Disfida di Santa Lucia

Disfida di Santa Lucia
13 dicembre 2013
Le risposte vanno indicate con una sequenza di 4 cifre; se la risposta contenesse più di 4 cifre, andranno indicate solo le
ultime 4. Se la risposta√contenesse meno
è necessario anteporre
la cifra 0 quante volte occorre.
√ di 4 cifre √
√
Approssimazioni utili: 2 = 1.4142, 3 = 1.7321, 5 = 2.2361, 7 = 2.6458, π = 3.1416 .
10
10
10
1. Un fantastiliardo di regali. Santa Lucia quest’anno deve produrre 101 + 102 + . . . + 1010 regali da consegnare
ai bambini di tutto il mondo. Per la creazione suddivide l’immane compito tra 7 gruppi di gnomi estremamente
brontoloni e nessuno di loro vuole lavorare più degli altri. Supponendo che Santa Lucia affidi più regali possibile ad
ogni gruppo, quanti regali le rimarranno da produrre per proprio conto?
2. Laghetti ghiacciati. Anche ai matematici piace pattinare e con l’avvicinarsi del
Natale è stato costruito un giardino esagonale i cui vertici toccano
una strada
√
circolare che circonda tutto il giardino, AO = 1000 e F A = 1000 3. Si è deciso di
di realizzare (vedi figura) sei laghetti per il pattinaggio. Quanto misura il raggio
dei laghetti più piccoli? Si scriva la risposta troncata alle unità.
3. Passatempi primaverili. Durante il periodo primaverile Santa Lucia non ha molto da fare. Oggi ha appena
terminato le pulizie dello sconfinato magazzino (solitamente usato per i regali) piastrellato con mattonelle quadrate
di lato 10 cm e si è messa a giocare lasciando cadere per terra una moneta da 2 euro del diametro di 24 mm. Qual
è la probabilità che la moneta cada internamente ad una mattonella senza coprirne i bordi? Si scrivano le prime 4
cifre significative.
4. Strada dissestata. Santa Lucia è in viaggio per le strade di Mathlandia quando una buca fa sobbalzare il suo
carretto e cadono a terra un blocchetto cubico di quarzo e una piramide di pirite. Dal cubo di quarzo di lato 12 si
stacca una scaglia ottenuta sezionando il cubo tramite un piano passante per due vertici opposti di una faccia e un
vertice della faccia opposta che non sia individuato dalla proiezione ortogonale dei due precedenti vertici sulla faccia
stessa. La pirite, invece, va completamente in frantumi √
ma Santa Lucia si ricorda che aveva la forma di una piramide
retta avente per base un triangolo equilatero di lato 18 2 e come facce laterali tre triangoli rettangoli isosceli. Qual
è il volume totale della scaglia di quarzo e della piramide di pirite?
5. La trottola. Il piccolo Gauss ha ricevuto come regalo una trottola a forma di poligono regolare con vertici e
lati indistinguibili tra loro. Mentre gioca osserva che una rotazione di 25◦ 300 porta la trottola in una posizione
indistinguibile da quella iniziale. Quanti lati ha al minimo il poligono?
6. Gli gnomi di Santa Lucia. Come tutti sanno Santa Lucia ha come aiutanti dei simpatici gnomi matematici.
Per festeggiare l’arrivo del nuovo anno, 2014 di loro hanno fatto un gioco. Si sono disposti in maniera ordinata dal
numero 1 al numero 2014 e ogni gnomo ha affermato:
“Se esiste il n-agono, allora il numero delle sue diagonali è un multiplo intero di 5 oppure di 9”
dove n è il numero che indica la posizione dello gnomo. Quanti gnomi hanno detto la verità?
7. L’autobus di Murphy. Uno gnomo pendolare è venuto a conoscenza di uno pseudocorollario derivante dalla famosa Legge di Murphy. L’enunciato suona cosı̀:
Dati un individuo A ed un autobus B valgono i seguenti fatti:
Se A è in anticipo, B è in ritardo.
Se A è in orario, B è in anticipo.
Se A è in ritardo, figuriamoci!
