lucidi-1 - Dipartimento di Matematica
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a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica L’insieme dei numeri reali Avvertenza Questi sono appunti “informali” delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati, la cui consultazione è vivamente incoraggiata. 1 / 38 Definizione assiomatica di R Definizione L’insieme dei numeri reali R è un campo ordinato che soddisfa la proprietà dell’estremo superiore. Campo ordinato ??? Estremo superiore ??? Questi concetti sono stati introdotti nel corso di Matematica Discreta. Data l’importanza che rivestono in questo corso, li rivediamo brevemente. 2 / 38 Operazioni in R Dire che R è un campo significa dire che in R sono definite le operazioni di addizione (+) e moltiplicazione (·) con le seguenti proprietà: a + b somma Proprietà commutativa: a, b addendi a + b = b + a, a·b =b·a a · b prodotto a, b fattori Proprietà associativa: (a + b) + c = a + (b + c), (a · b) · c = a · (b · c) Proprietà distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c Esistenza degli elementi neutri: esistono in R due numeri distinti 0 e 1 tali che a + 0 = a, a·1=a (segue) 3 / 38 Esistenza degli inversi: per ogni numero reale a esiste un unico numero reale, che si denota con −a e si chiama opposto di a , tale che a + (−a) = 0; per ogni numero reale a 6= 0 esiste un unico numero reale, che si denota con a−1 e si chiama reciproco di a , tale che a · a−1 = 1. Tramite gli inversi si definiscono le operazioni inverse: la sottrazione si definisce per ogni a, b , ponendo a − b := a + (−b); ↓ perché? la divisione si definisce per ogni a e per ogni b 6= 0, ponendo a := a · b −1 . b 1 (In particolare, = b −1 .) b 4 / 38 Ordinamento in R Dire che R è un campo ordinato significa dire che in R è definita una relazione d’ordine totale ≤, detta relazione di minore o uguale, con le seguenti proprietà: Compatibilità rispetto all’addizione: per ogni a, b, c : a ≤ b =⇒ a+c ≤b+c Compatibilità rispetto alla moltiplicazione: per ogni a, b, c : a ≤ b, 0 ≤ c =⇒ a·c ≤b·c Ricordiamo che una relazione binaria R si dice relazione d’ordine se soddisfa le proprietà • riflessiva: a R a ; • transitiva: a R b, b R c • antisimmetrica: =⇒ a R b, b R a a R c; =⇒ a = b. Una relazione d’ordine R è totale se per ogni a, b si ha a R b oppure b R a . Esempio di relazione d’ordine non totale? 5 / 38 A partire da ≤ si definisce la relazione d’ordine ≥ (maggiore o uguale), ponendo def a ≥ b ⇐⇒ b ≤ a Si definiscono anche < (minore) e > (maggiore): def a < b ⇐⇒ a ≤ b ∧ a 6= b def Sono relazioni d’ordine? a > b ⇐⇒ a ≥ b ∧ a 6= b Terminologia Se a ≥ 0, diciamo che a è positivo; se a > 0, diciamo che a è strettamente positivo; se a ≤ 0, diciamo che a è negativo; se a < 0, diciamo che a è strettamente negativo. 6 / 38 Conseguenze delle proprietà relative alle operazioni e all’ordinamento A partire dalle proprietà richiamate si possono dedurre in modo rigoroso le usuali regole di calcolo. Alcuni esempi: Regole di semplificazione: a + b = a + c =⇒ b = c a · b = a · c ∧ a 6= 0 =⇒ b = c Regola di annullamento del prodotto: a · b = 0 ⇐⇒ a = 0 oppure b = 0 Regole dei segni: −(−a) = a, (−a) · b = −(a · b), Attenzione!!! Vale solo se il numero a secondo membro è 0 (−a) · (−b) = a · b a ≤ b ⇐⇒ −a ≥ −b Per queste e altre regole vedere Regole di calcolo 7 / 38 Alcuni sottoinsiemi speciali di R Insieme dei numeri naturali N := {0, 1, 2, 3, 4, . . .