Polinomi di Taylor: illustrazioni

Taylor.nb
1
Polinomi di Taylor: illustrazioni
Gianluca Gorni, Università di Udine
1. L'esponenziale
ãx
n=4
n=3
2.5
n=2
2
n=1
1.5
n=0
n=0
1
n=2
0.5
n=4
ãx
n=3
-1.5
x
-1
-0.5
0.5
n=1
1
-0.5
La funzione esponenziale x # ex (tratteggiata) ha come polinomio di MaLlaurin di ordine n
2
3
n
x
x
x
€€ + €€€€
€€ + º + €€€€
€€ .
pn,0 HxL = 1 + x + €€€€
2!
3!
n!
Al crescere dell'ordine n i grafici dei polinomi (non tratteggiati) si "adagiano" sempre di più e su una regione sempre più
vasta sul grafico della funzione esponenziale. Quella dell'esponenziale è una delle situazioni in cui i polinomi di Taylor
hanno pieno successo nell'opera di approssimare una funzione.
Taylor.nb
2
2. Il Seno
n=1
3
n=3
2
1
n=5
sen x
-p
p
- €€€€€€
2
p
€€€€€€
2
x
p
sen x
n=5
-1
-2
n=3
-3
n=1
La funzione x # sen x (tratteggiata) ha come polinomio di MaLlaurin di ordine n = 2 k + 1
3
5
7
9
2 k+1
x
x
x
x
x
€€ + €€€€
€€ - €€€€
€€ + €€€€
€€ - º + H-1Ln €€€€€€€€
€€€€€€€€€€ .
p2 k+1,0 HxL = x - €€€€
3!
5!
7!
9!
H2 n+1L!
Al crescere dell'ordine n i grafici dei polinomi (non tratteggiati) si "adagiano" sempre di più e su una regione sempre più
vasta sul grafico della funzione seno. Quella del seno è un'altra delle situazioni in cui i polinomi di Taylor hanno pieno
successo nell'opera di approssimare una funzione.
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3
3. Il coseno
n=0
n=0
1
0.5
n=4
n=4
x
p
€€€€€€
2
p
- €€€€€€
2
-p
p
-0.5
cos x
cos x
-1
n=6
n=6
-1.5
n=2
n=2
-2
La funzione x # cos x (tratteggiata) ha come polinomio di MaLlaurin di ordine n = 2 k
2
4
6
8
10
2k
x
x
x
x
x
x
€€ + €€€€
€€ - €€€€
€€ + €€€€
€€ - €€€€
€€€€€ + º + H-1Ln €€€€€€€€
€€€€€
p2 k,0 HxL = 1 - €€€€
2!
4!
6!
8!
10!
H2 nL!
Al crescere dell'ordine n i grafici dei polinomi (non tratteggiati) si "adagiano" sempre di più e su una regione sempre più
vasta sul grafico della funzione coseno. Quella del coseno è un'altra ancora delle situazioni in cui i polinomi di Taylor
hanno pieno successo nell'opera di approssimare una funzione.
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4
1
4. La funzione x # €€€€€€€€
€€€€€
1+x 2
n=0
n=8
n=4
n=4
n=8
1.5
n=0
1
0.5
1
€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€
2
x +1
1
€€€€€€€€
€€€€€€€€€€€€
2
x +1
x
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
1.5
2
n=6
n=2
-1.5
n=2
n=6
-2
1
La funzione x # €€€€€€€€
€€€€€ (tratteggiata) ha come polinomio di MacLaurin di ordine n = 2 k
1+x2
p2 k,0 HxL = 1 - x2 + x4 - x6 + x8 - x10 + º + H-1Ln x2 k .
Al crescere dell'ordine n i grafici dei polinomi (non tratteggiati) si "adagiano" sempre di più sul grafico della funzione, e
la regione di adagiamento è sempre più vasta, ma non a dismisura: invade lentamente l'intervallo ]-1, 1 [, ma non si
spinge oltre. Fuori da quell'intervallo i grafici dei polinomi di Taylor in effetti si allontanano da quello della funzione, e
tendono a divergere (positivamente o negativamente a seconda se si prendono gli n pari o dispari).
Questo è un esempio in cui i polinomi di Taylor hanno successo solo parziale nell'opera di approssimare una funzione.
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5. La funzione x # ã x - 3 ã -1•x
2
n=4
n=3
2.5
n=2
2
n=1
1
ãx - 3 ã- €€€€x2€€ €
1.5
n=0
n=0
1
n=2
0.5
n=4
n=3
-1.5
n=1
x
-1
1
ãx - 3 ã- €€€€x2€€ €
-0.5
0.5
1
-0.5
2
l
o ã x - 3 ã-1•x per x ¹ 0
(tratteggiata) è derivabile infinite volte su tutto R (omettiamo la dimostraziLa funzione x # m
o
0
per x = 0
n
one) e il suo polinomio di MacLaurin di ordine n è
2
3
n
x
x
x
pn,0 HxL = 1 + x + €€€€
€€ + €€€€
€€ + º + €€€€
€€ .
2!
3!
n!
Già visti da qualche parte questi polinomi? Sì: sono identici ai polinomi di MacLaurin dell'esponenziale ã x .
Al crescere dell'ordine n i grafici dei polinomi (non tratteggiati) si "adagiano" sempre di più sul grafico della funzione
esponenziale, che però non è la funzione da cui siamo partiti.
Questo è un esempio in cui i polinomi di Taylor falliscono completamente nell'opera di approssimare una funzione.
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6
n=3
ât
n=5
n=9
n = 17
1
1
€€€€
4 €x€€€€ 4 t 2
Ù0 ã
n = 129
n = 65
n = 33
6. La funzione x # 2 ã
1
- €€€€€€€€
€€€€
4 x2
0.5
- €€€€€1€€€2€€ €
2ã
4x
à
1
€€€€
4 €x€ €
2
ã4 t â t
0
x
-1
- €€€€
€1€€€€€ €
4 x2
2ã
-0.5
à
1
€€€€
4 €x€ €
0.5
1
2
ã4 t â t
0
-1
n = 33
n = 65
n = 129
n = 17
n=9
n=5
n=3
-0.5
1
€€€€1€€€€
2
l
o
o 2 ã- €€€€4€x€€€2€€€€ Ù 4 x ã4 t â t per x ¹ 0
0
La funzione x # m
(tratteggiata) è derivabile infinite volte su tutto R (omettiamo la
o
o
per x = 0
n0
dimostrazione) e il suo polinomio di MacLaurin di ordine n = 2 k + 1 è
H2 kL! 2 k+1
0!
2! 3
4! 5
6! 7
€ x + €€€€
€ x + €€€€
€ x + €€€€
€ x + º + €€€€€€€€
€€€€ x
.
p2 k+1,0 HxL = €€€€
0!
1!
2!
3!
k!
Al crescere dell'ordine n i grafici dei polinomi (non tratteggiati) si "adagiano" sul grafico della funzione su una regione
che via via si restringe. I polinomi tendono all'infinito, eccetto nel caso banale di x = 0 .
Questo è un altro esempio in cui i polinomi di Taylor falliscono miseramente nell'opera di approssimare una funzione.