spazio - liceofermimassa.gov.it

LA GEOMETRIA DELLO SPAZIO
1
Calcola l’area e il perimetro del triangolo individuato dai punti
A ( −2; 0; 4 ) , B ( 2; 1; 5) e C ( 0; 2; 3) .
9

 2 ; 3 2 + 6 
2
Stabilisci se il punto A (1;1; 2 ) appartiene all’intersezione dei piani rispettivamente di equazione
x + y = z e 2x − 3 y + z = 1.
[sì]
3
Scrivi l’equazione del piano che passa per i punti.
A ( 0;1;1) , B ( −1;1; 0 ) , C ( 2; 0;1) .
4
Scrivi l’equazione del piano passante per i punti A ( −1; 0; − 2 ) , B ( 3; − 1; 0 ) e C ( −1; 3; 2 ) e calcola
[ x + 2 y − z = 1]
la distanza del punto P (1; − 4; 2 ) dal piano.
5
46 

5
x
+
8
y
−
6
z
−
7
=
0;
5

25 
Dato il piano α : 3 x − y + 2 z − 4 = 0 individua l’equazione del piano β parallelo al piano α e
passante per il punto A (1; 0; − 2 ) . Verifica, inoltre, che il punto P ( 4; 5; − 4 ) appartiene al piano
β.
6
Calcola il volume della piramide individuata dai punti
A ( 0; 1; 1) , B ( 2; 2; 0 ) , C ( 2; 0; − 2 ) e V ( 3; − 1; 2 ) .
7
Scrivi, inoltre, l’equazione cartesiana e parametrica della
retta passante per P ( −4; 5; − 1) e Q ( 2; 1; 6 ) .
8
[3 x − y + 2 z + 1 = 0 ]
[ 4]

 7 x − 6 z + 22 = 0
 7 y + 4 z − 31 = 0 ;
 
x − y − z + 7 = 0
Verifica che la retta di equazione 
giace sul piano di equazione
2 x + 4 y + z − 13 = 0
3 x − y − 2 z + 12 = 0.
 x = 2 + 6t 


 y = 1 − 4t 

 z = 6 + 7t 
9
10
Scrivi l’equazione della superficie sferica la cui intersezione con il piano Oxz è la circonferenza
x 2 + z 2 − 2 x + 4 z + 5 = 0 e avente come centro un punto di ordinata 4.
centro : (1; 4; − 2 ) , raggio : 4 
Un parallelepipedo rettangolo ha l’area della superficie totale di 248 cm 2 . L’altezza è
spigolo di base e
5
di uno
3
5
dell’altro. Calcola la lunghezza della diagonale del parallelepipedo.
2
 2 38 cm 


11
Determina l’area totale di un parallelepipedo rettangolo sapendo che il suo volume è 960 cm3 e
2
dell’altezza.
che la base ha un lato di 6 cm e l’altro è
5
656 cm 2 
12
5
dell’altro e il perimetro è di 60 cm. Calcola il volume
12
del solido ottenuto da una rotazione completa del triangolo attorno all’ipotenusa.
 9600π
3
 13 cm 
In un triangolo rettangolo un cateto è
13
14
15
14
25
dell’apotema. A quale distanza dalla base si deve condurre un piano a essa parallelo affinché il
1
rapporto fra le aree della sezione e della base della piramide sia
?
16
[36 cm]
Il volume di una piramide regolare a base quadrata è 12544 cm3 e lo spigolo di base è
Il volume di un cono circolare retto è 24π cm3 e il raggio di base è 3 cm. Calcola la lunghezza x
di un segmento da aggiungere al raggio e da togliere all’altezza del cono affinché il rapporto fra
12
i volumi del cono dato e di quello con il nuovo raggio e la nuova altezza sia
.
25
 2 cm; 39 cm 


3
. Ruota il triangolo di
4
360° attorno all’ipotenusa e calcola la superficie totale e il volume del solido ottenuto.
 420π cm 2 ; 1200π cm3 
In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è 25 cm e il rapporto fra i cateti è
1
2
Quale delle seguenti equazioni rappresenta
il piano passante per i punti
A (1; 2; − 1) , B ( −1; 0; 1) e C ( 0; 0; − 1) ?
A
2 x + y − z + 1 = 0.
B
x − 2 y − z + 1 = 0.
C
x − y + 2 z + 1 = 0.
D
2 x − y + z + 1 = 0.
E
x − 2 y + z + 1 = 0.
Il piano passante per il punto A (1; − 1; 2 ) e
parallelo al piano Oxz ha equazione:
A x = 1.
B y = −1.
C
D
E
3
4
5
z = 2.
x = −1.
y = 1.
Quale di questi punti appartiene al piano
x − y + 4z − 5 = 0 ?
A
M ( 3; 5; 1) .
B
N ( 3; 1; 5) .
C
P (1; 5; 3) .
D
Q (1; 2; 1) .
E
R ( 2; 1; 1) .
Nella simmetria di centro l’origine, al piano
di equazione x − y + z = 10 corrisponde
quello di equazione:
A x − y + z = −10.
B
x + y − z = −10.
C
x + y − z = 10.
D
− x + y + z = 10.
E
x − y − z = −10.
La retta di equazione parametrica:
 x = −4 + 2t

