Lo spazio dei segnali

Capitolo I
LO SPAZIO DEI SEGNALI
I.1 – Lo spazio dei segnali a energia finita.
I segnali ad energia finita costituiscono uno spazio vettoriale S noto come spazio dei segnali.
Infatti se si rappresenta un segnale con una funzione s(t ) reale o complessa di variabile
reale t definita in \ ( 1 ), basta dimostrare che:
a) detto s(t) un segnale ad energia finita anche il segnale λs(t ) (con λ costante complessa) lo
è (proprietà di omogeneità). Infatti si ha:
∞
∫−∞ λs(t )
(I.1.1)
2
dt = λ
2
∞
∫−∞ s(t )
2
dt < ∞
b) detti s1 (t ) e s2 (t ) due segnali ad energia finita anche il segnale s1 (t ) + s2 (t ) lo è. (proprietà di
additività). Infatti è:
(I.1.2)
{
}
s1 (t ) + s2 (t ) = [ s1 (t ) + s2 (t ) ][ s1 (t ) + s2 (t ) ] = s1 (t ) + s2 (t ) + s1 (t ) s2* (t ) + s2 (t ) s1* (t )
*
2
2
e tenendo conto dell’ovvia condizione:
(I.1.3)
2
2
2
{
2
}
0 ≤ s1 (t ) − s2 (t ) = s1 (t ) + s2 (t ) − s1 (t ) s2* (t ) + s2 (t ) s1* (t )
si ottiene:
2
2
s1 (t ) + s2 (t ) ≤ 2 s1 (t ) + 2 s2 (t )
(I.1.4)
2
che integrata fornisce:
(I.1.5)
∞
∫−∞ s1 (t ) + s2 (t )
2
dt ≤ 2
∞
∫−∞ s1 (t )
2
dt + 2
∞
∫−∞ s2 (t )
2
dt < ∞
Un segnale può allora essere individuato o dalla funzione s(t) che lo definisce nel dominio
del tempo o dall’elemento s ⊂ S dello spazio dei segnali.
I.2 – Proprietà dello spazio dei segnali.
I.2.1-Lo spazio dei segnali è uno spazio normato.
Ciò significa che ad ogni elemento s di S si può associare un numero reale non negativo
definito dalla:
(I.2.1)
s =
{∫
∞
−∞
2
s (t ) dt
}
1
2
La grandezza s così definita costituisce la cosiddetta norma euclidea.
È opportuno precisare che la condizione s = 0 comporta s = 0 .
I.2.2 - Lo spazio dei segnali è uno spazio metrico.
Ciò significa che ad ogni coppia s 1 e s2 di elementi di S si può associare un numero reale
non negativo definito dalla:
(1) Ciò comporta che nel caso in cui la funzione s (t ) fosse definita solo in un sottoinsieme I limitato
essa si intenderà estesa a tutto \ purché si ponga s (t ) ≡ 0 per t ∉ I .
- 12 -
G. Mamola: Fondamenti di Comunicazioni Elettriche
d ( s1 , s2 ) =
(I.2.2)
{∫
∞
2
−∞
s1 (t ) − s2 (t ) dt
}
1
2
La grandezza d ( s1 , s2 ) , così definita, costituisce la cosiddetta distanza euclidea.
Dalla definizione (I.2.2) discende:
d ( s1 , s2 ) = d ( s2 , s1 )
(I.2.3)
È opportuno osservare che, dal confronto delle (I.2.1) e (I.2.2) si ha:
d ( s1 , s2 ) = s1 − s2
(I.2.4)
I.2.7 - Lo spazio dei segnali è uno spazio dotato di prodotto scalare.
Ciò significa che ad ogni coppia s 1 e s2 di elementi di S si può associare un numero
complesso (prodotto scalare) definito dalla:
( s1 , s2 ) =
(I.2.5)
∞
∫−∞ s1 (t ) ⋅ s2 (t )dt
*
Discende dalla precedente:
( s1 , s2 ) = ( s2 , s1 )*
(I.2.6)
È da osservare che è:
(I.2.7)
s = ( s, s )
e
(I.2.8)
d ( s1 , s2 ) = ( s1 − s2 , s1 − s2 )
Tenendo presente la definizione (I.2.5), detti α e β due costanti complesse si ha:
(αs1 + β s2 , s ) =
∞
∫−∞ [αs1 (t ) + βs2 (t )] s (t )dt =
=α
(I.2.9)
*
∞
∞
∫−∞ s1 (t )s (t )dt + β∫−∞ s2 (t )s (t )dt =
*
*
= α( s1 , s ) + β( s2 , s )
e analogamente:
( s, αs1 + β s2 ) = ∫
∞
−∞
s (t ) ⎡⎣α* s1* (t ) + β* s2* (t ) ⎤⎦ dt =
= α* ∫
(I.2.10)
∞
−∞
s (t ) s1* (t )dt + β* ∫
∞
−∞
s (t ) s2* (t )dt =
= α* ( s, s1 ) + β* ( s, s2 )
È bene precisare che si possono adottare altre espressioni della norma, della distanza e
del prodotto scalare nello spazio delle funzioni a quadrato sommabile; tuttavia nello spazio
dei segnali queste grandezze sono specificate come precedentemente indicato. Esse sono poste in corrispondenza di parametri energetici di particolare rilevanza.
