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4 I Condensatori
4.1 Struttura dei condensatori
Consideriamo un sistema costituito da due lastre conduttrici sagomate
a disco, di raggio R e spessore molto piccolo rispetto al raggio. Le lastre
R
+Q
affacciate l’una di fronte all’altra a distanza d , di
si trovano
dimensioni per cui sia d R , e su di esse viene distribuito lo stesso
d
−Q
ammontare Q di carica, ma con segno opposto. Una simile struttura
prende il nome di condensatore, e le lastre conduttrici vengono dette
armature.
Le
linee
di
forza
del
campo
elettrico
saranno
quelle
qualitativamente illustrate in figura, con la carica
sulle armature per la gran parte concentrata sullo
strato superficiale delle facce interne, a causa degli
effetti di induzione reciproca.
Adopereremo, nel
seguito, un modello che ben approssima condensatore
reale, assumendo che le due cariche +Q e −Q siano
interamente localizzate sulle superfici interne, e
distribuite uniformemente su di esse. In tale modo
trascureremo tutti i piccoli effetti ai bordi della
struttura, ed il campo elettrico risulterà diverso da
zero solo nella regione di affaccio, e lì perpendicolare
alle armature.
Questa semplificazione, unita alla condizione d R , permette di avvalersi
della formula per il campo elettrico del doppio strato infinito. Pertanto, se
S è la misura della superficie dove la carica è distribuita, fra le armature
abbiamo un campo uniforme, la cui intensità nel vuoto vale:
G
σ
Q
E0 =
=
ε0
ε0S
La geometria a disco qui proposta per una tale struttura, non è vincolante:
nelle realizzazioni pratiche la forma delle armature può essere di vario tipo,
purché si rispettino le due condizioni di: induzione completa e distanza di
separazione molto minore dell’ estensione lineare. Sono concepibili, quindi,
condensatori a forma di sfera contenuti in cavità metalliche ad essa
concentriche, a forma di cilindro, e così via. Fra le armature, inoltre, si è
soliti porre uno strato di dielettrico, il quale si polarizza, e come si è visto
1
, a parità di carica
a suo tempo, ha l’effetto di indebolire di un fattore
εr
G
localizzata, il valore del campo E nello spazio interposto. Infatti la
tendenza delle molecole del dielettrico, a deformarsi od allinearsi lungo la
1
Condensatore
sferico
Regione
Neutra
direzione del campo, lascia neutra la regione interna e produce l’equivalente
G
di uno strato superficiale di carica. Questo origina un campo aggiuntivo E p
G
che si sovrappone, con direzione opposta, ad E 0 , riducendo l’intensità del
G
G
G
campo risultante: E = E 0 + E p . Se lo spazio di separazione è
omogeneamente
riempito,
si
osserva
sperimentalmente
che,
indipendentemente dalla carica Q localizzata sulle armature, il rapporto
G
E0
G = εr è legato unicamente al tipo di materiale dielettrico utilizzato. Il
E
valore numerico di questo rapporto, εr > 1 , prende il nome di costante
dielettrica del mezzo. Fra le armature avremo quindi
intensità:
un campo di
G
E0
G
σ
=
.
E =
εr
ε0εr
G
E (dielettrico )
G
E (armature )
La realizzazione pratica di un condensatore a facce piane parallele fa uso
di alcuni accorgimenti tecnici, come quello di utilizzare per armature delle
sottili strisce metalliche separate da pellicole isolanti. La struttura viene
avvolta a rotolo, come in figura, e si presenta a forma di piccolo cilindro.
Si costruiscono anche condensatori in cui una delle due armature è
costituita da una soluzione liquida o gelatinosa, generalmente di
tetraborato di sodio, detti condensatori elettrolitici. La configurazione è
quella di un involucro cilindrico di alluminio, contenente la soluzione
elettrolitica, ed al centro un altro conduttore cilindrico di alluminio.
Intorno a quest’ultimo, immerso nella soluzione, attraverso un opportuno
passaggio di carica si fa formare un sottile strato di bollicine di idrogeno.
Questo sottilissimo strato fa depositare sul conduttore interno dell’ossido di
alluminio, che riveste il ruolo del dielettrico per questo tipo di
Conduttore
condensatore. L’involucro e la soluzione possono quindi essere caricati
Isolante
negativamente, mentre il conduttore interno fa da armatura positiva.
