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Andrea Scozzari a.a. 2012-2013 Analisi di sensibilità 1 Problema di Massimo in forma generale max 130 xc 100 x p 1,5 xc x p 27 xc x p 21 xp 0,3xc 0,5 x p 9 xc 15 x p 16 xc , x p 0 regione ammissibile xc 2 Problema di Massimo in forma generale xp max 130 xc 100 x p 1,5 xc x p 27 xc x p 21 0,3xc 0,5 x p 9 ottimo finito unico regione ammissibile xc 15 x p 16 xc , x p 0 xc 3 Analisi di sensibilità L’analisi di sensibilità serve per analizzare se e come cambia la soluzione ottima di un modello di PL quando si ipotizzano cambiamenti nei dati iniziali che definiscono il problema. L’elemento cruciale dell’analisi di sensibilità è il prezzo ombra che rappresenta uno strumento fondamentale nell’analisi e nella soluzione dei modelli di ottimizzazione. Esso è particolarmente utile per capire quali importanti implicazioni una decisione possa avere nell’ambito della risoluzione di problemi complessi. 4 Analisi di sensibilità Problema di produzione max 130 xc 100 x p 1,5 xc x p 27 xc x p 21 0,3xc 0,5 x p 9 xc 15 x p 16 xc , x p 0 vincoli di limitazione delle risorse in corrispondenza dell’ottimo 1,5 12 9 27 12 9 21 0,3 12 0,5 9 8,1 9 soluzione ottima del modello xc 12 xp 9 guadagno totale giornaliero 2460 $ Implementando questa soluzione ottima, le risorse relative ai primi due vincoli del problema sono completamente utilizzate. Se fosse possibile disporre di una unità in più della prima risorsa, potremmo trovare una soluzione migliore? 5 Analisi di sensibilità Problema di produzione con 1 unità in più della prima risorsa max 130 xc 100 x p 1,5 xc x p 28 xc x p 21 0,3xc 0,5 x p 9 xc 15 x p 16 xc , x p 0 vincoli di limitazione delle risorse in corrispondenza dell’ottimo 1,5 14 7 28 14 7 21 0,3 14 0,5 7 7,7 9 soluzione ottima del modello xc 14 xp 7 guadagno totale giornaliero 2520 $ incremento della f.o. 2520-2460 = 60 $ Sulla base di questo risultato, si può valutare il prezzo ombra associato al vincolo di disponibilità della prima risorsa. Considerando che acquistando 1 unità in più si guadagna 60 $, il prezzo ombra è proprio pari a $ 60. 6 Analisi di sensibilità Il prezzo ombra associato ad un vincolo è pari alla variazione della funzione obiettivo che si osserva in corrispondenza della variazione unitaria del termine noto di quel vincolo, tenuti fissati tutti gli altri dati del problema. vincoli di limitazione delle risorse Problema di produzione con 1 unità in più della seconda risorsa in corrispondenza dell’ottimo max 130 xc 100 x p 1,5 xc x p 27 xc x p 22 0,3xc 0,5 x p 9 xc 15 x p 16 xc , x p 0 1,5 10 12 27 10 12 22 0,3 10 0,5 12 9 soluzione ottima del modello xc 10 xp 12 guadagno totale giornaliero 2500 $ incremento della f.o. 2500-2460 = 40 $ prezzo ombra associato al secondo vincolo $ 40 7 Analisi di sensibilità Il prezzo ombra rappresenta in questo modo il prezzo che una azienda sarebbe disposta a pagare per una unità in più di risorsa. Può essere dunque interpretato come il valore che ha una unità di risorsa in più secondo l’azienda. Se sul mercato il prezzo della prima risorsa è inferiore a $ 60, l’azienda sarà propensa ad acquistare risorsa aggiuntiva, altrimenti, se il prezzo è superiore a $ 60 non si acquisterà altra risorsa. Ragionando in maniera analoga per il secondo vincolo, il prezzo ombra risulta pari a 0. Infatti, dal momento che nella soluzione ottima del modello questa risorsa non viene usata a pieno (vincolo non attivo), un aumento di questa risorsa non cambia la soluzione ottima e il prezzo ombra risulta 0. 8 Analisi di sensibilità Una volta calcolata la soluzione ottima del modello di PL, per tutti i vincoli attivi in corrispondenza di tale soluzione si avranno prezzi ombra positivi. Per tutti i vincoli non attivi in corrispondenza di tale soluzione si avranno prezzi ombra nulli. La variazione del valore ottimo e del valore della funzione obiettivo possono essere visualizzate graficamente. 9 Analisi di sensibilità xp 27 21 16 9 regione ammissibile 12 15 18 21 xc 10 Analisi di sensibilità xp 27 16 Se il termine noto del vincolo aumenta il vertice “si sposta”. Non è più un vertice Il vertice si sposta a destra 9 7 regione ammissibile 12 14 15 18 xc 11 Analisi di sensibilità Il valore della funzione obiettivo aumenta. xp 16 Il valore della f.o. è 2460 Il valore della f.o. è 2520 9 7 regione ammissibile 12 14 15 xc 12 Analisi di sensibilità: incremento marginale del RHS Il valore della funzione obiettivo aumenta. xp 16 Il valore della f.o. è 2460 Il valore della f.o. è 2520 9 7 regione ammissibile La soluzione ottima cambia, e corrisponde alla nuova posizione del vertice ottimo. 