Simulazione di gara a squadre a gruppi congiunti (1.5h)

ALLENAMENTO GARA A SQUADRE ON-LINE (12/12/2016)
Istruzioni Generali

Si ricorda che per tutti i problemi occorre indicare sul cartellino delle risposte un numero intero
compreso tra 0000 e 9999, o comunque una successione di 4 cifre. Si ricorda anche che occorre sempre e
comunque compilare tutte le 4 cifre, eventualmente aggiungendo degli zeri iniziali.

Se la quantità richiesta non è un numero intero, si indichi la sua parte intera. Si ricorda che la parte
intera di un numero reale x e il più grande intero minore od uguale ad x.

Se la quantità richiesta è un numero negativo, oppure se il problema non ha soluzione, si indichi 0000.

Se la quantità richiesta è un numero maggiore di 9999, oppure se non è univocamente determinata, si
indichi 9999.

Nello svolgimento dei calcoli può essere utile tener conto dei seguenti valori approssimati:
2  1,4142
3  1,7321
5  2,2361
7  2, 6458
Tanto tempo fa in una galassia
lontana, lontana....
Hanno collaborato alla stesura dei problemi:
Dipartimento di Matematica e Fisica dell'Università Cattolica di Brescia
Maria Francesca Lago
Santina de Monte
Salvatore Damantino
Sandro Campigotto
Ugo Tomat
  3,1416
La forza sia con voi
1. RITORNO A CORUSCANT
Per decisione del capitano Typho, Padmé Amidala, senatrice di Naboo, si trova costretta a viaggiare su un caccia
della scorta invece che sulla nave ammiraglia. La paura di attentati da parte dei terroristi è alta. Per passare il
tempo decide di fare un esercizio di concentrazione e calcola a mente quanti sono i numeri di 4 cifre in base 10
che si scrivono con 6 cifre in base 5 e con 3 cifre in base 16 .
2. LA SCORTA JEDI
Appena il cancelliere Palpatine viene informato dell’attentato alla senatrice, chiede immediatamente al consiglio
Jedi di metterla sotto la loro protezione, proponendo per il compito il vecchio amico Obi-Wan Kenobi. Quando ObiWan riceve la comunicazione di presentarsi immediatamente negli alloggi della senatrice, sta giocando con un
dodecaedro, souvenir di Ansion, l’ultimo pianeta che ha visitato. Nel dodecaedro sono stati tracciati, con dei fili
colorati, tutti i triangoli che non stanno sulle facce e Obi-Wan li sta contando. Quanti sono?
3. VECCHI AMICI
Obi-Wan al giovane Anakin Skywalker: “Ti sento un po’ nervoso”.
“Sono 10 anni che non la vedo”, risponde lui.
6
“Rilassati, fai un respiro profondo e calcola quante cifre ha il numero (987654321) ”.
All’aprirsi dell’ascensore, Anakin rimane quasi senza parole.
Anakin, felice di rivedere Padmé, si offre non solo di proteggerla ma anche di indagare sul recente attentato.
4. SOTTO SORVEGLIANZA
Quella notte, mentre i due cavalieri Jedi attendono in salotto, R2-D2 si occupa di tenere sotto stretta sorveglianza
la stanza dove la senatrice sta riposando. Il ciclo di sorveglianza è dato dalla seguente funzione:

 f (0)  0 ; f (1)  1

f (2 x)
1

R2-D2 sta calcolando il valore di f (0,625) , quando improvvisamente Anakin
se 0  x 
 f ( x) 
4
2