} N∗ := N \ {0} Insieme dei numeri interi (relativi) Z := {0, ±1, ±2, ±3, ±4, . . .} Z∗ := Z \ {0} Insieme dei numeri razionali (classi di equivalenza. . . ) nm o Q := m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0 n Q∗ := Q \ {0} Insieme dei numeri irrazionali R \ Q Osservazioni N⊂Z⊂Q N e Z non sono campi ordinati Q è un campo ordinato (come R) Come si distinguono gli elementi di Q da quelli di R \ Q? 8 / 38 Parentesi: rappresentazione decimale Un allineamento decimale è un’espressione della forma ±c0 . c1 c2 c3 . . . (∗) dove c0 è un numero naturale e c1 , c2 , . . . ∈ {0, 1, 2, . . . , 8, 9}. Un allineamento decimale si dice finito se nella sua rappresentazione decimale le cifre c1 , c2 , . . . diverse da 0 sono in numero finito. In questo caso, (∗) si interpreta come somma finita: c1 ck ± c0 + + · · · + k , per un k ∈ N opportuno. 10 10 In caso contrario, l’allineamento decimale si dice infinito. Per interpretare correttamente (∗) è necessaria la nozione di serie numerica convergente, che si basa sulla nozione di limite. (Ne parleremo in seguito.) 9 / 38 Se esiste un blocco di cifre che si ripete, l’allineamento decimale si dice periodico. Un allineamento decimale infinito con periodo 9 si identifica con un allineamento decimale finito. Per esempio: 4.9̄ = 5, 4.359̄ = 4.36. Osservazioni • Possiamo ottenere la rappresentazione decimale di un numero razionale eseguendo la divisione tra numeratore e denominatore. • L’allineamento decimale corrispondente a un numero razionale è necessariamente finito oppure infinito periodico. Perché? • Vale anche il viceversa: a ogni allineamento decimale finito oppure infinito periodico corrisponde un numero razionale. (Decimale finito: immediato; infinito periodico: lo vedremo in seguito) • I numeri irrazionali sono in corrispondenza biunivoca con gli allineamenti decimali infiniti non periodici. 10 / 38 Esempi di numeri irrazionali: 1. 234 567 891 011 121 314 151 617 181 920 . . . 0. 101 001 000 100 001 000 001 000 000 1000 . . . π = 3. 141 592 653 589 791 . . . √ 2 = 1. 414 213 562 . . . si “intuisce” dall’allineamento si dimostra Osservazione È impossibile scrivere l’allineamento decimale completo di un numero irrazionale; nella pratica si ricorre perciò all’approssimazione con allineamenti decimali finiti, cioè con numeri razionali. Ciò va tenuto ben presente; per esempio, non è corretto scrivere π = 3.14; la scrittura corretta è π ' 3.14. (fine della parentesi) Abbiamo già detto che Q è un campo ordinato, come R; a differenza di R, Q non soddisfa la proprietà dell’estremo superiore. Che cos’è? 11 / 38 La proprietà dell’estremo superiore Sia X un qualunque insieme totalmente ordinato. Sia E un sottoinsieme non vuoto di X . Diciamo che E è limitato superiormente in X se esiste un maggiorante di E in X , cioè un β ∈ X tale che x ≤ β per ogni x ∈ E . Sia E limitato superiormente in X . Supponiamo che esista λ ∈ X , maggiorante di E , soddisfacente la seguente proprietà: se γ ∈ X e γ < λ, allora γ non è un maggiorante di E . Allora λ si chiama l’estremo superiore di E in X e si denota con il simbolo sup E . Articolo determinativo? Diciamo che X soddisfa la proprietà dell’estremo superiore se ogni sottoinsieme di X non vuoto e limitato superiormente ha estremo superiore in X . Esplicitare . . . 