I Prova in itinere: Compito prova 3 Soluzioni

MATEMATICA CORSO A
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE
I PROVA IN ITINERE
COMPITO PROVA 3
1-Il giorno 7 gennaio Francesca riscontrò un aumento di peso del 10% rispetto al suo
peso prima delle vacanze di Natale. Dopo un mese di dieta il peso di Francesca
diminuì del 10% rispetto al peso del 7 gennaio. Il peso di Francesca è aumentato,
diminuito o rimasto costante rispetto al suo peso prima delle vacanze? Perché?
GUIDA ALL’ESERCIZIO 1: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?
….. Come si calcola una percentuale? Come si calcola un “interesse composto”?
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi la Lezione 03/11/10 e
l’Esercitazione del 09/11/10.
Dopo avere rivisto la lezione e l’esercitazione, prova di nuovo a svolgere
l’esercizio assegnato!
Ora controlla la tua soluzione con la mia!
SOLUZIONE: Sia p0 il peso di Francesca prima delle vacanze, il 7 gennaio il suo
peso divenne p1 = p0 + 10% p0 ; dopo un mese di dieta il peso divenne p2 = p1 – 10%
p1 = (p0 + 10% p0 ) - 10%( p0 + 10% p0 )= p0 – (10%)(10%) p0 , dunque il peso di
Francesca è diminuito di circa l’1% rispetto al peso prima delle vacanze.
2-Una piccola biblioteca contiene 1550 libri, 310 dei quali trattano argomenti di
fisica; sappiamo che 465 libri sono scritti in inglese e che, di questi, 93 sono di fisica.
Qual è la probabilità che, scegliendo un libro a caso, si trovi:
a. un libro scritto in inglese?
b. fra i libri di fisica un libro scritto in inglese?
c. fra i libri di argomento diverso dalla fisica un libro scritto in inglese?
d. gli eventi “libro scritto in inglese” e “libro di fisica” sono
indipendenti? (Giustificare la risposta)
GUIDA ALL’ESERCIZIO 2: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?
…..Leggere con cura il testo! Avere chiare le nozioni elementari di insiemistica e
logica. Come si definisce e si calcola una probabilità nell’impostazione classica?
Come si definisce l’indipendenza tra due eventi?
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, , rivedi le Lezioni 12 e
15/11/10 e le Esercitazioni 16 e 23/11/2010.
Dopo avere rivisto le lezioni e le esercitazioni prova di nuovo a svolgere
l’esercizio!
Ora controlla la tua soluzione con la mia
SOLUZIONE: a) P(I)=465/1550; b) P(I|F)=93/310; c) P(I|¬F)= (465-93)/(1550-310)
=372/1240; ; d)P(I)=465/1550=93/310= P(I|F) dunque gli eventi I ed F sono
indipendenti.
3- Il delfino Flipper adora la matematica e saltare fuori dall’acqua. Durante i suoi salti
ha calcolato che il baricentro del suo corpo compie una traiettoria descritta dalla
relazione f(x)=kx(10-x), dove x misura la distanza in metri dal punto di emersione.
a) a quale distanza dal punto di emersione cade Flipper?
b) Flipper ha calcolato che a 2m di distanza dal punto di emersione il
baricentro si trova a circa 5 metri di altezza, quanto vale k?
b) a quale altezza massima riesce a saltare Flipper?
GUIDA ALL’ESERCIZIO 3: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?
….. Come si definisce una funzione quadratica? Quale curva corrisponde al grafico di
una funzione quadratica? Come si determina il vertice (ascissa e ordinata) di una
parabola?
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi la Lezione 20/12/10 e
l’Esercitazione 21/12/10.
Dopo avere rivisto la lezione e l’esercitazione, prova di nuovo a svolgere
l’esercizio assegnato!
Ora controlla la tua soluzione con la mia!
SOLUZIONE: a) il punto di emersione è x=0, il punto di immersione è x=10 ( i
valori di x per cui f(x) =0) punto dove Flipper ricade in acqua;
c) Si ha 5=16k (f(2)=5), dunque k=5/16;
d) La traiettoria descritta dal baricentro di Flipper è una parabola, quindi
Flipper raggiunge l’altezza massima nel vertice; l’ascissa del vertice è
5, l’ordinata è: y = f(5)= 125/16 ≈7.8 m
4-In una certa popolazione la probabilità che un individuo sia affetto dalla malattia M
è 0.18. A seguito di indagini epidemiologiche si constata che, mentre il 7% degli
individui di quella popolazione presenta un dato sintomo S, tra coloro che sono affetti
dalla malattia M, la percentuale di chi presenta tale sintomo sale al 35%.
a) Calcola la probabilità per un individuo scelto a caso nella popolazione, di essere
affetto da M e presentare il sintomo S;
b) Calcola la probabilità per chi presenta il sintomo S di essere affetto dalla malattia
M;
c) Calcola la probabilità per chi NON presenta il sintomo S di NON essere affetto da
M
GUIDA ALL’ESERCIZIO 4: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?
…..Leggere con cura il testo! Come si definisce e si calcola una probabilità
condizionale? Come si calcola la probabilità di un evento composto?
