Compito Prova di Buon Inizio Anno

MATEMATICA CORSO A
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE
I PROVA IN ITINERE
COMPITO PROVA 2
1- Si dispone di 2 kg di soluzione ( di un certo soluto in un certo solvente) concentrata
al 38%. Calcolare la quantità di solvente che si deve aggiungere alla soluzione per
ottenere una nuova soluzione, concentrata al 20%. (Si ricorda che la concentrazione di
una soluzione è data dal rapporto tra quantità del soluto e quantità della soluzione)
GUIDA ALL’ESERCIZIO 1: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?
…..Prima di tutto devi saper leggere con attenzione il testo. Come si calcola una
percentuale? Come si ottiene una soluzione concentrata ad un certo tot%?
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi la Lezione 16/10/09 e
l’Esercitazione del 20/10/09 e l’esercizio su percentuali della prima prova in
itinere 08/09 (file:esercizio201009).
Dopo avere rivisto le lezioni e l’esercitazione e l’esercizio, prova di nuovo a
svolgere l’esercizio assegnato!
Ora controlla la tua soluzione con la mia!
SOLUZIONE: Indichiamo con x il soluto e con y il solvente, sono date le relazioni:
x+y=2,
x/(x+y) = 38/100, da cui otteniamo x =76/100, dobbiamo determinare la quantità c di
solvente da aggiungere alla soluzione per portarla ad una concentrazione del 20% per
cui si ha x/(x+y+c)=
0.76/(2+c) = 20/100 da cui c=1.8 kg.
2-Siano f : R →R e g : R → R due funzioni tali che f(x) ≥ g(x) per
ogni x ∈ R. Sapendo che g è crescente, puoi concludere che f è crescente? Se sì,
spiega perchè; se no, fai un esempio.
GUIDA ALL’ESERCIZIO 2: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?
…..Come si definisce la crescenza o la decrescenza di una funzione? Quali funzioni
crescenti conosci? Ti puoi fare un’idea grafica di quanto può accadere, date le
informazioni dell’esercizio, per capire che la risposta è no. Cerca dunque di pensare a
due funzioni che conosci e che possano fornirti un esempio (Ricorda! Finora abbiamo
parlato soltanto di funzioni polinomiali, potenza, razionali)
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 23 e
27/11/09 e 11 e 14/12/09 e le Esercitazioni del 24/11/09 e 15/12/09 e gli esercizi
del file Esercizi vari su funzioni polinomiali e razionali).
Dopo avere rivisto le lezioni e le esercitazioni, prova di nuovo a svolgere
l’esercizio!
Ora controlla la tua soluzione con la mia!
SOLUZIONE: Sapere che g(x) è crescente non implica che f(x) lo sia, infatti, ad
esempio, la funzione g(x)=x è crescente, la funzione f(x)=x2 + x +1 NON è crescente,
pur essendo vero che f(x)≥g(x), infatti, per ogni x reale, si ha x2 + x +1≥ x, essendo
x2 +1 ≥ 0.
3- In un mazzo di carte da scopa, si prendono 3 carte, calcola la probabilità di
ciascuno dei seguenti eventi:
a)
b)
c)
d)
una sola carta è una figura;
al più una carta è una figura;
almeno una carta è una figura;
sono più figure che non.
GUIDA ALL’ESERCIZIO 3: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?
…..Hai chiaro il significato delle parole “al più” e “almeno”? Hai chiaro l’argomento
estrazioni ripetute con o senza rimbussolamento? Questo è un problema di estrazioni
di carte da un mazzo di carte da scopa (40 carte). Si estrae con o senza rimessa…?
Puoi anche ricorrere al calcolo combinatorio; sai contare i casi possibili? E i casi
“favorevoli”?
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 03 e
13/11/09 e l’Esercitazione del 17/11/09.
Dopo avere rivisto le lezioni e l’esercitazione, prova di nuovo a svolgere
l’esercizio assegnato!
Ora controlla la tua soluzione con la mia!
