Insiemi e funzioni - Dipartimento di Matematica

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Insiemi e funzioni - Dipartimento di Matematica
Insiemi e funzioni
Lorenzo Pisani
Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn.
Università degli Studi di Bari
ottobre 2007
Indice
1 Insiemi
1.1 Inclusione . . . . . . . . . .
1.2 Famiglie di insiemi . . . . .
1.3 Insieme delle parti . . . . .
1.4 Unione e intersezione . . . .
1.5 Di¤erenza e complementare
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2 Coppie ordinate e prodotto cartesiano
3 Funzioni
3.1 Gra…co e relazioni . . . . . . .
3.2 Immagini dirette e suriettività .
3.3 Iniettività e bigettività . . . . .
3.4 Restrizioni . . . . . . . . . . . .
3.5 Funzione composta . . . . . . .
3.6 Funzioni invertibili . . . . . . .
2
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In questa dispensa presentiamo alcuni elementi di linguaggio insiemistico,
la cosiddetta “teoria ingenua degli insiemi”. Parlare di Teoria, al nostro livello
di approfondimento, è abbastanza pretenzioso. Infatti la “Teoria degli Insiemi”
propriamente detta è una teoria formale, sviluppata agli inizi del Novecento,
per risolvere le contraddizioni che erano emerse nell’uso ingenuo del linguaggio
insiemistico. Si tratta di una teoria ben al di là del nostro interesse e della
nostra portata.
D’altra parte dobbiamo osservare che il linguaggio insiemistico, più o meno
ingenuo, è il linguaggio di tutta tutta la matematica contemporanea. Le contraddizioni si presentano ad un livello di astrazione un po’ distante dall’uso
comune e le cautele prescritte dalla teoria formale degli insiemi non costituiscono a¤atto una forzatura per il lavoro quotidiano della grande maggioranza dei
matematici.
1
Insiemi
Il concetto di insieme viene assunto come primitivo, di esso possiamo solo precisare l’uso. Insieme va inteso come sinonimo di aggregato di oggetti. La proprietà
fondamentale a¢ nché si possa parlare di insieme è che si possa univocamente
stabilire se un oggetto vi appartiene oppure no.
Quindi
ha senso parlare dell’insieme degli iscritti al C.d.L. in Informatica di Bari;
non ha senso parlare dell’insieme dei baresi amanti della natura.
A livello formale si precisa (assioma di estensionalità) che un insieme viene
univocamente determinato dai solo suoi elementi.
Il modo più semplice per individuare e rappresentare un insieme è quello di
elencare i suoi elementi tra parentesi gra¤e, attribuendo all’insieme stesso anche
una denominazione (nei casi più semplici una lettera maiuscola). Quindi, ad
esempio, poniamo
A = f1; 3; 5; 7; 9g:
In base all’assioma di estensionalità, l’ordine di elencazione non è a¤atto rilevante al …ne di identi…care un insieme. Quindi, ad esempio, sarà del tutto
legittimo scrivere
f1; 3; 5; 7; 9g = f5; 9; 7; 3; 1g:
In altri casi è possibile individuare un insieme descrivendo esattamente i
suoi elementi. Ad esempio, nel seguito del paragrafo assumiamo che C denoti
l’insieme delle citta italiane capoluogo di provincia.
Individuato e denotato un insieme, si introduce un simbolo per la nozione di
appartenenza (risp. non appartenenza) 2 (risp. 2).
= Ad esempio
Bari 2 C
32A
22
=A
Trani 2
=C
Parigi 2
= C:
In questa dispensa noi diamo per buona l’esistenza di alcuni insiemi costituiti
da numeri
N = f0; 1; 2; 3; : : : g ;
Z = f0; 1; 1; 2; 2; : : : g :
3
e diamo per note alcuni semplici proprietà sui numeri interi.
Osservazione 1.1 L’insieme N rappresenta il primo e fondamentale insieme
in…nito, la cui esistenza è assunta per assioma. A livello storico e …loso…co gli
insiemi in…niti rappresentano un punto di svolta: si è passa dal riconoscere
un in…nito potenziale (per ogni numero naturale esiste un numero naturale
successore), al concepire, rappresentare e maneggiare un in…nito attuale.
Per alcuni autori sono proprio gli insiemi in…niti che mettono in moto il
processo che porterà alla formalizzazione della Teoria degli insiemi.
Come de…nizione intuitiva di in…nito possiamo pensare ad un insieme che
non è possibile rappresentare tramite elenco. Tra breve saremo in grado di dare
una de…nizione formale.