 y = −1 + 5t
 z = 3 − 4t

può essere scritta come:
 x + 2 y + 3z − 3 = 0
A 
x − 2 y − 2z + 8 = 0
B
 x − 2 y − 3z − 3 = 0

x + 2 y − 2z + 8 = 0
C
 x + 2 y − 3z + 3 = 0

x − 2 y − 2z + 8 = 0
 x + 2 y + 3z − 3 = 0
1
Per tre punti passa:
A
uno e un solo piano.
B
una e una sola retta.
C
uno e un solo piano solo se i punti sono distinti.
D
uno e un solo piano solo se i punti sono non allineati.
E
una e una sola retta solo se i punti sono non allineati.
2
Due rette sono sghembe se:
A
non hanno punti comuni.
B
non hanno punti comuni e non sono parallele.
C
non hanno punti comuni e sono parallele.
D
hanno punti comuni.
E
hanno punti comuni e non sono complanari.
3
Se dal piede di una perpendicolare a un piano si manda la perpendicolare a una qualunque retta
del piano, quest’ultima risulta:
A
parallela al piano delle prime due.
B
perpendicolare al piano delle prime due.
C
giacente nel piano delle prime due.
D
sghemba con il piano delle prime due.
E
incidente ma non perpendicolare al piano delle prime due.
4
Una retta e un piano possono avere solo due punti in comune?
A
Sì, se la retta è incidente.
B
Sì, se la retta è parallela al piano.
C
Sì, se la retta è sghemba rispetto al piano.
D
No, perché una retta e un piano hanno sempre e solo un punto in comune.
E
No, perché la retta dovrebbe giacere sul piano e avrebbe infiniti punti comuni con il
piano.
5
Un prisma si dice retto se:
A
gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi.
B
le basi sono rettangoli.
C
le basi sono triangoli rettangoli.
D
gli spigoli di base sono tutti fra loro perpendicolari.
E
le basi sono quadrati.
6
7
Se in un cubo indichiamo con d la misura della diagonale e con s la misura dello spigolo, quale
delle seguenti uguaglianze è vera?
A
s = d 3.
B
s = d 2.
C
d = s 2.
D
d 2 = s 2 3.
E
d = s 3.
Se in un parallelepipedo rettangolo indichiamo con d la misura della diagonale e con a, b e c la
misura delle sue tre dimensioni, quale delle seguenti uguaglianze è vera?
A
d = a + b + c.
B
d = a + b + c.
C
d = a2 + b2 + c2 .
D
d = a 2 − b2 + c 2 .
E
d = a2 + b2 − c2 .
8
Se una piramide è retta allora:
A
la base è un quadrato.
B
gli spigoli laterali sono perpendicolari al piano della base.
C
nella base si può inscrivere una circonferenza.
D
la base è un rettangolo.
E
le facce laterali sono triangoli equilateri.
9
Quanti sono i poliedri regolari?
A
Infiniti.
B
Solo il cubo.
C
Nessuno.
D
3.
E
5.
10
Il tronco di cono è un solido generato dalla rotazione completa:
A
di un triangolo attorno a uno dei suoi lati.
B
di un triangolo rettangolo attorno a uno dei cateti.
C
di un triangolo rettangolo attorno all’ipotenusa.
D
di un trapezio rettangolo attorno alla base maggiore.
E
di un trapezio rettangolo attorno all’altezza.
11
Che cosa si ottiene ruotando di 360° un triangolo rettangolo attorno alla sua ipotenusa?
A
Un cono.
B
Un cilindro.
C
Un tronco di cono.
D
Due coni aventi le basi coincidenti.
E
Un ottaedro.
12
Soltanto una delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?
A
La superficie sferica è il luogo dei punti dello spazio che hanno distanza dal centro
uguale al raggio.
B
La sfera è il luogo dei punti dello spazio che hanno dal centro distanza minore o uguale
al raggio.
C
Il parallelepipedo è un poligono regolare.
D
Il cubo è un poliedro.
E
Una piramide retta è regolare se la sua base è un poligono regolare.
13
In un cono equilatero, l’apotema è:
A
la metà del raggio di base.
B
congruente al raggio di base.
C
il doppio del raggio di base.
D
la metà dell’altezza.
E
uguale all’altezza.
14
L’area della superficie di una sfera di raggio r è:
A
A = π r 2.
B
C
15
A = π r3.
4
A = π r 3.
3
D
A = 4π r 2 .
E
A = 2π r 2 .
La diagonale di un cubo è lunga 24 2 m. L’area della superficie del cubo è:
A
2215 m 2 .
B
2304 m 2 .
C
2500 m 2 .
D
2115 m 2 .
E
2026 m 2 .
16
Il volume di un cono di altezza h e raggio di base r è:
1
A
V = π r 2 h.
3
B
C
D
E
17
Un cono equilatero ha raggio di base r e apotema 2a. La misura del suo volume è:
A
B
C
D
E
18
V = π r 2 h.
1
V = π rh 2 .
3
1
V = π rh.
3
V = π rh.
3π r 3 .
2π r 3 .
1 3
πr .
3
π r 3.
3 3
πr .
3
La superficie di una sfera misura π a 2 . Il suo volume è:
4 3
A
πa .
3
B
C
D
E
4π a 3 .
1 3
πa .
3
1 3
πa .
6
π a3 .