12 / 38 Abbiamo cosı̀ dato significato a tutti i termini che compaiono nella definizione di R data all’inizio, e che ricordiamo: R è un campo ordinato che soddisfa la proprietà dell’estremo superiore. Nota: questa definizione è ben posta in quanto due campi ordinati soddisfacenti la proprietà dell’estremo superiore sono identificabili. Osservazione Abbiamo già affermato che Q non soddisfa la proprietà dell’estremo superiore. Ciò equivale a dire che esistono sottoinsiemi di Q, non vuoti e limitati superiormente, che non hanno estremo superiore in Q. Esempio: E = q ∈ Q | q > 0, q 2 < 2 q 2 := q · q Verifica: vedi Complementi 13 / 38 Alcune conseguenze della proprietà dell’estremo superiore 1 Proprietà archimedea di R Per ogni x, y ∈ R, con x, y > 0, esiste n ∈ N∗ tale che n x > y . Dimostrazione . . . 2 Proprietà di densità di Q in R Per ogni x, y ∈ R, con x < y , esiste q ∈ Q tale che x < q < y . Dimostrazione . . . Osservazione Dalla proprietà archimedea, con x = 1, segue che l’insieme N non è limitato superiormente. 14 / 38 Estremo superiore e massimo Sia E ⊂ R un insieme non vuoto limitato superiormente. La proprietà dell’estremo superiore garantisce l’esistenza del numero reale sup E che, per definizione, è il più piccolo dei maggioranti di E . Se sup E appartiene a E , diciamo che sup E è il massimo di E e lo denotiamo con max E . Osservazioni • sup E esiste sempre, mentre non è detto che max E esista; • se esiste, max E coincide con sup E ; • se esiste, max E è l’unico maggiorante di E che appartiene a E . Esempi: determinare l’estremo superiore degli insiemi n − 1 1 E := n ∈ N , F := n ∈ N , 2n n+1 stabilendo se è anche massimo. 15 / 38 Estremo inferiore e minimo Sia ora E ⊂ R un insieme non vuoto limitato inferiormente, cioè tale che esista un minorante di E , cioè un α ∈ R tale che x ≥ α per ogni x ∈ E . Esiste allora il più grande dei minoranti di E , che si chiama estremo inferiore di E e si denota con inf E . Giustificare . . . Se inf E appartiene a E , diciamo che inf E è il minimo di E e lo denotiamo con min E . Osservazioni • inf E esiste sempre, mentre non è detto che min E esista; • se esiste, min E coincide con inf E ; • se esiste, min E è l’unico minorante di E che appartiene a E . 16 / 38 Insiemi limitati e insiemi illimitati Sia E ⊆ R un insieme non vuoto. Se è limitato sia superiormente che inferiormente diciamo che E è limitato. Se E non è limitato superiormente, diciamo che è illimitato superiormente e scriviamo sup E = +∞. Si legge: più infinito Se E non è limitato inferiormente, diciamo che è illimitato inferiormente e scriviamo inf E = −∞. Si legge: meno infinito Esplicitare . . . Osservazioni • +∞ e −∞ sono due simboli e non due numeri reali. • Poniamo R := R ∪ {−∞, +∞}. Ogni insieme non vuoto ha in R estremo superiore [inferiore], finito o infinito a seconda che l’insieme sia limitato o illimitato superiormente [inferiormente]. 17 / 38 Rappresentazione geometrica di R Sia data una retta r . Fissiamo su r due punti distinti O (origine) e U (punto unità); essi individuano: • un verso di percorrenza positivo sulla retta, quello che porta da O a U ; • una unità di misura, cioè il segmento OU . La retta r prende il nome di retta orientata. A ogni numero reale associamo un unico punto sulla retta orientata. Procedimento. . . Osservazione La relazione d’ordine in R si interpreta graficamente. Per esempio, se la retta orientata è disposta orizzontalmente e il verso di percorrenza positivo è quello che va da sinistra verso destra, si ha: x < y se e solo se il punto corrispondente a x è a sinistra del punto corrispondente a y . Come si interpreta la proprietà di densità? 