È bene tener presente che
• Se è s = 1 il segnale si dice normale.
• Se è ( s1 , s2 ) = 0 i due segnali si dicono ortogonali.
• Un insieme di segnali {ui }i=1 si dice orto-normale quando risulta:
n
(I.2.11)
⎧1
(ui , u j ) = δi − j = ⎨
⎩0
i= j
i≠ j
Esempio E.I.1.
Tenendo conto delle (I.2.9) e (I.2.10), il quadrato della norma del segnale s = αs1 + βs2 vale:
Cap. I - Lo spazio dei segnali
s
2
= αs1 + β s2
2
- 13 -
=
= ( αs1 + βs 2 , αs1 + β s2 ) = α ( s1 , αs1 + β s 2 ) + β ( s2 , αs1 + β s 2 ) =
= α (αs1 + β s2 , s1 ) + β(αs1 + β s2 , s2 ) =
*
*
= αα ( s1 , s1 ) + αβ ( s 2 , s1 ) + βα ( s1 , s 2 ) + ββ ( s2 , s2 ) =
*
= α
*
2
s1
2
*
*
*
*
+ αβ ( s1 , s 2 ) + βα ( s1 , s 2 ) + β
*
*
*
*
2
s2
*
2
I.3 – Segnali linearmente indipendenti. Teorema di Gram.
Si dice che n segnali {si ( t)}i =1 ad energia finita sono linearmente indipendenti quando la
n
condizione:
n
∑ ki si (t ) = 0
(I.3.1)
i =1
è soddisfatta se e solo se le costanti k i sono tutte nulle.
Vale il seguente TEOREMA DI GRAM:
Condizione necessaria e sufficiente perchè n segnali {si (t )}i =1 siano linearmente indipenn
denti è che il determinante di Gram sia diverso da zero e cioè se risulta:
( s1 , s1 ) ( s1 , s2 ) … ( s1 , sn )
( s , s ) ( s2 , s2 ) … ( s2 , sn )
(I.3.2)
≠0
G ( s1 , s2 , …, sn ) ≡ 2 1
…
…
…
…
( sn , s1 ) ( sn , s2 ) … ( sn , sn )
Dimostrazione:
Moltiplicando la (I.3.1) scalarmente per tutti i segnali s j (t) si ottiene il seguente sistema
lineare omogeneo nelle n incognite k i :
n
∑ ki ( si , s j ) = 0
(I.3.3)
( j = 1, 2, … , n )
i =1
che, se i segnali sono linearmente indipendenti, dovrà ammettere solo la soluzione banale
( ki = 0
∀i ); cosa che, come è noto, si ottiene se la matrice dei coefficienti non è singolare e
cioè se la (I.3.2) è verificata.
Viceversa se il determinante di Gram è nullo, il sistema lineare ed omogeneo (I.3.3) am-
{ }i =1
n
mette almeno una soluzione non banale. Detta ki
s=
(I.3.4)
tale soluzione, si costruisca il segnale
n
∑ ki si
i =1
la cui norma vale:
1
n
n
⎞ ⎪⎫ 2
⎪⎧⎛
s = ( s, s ) = ⎨⎜⎜ ∑ ki si , ∑ ki si ⎟⎟ ⎬ =
⎪⎩⎝ i =1
i =1
⎠ ⎪⎭
1
2
(I.3.5)
1
1
2
⎧⎪ n n
⎫⎪ 2 ⎧⎪ n * ⎛ n
⎞ ⎫⎪
*
= ⎨∑∑ ki k j ( si , s j ) ⎬ = ⎨∑ k j ⎜⎜ ∑ ki ( si , s j ) ⎟⎟ ⎬ = 0
⎪⎩ i =1 j =1
⎪⎭
⎪⎩ j =1 ⎝ i =1
⎠ ⎪⎭
n
Questo comporta che s = 0 e quindi
n
∑ k isi = 0 . I segnali {si (t )}i =1
sono così linearmente di-
i =1
pendenti dal momento che la (I.3.3) è verificata almeno per un’ n -pla di costanti non tutte
nulle.