SOLUZIONE: a) 3(12/40)(28/39)(27/38);
b) al più una carta è una figura significa o nessuna carta è una figura oppure una sola
carta è una figura (e quindi due carte non sono figure come al punto a)), perciò si ha
(28/40)(27/39)(26/38) + 3(12/40)(28/39)(27/38); c) almeno una carta è una figura
corrisponde all’evento contrario di nessuna carta è una figura, quindi la probabilità
richiesta è 1 – (28/40)(27/39)(26/38); d) più figure che non corrisponde a “due figure
e una carta che non è una figura ” oppure “tutte figure” , quindi
3(12/40)(11/39)(28/38) + (12/40)(11/39)(10(38).
Puoi anche risolvere l’esercizio utilizzando il Calcolo Combinatorio …Come?
4- Il colore del pelo di una razza canina è determinato geneticamente da un gene con
tre alleli: l’allele B bianco, l’allele N nero, l’allele F fulvo. Gli alleli B e N sono
dominanti su F, mentre il genotipo BN corrisponde ad un pelo maculato. Supponiamo
che la popolazione soddisfi la legge di Hardy-Weinberg e sapendo che il 21% dei cani
hanno pelo bianco, il 45% pelo nero, il 4% fulvo, il 30% maculato, calcola la
probabilità di tutti i possibili genotipi.
Qual è la probabilità che un cane abbia pelo fulvo, sapendo che entrambi i genitori ce
l’hanno? E sapendo che la madre ha pelo fulvo, mentre il padre non ha il pelo fulvo?
GUIDA ALL’ESERCIZIO 4: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?
…..Come si definisce e come si calcola una probabilità condizionale? Ti sono chiare
le applicazioni della probabilità alla genetica viste a lezione ed esercitazione?
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 03 e 09 e
13/11/09 e le Esercitazioni del 06 e 10/11/09.
Dopo avere rivisto le lezioni e le esercitazioni, prova di nuovo a svolgere
l’esercizio assegnato!
Ora controlla la tua soluzione con la mia!
SOLUZIONE: Indichiamo con x la probabilità dell’allele B, con y quella dell’allele
N ed infine con z quella dell’allele F, utilizzando i dati assegnati, calcoliamo la
probabilità dei vari genotipi:
x2 + 2xz = 0.21
y2 + 2yz= 0.45
z2 =0.04
2xy=0.3, da questo sistema di equazioni otteniamo x=0.3, y=0.5 e z= 0.2. Le
probabilità dei vari genotipi sono dunque:
P(BB)= 0.09, P(BF)=0.12, P(BN)=0.3, P(NN) =0.25, P(NF) = 0.2, P(FF)=0.04.
Essendo “fulvo” il carattere recessivo, la probabilità che da genitori entrambi fulvi
(quindi entrambi di genotipo FF), il figlio risulti fulvo (quindi di genotipo FF) è 1.
Sapendo che la madre è FF, mentre il padre non è FF (quindi può essere di uno
qualsiasi degli altri genotipi), calcoliamo la probabilità che il figlio risulti di genotipo
FF:
P(FiglioFF | P¬FF ∩ MFF ) =[(0.12)(1/2) + (0.2)(1/2)]/(1 –0.04) = 1/6
5-Stai cercando di descrivere un certo fenomeno attraverso una funzione del tipo
f(t)=(a+bt3)/(c+dt3), dove a, b, c, d sono opportune costanti; sai che la funzione deve
avere soddisfatte le seguenti condizioni:
non deve essere definita per t=1, deve assumere valore 1 per t=-1, deve avere limite
per t→+∞ uguale a 2. Che cosa puoi dire delle costanti a,b,c,d?
Determina inoltre le funzioni il cui grafico è ottenuto:
a) traslando il grafico di f(t) di 1 unità verso il basso
b) moltiplicando la funzione per 3 e poi traslando il grafico di 2 unità verso
destra
GUIDA ALL’ESERCIZIO 5: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?
