Parallelogramma equiesteso all`unione di altri due parallelogrammi.

Parallelogramma equiesteso all’unione di altri due parallelogrammi.
Dato il parallelogramma ABCD, scegliere sulla diagonale AC un punto P e costruire il parallelogramma CDEP
avente come lati consecutivi i segmenti PC, CD ed il parallelogramma ABFP, avente come lati consecutivi i
segmenti AP, AB.
Dimostrare che il parallelogramma ABCD è equiesteso all’unione dei due parallelogrammi CDEP, ABFP.
Dimostrazione
Facciamo riferimento alla figura riportata a lato.
Note operative per la costruzione della figura
1) Per costruire il parallelogramma CDEP, una volta
fissato il punto P sulla diagonale AC, osservato
che DP deve essere una diagonale del
parallelogramma da costruire, si devono
tracciare dal punto D la retta parallela alla
Figura 1-L’unione dei due parallelogrammi CDEP,
diagonale AC e dal punto P la retta parallela al
ABFP è equiestesa al parallelogramma ABCD.
lato CD. Il punto E è l’intersezione delle due
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rette tracciate.
2) Per costruire il parallelogramma ABFP, visto che BP deve essere una sua diagonale, si devono
tracciare per il vertice B la parallela alla diagonale AC e dal punto P la retta parallela al lato AB (è la
stessa retta che risulta parallela al lato CD). Il punto F risulta essere l’intersezione delle due rette
tracciate.
Dimostriamo ora la tesi.
Nella costruzione della figura sono stati individuati i due punti G ed H ottenuti dall’intersezione della
retta condotta per P parallelamente ai lati CD, AB; in figura sono presenti oltre al parallelogramma
ABCD iniziale e ai due parallelogrammi CDEP, ABFP, altri due parallelogrammi: CDGH, ABHG.
Osserviamo che i parallelogrammi CDEP,CDGH hanno in comune la base CD e come altezze relative la
distanza tra la retta contenente CD e la retta tracciata da P e parallela a CD. Dunque i due
parallelogrammi sono equiestesi: CDEP CDGH .
Analogamente, i due parallelogrammi ABFP, ABHG, considerati sulla base comune AB, risultano avere
altezze congruenti, perché coincidenti con la distanza tra la retta del lato AB e la retta condotta da P
parallelamente ad AB. Dunque: ABFP ABHG .
Componendo i quattro parallelogrammi indicati sopra otteniamo:
ABHG  CDGH ABFP  CDEP  ABCD ABFP  CDEP
L’equivalenza ottenuta rappresenta la tesi da dimostrare.
Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it
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