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 15 e 18 e
22/11/10 e le Esercitazioni 23/11 e 02/12/10).
Dopo avere rivisto le lezioni e le esercitazioni prova di nuovo a svolgere
l’esercizio!
Ora controlla la tua soluzione con la mia
SOLUZIONE:
Indichiamo con P(M): probabilità che un individuo scelto a caso nella popolazione sia
affetto dalla malattia M, P(¬M): probabilità che un individuo scelto a caso nella
popolazione NON sia affetto dalla malattia M, P(S): probabilità che un individuo
scelto a caso nella popolazione presenti il sintomo S, P(¬S): probabilità che un
individuo scelto a caso nella popolazione NON presenti il sintomo S
Per ipotesi sappiamo che P(M) = 18% = 9/50 (di conseguenza P(¬M) = 82% =
41/50), che P(S) = 7% = 7/100 (di conseguenza P(¬
S) = 93% = 93/100) e che P(S|M)
= 35% = 7/20 (di conseguenza P(¬
S|M) = 65% = 13/20) a) Dobbiamo calcolare
P(M∩S) = P(S|M) P(M) = (7/ 20)( 9 /50) = 63/ 1000 = 6.3% b) Dobbiamo calcolare P(M|S)= (P(S|M) P(M))/ P(S) = (63 /1000)/( 7 /100) )=9 /10
c) Dobbiamo calcolare P(¬
M|¬S), ma per far questo ci serve la probabilità
P(¬S|¬M) P(¬M)
P(¬S) = P(¬S|M) P(M) + P(¬S|¬M) P(¬M) da cui P(¬
S|¬M) P(¬M) =
P(¬S) - P(¬S|M) P(M) = 813/ 1000 . Allora P(¬M|¬S) = (P(¬S|¬M) P(¬M))/ P(¬S)
= 813/ 930 = 271/ 310.
Un modo forse più veloce di fare lo stesso conto è il seguente:
P(¬M|¬
S) = 1 - P(M|¬S) = 1 – (P(¬S|M) P(M))/ P(¬S) = 1 - 117/ 930 = 813/ 930
5- Risolvi la seguente disequazione
3x - 1 ≤ x-2
Disegna poi l’insieme S∩T, dove
S={(x,y)∈RxR: y≤ 3x - 1 }
e
T={(x,y)∈RxR: y≥x-2}
GUIDA ALL’ESERCIZIO 5: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?
….. E’ necessario saper risolvere semplici disequazioni ed avere un po’ di familiarità
con semplici calcoli algebrici (vedi prerequisiti al corso di matematica). Avere chiara
la rappresentazione cartesiana di insiemi nel piano.
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le esercitazioni del
corso di Tutorato, rivedi anche la Lezione 09/12/2010 e l’Esercitazione
21/12/2010.
Dopo avere rivisto le lezioni e le esercitazioni, prova di nuovo a svolgere
l’esercizio assegnato!
Ora controlla la tua soluzione con la mia!
SOLUZIONE:Affinchè sia definita la radice quadrata si deve porre 3x-1≥0, quindi la
disequazione è definita solo per x≥1/3; Ricerca delle soluzioni: Si osserva che la
disequazione non può essere soddisfatta se x-2 <0, in quanto la radice quadrata
assume solo valori non negativi, poniamo dunque x≥2; poiché, per x≥2, ambo i
membri della disequazione sono non negativi, si può elevare al quadrato, otteniamo
3x-1≤ (x-2)2, da cui x2 – 7x + 5≥0, che è soddisfatta, tenendo conto della condizione
x≥2, per x≥ (7+ √29)/2
6- Assegnata la funzione f(x)= ax2 + bx , dove a e b sono parametri reali
a) determina a e b sapendo che f(1)=2 e che la funzione vale 0
per x =-1;
b) determina per quali valori di x si ha f(x)≥0
c) determina l’espressione esplicita della funzione g(x) ottenuta
traslando il grafico di f(x) di 1 unità verso destra e di 2 unità
verso il basso
GUIDA ALL’ESERCIZIO 6: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?
…. Hai chiaro l’argomento equazioni di secondo grado? Come si definisce una
funzione quadratica? Come si determina per quali valori di x la funzione assume
valori non negativi? Come si calcola f(x) per x assegnato? Come si ottengono altre
funzioni traslando il grafico di una funzione assegnata di tot unità verso destra o verso
sinistra, verso l’alto o verso il basso?
Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 06 e 09 e
20/12/10 e l’Esercitazione 21/12/2010.
Dopo avere rivisto le lezioni e le esercitazioni, prova di nuovo a svolgere
l’esercizio!
Ora controlla la tua soluzione con la mia
SOLUZIONE: a) poiché f(1)=2, si ha a+b=2, inoltre dalla condizione f(-1)=0, si ha
a-b=0, dunque a=b=1;
b) si deve risolvere la disequazione x2 + x ≥0, che corrisponde a x(x+1) ≥0, dunque
x≤-1 oppure x≥0;
c) g(x)= f(x-1) –2 =(x-1)2 + (x-1) – 2 =x2 –x –2.