…. Che tipo di funzione è la funzione assegnata? Come si determina il suo insieme di
definizione o dominio? Come si calcola f(t) per t assegnato? Come si calcolano i
limiti di funzioni di questo tipo per t→+∞? Come si ottengono altre funzioni traslando
il grafico di una funzione assegnata di tot unità verso destra o verso sinistra, verso
l’alto o verso il basso?
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 11 e 14 e
18/12/09 e l’Esercitazione 15/12/2009 e il file Esercizi vari su funzioni polinomiali
e razionali.
Dopo avere rivisto le lezioni e le esercitazioni, prova di nuovo a svolgere
l’esercizio!
Ora controlla la tua soluzione con la mia
SOLUZIONE: Poichè la funzione non è definite in t=1, il denominatore deve
annullarsi per t=1, quindi si ha c + d =0; poichè f(-1)=1, si ha (a – b)/(c – d) =1; infine
la condizione di limite ci impone b/d = 2; da queste tre condizioni si ricava a=0, c=d, b=2d e quindi la funzione f(t) = (2dt3)/(-d+dt3)= (2t3)/(t3 – 1).
a) Per determinare la funzione g(t) il cui grafico è ottenuto da quello di f(t)
traslando di 1 unità verso il basso, basta sottrarre 1 all’espressione di f(t), si ha
g(t)= f(t) – 1 = (2t3)/(t3 – 1) – 1;
b) Per determinare la funzione h(t) il cui grafico è ottenuto da quello di f(t)
moltiplicando la funzione per 3 e poi traslando il grafico di 2 unità verso
destra, si deve calcolare h(t)=3f(t-2) = 3(2(t-2)3)/((t-2)3 – 1)
6-Si vuole verificare se il livello produttivo del mais dipenda dalla dose di
fertilizzante utilizzato. A tal proposito, viene suddiviso un terreno in 10 parcelle nelle
quali si usa un dosaggio di fertilizzante diverso e poi si misura il peso della granella di
mais. Si hanno i seguenti risultati:
Unità fertilizzante
Peso granella
171
169
181
173
178
180
185
183
170
174
60
57
71
66
65
78
82
78
62
70
Si può affermare che ci sia una relazione lineare tra le due variabili? Fare una analisi
di regressione.
GUIDA ALL’ESERCIZIO 6: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?
…..In che cosa consiste una analisi di regressione? Come si determina una retta di
regressione? Come si definisce e come si calcola il CP ( Coefficiente di Pearson)? A
che fini si calcola il CP?
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi la Lezione 30/1101/12/09 e l’Esercitazione: Esercizi da svolgere di statistica descrittiva (file Es1)
Dopo avere rivisto la lezione e l’esercitazione, prova di nuovo a svolgere
l’esercizio assegnato!
Ora controlla la tua soluzione con la mia!
SOLUZIONE: Completiamo la tabella nel modo seguente:
X: fertilizzante
171
169
181
173
178
180
185
183
170
174
X*=176.4
Y:Peso
granella
60
57
71
66
65
78
82
78
62
70
Y*=68.9
X2
Y2
XY
29241
28561
32761
29929
31684
32400
34225
33489
28900
30276
2
(X )*=31146.6
3600
3249
5041
4356
4225
6084
6724
6084
3844
4900
2
(Y )*=4810.7
10260
9633
12851
11418
11570
14040
15170
14274
10540
12180
(XY)*=12193.6
Possiamo ora facilmente calcolare Y=mX+q, dove
m=(12193.6-(176.4)(68.9))/(31146.6-(176.4)2)≈1.34
q=68.9-(1.34)(176.4) ≈ -167.48
Il coefficiente di Pearson
CP=(12193.6-(176.4)(68.9))/sqr[(31146.6-(176.4)2)(4810.7-(68.9)2)] ≈ 0.91
Quindi il coefficiente di Pearson è piuttosto vicino ad 1 e mostra una buona
approssimazione lineare di Y in funzione di X.