18 / 38 La corrispondenza ottenuta secondo il procedimento descritto è biunivoca. (Questa affermazione, che prende il nome di assioma di completezza, è equivalente all’assioma dell’estremo superiore.) Possiamo pertanto identificare ogni numero reale x con il punto Px che corrisponde a x sulla retta orientata r . Sottointendendo questa identificazione, l’insieme R sarà chiamato retta reale e l’insieme R sarà chiamato retta reale ampliata. Come possiamo visualizzare −∞ e +∞? Alcune corrispondenze tra concetti “numerici” e concetti “geometrici”: concetto geometrico concetto numerico segmento intervallo limitato 99K semiretta intervallo illimitato 99K distanza valore assoluto 99K 19 / 38 Intervalli limitati Siano a, b ∈ R, con a ≤ b : [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} intervallo chiuso (a, b) := {x ∈ R | a < x < b} intervallo aperto [a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b} int. chiuso a sinistra, aperto a destra (a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b} int. aperto a sinistra, chiuso a destra Alcuni scrivono ]a, b[ invece di (a, b) , e analogamente negli altri casi. Intervalli illimitati Sia a ∈ R: [a, +∞) := {x ∈ R | x ≥ a} interv. chiuso illimitato superiormente (a, +∞) := {x ∈ R | x > a} interv. aperto illimitato superiormente (−∞, a] := {x ∈ R | x ≤ a} interv. chiuso illimitato inferiormente (−∞, a) := {x ∈ R | x < a} interv. aperto illimitato inferiormente 20 / 38 Casi particolari: [a, a] = {a}; (a, a) = [a, a) = (a, a] = ∅ R+ := [0, +∞), R− := (−∞, 0] R∗+ := (0, +∞), R∗− := (−∞, 0) Altre scritture utili R =: (−∞, +∞), R∗ := R \ {0} = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) ↑ Notazione in [BPS] . . . Esempi Rappresentare gli intervalli [−1, 2) e (1, +∞) e determinare [−1, 2) ∪ (1, +∞), [−1, 2) ∩ (1, +∞), [−1, 2) \ (1, +∞) Determinare l’estremo superiore e inferiore di ciascuno dei seguenti intervalli, specificando se si tratta di massimo e minimo: [1, 3) [0, 2] (0, π] (−∞, 2) [3, +∞) 21 / 38 Osservazione Ciascuno degli insiemi che abbiamo chiamato intervallo ha la proprietà che comunque si scelgano x e y in esso, tutti i numeri compresi tra x e y vi appartengono. Questa è una proprietà caratteristica degli intervalli. Non tutti i sottoinsiemi di R sono intervalli. Per esempio: • l’insieme dei numeri naturali N non è un intervallo; • l’insieme R∗ non è un intervallo. Esempio Stabilire se ciascuno dei seguenti insiemi è un intervallo: A = {x ∈ R | 3 ≤ x ≤ 7}, A∪B, A∩B, B \ A, B = {x ∈ R | x ≥ 5} R\A 22 / 38 Per ogni numero reale x si chiama valore assoluto (o modulo) di x il numero reale, denotato con |x|, definito ponendo x se x ≥ 0 |x| := −x se x < 0. Osservazioni • |x| coincide con la distanza dall’origine del punto che corrisponde al numero x sulla retta orientata. Giustificare . . . • |x − y | coincide con la distanza tra i punti corrispondenti ai numeri x e y sulla retta orientata. Giustificare . . . Proprietà immediate del valore assoluto • |x| ≥ 0 per ogni x ∈ R • |x| = 0 ⇐⇒ x = 0; |x| > 0 ⇐⇒ x 6= 0 • |−x| = |x| per ogni x ∈ R 23 / 38 Ulteriori proprietà del valore assoluto • r > 0, |x| = r ⇐⇒ x = −r oppure x = r |x| < r ⇐⇒ −r < x < r |x| > r ⇐⇒ x < −r oppure x > r • r < 0, |x| = r mai |x| < r mai |x| > r per ogni x • |x · y | = |x| · |y | per ogni x, y ∈ R • |x/y | = |x|/|y | per ogni x, y ∈ R, y 6= 0 • −|x| ≤ x ≤ |x| per ogni