Come situazione estrema abbiamo la possibilità che un insieme (in…nito)
venga individuato da una proprietà di cui godono i suoi elementi (principio di
comprensione). Ammettere questa principio, senza alcuna limitazione, dà origine ad alcuni paradossi che rendono la teoria ingenua degli insiemi inconsistente,
ossia contraddittoria. Più tardi avremo modo di illustrare il più celebre tra i
paradossi.
Quello che si accetta comunemente è il cosiddetto assioma di speci…cazione:
ciascuna proprietà individua un nuovo insieme selezionando gli oggetti da un
insieme preesistente. Questo assioma è alla base del modo più comune di
rappresentare un insieme
A = fx 2 E j x : : : g
dove al posto dei puntini di sospensione scriviamo la proprietà in base alla quale
e¤ettuiamo la selezione tra gli elementi del pre…ssato insieme E.
Ad esempio possiamo considerare l’insieme
D = fx 2 C j x si trova in Pugliag
e si ottiene, evidentemente,
D = fBari, Brindisi, Foggia, Lecce, Tarantog :
Allo stesso modo possiamo considerare l’insieme (questa volta in…nito)
fx 2 N j x primog = f2; 3; 5; 7; 11; : : : g :
Con il simbolo ? si denota l’insieme vuoto, ossia privo di elementi.
Come caso particolare di insieme …nito possiamo considerare anche un insieme con un singolo elemento, indicato ovviamente con fag. Dobbiamo precisare che nell’ambito della teoria degli insiemi, c’è una sostanziale di¤erenza tra
a e fag. Invece osserviamo che, in base a quanto si è detto sopra,
fag = fa; ag
infatti entrambi gli insiemi contengono il solo elemento a.
4
1.1
Inclusione
Assegnati due insiemi A; B si può presentare una situazione di particolare interesse: tutti gli elementi di A sono elementi anche di B, in simboli
8x 2 A : x 2 B
In questo caso si dice che A è incluso in B, (oppure che A una parte di B,
oppure che A è un sottoinsieme di B) e si scrive
A
B
Questa situazione è quella che si presenta ogni volta che utilizziamo l’assioma
di speci…cazione.
Riportiamo alcune proprietà dell’inclusione.
Proposizione 1.2 (proprietà ri‡essiva e transitiva) Per ogni insieme A
risulta
A A:
Assegnati altri due insiemi B; C
A
B
e
B
C =) A
C:
In forza dell’assioma di estensionalità due insiemi coincidono se hanno gli
stessi elementi. La seguente proposizione traduce questo assioma in termini
formali, dunque oltre che un teorema può essere considerata una de…nizione.
Proposizione 1.3 Per ogni coppia di insiemi A; B risulta A = B se e solo se
A
B
e
B
A:
Osservazione 1.4 E’ interessante notare come si formalizza la negazione dell’inclusione.
A6 B
vuol dire che non tutti gli elementi di A appartengono anche a B, ossia esiste
almeno un elemento di A che non appartiene a B. In simboli
9x 2 A
1.2
tale che
x2
=B
Famiglie di insiemi
Anche se la consuetudine tende a distinguere tra singoli oggetti ed insiemi di
oggetti, tra queste nozioni non vi è una distinzione concettuale, come del resto
accade nella realtà. Ad esempio: ogni uomo è un insieme di cellule, ma ciò
non esclude di considerare insiemi i cui elementi siano uomini, ad esempio una
famiglia o una classe; a sua volta un condominio è un insieme di famiglie, così
come una scuola è un insieme di classi. Dunque non è escluso di poter considerare
insiemi i cui elementi siano a loro volta insiemi.
Per una semplice questione di gusto linguistico non si parla quasi mai di
“insieme di insiemi”, ma si preferisce, come sinonimo, “famiglia di insiemi”.
Come esempio limite per il principio di comprensione possiano considerare
la proprietà
A è un insieme.