- 14 -
G. Mamola: Fondamenti di Comunicazioni Elettriche
Si osservi che se la caratteristica della matrice di Gram è k e cioè se esiste almeno un
minore di ordine k della matrice di Gram non nullo, è possibile, con un diverso riordinamento dei segnali, costruire una matrice di Gram in cui il minore principale di ordine k è
diverso da zero. Ciò comporta che degli n segnali solo k sono linearmente indipendenti; k
quindi rappresenta la dimensionalità del sistema dei segnali.
I.4 – Sottospazi lineari a dimensioni finite.
Se Bn ≡ {ui (t )}i =1 denota un insieme di segnali ad energia finita, linearmente indipendenti,
n
l’insieme di tutte le combinazioni lineari del tipo:
s(t ) =
(I.4.1)
n
∑ αi ui (t )
i =1
definisce un sottospazio lineare ad n dimensioni S n del quale l’insieme Bn costituisce la base. La (I.4.1) si può anche rappresentare nella seguente forma vettoriale:
s=
(I.4.2)
n
∑ αi ui
i=1
Una volta assegnata la base si stabilisce una corrispondenza biunivoca tra un segnale
appartenente a S n ed i coefficienti {αi }i=1 .
n
Infatti:
• dati i coefficienti {αi }i=1 si può, sulla base della (I.4.1), ricavare il segnale s ;
n
• moltiplicando scalarmente la (I.4.2) per tutti i segnali u j si ha:
( s, u j ) =
(I.4.3)
n
∑ αi (ui , u j )
( j = 1, 2, … , n )
i =1
che costituisce un sistema lineare nelle incognite
{αi }i=n 1
che ammette un’unica soluzione
giacché il suo determinante è diverso da zero, dato che la base è composta da segnali linearmente indipendenti.
Il segnale può allora essere rappresentato in un sistema di coordinate ad n dimensioni in
cui le direzioni egli assi coordinati sono individuate dai
u3
versori ui ; i coefficienti
α3
{αi }i=n 1
si possono interpretare
come le “coordinate” del segnale s
s
riferimento assegnato.
α2
α1
nel sistema di
u2
u1
Fig. I.1 – Rappresentazione vettoriale
di un segnale reale.
Se la base è orto-normale si ha:
α j = ( s, u j )
( j = 1, 2, … , n )
(I.4.4)
La Fig. I.1 mostra un esempio di rappresentazione geometrica di un segnale reale in uno sottospazio di dimensione 3 riferito ad un sistema orto-normale di assi di rife-
rimento.
Se s 1 e s2 sono due segnali appartenenti a S n e quindi espressi in termini di una base orto-normale Bn , si ha:
Cap. I - Lo spazio dei segnali
s1 =
(I.4.5)
- 15 -
n
∑ α1i ui
i =1
n
s2 =
∑ α2i ui
i =1
Di conseguenza:
• la norma vale:
n
⎪⎧
s = ( s, s ) = ⎨ α i
⎩⎪ i=1
∑
(I.4.6)
⎫
2⎪
1
2
⎬
⎭⎪
• la distanza è:
1
d ( s1 , s2 ) = s1 − s2
(I.4.7)
2
n
⎪⎧
⎪
2⎫
= ⎨ α1i − α 2i ⎬
⎪⎩ i =1
⎪⎭
∑
• il prodotto scalare diviene:
( s1 , s2 ) =
(I.4.8)
n
n
n
∑∑ α1i α*2 j (ui , u j ) = ∑ α1i α*2i
i =1 j =1
i =1
I.5 – Angolo fra due segnali.
Con riferimento alla Fig.I.2 se s1 e s2 denotano due segnali ad energia finita è possibile
definire l’angolo ϑ fra essi compreso con la nota espressione
d 2 ( s1 , s2 ) = s1
(I.5.1)
2
+ s2
2
− 2 s1 s2 cos ϑ
che costituisce, com’è noto, un’estensione del Teorema di Pitagora a triangoli non rettangoli.