x ∈ R • |x + y | ≤ |x| + |y | per ogni x, y ∈ R (disuguaglianza triangolare) • |x| − |y | ≤ |x − y | 24 / 38 Rappresentazione geometrica di R × R: il piano cartesiano A partire dalla corrispondenza biunivoca tra R e la retta orientata, possiamo stabilire una corrispondenza biunivoca tra il prodotto cartesiano R × R e il piano cartesiano. Concetti di base: • sistema ortogonale / ortonormale • assi coordinati • come associare alla coppia (x, y ) un punto nel piano • come associare al punto P nel piano una coppia di numeri • ascissa (proiezione del punto sull’asse orizzontale) • ordinata (proiezione del punto sull’asse verticale) 25 / 38 Osservazione (Dalla geometria all’analisi e viceversa) Grazie alla corrispondenza tra R2 e il piano cartesiano, possiamo descrivere “cartesianamente” un oggetto geometrico, ossia “tradurlo” in una o più relazioni (equazioni e/o disequazioni) tra le ascisse e le ordinate dei punti che compongono l’oggetto in esame, e viceversa. Procedimento: 1 chiedersi qual è la proprietà geometrica che caratterizza l’oggetto 2 esprimere tale proprietà mediante alcune condizioni tra le coordinate dei punti che appartengono all’oggetto (equazioni e/o disequazioni) Esempi: • assi coordinati • semipiani • quadranti • bisettrici di primo e terzo quadrante (prima bisettrice) e di secondo e quarto quadrante (seconda bisettrice) 26 / 38 L’equazione della retta Casi particolari, già visti: • l’asse delle ascisse, di equazione y = 0 • l’asse delle ordinate, di equazione x = 0 • la prima bisettrice, di equazione y = x (in un sistema monometrico) • la seconda bisettrice, di equazione y = −x (come sopra) Retta parallela all’asse delle ordinate • Caratterizzazione geometrica? Tutti i punti della retta hanno la medesima ascissa. • Equazione: x = x0 . Strisce verticali . . . Retta parallela all’asse delle ascisse • Caratterizzazione geometrica? Tutti i punti della retta hanno la medesima ordinata. • Equazione: y = y0 . Strisce orizzontali . . . 27 / 38 Retta non parallela agli assi • Caratterizzazione geometrica? • Equazione (in forma esplicita): y = mx + q • Coefficiente angolare e ordinata all’origine Osservazione Per m = 0 si ottiene l’equazione di una retta parallela all’asse delle ascisse; per nessun valore di m si ottiene l’equazione di una retta parallela all’asse delle ordinate. Come disegnare una retta la cui equazione è data in forma esplicita? • individuando le intersezioni con gli assi coordinati, oppure • disegnando la retta di equazione y = mx e poi effettuando una traslazione verticale Osservazione Due rette, di equazioni y = mx + q e y = m0 x + q 0 , sono • parallele se e solo se m = m0 • perpendicolari se e solo se mm0 = −1 (secondo teorema di Euclide) 28 / 38 Equazione generale della retta: ax +by +c = 0 con a, b, c ∈ R, a e b non simultaneamente nulli. • b = 0 =⇒ a 6= 0 =⇒ x = − • b 6= 0 =⇒ y = − a c x− b b c a retta parallela all’asse delle ordinate retta non parallela all’asse delle ordinate, equazione in forma esplicita Osservazione Due rette, di equazioni a x + b y + c = 0 e a0 x + b 0 y + c 0 = 0, sono • parallele se e solo se ab 0 = a0 b • perpendicolari se e solo se aa0 + bb 0 = 0 29 / 38 Equazione della circonferenza Per determinarla, dobbiamo: • esprimere la distanza tra due punti in termini delle loro coordinate, • esprimere la circonferenza come luogo geometrico, • tradurre la condizione precedente in termini delle coordinate. Esempi. . . 30 / 38