Poco convinto di tale legge, lo gnomo inizia a fare delle misurazioni. Si scoprono cosı̀ alcune cose: lo gnomo è in
anticipo alla fermata 1 caso su 5 e in ritardo 2 casi su 3; se lo gnomo è in orario, l’autobus è in anticipo 3 casi su 5;
se lo gnomo è in ritardo, l’autobus è in ritardo 1 caso su 16. Qual è la probabilità che lo gnomo riesca a prendere
l’autobus? (Si consideri a tal proposito che entrambi in anticipo oppure entrambi in ritardo sia un caso favorevole
a prendere l’autobus). Esprimere la risposta come somma di numeratore e denominatore della frazione ottenuta,
ridotta ai minimi termini.
8. Confezione regalo. Santa Lucia deve incartare un pacco a forma di prisma retto di altezza 200. La sua base si
ottiene partendo da un quadrato di lato 10 e tracciando internamente quattro archi di circonferenza, ognuna delle
quali centrata in un vertice e di raggio pari al lato del quadrato. Per formare la base del prisma si uniscono i
quattro punti determinati dall’intersezione degli archi di circonferenza. Quanta carta regalo servirà a Santa Lucia
per avvolgere la superficie laterale del pacco?
9. Carta da regalo. Lo gnomo preposto alla gestione del magazzino scorte deve ordinare la carta da regalo per
impacchettare tutti i regali. Tramite complesse relazioni di gnomologia algebrica è giunto alla conclusione che deve
ordinare tanti km2 di carta da regalo quanti la somma dei quadrati degli elementi di tutte le coppie (x, y) di interi
tali che x2 − 90x + 2014 = y 2 . Ormai lo gnomo magazziniere è stanco, potete finire il calcolo al suo posto?
1
10. Fiocchetti e nastrini. Lo gnomo magazziniere si è accorto che oltre alla carta da regalo servono anche i fiocchetti
e i nastri per decorare i pacchi. Questa volta deve ordinare tanti km di nastri colorati quanti la somma dei quadrati
di tutte le soluzioni intere di x2 + px − 84p = 0 dove p è un numero primo. Quale quantitativo di nastri ha ordinato?
11. Riposo al parco. Dopo aver distribuito√tanti doni Santa Lucia
√ decide di far riposare
√
√ il suo asinello in √un parco
3;
28),
B
=
(28;
28
3),
C
=
(14
+
21
3;
14
3 − 21), D = (21 3; −21),
a forma pentagonale
di
vertici
A
=
(−28
√
√
E = (−35 − 7 3; −35 3 + 7) (in coordinate cartesiane ortogonali). Quanto vale l’area del parco?
12. Uscita di gruppo. Terminate tutte le festività Santa Lucia, Babbo Natale, la Befana ed altri amici decidono di
godersi il meritato riposo e vanno al cinema. Giunti alla biglietteria i 9 amici (di cui 5 donne e 4 uomini) scoprono
che non sono disponibili nove posti adiacenti, cosı̀ decidono di dividersi in 2 gruppi e acquistano 4 posti vicini e altri
5 vicini. Le donne chiedono che nessuna di loro venga messa in un gruppo di soli maschi. In quanti modi possono
disporsi i 9 amici osservando tutti i vincoli? Fornire come risultato le quattro cifre più significative.
13. Percorso montano. Santa Lucia è ai piedi del monte Evermath, che possiede la peculiare forma di piramide retta
a base quadrata con un’altezza di ben 7500 metri e spigolo di base di 4375 metri. Santa Lucia si trova nel punto
medio di uno spigolo di base e vuole raggiungere una casetta situata nel punto medio dello spigolo di base opposto
ma prima di partire l’asinello vuole sapere quanto misura il cammino più breve, potete rispondere voi? Si scrivano
le prime 4 cifre significative.
14. Industria elfica. Anche gli elfi ingegneri sono giunti in soccorso degli gnomi che devono produrre un fantastiliardo
di
la produzione
l’elfo capo ha stimato che ogni macchinario deve lavorare ad una velocità di
regali. Per ottimizzare
c−a
a−b
a
b
c
b−c
regali al secondo. L’unico dato noto è che a + b + c = 0. Qual é la velocità
a + b + c
b−c + c−a + a−b
minima a cui dovranno lavorare le macchine?