Usando la (I.2.2) si ha:
∫\ [ s1(t ) − s2 (t )] ⎡⎣s1 (t ) − s2 (t)⎤⎦ dt =
2
2
= { s1 (t ) − s1 (t ) s2* (t ) − s1* (t ) s2 (t ) + s2 (t ) } dt =
∫\
d 2 ( s1 , s2 ) =
(I.5.2)
= s1
s2
d(s1, s2 )
2
+ s2
2
*
− ( s1 , s2 ) − ( s1 , s2 )* = s1
2
+ s2
2
− 2 Re [ ( s1 , s2 ) ]
Sostituendo la (I.5.2) nella (I.5.1) si ottiene:
Re [ ( s1 , s2 ) ]
cos ϑ =
(I.5.3)
s1 s2
Se due segnali sono tali da aversi ( s1, s2 ) = 0 è ϑ = π2 ; que-
s2
ϑ
*
s1
s1
Fig. I.2 – Angolo fra due segnali.
sto giustifica la denominazione di segnali ortogonali assegnata a quei segnali il cui prodotto scalare è nullo.
Se i segnali sono reali, la (I.5.3) diviene:
(s , s )
(I.5.4)
cos ϑ = 1 2
s1 s2
I.6 - Approssimazione dei segnali nel sottospazio Sn . Teorema della
proiezione.
Sia S n un sottospazio lineare ad n dimensioni definito da una base di vettori Bn = {ui }i=1
n
che, per semplicità, si suppone orto-normale e sia s(t) un segnale non appartenente ad S n .
- 16 -
G. Mamola: Fondamenti di Comunicazioni Elettriche
In quel che segue ci si propone di costruire una rappresentazione sn di s nel sottospazio S n
del tipo:
sn =
(I.6.1)
n
∑ αi ui
i=1
intendendo con ciò che la rappresentazione di s nel sottospazio S n è ottenuta da quel vettore sn ∈Sn che presenta la minima distanza euclidea da s . Il problema così posto consiste nel
determinare n costanti α i tali da soddisfare la condizione:
2
s − sn
(I.6.2)
= min .
Ora, sviluppando il quadrato della norma, può scriversi:
s − sn
2
(I.6.3)
= ( s − sn , s − sn ) = ( s, s ) − ( sn , s ) − ( sn , s )* + ( sn , sn ) =
2
= s −
n
n
i =1
i =1
che, sommando e sottraendo la quantità
s − sn
(I.6.4)
2
n
∑ αi ( s, ui )* − ∑ α*i ( s, ui ) + ∑ αi
2
= s −
∑ i =1 (s,ui )
n
n
i =1
2
, diventa
n
∑ ( s, ui ) + ∑ αi − ( s, ui )
2
i =1
2
2
i =1
Poiché l'ultimo addendo a secondo membro della precedente è certamente non negativo, il
minimo cercato si ottiene quando esso è nullo e cioè quando è
αi = ( s, ui )
(I.6.5)
(i = 1, 2, … , n )
Le quantità α i definite dalle (I.6.5) sono i cosiddetti coefficienti di Fourier generalizzati del
segnale s(t) rispetto alla base Bn .
L'approssimazione ottima del segnale s(t) è allora data dalla:
sn =
(I.6.6)
n
∑ ( s, ui )ui
i=1
Un’interessante interpretazione geometrica del risultato precedente è costituito dal cosiddetto
TEOREMA DELLA PROIEZIONE.
Detta sn la migliore approssimazione di s in S n , il vettore s - sn risulta ortogonale ad ogni
vettore appartenente ad S n e quindi è ortogonale al sottospazio lineare S n ad n dimensioni.
(v. Fig. II.2).
Dimostrazione
Basta infatti dimostrare che il vettore s - sn è ortogonale ad ogni componente ui di una
qualsiasi base Bn = {ui }i=1 orto-normale di S n . Tenendo presenti le (I.6.5) e (I.6.6), si ha:
n
( s - sn , ui ) = ( s, ui ) − ( sn , ui ) =
(I.6.7)
s
s − sn
= ( s, ui ) −
n
∑ α j (u j , ui ) = αi − αi = 0
j=1
sn quindi è la proiezione ortogonale di s nel sottospazio
π
2
sn
Sn
Fig. II.2 – Teorema della proiezione
lineare S n .
La quantità
(I.6.8)
e = s − sn
Cap. I - Lo spazio dei segnali
2
misura l'errore di approssimazione, mentre e
e
2
= s − sn
2
- 17 -
è l'errore quadratico medio. Si ha:
= ( s − sn , s − sn ) =
= ( s, s − sn ) − ( sn , s − sn ) =
(I.6.9)
= ( s − sn , s )* = ( s, s ) − ( sn , s )* =
2
= s − ( sn , s )*
in quanto, essendo e ortogonale a sn , risulta ( sn , s − sn ) = 0 . Tenendo conto della (I.6.6) si ha:
( sn , s ) =
(I.6.10)
n
n
i =1
i =1
∑ ( sn , ui )(ui , s) = ∑ ( s, ui )
2
= ( sn , s )*
e quindi infine:
(I.6.11)
2
e
2
= s −
n
∑ ( s, ui )
2
i =1
Esempio E.I.2
Determinare la proiezione del segnale
u0 (t)
s (t ) = e − t u (t )
nel sottospazio ad infinite dimensioni individuato dalle seguenti
funzioni di base:
ui (t ) = rect t − 1 − i
( i = 0, 1, 2, …)
2
rappresentate in Fig. E.I.1.
