Museo-Laboratorio di Didattica della Matematica

Museo-Laboratorio di Didattica della Matematica
Dipartimento di Matematica - Università degli Studi di Salerno
Sede della Mathesis sezione di Salerno
coordinato con Il Giardino di Archimede - Un Museo per la Matematica di Avellino e realizzato con i fondi
del progetto “Artefatti e percorsi didattici per lo sviluppo della cultura matematica” MIUR - Legge 6/2000,
Iniziative per la diffusione della cultura scientifica - Annualità 2011 e con il cofinanziamento del Consorzio
Irpino per la Promozione della Cultura della Ricerca e degli Studi Universitari e della sezione Mathesis di
Avellino
Secondo l’elaborazione data dell’Unione Matematica Italiana, il Laboratorio di Matematica è
inteso come “luogo” (non necessariamente distinto dall'aula) in cui si costruiscono significati
matematici, attraverso un insieme strutturato di attività, che coinvolgono persone (studenti e
insegnanti), strutture, strumenti (tecnologici e non), idee. In particolare ci si sofferma sullo
strumento visto come “… il risultato di un'evoluzione culturale, che è prodotto per scopi specifici
e che, conseguentemente, incorpora idee”.
La costruzione di significati, nel laboratorio di matematica, è strettamente legata, da una parte,
all'uso degli strumenti utilizzati nelle varie attività, dall'altra, alle interazioni tra le persone che si
sviluppano durante l’esercizio di tali attività.
“L’ambiente del laboratorio di matematica è in qualche modo assimilabile a quello della bottega
rinascimentale, nella quale gli apprendisti imparavano facendo e vedendo fare, comunicando fra
loro e con gli esperti.”
Il Laboratorio di Matematica non deve essere inteso solo come lo spazio fisico in cui vengono
sviluppate pratiche didattiche basate sull'uso di specifiche tecnologie, deve piuttosto essere
considerato come una metodologia didattica.
(Matematica 2003. Curricoli UMI)
Nel Museo-Laboratorio è stata allestita una mostra di libri e strumenti matematici antichi.
Sono presenti, inoltre, strumenti per possibili percorsi didattici laboratoriali per diversi livelli
scolastici.
Le attività possono essere svolte all’interno del Museo-Laboratorio dai docenti interessati oppure
all’interno delle proprie classi (utilizzando la “formula-prestito” gratuita del strumenti).
Schede-guida per lo svolgimento delle attività e riferimenti per approfondimenti potranno essere
fornite su richiesta.
Ovviamente ogni proposta di singole attività o di percorsi che contribuisca a far crescere il
museo è benvenuta.
Per informazioni:
Prof. Giangiacomo Gerla ([email protected])
Dott.ssa Cristina Coppola ([email protected])
Dott.ssa Tiziana Pacelli ([email protected])
 Mostra Pitagora e il suo teorema + Puzzle Pitagora
Gli strumenti utilizzabili per questo percorso sono:
1) mostra su Pitagora composta da 14 pannelli
Lo scopo del laboratorio è di introdurre uno spessore storico negli argomenti di matematica compresi nel
curriculum scolastico. I pannelli consentono un primo approccio, necessariamente sintetico, che può dare
spunti per un lavoro collettivo.
2) 7 puzzle relativi:
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2 puzzle con il teorema di Pitagora classico
1 puzzle con la sua dimostrazione
1 puzzle con il teorema di Pitagora con esagoni
1 puzzle con il teorema di Pitagora con stelle
1 puzzle con il teorema di Euclide
1 puzzle con il teorema di Pappo.
È possibile abbinare il percorso della mostra con i puzzle, in modo da combinare l'approfondimento storico
con attività di tipo manipolativo.
Una serie di puzzle introduce alle varie sfaccettature del teorema di Pitagora. Si parte dal teorema nella sua
veste classica, poi lo si generalizza quando invece dei quadrati si usano figure simili, e infine si passa ai
teoremi di Euclide e di Pappo. Tutti questi aspetti sono materializzati in altrettanti puzzle che introducono un
aspetto ludico nel teorema e nella sua dimostrazione, mentre ne illustrano i vari aspetti. Il gioco consiste nel
costruire con gli stessi pezzi sia il quadrato dell'ipotenusa sia i due quadrati dei cateti.
È possibile trovare approfondimenti sul sito de “Il giardino di Archimede – Un museo per la
matematica” all’indirizzo:
http://php.math.unifi.it/archimede/archimede/pitagora/exh_pitagora/schede.php?id=0
 Macchine matematiche per trasformazioni geometriche
Sono disponibili 10 pantografi di 5 tipi:
1)
2)
3)
4)
5)
n.2 pantografi per simmetria assiale;
n.2 pantografi per simmetria centrale;
n.2 pantografi per traslazione;
n.2 pantografi per rotazione;
n.2 pantografi per omotetia.
Le trasformazioni geometriche sono prodotte da sistemi articolati o biellismi, che incorporano le
proprietà che caratterizzano le trasformazioni.