15. Ingegneria celeste. Dopo l’impatto con la buca il carretto di Santa Lucia inizia a cigolare. Urge un intervento
di riparazione straordinario e Santa Lucia deve conoscere il volume del cilindro che collega le due ruote posteriori,
tuttavia il calibro che ha con sé non è largo abbastanza. Riesce a posizionarlo in modo che il regolo sia tangente
alla superficie laterale del cilindro e i due
√ becchi lunghi ognuno 17mm tocchino la superficie laterale. Sapendo che
in questa posizione il calibro misura 34 3 mm e che il cilindro è lungo 1 m, potete aiutare Santa Lucia? Si scrivano
le prime quattro cifre significative.
16. Le strade di Manhattan. Le strade di Manhattan sono molto regolari: formano un reticolo di quartieri di forma
quadrata. Santa Lucia si trova in un vertice del reticolato e si rende conto di dover attraversare una zona quadrata
della città, il cui lato è di 7 quartieri, per raggiungere il punto a lei diagonalmente opposto.
Quanti sono i possibili percorsi di lunghezza minima tra cui Santa Lucia può scegliere?
17. Gnomi, a rapporto! Santa Lucia vuole riorganizzare le varie unità produttive e si sta occupando degli gnomi
falegnami. Lo gnomo capomastro è molto geloso e non vuole rivelare facilmente a Santa Lucia il numero dei suoi
dipendenti. A tal proposito le dice soltanto che i suoi operai sono il più piccolo intero positivo maggiore di 2013
che possa essere scritto sia come somma di 11 naturali consecutivi, sia di 12 natuali consecutivi, sia di 13 naturali
consecutivi. Quanti operai lavorano sotto la direzione del capomastro?
18. Bambini meritevoli. Santa Lucia, per sapere quanti regali ha meritato ogni bambino, adotta da tempo un
sistema di indicizzazione molto più avanzato di quello di Babbo Natale. Quest’anno nella categoria “Estremamente
bravi” rientrano tanti bambini quanti il minimo comune multiplo tra tutti i numeri naturali n e primi p tali che
p2 + n − 3 = 6n + n6 . Quanti sono questi eccezionali bambini?
19. Piccoli maghi crescono. Un bambino appassionato di prestidigitazione ha ricevuto in regalo da Santa Lucia 2
comuni mazzi di carte, uno da 40 e uno da 52. Il numero di magia da lui inventato si svolge in questo modo: se
lanciando un normale dado a sei facce esce un multiplo di 3 sceglie il primo mazzo, altrimenti sceglie il secondo
mazzo. Dopodiché estrae contemporaneamente 2 carte dal mazzo. Qual è la probabilità che vengano estratte 2
figure? Fornire come risultato la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.
20. L’ultima consegna. Anche quest’anno Santa Lucia ha quasi terminato le consegne: deve consegnare i regali
all’ultima famiglia dell’ultima città! Guardando il GPS dell’asinello vede che il centro di tale città ha una pianta a
forma triangolare di lati a = 3000 m, b = 8000 m e c = 9000 m, mentre la regione esterna è la periferia della città.
Santa Lucia ha appena consegnato i regali ad una famiglia la cui abitazione si trova all’incontro delle tre altezze del
triangolo (che, per inciso, è un punto della periferia, diciamo O) e deve ancora consegnare i regali ai bambini che
abitano nel punto equidistante dai vertici del centro della città, sia C tale punto. Purtroppo le rimangono solo 6
minuti e 30 secondi per poter completare in tempo il suo compito e, poiché è stremata dalle fatiche del lungo viaggio,
può muoversi solamente alla velocità costante di 15 m/s. Si determini se, nel breve tempo che le rimane, sarà in
grado di completare la sua missione (nell’ipotesi che scelga la via più corta per muoversi da un’abitazione all’altra)
e si fornisca come prima cifra (da sinistra) della risposta 1 in caso affermativo e 0 in caso negativo. Nelle restanti
tre cifre si indichi in centesimi di secondo (troncando la parte decimale) il tempo avanzato, se nella prima cifra si è
indicato 1, o il tempo ulteriore che sarebbe servito a Santa Lucia per completare le consegne, se nella prima cifra si
è indicato 0.
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