La base in questione è orto-normale essendo manifestamente
)
(
∫
∞
−∞
ui ( t )ui ( t ) dt = δ i − j
t
u1(t)
t
u2 (t)
t
u3 (t)
e quindi i coefficienti di Fourier generalizzati
0
valgono:
( s, ui ) =
∫
∞
−∞
s (t )ui (t )dt =
∫
i +1 − t
e dt = e
i
−i
1
−1
∫
∑
2
(
( s , ui ) = 1 − e
i =1
4
5
t
Fig. E.I.1
∫
∞
)∑
−1 2
3
#
(1 − e )
Per valutare l’errore di approssimazione, occorre in base alla
(I.6.11) determinare:
• l’energia del segnale
∞ 2
∞ −2 t
2
s =
s (t ) dt =
e dt = 1
−∞
0
2
• La quantità
∞
2
e
−2 i
i =0
(
= 1− e
)
1
−1 2
1− e
−2
=
1 − e −1
1+ e
−1
=
e −1
e +1
Si ha quindi
e
2
e −1 3 − e
=1−
=
2 e +1 1+ e
I.7 - Sviluppo di un segnale in serie di funzioni ortogonali.
Sia S k un sottospazio lineare a k dimensioni generato da una base Bk ≡ {ui }i=1 di vettori
k
orto-normali e sia sk (t ) la proiezione ortogonale di un segnale s(t) nel sottospazio S k .
Se alla base Bk si aggiunge un vettore uk +1 ortogonale ai precedenti e a sua volta normak +1
le, si ottiene un nuovo insieme di vettori {ui }i =1 che costituisce una nuova base Bk +1 che a
sua volta genera un sottospazio lineare a k + 1 dimensioni S k +1 . Denotando con sk +1 la proiezione ortogonale di s su S k +1 , l'errore quadratico medio, ottenuto con questa nuova approssimazione, sarà, per la (I.6.11):
(I.7.1)
ek +1
2
2
= s −
k +1
∑
i =1
2
2
( s, ui ) = s −
che può essere riscritta nel seguente modo:
k
∑ ( s, ui )
i =1
2
− ( s, uk +1 )
2
- 18 -
G. Mamola: Fondamenti di Comunicazioni Elettriche
(I.7.2)
ek +1
dove ek
2
2
= ek
2
− ( s, uk +1 )
2
denota l’errore commesso quando si effettua la proiezione del sottospazio Sk .
Aumentando la dimensionalità del sottospazio dove si proietta il vettore s la norma dell'errore non aumenta. La successione
{ ek }
degli errori quadratici medi costituisce pertanto
una successione non crescente a termini non negativi. Essa è pertanto una successione
convergente.
Si è portati quindi a concludere che disponendo di un sistema di vettori u1 , u2 ,…, un ,…
orto-normale che individua un sottospazio lineare ad infinite dimensioni, si potrebbe ottenere un'approssimazione del segnale s(t) con un errore quadratico medio nullo. In altri termini, se si ha:
(I.7.3)
s
2
=
∞
∑ ( s, ui )
2
i =1
si può cioè scrivere:
s=
(I.7.4)
∞
∑ ( s, ui )ui
i =1
Ricordando il significato energetico che si è attribuito alla norma di un segnale, la (I.7.3)
esprime l'energia totale di un segnale in termini dei coefficienti αi = ( s, ui ) , cosicché la quantità α i
2
rappresenta l'aliquota dell'energia di s(t) che compete alla generica componente
α iui ( t) dello sviluppo (I.7.4).
Si noti che, per una certa classe di segnali, non tutte le basi orto-normali composte da
un'infinità numerabile di funzioni sono tali da garantire l'annullarsi dell'errore medio quadratico. Tuttavia se, per una data infinità numerabile di funzioni orto-normali, si determina
un particolare insieme di segnali tale che per ogni suo elemento la (I.7.3) è verificata,
l’insieme in questione si dice completo e la (I.7.3) costituisce la condizione di completezza.