3 f (2 x  1)
1

se
 x 1
 f ( x)  4 
4
2
percepisce un pericolo. Ma quali sono le prime 4 cifre dopo la virgola del risultato del calcolo di R2-D2?
5. IL DARDO AVVELENATO
Salvata Padmé da due velenosissimi millepiedi, Obi-Wan e Anakin riescono a catturare l’attentatrice dopo uno
spericolato inseguimento. Questa rivela di lavorare per un misterioso cacciatore di taglie ma, prima che possa dire
altro, viene uccisa da un dardo avvelenato. La forma del dardo è quella di un ottaedro regolare di spigolo 100 mm ,
al quale sono state aggiunte otto piramidi triangolari, con basi coincidenti con le facce dell’ottaedro. Le facce delle
piramidi sono triangoli rettangoli isosceli con l’angolo retto nel vertice della piramide. La cosa che colpisce Obi-Wan
è una strana decorazione che partendo dal vertice di una delle piramidi, e correndo sulla superficie, arriva al vertice
di quella opposta percorrendo la minima distanza possibile. Quanto vale tale distanza in mm ?
6. RITORNO A NABOO
Mentre Obi-Wan viene ufficialmente incaricato di indagare sul misterioso cacciatore di taglie, ad Anakin viene
ordinato di riportare la senatrice al suo pianeta natale viaggiando in incognito, così, dopo aver affidato a Jar-Jar
Bing il ruolo di senatore, i due prendono un trasporto passeggeri per Naboo. Per passare il tempo, Anakin propone a
Padmé di calcolare quanti numeri esistono nella cui scrittura decimale non compare la cifra “ 0 ” e la cifra delle
unità risulta essere la somma delle altre cifre.
7. DEX
Dopo aver svolto delle indagini, senza risultati, Obi-Wan decide di far visita al vecchio amico Dex, che adesso
gestisce un bar a Coruscant. Quando Dex vede il dardo avvelenato, lo riconosce subito, rivelando a Obi-Wan che è
stato fabbricato sul pianeta Kamino. In ricordo dei bei vecchi tempi, chiede a Obi-Wan di aiutarlo con un problema
che non è ancora riuscito a risolvere dal loro ultimo incontro: “Devo trovare le ultime 4 cifre di un numero n che è
formato da 1999 cifre tali che, se ogni coppia di cifre consecutive di n fosse vista come un numero di 2 cifre,
allora quel numero sarebbe o un multiplo di 17 o un multiplo di 23 . So che la somma di tutte le cifre vale 9599 ”.
Per ringraziare Dex della preziosa informazione ricevuta, Obi-Wan gli rivela la soluzione.
8. IL PIANETA SCOMPARSO
Quale sorpresa quando Obi-Wan scopre che il pianeta Kamino non è segnato né su alcuna mappa della biblioteca di
Coruscant né sulle carte di navigazione del Tempio Jedi. Decide, a riguardo, di consultare il maestro Yoda. Il grande
maestro chiede ai piccoli bambini Jedi che sta addestrando di aiutare il maestro Kenobi. I piccoli, a turno, osservano
che:
- nel settore della galassia indicato da Dek, vi sono 4 stelle vicine che formano una costellazione che viene vista in
modo diverso dai vari punti dello spazio lontano;
- da Coruscant, le 4 stelle si vedono come vertici di un quadrato;
- dal pianeta Corellia, le 4 stelle si vedono come un triangolo equilatero e il suo baricentro;
- da Dagobah, si vede un triangolo isoscele con base
2 volte l'altezza e due delle quattro stelle risultano
sovrapposte e costituiscono il vertice del triangolo isoscele;
- da Tatooine, tre delle quattro stelle sono vertici di un triangolo ABC la cui base BC è divisa a metà dalla quarta