5
Se questa proprietà de…nisse un insieme dovremmo considerare
A = fA è un insiemeg
ossia l’insieme di tutti gli insiemi. Per questo insieme A potremmo scrivere
A2A
(1)
D’altra parte nella nostra intuizione si stabilisce una sorta di gerarchia tra
diversi livelli di oggetti: ad esempio possiamo stabilire se una cellula appartiene
o no ad un organismo, ma ci appare privo di senso chiederci se una cellula
appartiene ad un’altra cellula, tanto meno a se stessa. Dunque, in contrasto con
(1), ci sembra normale che un insieme non appartenga a se stesso e la scrittura
A 2
= A ci sembra più ragionevole. In realtà sono proprio questa scrittura e
la proprietà che essa esprime che hanno messo in crisi la teoria ingenua degli
insiemi. Consideriamo la famiglia
N = fA insieme j A 2
= Ag :
Se (in forza del principio di comprensione) ammettiamo che N stesso sia un
insieme, risulta allora
N 2 N () N 2
= N:
1.3
Insieme delle parti
Tra le famiglie di insiemi abbiamo un tipico esempio. Assegnato un insieme E
rimane individuato l’insieme denominato insieme delle parti di E e denotato con
P(E). Come dice il nome stesso, gli elementi di P(E) sono tutti i sottoinsiemi
di E, a partire da ? per …nire ad E stesso. In simboli
A 2 P(E) () A
E:
Esercizio 1.5 Assegnato E = fa; b; cg, descriviamo P(E) sotto forma di elenco
P(E) = f?; fag ; fbg ; fcg ; fa; bg ; fa; cg ; fb; cg ; Eg :
Osservazione 1.6 Talvolta l’insieme delle parti di E viene denominato anche
insieme potenza e viene indicato con 2E . Infatti, come si può veri…care nell’esercizio precedente, se E contiene n oggetti, allora P(E) contiene 2n oggetti.
1.4
Unione e intersezione
Assegnati due insiemi A e B rimangono individuati altri due nuovi insiemi,
denominati rispettivamente unione ed intersezione di A e B
A [ B = fx 2 A o x 2 Bg ;
A \ B = fx 2 A e x 2 Bg :
Osservazione 1.7 Riguardo l’uso della disgiunzione “o”, precisiamo che questa va intesa in senso inclusivo. Quindi, con riferimento all’unione, intendiamo
un insieme costituito da oggetti che appartengano ad A, o a B, o ad entrambi.
6
Esempio 1.8 Assegnati
A = f1; 3; 5; 7; 9g ;
B = f2; 3; 5; 7g ;
risulta
A [ B = f1; 2; 3; 5; 7; 9g ;
A \ B = f3; 5; 7g :
Proposizione 1.9 (proprietà commutativa e associativa) Per ogni terna
di insiemi A; B; C risulta:
A [ B = B [ A;
(A [ B) [ C = A [ (B [ C) :
Osservazione 1.10 La proprietà associativa consente di de…nire l’unione di
tre o più insiemi. Con un opportuno formalismo si può de…nire l’unione di una
generica famiglia di insiemi.
Osservazione 1.11 Ovviamente valgono analoghe proprietà per l’intersezione.
Proposizione 1.12 (proprietà distributiva) Per ogni terna di insiemi A; B; C
risulta
(A \ B) [ C = (A [ C) \ (B [ C) ;
(A \ B) [ C = (A \ C) [ (B \ C) :
Proposizione 1.13 Per ogni coppia di insiemi A; B risulta
A\B
A
B
A [ B:
Proposizione 1.14 Per ogni terna di insiemi A; B; C risulta che
A; B C =)A [ B C;
A B; C =)A B \ C:
Esercizio 1.15 Per ogni coppia di insiemi A; B le seguenti proposizioni sono
equivalenti:
a) A
B;
b) A \ B = A;
c) A [ B = B:
Esercizio 1.16 Per ogni terna di insiemi A; B; C risulta A = B se e solo se
A \ C = B \ C;
A [ C = A [ C:
Concludiamo con due altre due de…nizioni
7
De…nizione 1.17 Gli insiemi A e B si dicono disgiunti se A \ B = ?.
Esempio 1.18 Gli insiemi
M = fx 2 N j x multiplo di 10g ;
D = fx 2 N j x disparig
sono disgiunti.
De…nizione 1.19 Assegnati un insieme E ed una famiglia di insiemi F =
fF1 ; F2 ; F3 ; : : : g, si dice che la famiglia F costituisce una partizione di E se
risulta
E = F1 [ F2 [ F3 [ : : :
e gli insiemi della famiglia F sono a due a due disgiunti.
Esempio 1.20 Gli insiemi
P = fx 2 N j x parig ;
D = fx 2 N j x disparig
individuano una partizione di N.
1.5
Di¤erenza e complementare
De…nizione 1.21 Assegnati due insiemi A e B, si de…nisce l’insieme di¤ erenza
A
B = fx 2 A j x 2
= Bg :
Esempio 1.22 Assegnati
A = f1; 3; 5; 7; 9g ;
B = f2; 3; 5; 7g ;
risulta
A
B
B = f1; 9g ;
A = f2g :
Esercizio 1.23 In generale gli insiemi A B, B
in quale caso risulta
A B = B A:
A sono disgiunti. Si precisi
Esercizio 1.24 Per ogni coppia di insiemi A; B risulta
(A
(A
B) [ (A \ B) = A;
B) \ (A \ B) = ?:
Dunque la famiglia
F = fA
B; A \ Bg
realizza una partizione dell’insieme A.
