Determina le coordinate del punto , simmetrico di

Esercizio 226.479 Sono dati i punti
3 ; 1 , 1 ; 1 e 1 ; alla retta
, e l’area del quadrilatero
. . Determina le coordinate del punto , simmetrico di
rispetto
Soluzione 1
Per determinare le coordinate del punto , simmetrico di
rispetto alla retta
è sufficiente imporre che:
1. Il punto medio del segmento
appartenga ad ;
2. La retta
sia perpendicolare alla retta
.
Determiniamo innanzitutto l’equazione della retta AB:
1
3
; ;
1 1 1 3
1
3
; 2
2
3 ;
2
4
2
1 0
le coordinate del punto P richiesto.
; Siano
Il punto
; ha quindi coordinate:
2∙
1
. La condizione di appartenenza di
0 ; Il coefficiente angolare della retta
1
1
0 ; 2
3
alla retta
2
si traduce in:
0
2
6
0
è
Il coefficiente angolare della retta PC è
La condizione di perpendicolarità
Risolvendo il sistema fra le due condizioni si ha:
2
6 0
2
3
3
2
2 2
1
2
6 0 2
2
2
3
4
4
4
8
24
2
2
si traduce in:
6
0 2
1 6 2
1
1 10
25 2
3
2
6
0 2
2 4 2
6
2⋅
5
2
6
1
1 5
2
1 ; .
Pertanto il punto richiesto ha coordinate
L’area del quadrilatero
è uguale al doppio dell’area del
triangolo
.
Pertanto occorre calcolare la misura della base
e dell’altezza
del triangolo.
3
4
√16
Il punto
√20
; ha quindi coordinate:
4
1
1
2√5
1
√1
1
≡ 0 ; .
0
√5
L’area del quadrilatero
è uguale a
2∙
2∙ ∙
∙
2√5 ∙ √5
10 .
Matematica www.mimmocorrado.it 1 Soluzione 2
Per determinare le coordinate del punto , simmetrico di
rispetto alla retta
è sufficiente determinare:
1. le coordinate del punto
2. esprimere come punto medio del segmento
Determiniamo innanzitutto l’equazione della retta AB:
1
3
; ;
1 1 1 3
3
1
; 2
2
3 ;
4
2
2
1 0 ⇒ .
Determiniamo poi l’equazione della retta
passante per e perpendicolare ad
.
3
1
; 2
Le coordinate del punto si ottengono:
4
2
1 0
2
1 0
10
5
Esprimendo
2
2
1
2
1
2
2
1 ; 2
1 2
2∙
come punto medio del segmento
0
2
, come retta
0
3 1
2
1
3
4 2
0 1
0
4
2
1 ; 4
1
⇒ 2
0 8
0 ; 1
4
0 .
2
1
0
.
si ottiene:
1 1
3 2
1
3
2
5 ⇒ 2
1 ; 5
2
Matematica www.mimmocorrado.it 2 Esercizio 226.484 2 ; 1 , Siano dati i punti
1 ; 1 e 2 ; 7 e la retta di equazione 2
7
0.
a. Verifica che il triangolo
è rettangolo in .
b. Trova un punto
su in modo che il quadrilatero
sia un trapezio avente
e
come basi.
c. Calcola l’area del trapezio trovato.
Soluzione a
Per verificare che il triangolo
è rettangolo in
è
sufficiente verificare che il coefficiente angolare del lato
è
l’opposto del reciproco del coefficiente angolare del lato
.
1 1
2 1
2
3
1 7
2 2
6
4
3
.
2
Soluzione b
Le coordinate del punto
si possono ottenere come
intersezione fra l’equazione della retta e la retta passante per
e parallela ad
.
La retta passante per il punto
e parallela ad
3
1 ; 1
2
si ottengono quindi risolvendo il sistema:
; Le coordinate del punto
2
4
3
1
7 0
2
5
2
3
2
5 14
0
Soluzione c
Per calcola l’area del trapezio
3
2
2
5
2
7
0
3
2
3
; 2
3
2
2
5
3
2
2
9 3
5 27 5
⇒ ∙9
11
2
2
2 2
5
2
7
3
2
5
;
2
0 9 ; 11
occorre determinare le misure delle basi e dell’altezza.
1
L’area del trapezio
ha equazione:
9
1
11
144
√64
2
1
1
1
√9
2
2
1
7
√16
4
√208
4√13
√13
36
√52
2√13
è pertanto:
∙
4√13
2√13
2
∙ √13
3√13 ∙ √13
39 .
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