stella; se la base BC vale 1000 ua , il pianeta cercato è a metà dell’altezza di quest'ultimo triangolo, lo dice la
gravità.
“Meravigliosa la mente di bambino è.” conclude il maestro Yoda.
A che distanza dalla base BC si trova il pianeta Kamino?
9. ANAKIN SI INNAMORA
Durante l’incontro con la regina di Naboo, Anakin è costretto ad aspettare in disparte. Decide di passare il tempo
disegnando un 2016 -agono regolare; quindi, scelti 1008 punti dentro di esso, comincia a disegnare triangoli che
hanno come vertici questi 3024 punti e tali che i lati dei triangoli non si intersechino mai tra di loro. Non fa in
tempo a finire, perché Padmé lo raggiunge e lo conduce nella terra dei laghi. Lì, i panorami mozzafiato della terra
dei laghi, la serenità di Naboo e le splendide ore trascorse assieme … vedono sbocciare l’amore tra i due giovani.
Riprovandoci, in quanti triangoli distinti Anakin potrebbe tagliare il poligono?
10. I CLONATORI DI KAMINO
Intanto Obi-Wan raggiunge il tempestoso mondo oceanico di Kamino. Qui lo Jedi scopre che un esercito di soldati è
stato prodotto in fabbriche di clonazione; come modello genetico è stato usato il cacciatore di taglie Jango Fett.
Obi-Wan scopre che Jango Fett era stato assunto dal maestro Jedi Sifo-Dyas, assassinato un decennio prima, per fare
da matrice a un esercito di cloni voluto dal Consiglio stesso. I Kaminiani hanno scoperto che basta sostituire
un’informazione genetica per raddoppiare la velocità di crescita dei cloni. Il trucco è determinare il corretto valore
del parametro
k che fa si che l’equazione
x  6  6  k ( x  30) abbia esattamente 5 soluzioni. Che valore
hanno scoperto? (Dai come soluzione la somma tra numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi
termini.)
11. JANGO FETT
Il concilio degli Jedi ordina a Obi-Wan di catturare Jango Fett, che riesce a fuggire con la sua astronave assieme al
figlio Boba. Per seminare Obi-Wan che lo insegue, Jango decide di volare attraverso un ammasso di asteroidi. Il
Maestro Jedi non molla e così Jango decide di usare una bomba terremoto. Per programmare la bomba è necessario
inserire 8 delle cifre da 0 a 9 . Il programma della bomba si innesca scartando la cifra più alta e quella più bassa
tra quelle inserite. Boba osserva suo padre e lo vede inserire solo le cifre 2 , 3 , 5 e 8 , ma non vede le altre. La
bomba si innesca mostrando 23 come totale. Quali sono le altre quattro cifre inserite (scrivile in ordine
decrescente)? . La bomba esplode e Jango, ignaro del fatto che Obi-Wan si è salvato, si dirige su Geonosis per
incontrare il conte Dooku.
12. I SOGNI DI ANAKIN
Nel frattempo, Anakin è tormentato da incubi dove vede la madre Shmi soffrire terribilmente. Sogna di trovarsi
nell’accampamento circondato da individui di razza Tusken (che mentono sempre) e da individui di razza Jawa (che
dicono sempre la verità) più due anziani di cui non si capisce la razza, messi tutti in cerchio attorno a lui e alla
madre. Nel sogno, Anakin chiede a ciascuno se accanto abbiano un Tusken e un Jawa, e tutti rispondono “Sì.”, con
l’eccezione dei due vecchi,che si trovano uno a fianco all’altro, che rispondono “No.”. La forza dice ad Anakin che
ci sono esattamente 111 Tusken e che è corcondato da un numero primo di persone. Da quante persone è
circondato Anakin? Risvegliatosi, parte subito per il deserto e nell'accampamento dei Tusken ritrova la madre