“La possibilità di manipolare fisicamente oggetti, come per esempio le macchine (matematiche) che
generano curve, induce spesso modalità di esplorazione e di costruzione di significato differenti ma
altrettanto interessanti e, sotto certi aspetti, più ricche di quelle consentite dall’uso di software di
geometri dinamica” (dal Curricolo di matematica per il Ciclo Secondario)
I meccanismi stabiliscono una corrispondenza locale tra i punti di due regioni piane limitate
collegandole fisicamente. Lo studio degli strumenti permette di riconoscere il tipo di trasformazioni
che essi realizzano: mentre il puntatore percorre una figura geometrica disegnata su una delle due
regioni, il tracciatore disegna sull’altra la figura corrispondente (trasformata). Puntatore e
tracciatore possono essere scambiati fra loro (biunivocità della corrispondenza). Oppure, il sistema
articolato possiede due puntatori dotati ognuno di due gradi di libertà: non è nota alcuna figura
iniziale, le figure che i puntatori disegnano contemporaneamente (le regioni che essi “ricoprono”
durante il movimento) si corrispondono in una trasformazione.
1) pantografi per simmetria assiale:
Un rombo articolato ha due vertici opposti vincolati a cursori
che scorrono in una scanalatura rettilinea s. Il biellismo ha
due gradi di libertà: i vertici liberi del rombo (P e Q)
descrivono perciò due regioni piane (limitate) che si trovano
in semipiani opposti aventi s come origine comune. La
posizione di P determina univocamente quella di Q (e
viceversa). Dalla semplice geometria del sistema meccanico
si ricava subito che:
 la retta PQ è perpendicolare ad s;
 i punti P e Q sono equidistanti da s.
Perciò P e Q si corrispondono nella simmetria assiale
ortogonale di asse s.
Se (per es.) P è vincolato a una traiettoria assegnata, Q
descrive la traiettoria simmetrica rispetto ad s
2) pantografi per simmetria centrale:
Il meccanismo è costituito da un rombo articolato ABCP con il lato
BC imperniato al piano del modello nel suo punto medio O.
L'asta AB è prolungata di un tratto BQ=AB.
La macchina realizza una corrispondenza tra due regioni limitate
del medesimo piano in cui P e Q sono sempre allineati con O;
inoltre PO=OQ.
La trasformazione generata è la simmetria centrale con centro in O.
3) pantografi per traslazione (Kempe):
Il sistema è costituito da due parallelogrammi articolati aventi il lato BC
in comune e giacenti sul medesimo piano .
Uno dei lati opposti a CD (per es. BA) è fissato al piano, l’altro è libero di
muoversi (ha due gradi di libertà).
Infatti, scegliendo un punto sul piano e portando su di esso il vertice P (o
Q) del sistema articolato, automaticamente il vertice Q (o P) individua il
suo corrispondente nella traslazione caratterizzata in modulo, direzione e
verso dal vettore AD (o DA). Originariamente utilizzato come
servomeccanismo per disegnare segmenti paralleli ad un segmento dato
(DA, CB, PQ sono sempre paralleli fra loro), lo strumento genera anche
una particolare trasformazione geometrica (corrispondenza biunivoca tra
due regioni diverse del piano).
4) pantografi per rotazione:
La macchina è costituita da un parallelogramma articolato OABC con
il vertice O imperniato al piano del modello. A due lati consecutivi del
parallelogramma sono vincolati due triangoli isosceli simili, costruiti
in modo che uno dei lati uguali coincida con uno dei lati del
parallelogramma e le loro basi si incontrino nel vertice B di questo.
Muovendo il punto P si muove anche il punto Q, però risultano
sempre uguali i segmenti PO, QO e gli angoli POQ, PAB e QCB. La
macchina, pertanto, realizza (localmente) una rotazione di centro O e
ampiezza uguale all'angolo al vertice dei triangoli.
5) pantografi per omotetia:
Il sistema articolato è costituito da quattro aste rigide
incernierate nei punti A,B,C e Q scelti in modo da formare un
rombo. Il punto O è fissato al piano su cui il meccanismo si
muove. Il punto P sull’asta BC è scelto in modo tale che risulti:
PC=BC
I punti O, P e Q rimangono allineati durante la deformazione
del sistema. Quindi Q e P si corrispondono in una omotetia di
centro O.
Considerando P come corrispondente di Q avremo il rapporto di
omotetia k=OP/OQ=2.
Se, invece, si considera Q corrispondente di P, avremo come
rapporto di omotetia 1/2.
Per approfondimenti è possibile consultare il sito dell’ “Associazione Macchine Matematiche”:
http://www.macchinematematiche.org/,
il sito del “Laboratorio delle Macchine Matematiche”:
http://www.mmlab.unimore.it/site/home.html,
oppure il testo:
Bartolini Bussi M. G., Maschietto M. (2006). Macchine Matematiche: dalla storia alla scuola.
Springer-Verlag Italia.