8
(2)
(3)
Esercizio 1.25 Per ogni coppia di insiemi A; B la famiglia
F = fA
B; B
A; A \ Bg
realizza una partizione dell’insieme A [ B.
In alcune situazioni si …ssa un insieme universo E, nel senso che si considerano solo insiemi A E. In tal caso ha senso la seguente de…nizione.
De…nizione 1.26 Si de…nisce complementare di A (rispetto ad E) l’insieme
{E (A) = E
A
Se non sono possibili ambiguità, possiamo anche scrivere semplicemente
{(A).
In base alla de…nizione, il complementare di un insieme A E è esso stesso
contenuto in E, quindi ha senso calcolarne il complementare.
Proposizione 1.27 (proprietà involutoria) Per ogni insieme A
E
{ {(A) = A
Proposizione 1.28 Per ogni coppia di insiemi A; B
A
B () {(B)
E
{(A)
Proposizione 1.29 (leggi di De Morgan) Per ogni coppia di insiemi A; B
E
{(A [ B) = {(A) \ {(B)
{(A \ B) = {(A) [ {(B)
Dimostrazione. Si dimostrano anzitutto due inclusioni
{(A [ B)
{(A) [ {(B)
{(A) \ {(B)
{(A \ B)
valide per ogni coppia di insiemi.
Se nella prima consideriamo {(A) e {(B) in luogo di A e B otteniamo
{({ (A) [ { (B))
{ {(A) \ { {(B) = A \ B
Quindi, passando al complementare
{(A \ B)
{ {({ (A) [ { (B)) = { (A) [ { (B) :
Analogamente si prova la quarta inclusione
{(A) \ {(B)
9
{(A [ B):
2
Coppie ordinate e prodotto cartesiano
Quando abbiamo introdotto la nozione di insieme abbiamo parlato di aggregato di elementi, eventualmente rappresentabile tramite un elenco, con ordine
di elencazione arbitrario e quindi irrilevante. In altri termini ciò che era rilevante era la nozione di aggregato, originato o meno tramite un qualche criterio.
Ora presentiamo un nuovo oggetto, caratterizzato da un numero pre…ssato di
elementi e dall’ordine di elencazione. Come motivazione partiamo da alcune
situazioni concrete in cui un oggetto di questo tipo può rivelarsi utile.
Per identi…care una casella su una scacchiera servono due coordinate e,
una volta …ssata una convenzione, l’ordine in cui riportiamo le coordinate
è assolutamente rilevante.
Una fabbrica di penne comunica ogni settimana con i rappresentanti di
zona. Se a priori ci si è accordati, è su¢ ciente che i rappresentanti trasmettano solo tre numeri che riportano le vendite rispettivamente di penne
rosse, penne blu e penne nere.
Per individuare un vettore nel piano (risp. nello spazio) è su¢ ciente indicare le sue due (risp. tre) componenti. Queste, ovviamente, devono
riferirsi ad un pre…ssato sistema di coordinate.
Si de…nisce coppia ordinata una lista costituita da due elementi.
Una coppia ordinata si denota con (a; b), gli oggetti a e b prendono rispettivamente il nome di prima e seconda coordinata.
Nella nozione di lista includiamo quella parimenti intuitiva di ordine, quindi
risulterà
(1; 3) 6= (3; 1):
Osservazione 2.1 Se si vuole evitare di parlare di lista e invece si vuole ricondurre la nozione di coppia ordinata a quella di insieme, si pone
(a; b) = ffa; bg ; fagg :
Infatti la famiglia a secondo membro contiene due insiemi: l’insieme fa; bg riporta i due oggetti che compaiono in elenco, l’insieme fag precisa quale elemento
occupa il primo posto.
A livello di curiosità osserviamo che
(a; a) = ffagg
Osservazione 2.2 In modo ovvio la nozione di coppia ordinata trova la sua
generalizzazione in terne o n-ple ordinate.
Assegnati due insiemi A; B, l’insieme delle coppie ordinate (a; b) tali che
a 2 A e b 2 B prende il nome di prodotto cartesiano di A e B e si denota con il
simbolo A B.
Il prodotto cartesiano A A si denota comunemente con A2 .