appena in tempo per vederla morire tra le sue braccia a causa delle torture subite. Fuori di sé dalla rabbia e dalla
disperazione, Anakin stermina a sangue freddo l'intera tribù Tusken.
13. IL CONTE DOOKU
Obi-Wan, su Geonosis, scopre che il Conte Dooku ha autorizzato i tentativi di assassinio di Padmé e che il Consiglio
Separatista sta creando un’alleanza con altri clan per costituire una nuova armata di droidi da guerra. Da quello che
ha sentito, saranno in grado di avere tanti miliardi di droidi pari al numero di interi di 9 cifre del tipo 11a11b00c
che sono divisibili per 13 . Obi-Wan trasmette queste informazioni via ologramma, ma viene catturato da Dooku
durante la trasmissione. Su quanti miliardi di droidi può contare l’Alleanza Separatista?
14. IN AIUTO DI OBI-WAN
Anakin e Padmé decidono di correre su Geonosis in aiuto a Obi-Wan, ma vengono
catturati e condotti nell’arena, dove già si trova il maestro Jedi incatenato ad un
palo. L’arena ha la forma di un ottagono irregolare ottenuto per intersezione di due
quadrati regolari inseriti all’interno di un quadrato più grande (vedi figura). “Ma
allora… hai ricevuto il messaggio?” dice Obi-Wan. “Certo, e l’ho anche ritrasmesso
e poi abbiamo deciso di venire a salvarti.” replica Anakin. “Bel lavoro. Guardati in
giro, mio giovane apprendista. Il grande quadrato ABCD ha lato 180 m , mentre
la distanza AP vale 60 m ”. ”Che caso! Maestro, anch’io avevo ottenuto lo stesso
valore per il lato del quadrato grande, ma ho misurato la distanza RB che vale
36 m e quindi ora sappiamo l’area dell’arena. Prepariamoci al combattimento.”
“Direi che Padmé è già pronta” – commenta Obi-Wan vedendo Padmé liberarsi dalle
catene e arrampicarsi sulla colonna. Quanto misura l’area dell’arena in
D
A
C
P
R
B
m 2 ? (Dai la risposta divisa per 10 .)
15. NELL’ARENA
Anakin ( S ), Obi-Wan ( O ) e Padmé ( P ) si trovano nell’arena con tre mostri spaventosi, un Reek ( R ), un Acklay (
A ) ed un Nexu ( N ). Durante il combattimento, c’è un attimo in cui R  P  N sono allineati; S  A  R sono
allineati, ed anche O  P  A lo sono. Contemporaneamente P  N  S  A giacciono sulla circonferenza di centro
O e N  S  O giacciono sulla circonferenza di centro P . In quel momento Anakin decide di sfruttare il Reek e
con un salto gli monta in groppa. Se tra Anakin e Obi-Wan ci sono 100 m , quanto lungo è stato il salto di Anakin sul
Reek?
16. ARRIVANO I NOSTRI
In soccorso dei tre prigionieri giunge Mace Windu insieme ad un numeroso contingente di Jedi, presto però
sopraffatti dai troppi droidi di Dooku. Yoda osserva che, calcolando Padmé tra gli Jedi, prendendo due contendenti
a caso nell’area, la probabilità che essi siano due droidi è di
1
1
, mentre che essi siano due Jedi è di
. Decide,
12
2
così, di intervenire con l'esercito di cloni soldati. Quanti droidi stanno combattendo nell’arena?
17. ANAKIN E OBI-WAN VS DOOKU
Il conte Dooku si distacca dalla battaglia e prova a fuggire dal pianeta con in mano il progetto della futura Morte
Nera, ma viene fermato da Obi-Wan e Anakin. Tra i tre inizia un selvaggio combattimento a spade laser nel quale
Dooku mette fuori gioco Obi-Wan, ferendolo ad una spalla e ad una gamba, e sconfigge Anakin, intervenuto per
salvare Obi-Wan dal colpo di grazia, mozzandogli parte del braccio destro. E pensare che li ha distratti chiedendo
