfr. Fig. 4): più
K
precisamente, si corrispondono in una
rotoomotetia (con centro nel punto unito F
Fig. 4
e angolo di rotazione 90° − α). In tale
rotoomotetia si corrispondono anche le rette r e p (fisse), QB e t (mobili): alla
parabola inviluppata da QB (mentre B scorre su r) corrisponderà pertanto, nella
medesima rotoomotetia, una parabola inviluppata da t (quella, appunto, di fuoco F e
vertice V) (Fig. 5)
t
p
H
F
V
Q

K
r
B
Fig 5