Esercizio 2.3 Assegnati A = f1; 3; 5; 7; 9g e B = f2; 3; 5; 7g, rappresentare
sotto forma di elenco il prodotto cartesiano A B.
10
Osservazione 2.4 Come si può veri…care facilmente nel precedente esempio,
se gli insiemi A e B contengono rispettivamente m ed n oggetti, il prodotto
cartesiano contiene m n coppie ordinate.
Osservazione 2.5 Sussistono ovvie proprietà distributive del tipo
(A [ B)
C = (A
C) [ (B
C) :
Esercizio 2.6 Si veri…chi attraverso un esempio che A
Utilizzando le formule (2-3) e (4) si provi che
(A
3
(4)
B 6= B
A.
2
B) \ (B
A) = (A \ B) :
Funzioni
Assegnati due insiemi E e F , per funzione (o applicazione) da E in F intendiamo
una legge che a ciascun elemento del primo insieme associ un elemento del
secondo. Se chiamiamo f tale legge, si scrive
f :E!F
oppure, in alcuni casi,
f
E ! F:
L’insieme E prende il nome di insieme di partenza, o insieme di de…nizione,
o dominio.
L’insieme F prende il nome di insieme di arrivo, o codominio.
Per ogni x 2 E l’elemento di F che la funzione f associa ad x viene denotato
con f (x) e prende il nome di valore di f in x. Dunque si parla anche di “funzione
de…nita in E a valori in F ”.
Se vogliamo fornire esempi concreti di funzione, non è su¢ ciente precisare
gli insiemi di partenza e di arrivo, ma anche il modo in cui la funzione opera.
Se il dominio è un insieme …nito, almeno in teoria è possibile presentare una
tabella con i valori che funzione la assume.
Esempio 3.1 Consideriamo l’insieme
E = f ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; !g:
Possiamo de…nire una funzione
f :E!N
tramite la seguente tabella
x
f (x)
1
2
3
4
1
4
5
5
2
5
6
4
2
!
1
Quando il dominio è un insieme in…nito siamo obbligati ad indicare una legge
di associazione tramite una formula, più o meno complicata.
11
Esempio 3.2 Possiamo de…nire g : N ! N ponendo
8x 2 N : g(x) = 2x + 1:
Quindi avremo, ad esempio
g(0) = 1;
g(3) = 7;
g(7) = 15;
g(12) = 25:
Esempio 3.3 Possiamo de…nire h : N ! Z ponendo
8x 2 N : h(x) = x2
10x
20:
Quindi avremo, ad esempio
h(0) =
20;
h(3) =
41;
h(7) =
41;
h(12) = 4:
Esempio 3.4 Possiamo de…nire k : N ! N ponendo
k(x) =
x+1
2x
se x è pari,
se x è dispari.
Quindi avremo, ad esempio
k(0) = 1;
k(3) = 6;
k(7) = 14;
k(12) = 13:
Talvolta si adottano notazioni alternative, del tipo riportato di seguito
x 2 N 7! g(x) = 2x + 1 2 N:
Osserviamo che anche in questa notazione sono presenti tutti gli elementi che
individuano una funzione: il nome della funzione stessa, gli insiemi di partenza
e di arrivo, la legge con cui la funzione opera.
Non si deve confondere f; g; h che è il nome della funzione, con f (x); g(x); h(x)
che è un elemento dell’insieme di arrivo. D’altra parte, per brevità di linguaggio,
ove siano pre…ssati e sottointesi dominio e codominio, si dirà in breve “funzione
f (x)” (ad esempio “funzione x2 ”), intendendo la funzione che a ciascun x (in
un pre…ssato dominio) associa l’elemento f (x) (in un pre…ssato codominio).
Concludiamo segnalando due esempi particolarmente semplici di funzioni.
Esempio 3.5 Assegnato un qualsiasi A si può sempre de…nire la funzione identica
x 2 A 7! iA (x) = x 2 A:
Assegnato un secondo insieme B 6= ? possiamo anche de…nire la funzione
x 2 A 7! b 2 B
Si tratta della cosiddetta funzione costante, di costante valore b, per la quale
possiamo anche rinunciare ad un simbolo speci…co.
Osservazione 3.6 Un tipo particolare di funzioni è dato dalle cosiddette funzioni empiriche: si tratta di funzioni non de…nite da una formula ma dall’osservazione di un fenomeno. Un tipico esempio è dato la funzione che associa a
ciascun tempo t, la temperatura T osservata al tempo t in un pre…ssata località.