Ossido
di Al
soluzione
elettrolitica
4.2 L’energia potenziale dei condensatori
Un condensatore è un sistema di due conduttori carichi, ed in quanto tale
possiede energia potenziale elettrostatica. Come sappiamo, essa è definita
come pari al lavoro svolto dal campo elettrostatico quando si smembra la
configurazione di cariche in eccesso su ciascuna delle armature separandole
Condensatore
elettrolitico
2
fino a distanza infinita1. Poiché tuttavia, al termine dello smembramento,
avremo due lastre conduttrici neutre affacciate, il fatto che la forza
elettrostatica sia conservativa ci autorizza a dire che il lavoro svolto dal
campo durante qualunque processo che conduca ad un tale stato finale è
sempre pari all’energia potenziale del sistema. Pertanto si è soliti parlare di
energia potenziale elettrostatica del condensatore come lavoro svolto dal
campo elettrico durante il passaggio della carica in eccesso sull’armatura
positiva a quella sull’armatura positiva. Un tale processo è detto anche
scarica del condensatore; dato che la scarica è agevolata dalle forze del
campo, l’energia potenziale di un condensatore è positiva. Dalla formula
che fornisce l’energia potenziale di un conduttore:
1
U = QV
2
chiamando V+ il valore (rispetto all’infinito) del potenziale dell’ armatura
dove è posta la carica positiva, e V− quello dell’armatura dove è posta la
carica negativa, complessivamente la somma delle due energie vale:
1
1
1
1
U = QV+ + (−Q )V− = Q(V+ −V− ) = Q ∆V
2
2
2
2
UN
CONDENSATORE È QUINDI UN DISPOSITIVO IN GRADO DI
ACCUMULARE ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA
lo si dovrà immaginare come una molla compressa, in grado di
rilasciare la sua energia allungandosi di scatto non appena gliene
venga data l’opportunità. Un condensatore si dice pertanto carico
quando vi è stata incamerata
energia potenziale. Si faccia
attenzione all’ambiguità del termine carico, che, in questo caso, non
si riferisce ad una localizzazione di carica elettrica. In effetti un
condensatore non accumula carica, dato che nel complesso si tratta
di un oggetto neutro: la sua carica complessiva è +Q − Q = 0 . Un
modello di condensatore che si rifà all’idraulica viene proposto qui
a lato. Supponiamo che all’interno di una conduttura piena di acqua
vi sia una camera cilindrica con un setto separatore connesso con
delle molle. Tale dispositivo blocca lo scorrimento
dell’acqua
al suo
interno, e può, in un certo senso, essere caricato. Comprimendo la prima
molla in una qualunque delle due direzioni, e conseguentemente estendendo
1
Per portare all’infinito le cariche positive senza distruggere il reticolo dell’armatura possiamo
immaginare che la lastra metallica si vada estendendo infinitamente, di modo che gli
ammanchi di elettroni si disperdano su di essa a distanza infinita le une dalle altre.
3
l’altra, il condensatore incamera energia potenziale, che è in grado di
rilasciare spingendo l’acqua attraverso un tubo di uscita. Se, poi, questo
tubo è collegato all’altro in ingresso in una sorta di circuito, allo
svuotamento di una regione corrisponderà il riempimento dell’altra, e
durante il processo si avrà una violenta scarica di acqua nelle condutture.
Al
termine,
il
dispositivo
sarà
riempito
esattamente
dello
stesso
quantitativo di acqua che conteneva inizialmente, ma la sua energia
potenziale sarà scesa a zero.
Il condensatore torna utile tutte le volte che si ha bisogno di una sorta di
molla elettrica: ovvero di produrre un intenso flusso di cariche che scorrano
in un tempo brevissimo. Nei dispositivi di
defibrillazione del cuore, ad
esempio si fa ampio uso di tale proprietà, così come nei flash delle macchine
fotografiche.
Di un condensatore ci interessa, quindi, la proprietà di incamerare energia
in relazione alla carica che poniamo su una delle due armature: questa
proprietà dipende tanto dalla geometria quanto dal dielettrico interposto
fra le armature. Essa prende il nome di capacità del condensatore, e, come
quella di un semplice conduttore, si misura in Farad.
1
Dalla relazione U = Q ∆V si vede che ciò che conta, ai fini dell’accumulo
2
energetico, è la differenza di potenziale fra le due armature: la grandezza
più opportuna per valutare quanto un condensatore è buono per lo scopo di
incamerare energia è quindi:
C =
Q
Q
=
∆V V+ −V−
Come per un conduttore, la capacità di un condensatore lontano da
influenze esterne è una costante: raddoppiando la carica Q raddoppia ∆V ,
triplicandola triplica, e così via.
A titolo di esempio calcoliamo la capacità di un condensatore piano con
armature di area S , separate da una distanza d .
Abbiamo visto che la diminuzione di potenziale spostandosi lungo le linee
di
forza,
che
vanno dall’armatura
G
V− − V+ = − | E | d . Si ricava quindi:
positiva
quella
negativa,
vale
G
V − V−
| E |= +
d
Ma sappiamo anche che fra le armature il campo elettrico è costante, e pari
G
G σ
σ
(| E |
nel caso di dielettrico interposto). Confrontando
a E =
ε0
ε0εr
σd
otteniamo V+ − V− =
, che sostituito nella formula per C fornisce:
ε0
4
C =
dove si è sfruttato che σ =
passaggi
Q
Qε
Sε
= 0 = 0
V+ −V−
σd
d
Q
. Se vi è un dielettrico interposto, ripetendo i
S
la formula cambia in:
C =
S ε0εr
, evidenziando come il
d
dielettrico accresca il valore della capacità, essendo sempre εr > 1 .