12 14 15 xc 13 Analisi di sensibilità: decremento marginale del RHS xp Simmetricamente, se il termine noto del vincolo diminuisce, il vertice ottimo si sposta e il valore della funzione obiettivo diminuisce. Il vertice ottimo si sposta a sinistra 16 Non è più un vertice 9 La soluzione ottima cambia, e di nuovo corrisponde alla nuova posizione del vertice ottimo. regione ammissibile 12 15 xc 14 Analisi di sensibilità: incremento non marginale del RHS xp 27 Se, però, il termine noto del vincolo aumenta “troppo”, il prezzo ombra non può essere più calcolato. 16 Non è più un vertice Non è più un vertice regione ammissibile 15 18 xc 15 Analisi di sensibilità L’interpretazione del prezzo ombra appena vista può essere valida per incrementi o decrementi dei termini noti dei vincoli anche di più di una unità. Tuttavia, possiamo utilizzare il prezzo ombra associato a un vincolo solo per valutare la variazione “marginale” della funzione obiettivo. In corrispondenza di una variazione molto grande del termine noto non siamo in grado di conoscere automaticamente l’incremento della f.o. In genere, dunque, i software di risoluzione di modelli di PL, oltre i prezzi ombra associati a ciascun vincolo, forniscono per ciascun termine noto l’intervallo di valori entro il quale il prezzo ombra ha validità (Range). 16 Analisi di sensibilità Esempio: foglio dell’analisi di sensibilità in excel In un problema di massimo, per il termine noto di un vincolo di tipo “ ≤ ” con prezzo ombra nullo, l’estremo superiore del Range è + ∞. 17 Prezzi ombra Il prezzo ombra associato a un vincolo è pari alla variazione del valore ottimo che si osserva per effetto di un incremento di una unità del termine noto di quel vincolo, tenuti fissati tutti gli altri dati del problema. • In corrispondenza di un vincolo non attivo tale variazione è nulla. • In corrispondenza di un vincolo attivo tale variazione può essere positiva o negativa in base al tipo di problema (MAX o MIN) ed al tipo di vincolo (≤ o ≥) come indicato nella tabella: PROBLEMA/VINCOLO ≤ ≥ MAX + - MIN - + 18 Prezzi ombra Il prezzo ombra associato a un vincolo è pari alla variazione del valore ottimo che si osserva per effetto di un incremento di una unità del termine noto di quel vincolo, tenuti fissati tutti gli altri dati del problema. • In corrispondenza di un vincolo non attivo tale variazione è nulla. • In corrispondenza di un vincolo attivo tale variazione può essere positiva o negativa in base al tipo di problema (MAX o MIN) ed al tipo di vincolo (≤ o ≥) come indicato nella tabella: PROBLEMA/VINCOLO ≤ ≥ MAX + - MIN - + Nel caso di vincoli di uguaglianza il prezzo ombra può risultare sia positivo che negativo. 19 Prezzi ombra max 2y - x f.o. di tipo max vincoli di tipo “ ≥ ” 5y + 9x ≥ 45 regione ammissibile 20 Prezzi ombra max 2y - x vertice ottimo f.o. di tipo max vincoli di tipo “ ≥ ” 5y + 9x ≥ 45 regione ammissibile 21 Prezzi ombra max 2y - x f.o. di tipo max vincoli di tipo “ ≥ ” 5y + 9x ≥ 45 regione ammissibile 5y + 9x ≥ 46 Il valore ottimo diminuisce 22 Range di validità del prezzo ombra Prezzo ombra di un vincolo attivo di tipo “ ≤ ” Il prezzo ombra è diverso da 0 e il range è un intervallo del tipo [a, b]. Prezzo ombra di un vincolo non attivo di tipo “ ≤ ” Il prezzo ombra è pari a 0 e il range è un intervallo del tipo [a, + ∞). Prezzo ombra di un vincolo attivo di tipo “ ≥ ” Il prezzo ombra è diverso da 0 e il range è un intervallo del tipo [a, b]. Prezzo ombra di un vincolo non attivo di tipo “ ≥ ” Il prezzo ombra è pari a 0 e il range è un intervallo del tipo (- ∞, b]. 23 Costi ridotti I costi ridotti sono valori associati alle variabili e sono diversi da 0 solo in corrispondenza di variabili con valore nullo nella soluzione ottima. Essi possono essere interpretati nei due modi seguenti: • variazione della funzione obiettivo per effetto di ogni unità di incremento della variabile corrispondente; • valore massimo di cui si può modificare il coefficiente della variabile nella funzione obiettivo senza che cambi la soluzione ottima. Anche per questi valori viene fornito un range di validità L’incremento/decremento ammissibile dei coefficienti della funzione obiettivo (range di validità) indica di quanto può essere variato ogni singolo coefficiente, tenendo fissi gli altri, senza che cambi la soluzione ottima del problema (cambia però il valore della soluzione ottima) 24 Analisi di sensibilità Il rapporto sull’analisi di sensibilità dei problemi di PL fornisce utili informazioni sulle conseguenze di eventuali cambiamenti dei coefficienti della funzione obiettivo. Questo è utile sia per un’analisi di tipo “what if”, sia perché i dati che vengono utilizzati nei modelli sono spesso incerti ed approssimati ed è quindi importante sapere cosa accadrebbe se essi venissero modificati. 25