loro quante cinquine ordinate
(a, b, c, d , e) di numeri positivi diversi da 1 esistono tali che a  b  c  d  e  3121 .
18. YODA vs DOOKU
Proprio quando Dooku sta per dare il colpo di grazia ai due Jedi, Yoda arriva e duella con Dooku, un tempo suo
allievo. Tra i due nasce uno straordinario, seppur breve, duello dapprima con esibizione della "Forza" e poi con le
spade laser. Ad un certo punto Yoda pone a Dooku un quesito: se un triangolo ha le tre altezze che misurano
600 cm , 264 cm e 220 cm , qual è il suo perimetro? Vistosi a mal partito, Dooku decide di fuggire. Qual è la
risposta al quesito di Yoda?
19. LA FUGA
Dooku, con uno stratagemma, riesce ad allontanarsi da Geonosis con una navetta e raggiunge il Signore Oscuro a
Coruscant, consegnandogli il disco con i progetti di un’arma suprema. Lord Sidius è molto soddisfatto delle notizie
che Dooku gli ha riferito, ma vuole conoscere il codice per leggere il disco. Il conte Dooku riferisce che il codice è
x 4  y 4 , dove xy  x  y  13 e x2 y  xy 2  40 con x, y 
. Con quale codice il Lord dei Sith leggerà i piani
della sua futura arma di distruzione?
20. IL MATRIMONIO SEGRETO
Ritornati su Naboo, Anakin e Padmé si sposano segretamente, mentre R2-D2 e C-3PO stanno facendo un gioco con
dei mucchi di sassi secondo queste regole: a turno un giocatore sceglie uno dei mucchi e toglie da lì un numero di
sassi compreso tra 1 e 9 . Vince chi prende l'ultimo sasso lasciando l'avversario senza possibilità di muovere. Ad un
certo punto del gioco sono rimasti tre mucchi, il primo con un solo sasso, il secondo con 4 sassi ed il terzo con 18
sassi. Puoi scoprire quale mossa permette a C-3PO di vincere il gioco? (Scrivi 0000 se non ci sono mosse vincenti
(cioè se C-3PO perde qualunque mossa faccia, visto che R2-D2 gioca al meglio); scrivi 00ab se c’è un’unica mossa
vincente che consiste nel togliere b sassi dal mucchio a ( 1  a  3 ); scrivi abcd con ab  cd se ci sono due
mosse vincenti: togliere b sassi dal mucchio a oppure togliere d sassi da mucchio c ; scrivi 9999 se ci sono più di
due mosse vincenti.)
ALLENAMENTO GARA A SQUADRE ON-LINE (12/12/2016)
1. RITORNO A CORUSCANT [971]
I numeri che si scrivono con
6 cifre in base 5 sono 1000005  n  5555555  10000005 15 e cioè
5  3125  n  5  1  15624 . Siccome ci interessano i numeri che in base 10 hanno 4 cifre abbiamo
3125  n  9999 .
I numeri che si scrivono con 3 cifre in base 16 sono 10016  n  FFF16  100016  116 e cioè
162  256  n  163  1  4095 . Siccome ci interessano i numeri che in base 10 hanno 4 cifre abbiamo
1000  n  4095 .
Unendo le due informazioni otteniamo 3125  n  4095 . I numeri sono 4095  3125  1  971 .
5
6
2. LA SCORTA JEDI [1020]
Un dodecaedro ha 12 facce e 20 vertici. Tutti i possibili triangoli che si possono tracciare unendo tre dei venti vertici
sono
 20 
   1140 , così facendo avrei tracciato anche tutti i triangoli che stanno sulle facce che sono
3
 5
  12  120 . I triangoli cercato sono 1140 120  1020 .
 3
3. VECCHI AMICI [54]
(987654321)6  (109  x)6  1054  6 1045  x  ... .
7
7
Ora essendo x dell’ordine di 10 (in particolare x  12345679  1, 2 10 , il secondo elemento della potenza è
52
dell’ordine di 10 e di conseguenza il numero ha 54 cifre.
4. SOTTO SORVEGLIANZA [7968]
5
625 5
 , calcoliamo la funzione in :
8
1000 8
 1
 1 
f 2 
f  2   1
5
1
1