12
3.1
Gra…co e relazioni
Consideriamo assegnata una funzione f : E ! F . L’insieme
Gf = f(x; y) 2 E
F j y = f (x)g
prende il nome di gra…co.
Esempio 3.7 Il gra…co della funzione f dell’Esempio 3.1 è dato da
Gf = f( ; 1); ( ; 2); ( ; 3) ; ( ; 4) ; ( ; 1); : : : g
E’ evidente che riportare esplicitamente il gra…co equivale a descrivere completamente la nostra funzione.
Alcuni autori fanno derivare il concetto di funzione da quello di relazione.
Nel linguaggio comune per relazione si intende un rapporto che esiste tra
due oggetti di qualsivoglia natura.
1. x è …glio di y (x uomo o donna, y donna),
2. x è madre di y (x donna, y uomo o donna),
3. x è madre di y …gli (x donna, y numero),
4. x pesa y chili (x uomo o donna, y numero),
5. x ha lo stesso peso di y (x uomo o donna, y uomo o donna),
6. x pesa più di y (x uomo o donna, y uomo o donna),
7. x è coniugato con y (x uomo o donna, y uomo o donna),
8. x + y = 1 (x numero, y numero),
9. x2 + y 2 = 1 (x numero, y numero).
Si è detto all’inizio che una proprietà P attribuibile ad un singolo oggetto
x 2 E individua un sottoinsieme A E
A = fx 2 E j x veri…ca P g :
Analogamente una proprietà attribuibile a due oggetti x 2 E ed y 2 F individua
un sottoinsieme nel prodotto cartesiano R E F
R = f(x; y) 2 E
F j x ed y veri…cano P g
Queste circostanze giusti…cano la seguente de…nizione: nel linguaggio insiemistico, per relazione si intende un insieme R E F di coppie.
Ovviamente nella pratica matematica rivestono particolare interesse solo
alcuni tipi di relazioni, con ben precise proprietà.
Alcune delle relazioni 1-9 danno origine ad una funzione, nel senso che
ciascun x individua univocamente un certo y. Si tratta delle relazioni 1, 3, 4, 8.
La relazione 7 richiede qualche precisazione: ammesso di trovarci in situazione
di monogamia, per avere una funzione dovremmo dare una de…nizione anche per
i single, intendendo, ad esempio, che ciascun single è in relazione con se stesso.
Le relazioni 5 e 6 non danno origine ad una funzione ma costituiscono
rispettivamente un esempio di relazione di equivalenza e d’ordine.
Osservazione 3.8 Se una relazione dà origine ad una funzione, essa coincide
con il gra…co della funzione stessa.
13
3.2
Immagini dirette e suriettività
Consideriamo assegnata una funzione f : E ! F .
De…nizione 3.9 Per ogni A
il seguente sottoinsieme di F
E si de…nisce immagine diretta di A tramite f
f (A) = fy 2 F j 9x 2 A t.c. y = f (x)g
Esempio 3.10 Consideriamo la funzione f dell’Esempio 3.1. Assegnato l’insieme
A=f ; ; ; ; ; ; g
risulta che
f (A) = f1; 2; 3; 4; 5g :
Considerato
A1 = E
A
per esercizio si calcoli f (A1 ).
Proposizione 3.11 Per ogni coppia di sottoinsiemi A1 ; A2
allora f (A1 ) f (A2 ).
Proposizione 3.12 Per ogni coppia di sottoinsiemi A1 ; A2
A2 ) = f (A1 ) [ f (A2 ).
E, se A1
A2 ,
E risulta f (A1 [
Ovviamente tra tutti i possibili sottoinsiemi di E possiamo considerare E
stesso.
De…nizione 3.13 L’immagine diretta di
f (E) = fy 2 F j 9x 2 E t.c. y = f (x)g
prende il nome di insieme dei valori di f , oppure immagine di f .
In generale l’insieme dei valori è contenuto nell’insieme di arrivo, quindi ha
senso la de…nizione seguente.
De…nizione 3.14 Si dice che la funzione f è suriettiva se l’insieme dei valori
di f coincide con l’intero insieme di arrivo.
Proposizione 3.15 La funzione f è surgettiva se e solo se per ogni y 2 F
esiste x 2 E tale che f (x) = y.
Esiste anche una nozione inversa che permette di associare a sottoinsiemi di
F sottoinsiemi di E.
