Appendice 6.2 - Gabriele Falciasecca
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Appendice 6.2 - Gabriele Falciasecca
APPENDICE 6.2 RAPPRESENTAZIONE NELLO SPAZIO DEI SEGNALI 6.2.1. SPAZIO DEI SEGNALI Si torni a considerare la rappresentazione in serie temporale, in generale imperfetta, già introdotta : N x (t) ≅ ∑ α k ψ k (t) , [6.2.1] ~ k=1 ottenuta come combinazione lineare di N funzioni ortonormali ψk(t) appartenenti allo spazio funzionale L2(T) , con i coefficienti: [6.2.2] α k = (x , ψ k ) . In base a tale ultima espressione risulta che in virtù della loro ortonormalità alle funzioni ψ k(t) con k = 1 , 2,.., N corrispondono ordinatamente le particolari ennuple di valori αk : (1,0,..,0) , (0,1,..,0) ,...., (0,0,..,1) . Mediante l'associazione biunivoca alle N funzioni ψk(t) di altrettanti versori ψk , tutti tra loro ortogonali, si può allora definire uno spazio euclideo a N dimensioni, denominato spazio dei segnali. 6.2.2. VETTORI RAPPRESENTATIVI NELLO SPAZIO DEI SEGNALI Ammesso che le N funzioni ψk(t) siano reali, la relazione [6.2.2] stabilisce una corrispondenza tra un segnale reale x(t) e una ennupla di valori reali ( α1 , α 2 ,.., α N ) , a cui si può associare un vettore ~ x , che risulta la proiezione del segnale nello spazio a N dimensioni appena sopra definito. Ogni coefficiente αk è dunque la k-esima componente del vettore k , ossia si ha: [6.2.3] αk = ~ x .ψ k ~ x secondo ψ , che ancora più giustifica la denominazione di prodotto scalare adottata per la operazione α k = (x , ψ k ) nel dominio del tempo. Come già evidenziato in precedenza, in generale occorre un numero infinito di funzioni ortonormali per rappresentare in modo soddisfacente qualsiasi segnale appartenente a L2(T) , nel suo intervallo di definizione. Assunto uno spazio dei segnali a dimensione finita, se x(t) è un generico segnale reale di energia, il segnale differenza x(t) - ~ x (t) eventualmente non nullo risulta ~ comunque ortogonale a x (t) , in modo che ad esso corrisponde un vettore residuo x0 finito ortogonale alla proiezione ~ x di x(t) nello spazio considerato; se poi x(t) è un segnale di potenza, si può ancora avere una sua proiezione ~ x , ma con vettore residuo ortogonale infinito. La desiderata accuratezza della rappresentazione ~ x (t) può essere raggiunta, per particolari categorie di segnali, anche per N finito. In tale caso diviene biunivoca la corrispondenza tra un segnale x(t) , per cui valgono pienamente nel dominio del tempo le espressioni (vedi [6.1.14] ): N [6.2.4] x(t) = ∑ X k ψ k (t) , con Xk = αk = (x ,ψk) , k =1 e la sua rappresentazione vettoriale x nella base euclidea {ψ ψk} (vedi figura 6.2.1), per cui si pone: [6.2.5] x≅ N ∑ Xk ψ k , Xk = x.ψk . con k =1 X3 ψ3 ψ1 x 0 ψ2 X2 X1 Fig. 6.2.1. Rappresentazione di un segnale reale x(t) mediante un vettore x nello spazio dei segnali. Rammentando la proprietà [6.1.17] , si ricava il seguente legame tra il modulo | x | del vettore rappresentativo nello spazio dei segnali e la energia del segnale x(t) : N [6.2.6] | x |2 = x.x = ∑ X 2k = Exx . k =1 Si consideri una coppia di segnali, x(t) e y(t) , che siano entrambi soddisfacentemente rappresentabili tramite una base {ψk(t)} a N dimensioni con le ennuple di valori Xk e Yk ( k = 1 , 2,.., N ); effettuando il prodotto scalare dei due corrispondenti vettori nello spazio dei segnali, x e y , si ottiene: N [6.2.7] x.y = ∑ X k Yk . k =1 Introducendo nella definizione di prodotto scalare nel dominio del tempo i segnali rappresentati come combinazioni lineari delle funzioni di base ψk(t) , si perviene al medesimo risultato, ossia si ha: [6.2.8] x.y = (x, y) . Infatti per la ortonormalità delle funzioni reali di base si ottiene: [6.2.9] N N k =1 h =1 N (x, y) = ∫ x(t ) y * (t ) dt = ∫ ∑ X k ψ k (t)∑ Yh ψ h (t) dt = N = N ∑ ∑ X k Yh ∫ψ k (t)ψ h (t) dt k =1 h =1 = ∑ X k Yk . k =1 Si noti che nel caso in cui risulti (x, y) = 0 i due vettori rappresentativi x e y sono effettivamente ortogonali nello spazio dei segnali. 6.2.3. ORTOGONALIZZAZIONE DI GRAM-SCHMIDT Vale la pena di richiamare un importante caso di categoria di segnali rappresentabili in modo soddisfacente tramite una base ortonormale, ossia in uno spazio a dimensione finita: si tratta del generico insieme discreto {xi(t)} , costituito da un numero finito M di segnali di energia, per cui il metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt garantisce la piena validità della rappresentazione facendo ricorso a precisabili funzioni ortonormali in numero finito N ≤ M . Come illustrato nel seguito, il metodo consiste nell'effettuare delle operazioni su ogni segnale xi(t) per ricavare una funzione di base ψi(t) ortonormale a tutte le funzioni precedentemente determinate. Nel primo passo a partire da x1(t) si pone: x (t) [6.2.10] ψ1(t) = 1 . x1 (t) 2 Nel secondo passo a partire da x2(t) si determina il segnale w2(t) , ortogonale a x1(t) : [6.2.11] w2(t) = x2(t) - (x 2 , ψ 1 ) ψ1(t) , ricavando quindi la seconda funzione di base: w 2 (t) [6.2.12] ψ 2 (t) = . w 2 (t) 2 Al k-esimo passo si ha il segnale ortogonale a tutti i precedenti: k-1 [6.2.13] wk(t) = xk(t) - ∑ (x k , ψ i ) ψ i (t) , i=1 e la corrispondente funzione di base: w k (t) [6.2.14] ψ k (t) = . w k (t) 2 Per come sono state ricavate le ψ(t) sono combinazioni lineari degli M segnali xi(t) ; se questi sono linearmente indipendenti esistono allora altrettante funzioni ortonormali ψ(t) ; altrimenti solo N ≤ M di esse risultano non identicamente nulle.