Nota: Il percorso sulle trasformazioni può essere ampliato in vari modi, ad esempio con l’attività
“Rep-tile” (“piastrella replicante”) (che prende spunto dal libro “La piccola bottega delle curiosità
matematiche del professor Stewart” di Ian Stewart.)
 Percorso su sistemi di numerazione, tecniche di calcolo: verso
l’automazione del calcolo.
Gli strumenti utilizzabili per questo percorso sono:
1) Kit su sistema di Numerazione dei Sumeri
Nel laboratorio si ripropone il sistema dei Sumeri per la rappresentazione dei numeri ed il passaggio dai
“calculi” alla scrittura su tavoletta; si utilizzano i “calculi” come strumento per eseguire alcuni conti, dai
semplici conteggi alle addizioni e alle sottrazioni, fino alle moltiplicazioni e divisioni.
2) Kit su sistema di Numerazione degli antichi Egizi
Nel laboratorio si ripropone il sistema degli antichi Egizi per la rappresentazione dei numeri, utilizzando dei
timbri per la scrittura in geroglifico e per eseguire le operazioni aritmetiche, dai semplici conteggi alle
addizioni e alle sottrazioni, fino alle moltiplicazioni e divisioni ed alle frazioni
3) Tavole di conto
Le tavole di conto sono dei semplici ed efficaci ausili per il calcolo che, sotto forme diverse, si ritrovano
dall'antichità fino al Rinascimento e trovano impiego soprattutto nella contabilità. Sono essenzialmente
costituite da un piano d’appoggio suddiviso in righe o colonne sulle quali si collocano dei gettoni; a seconda
della riga (o colonna) in cui si trova, il gettone assume un valore diverso. Nei laboratori si scopre come
attraverso delle semplici regole di posizionamento dei gettoni si può facilmente ottenere il risultato di
operazioni senza eseguire nessun calcolo.
4) Tecniche di moltiplicazione
Molti algoritmi per le operazioni diversi da quelli che si studiano in genere a scuola sono stati elaborati ed
utilizzati nel corso di secoli di storia. In particolare la moltiplicazione presenta un grandissimo numero di
procedimenti alternativi, alcuni dei quali per certi aspetti più semplici ed anche più divertenti del nostro. Nei
laboratori diverse tecniche di moltiplicazione vengono proposte (ad esempio quelle dei maestri d’abaco e
quelle dei contadini russi).
5) Bastoncini di Nepero (anche in basi diverse da quella decimale)
6) Bastoncini di Genaille-Lucas
Il laboratorio propone l’utilizzo di strumenti storici di calcolo come “regoli” o “bastoncini” che consentono
di eseguire velocemente moltiplicazioni e divisioni e a volte anche di estrarre radici quadrate.
7) Pascalina
La Pascalina è una “macchina calcolatrice” inventata da B. Pascal, che la descrive come “… invenzione che
consente di eseguire ogni genere di operazione aritmetica, in modo nuovo e comodo …” (B. Pascal, 1645).
Alcuni dei significati matematici insiti nello strumento in questione sono: rappresentazione polinomiale dei
numeri in base dieci. Algoritmi di addizione e sottrazione in base dieci. Collegamento tra aspetti semantici
ed aspetti sintattici. Gli obiettivi di un possibile percorso didattico sono: far riflettere sulle procedure di
calcolo dell’addizione e della sottrazione nel sistema metrico decimale posizionale; far acquisire
l’operazione di sottrazione di numeri col metodo del complemento, attraverso lo sviluppo di un algoritmo di
tipo additivo; sviluppare capacità di tipo metacognitivo facendo ipotizzare agli alunni la costruzione di una
“pascalina” in basi diverse da quella decimale; contribuire all’arricchimento del lessico specifico.
NOTA: È possibile ovviamente scegliere di svolgere anche solo alcuni dei laboratori sopra elencati
e non un intero percorso.
 Percorso su manipolazione linguistica
Sono in fase di sperimentazione alcuni laboratori riguardanti:
1) creazione e manipolazione di linguaggi procedurali.
Il linguaggio viene creato dal gruppo classe attraverso la descrizione di movimenti elementari di un alunno
che funge da robot. Si dovrebbe arrivare alla costruzione di un linguaggio “simbolico”, negoziato e
condiviso. Alcuni dei concetti matematici in gioco sono l’“equivalenza” e la differenza tra sintassi e
semantica.
In questo tipo di attività è possibile anche utilizzare l’artefatto Bee-bot:
si tratta di un robot a forma di ape, programmabile che consente di avvicinarsi al mondo della robotica, aiuta
a sviluppare la logica, a supportare la visualizzazione spaziale, ad apprendere le basi dei linguaggi di
programmazione. Fa riferimento a vari significati della matematica: numero naturale, misura, forma,
localizzazione, orientamento spaziale e dell’informatica: istruzione, programma, memoria, input, output,
feedback.
2) Creazione e manipolazione di linguaggi assertivi.
L’attività consiste nella creazione di semplici sistemi assiomatici e nella costruzione di catene di deduzione
attraverso la manipolazione concreta di oggetti linguistici.