De…nizione 3.16 Per ogni B
F si de…nisce immagine reciproca (o controimmagine) di A tramite f il seguente sottoinsieme di E
1
f (B) = fx 2 E j f (x) 2 Bg :
Esempio 3.17 Consideriamo la funzione f dell’Esempio 3.1. Assegnato l’insieme
B = f1; 2; 3g ;
risulta che
1
f (B) = f ; ; !; ; ; ; g :
14
3.3
Iniettività e bigettività
De…nizione 3.18 Una funzione f : E ! F si dice iniettiva se per ogni coppia
di elementi x1 ; x2 2 E si ha che
f (x1 ) = f (x2 ) =) x1 = x2 :
Osservazione 3.19 E’ facile dare un’interpretazione diretta della iniettività:
la funzione trasforma coppie di elementi distinti in coppie di valori distinti.
Con riferimento agli esempi precedenti (3.1, 3.2, 3.3, 3.4) risulta quanto
segue:
la funzione f non è iniettiva, infatti f ( ) = 1 = f ( );
la funzione g è iniettiva;
la funzione h non è iniettiva, infatti h(3) =
41 = h(7);
la funzione k è iniettiva.
Sappiamo che f è surgettiva se e solo se per ogni y 2 F esiste almeno un
x 2 E tale che f (x) = y. Sussiste un’analoga caratterizzazione per l’ingettività.
Proposizione 3.20 La funzione f è ingettiva se e solo se per ogni y 2 F esiste
al più un x 2 E tale che f (x) = y.
Le nozioni di funzione ingettiva e surgettiva ci consentono di formalizzare la
nozione di insieme in…nito.
De…nizione 3.21 Un insieme E si dice in…nito se esiste una funzione f : E !
E ingettiva ma non surgettiva.
Esempio 3.22 La funzione g : N ! N introdotta nell’Esempio 3.2 è ingettiva
ma non surgettiva. Dunque l’insieme N è in…nito anche da un punto di vista
formale.
De…nizione 3.23 Una funzione f : E ! F si dice bigettiva se risulta ingettiva
e surgettiva.
Un banale esempio di funzione bigettiva è dato dalla funzione identica. Altri
esempi li vedremo in seguito.
Sussiste inoltre una caratterizzazione che si deduce dalle Proposizioni 3.15 e
3.20.
Proposizione 3.24 Una funzione f : E ! F è bigettiva se e solo se per ogni
y 2 F esiste ed è unico x 2 E tale che f (x) = y.
Osservazione 3.25 Le funzioni bigettive hanno particolare interesse perché invertendo l’ordine nelle coppie che costituiscono il gra…co si ottiene ancora una
funzione (formalmente un gra…co di funzione), in cui risultano scambiati gli
insiemi di partenza e di arrivo.
15
3.4
Restrizioni
Assegnata una funzione f : E ! F , se A E, possiamo considerare una nuova
funzione denominata restrizione di f ad A
fjA : A ! F;
8x 2 A : fjA (x) = f (x):
In sostanza la restrizione opera esattamente come la funzione originaria,
tranne che per il dominio che è cambiato. Le ragioni per cui può essere utile
e¤ettuare una restrizione saranno evidenti negli esempi che seguono.
Osservazione 3.26 Esiste anche un’operazione in un certo senso inversa alla restrizione. Assegnata una funzione ' : A ! F , se A
E si de…nisce
prolungamento di ' ad E una qualsiasi funzione f : E ! F tale che fjA = '.
Anche nell’insieme di arrivo si può operare una specie di restrizione. Assegnata una funzione f : E ! F , possiamo considerare come insieme di arrivo
B = f (E), anziché tutto F . Quella che si ottiene è una funzione de…nita in E
a valori in B che opera esattamente come la funzione originaria, ma con in più
la proprietà di essere suriettiva. Questa operazione, talvolta, viene chiamata
riduzione.
Restrizione e riduzione sono le principali tecniche per ottenere funzioni bigettive.
Anzitutto osserviamo che se una funzione è ingettiva, la corrispondente funzione ridotta è bigettiva. Si tratta di una operazione così “naturale” che per la
funzione ridotta si continua ad adoperare lo stesso simbolo.
Esempio 3.27 La funzione g dell’Esempio 3.2 è ingettiva. Risulta che
g(N) = D = fx 2 N j n disparig
Quindi la funzione g : N ! D che opera al modo seguente
x 2 N 7! g(x) = 2x + 1 2 D
è bigettiva.
Se una funzione non è neanche ingettiva, allora per ottenere una bigezione
serve anche una restrizione.