Capacità equivalente
Combinando fra loro condensatori differenti formando dei sistemi, si
potranno ottenere valori differenti di capacità, e quindi variare a
piacimento gli accumuli di energia potenziale.
SI DICE CAPACITÀ EQUIVALENTE, DI UN SISTEMA DI CONDENSATORI,
PUNTO
1
ED UN PUNTO
2,
LA CAPACITÀ DI QUEL CONDENSATORE CHE,
QUANDO VIENE COLLEGATA UNA SUA ARMATURA AL PUNTO
PUNTO
2,
FRA UN
1
E L’ALTRA AL
È IN GRADO DI ACCUMULARE LA STESSA ENERGIA POTENZIALE DEL
SISTEMA.
Vi sono, in realtà, solamente due modi diversi di mettere in relazione due o
più condensatori: in serie ed in parallelo.
Due (o più) condensatori si dicono collegati in serie fra un punto 1 ed
1
un punto 2 quando, per andare da 1 a 2 con un percorso continuo che non
inverta mai direzione, siamo costretti ad attraversare le armature di tutti.
La capacità equivalente di due condensatori A e B collegati in serie si
ricava tenendo conto del fatto che, posta una carica Q
sulla prima
A
armatura, essa si riprodurrà, per induzione, su tutte le altre con i segni
alternati, e che la differenza di potenziale fra il punto 1 ed il punto 2 è la
somma delle differenze di potenziale intermedie. Si scrive quindi:
B
∆V = ∆VA + ∆VB
La capacità equivalente C E , messa fra 1 e 2 al posto della serie, una volta
caricata con la medesima carica Q che si pone su ciascuno dei due
condensatori, dovrà generare una differenza di potenziale fra le sua
armature pari proprio a questo valore ∆V . Solo in questo modo infatti
A e B in serie fra 1 e 2
essa incamererà la stessa energia della serie. Dovrà quindi essere:
CE =
2
Q
∆V
5
E poiché è, per definizione, C A =
Q
Q
e CB =
, sostituendo:
∆VA
∆VB
Q
Q
Q
=
+
CE
CA CB
e, semplificando:
1
1
1
=
+
CE
CA CB
1
Da tale formula si evince che la capacità equivalente ad una serie è più
piccola della più piccola capacità presente.
Due (o più) condensatori si dicono collegati in parallelo fra un punto 1 ed
un punto 2 se possiamo andare da 1 a 2, con un percorso continuo che non
inverta mai direzione, attraversando solo le due armature di uno
A
qualunque di essi.
B
La capacità equivalente di due condensatori posti in parallelo, si ricava
tenendo conto che la differenza di potenziale fra le armature di uno
qualunque di essi, è sempre pari alla differenza di potenziale ∆V fra il
punto 1 ed il punto 2. Infatti
ognuno dei condensatori
ha la prima
armatura collegata con 1 e la seconda con 2: le armature di A e di B
collegate al punto 1 è come se fossero un unico conduttore, e lo stesso può
dirsi delle armature collegate al punto 2.
Pertanto, se le capacità sono differenti, la carica su ognuna delle armature
di A sarà senz’altro differente da quella sulle armature di B, ma il prodotto
A e B in parallelo fra 1 e 2
di queste cariche per ciascuna capacità deve sempre dare ∆V .
Questo è possibile solo se la carica totale Q = QA + QB , che poniamo
complessivamente sulle armature tramite un generatore, si ripartisce in
maniera proporzionale alle capacità:
QA = CA ∆V
QB = CB ∆V
Se ora, al posto del parallelo, si mette la capacità equivalente C E , tutta la
carica Q andrà sulle sue armature. Ma sappiamo che C E deve incamerare
la stessa energia del parallelo, e questo è possibile solo se
∆V resta lo
stesso di prima, da cui:
CE =
2
Q
Q + QB
Q
Q
= A
= A + B
∆V
∆V
∆V
∆V
Sostituendo abbiamo:
CE = CA + CB
Da questo risultato si deduce che la capacità di un parallelo è maggiore
della più grande capacità presente.
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La formula che addiziona le capacità in parallelo può essere intuita
A
osservando la figura accanto. Immaginiamo di allontanare le armature
B
connesse al punto 1 da quelle connesse al punto 2. Sarà allora più
trasparente che, ponendo in parallelo due condensatori, in realtà stiamo
accostando una sola armatura, composta da due lastre collegate fra loro, ad
una seconda armatura, composta sempre da due lastre collegate fra loro.
Appare quindi naturale sommare le capacità dei due se si vuole sostituire
al parallelo un solo oggetto.
Si provi, per esercizio, a
stabilire come sono disposti i
sistemi di
1
condensatori in figura.
1
A
A
C
B
B
D
C
2
2
Serie o parallelo fra 1 e 2 ?
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