Esempio 3.28 Consideriamo la funzione f presentata nell’Esempio 3.1. L’insieme dei valori è dato da
B = f1; 2; 3; 4; 5; 6g
Quindi f : E ! B è suriettiva. Ora passiamo individuare in E un sottoinsieme
A tale che fjA : A ! B sia bigettiva. Ad esempio possiamo scegliere
A = f ; ; ; ; ; g:
La scelta di A non è a¤ atto univoca, infatti, ad esempio, possiamo considerare
anche
A0 = f ; ; ; ; ; g :
16
3.5
Funzione composta
Siano assegnate due funzioni
f :A!B
g:C!D
Se B = C, allora è possibile applicare consecutivamente prima f e poi g, nel senso che a ciascun x 2 A associamo f (x) 2 B = C e quindi possiamo considerare
il corrispondente g(f (x)) 2 D; in simboli
x 2 A 7! f (x) 2 B = C 7! g(f (x)) 2 D
Quella che abbiamo ottenuto è una funzione che parte da A e arriva in D. Tale
funzione prende il nome di funzione composta e si denota con il simbolo g f
g f :A!D
8x 2 A : (g f ) (x) = g(f (x))
Osservazione 3.29 Per poter operare la composizione non è indispensabile che
si abbia B = C. E’ su¢ ciente richiedere B C, o, come ipotesi minima,
f (A)
C:
Esempio 3.30 Assegnate le funzioni
f :Z!Z
f (x) = 2x 1
e
g:Z!N
g(x) = x2 + x
risulta quanto segue.
L’insieme di arrivo di f è Z e coincide con l’insieme di partenza di g,
quindi ha senso calcolare
(g f ) : Z ! Z
per cui risulta
2
(g f ) (x) = g(f (x)) = (f (x)) + f (x) =
1)2 + (2x
= (2x
1) = 4x2
2x:
L’insieme di arrivo di g è N che è contenuto in Z insieme di partenza di
f , quindi ha senso calcolare
f
g:Z!N
per cui risulta
(f
g) (x) = f (g(x)) = 2g(x)
2
= 2(x + x)
17
1=
1 = 2x2 + 2x
1:
Osservazione 3.31 Dalla de…nizione di funzione composta consegue immediatamente che in generale non è possibile invertire l’ordine di composizione tra
due funzioni. Nei casi in cui ha senso (vedi esempio precedente) le funzioni g f
e f g sono diverse.
Esercizio 3.32 Si dimostri che la funzione composta di funzioni iniettive (risp.
suriettive) è essa stessa iniettiva (risp. suriettiva).
3.6
Funzioni invertibili
Sia assegnata una funzione f : E ! F . La funzione f si dice invertibile se esiste
una funzione g : F ! E tale che
8x 2 E : g(f (x)) = x;
8x 2 F : f (g(x)) = x;
oppure, più sinteticamente
g f = iE ;
f g = iF ;
dove iE ed iF denotano rispettivamente le funzioni identiche su E ed F (vedi
Esempio 3.5).
Tale funzione g se esiste, è unica, prende il nome di inversa di f e si denota
con il simbolo f 1 .
Esercizio 3.33 Per dare un esempio non banale di funzione invertibile dobbiamo utilizzare anche l’insieme Q costituito dai numeri razionali (le frazioni).
Assegnata la funzione f : Q ! Q de…nita da
f (x) =
2
x
3
1
;
6
si provi che la funzione g : Q ! Q de…nita da
g(x) =
3
1
x+
2
4
è l’inversa di f .
La veri…ca consiste nel calcolare le due funzioni composte g(f (x)) e f (g(x)).
La seguente proposizione fornisce una caratterizzazione delle funzioni invertibili.
Proposizione 3.34 La funzione f : E ! F è invertibile se e solo se è bigettiva.
Ricordiamo infatti che, parlando di funzioni bigettive, si era detto che invertendo l’ordine nelle coppie che costituiscono il gra…co si ottiene ancora una
funzione, in cui risultano scambiati gli insiemi di partenza e di arrivo: ora
possiamo precisare che si tratta della funzione inversa.
Dal punto di vista operativo, è abbastanza raro che si riesca ad esplicitare
la funzione inversa; una possibile procedura è illustrata di seguito.
18
Esempio 3.35 Per determinare l’inversa di f (x) = 23 x 16 è su¢ ciente risolvere l’equazione
2
1
y= x
3
6
rispetto ad x (cioè considerando x come incognita e y come dato). Si ottiene
x=
3
1
y+ :
2
4
(5)
Ovviamente per ottenere una funzione scritta nel modo consueto (ossia y =
g(x)), nell’espressione (5) dobbiamo scambiare x con y.
Ovviamente la parte di¢ cile di questa procedura sta nel risolvere rispetto
ad x.
19

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