 
 
f  2   1 3  f   3   4  12  f   12  3   2 
51  f  0  51
5
3
8
4
 

 
 2 
4
4
4
.
f    



4
4
4
16
16
64
64
8 4
A
51
 0, 796875 .
64
Siccome 0, 625 
5. IL DARDO AVVELENATO [223]
Sviluppando la superficie sul piano si ottiene la figura a fianco riportata, dove il
percorso dal vertice A al vertice B della piramide opposta lo possiamo
calcolare sfruttando il triangolo rettangolo ABC .
Ora BC  100 mm e AC  200 mm .
La misura di
AB  1002  2002  5 1002  100 5  223,61 mm
6. RITORNO A NABOO [511]
B
C
Con “ 1 ” come cifra delle unità c’è solo il numero 11 .
Con “ 2 ” come cifra delle unità i numeri che verificano la condizione del problema sono 22 e 112 .
Con “ 3 ” come cifra delle unità i numeri che verificano la condizione del problema sono 33 123 213 e 1113 .
Osserviamo che a parte la cifra delle unità le altre possono essere ottenute dal caso precedente aggiungendo “ 1 ”
alla cifra delle decine o affiancando un “ 1 ” a sinistra del numero nella posizione più significativa.
Il numero totale è 1  2  2  ...  2  2  1  511 .
2
8
9
7. DEX [4685]
I multipli di 17 possono essere 17 , 34 , 51 , 68 e 85 mentre quelli di 23 possono essere
Costruiamo il grafo sotto riportato che identifichi i possibili collegamenti tra le cifre.
23 , 46 , 69 e 92 .
3
2
4
9
6
8
5
1
7
Ora avendo 1999 cifre dovrà, necessariamente, ripetere un certo numero di volte il blocco
sappiamo dove inizia) e solo nelle cifre finali potrà uscire dal ciclo verso la coda.
Osserviamo che la somma dei cinque elementi del ciclo è
24 e che
69234 (ma non
1995
 24  9576 . Mancano quindi 4 cifre la
5
cui somma deve essere 23 , ma non ci sono nel ciclo 4 cifre consecutive che facciano tale valore. Le ultime cifre
del numero devono finire nella coda.
Analizziamo a partire dal fondo. Se la cifra delle unità fosse 7 , le ultime 4 cifre sarebbero 8517 la cui somma non
fa 23 .
Se l’ultima cifra fosse 1 le ultime quattro cifre sarebbero 46851 la cui somma è 24 .
Se l’ultima cifra fosse 5 , le ultime 4 cifre sarebbero 4685 la cui somma è proprio 23 .
8. IL PIANETA SCOMPARSO [408]
Le quattro stelle formano un tetraedro regolare. Siano ABC i vertici di uno dei triangoli e sia
V il quarto vertice.
Allineando l’asse visivo con i punti medi di due spigoli opposti si ottiene un quadrato (figura a
destra).
Un tetraedro visto dall’alto avrà la forma di un triangolo equilatero e il
C
quarto vertice coinciderà con il baricentro della base (figura a sinistra).
C
A
B
V
A=V
V
Osservando un tetraedro allineando sull’asse visivo i punti A e V si osserva
B un triangolo isoscele di base BC (figura a destra). Dai dati del problemail
A
V
B
fatto che
regolare.
AH  2  BC ci assicura che ABCV è proprio tetraedro
B
H
C
Allineando lo sguardo con l’altezza relativa alla base BC del triangolo ABC si osserva un
C triangolo isoscele (figura a sinistra). BC  1000 ua . Il problema chiede di calcolare la misura di
A
1
VA in questa prospettiva che coincide con metà dell’altezza del tetraedro.
2
2

3
1000   1000 
3 
h
1000
1
2 500



1   500

6  408, 256 ua
2
2
2
3
3
3
2
9. ANAKIN SI INNAMORA [4030]
Senza perdita di generalità immaginiamo di aver scelto i 1008 punti sui vertici di un poligono regolare di 1008 lati
con lo stesso centro del poligono dato e con i vertici allineati uno si ed uno no con i punti medi del 2016 -agono
regolare. Unendo questi vertici con i due del 2016 -agono si ottengono 1008 triangoli e 1008 quadrilateri che
possono essere divisi in 1008  2 triangoli. A questi vanno aggiunti i 1008  2 triangoli che si possono tracciare
internamento al poligono di 1008 lati, per un totale di 1008  4  2  4030 triangoli
10. I CLONATORI DI KAMINO [7 1/6]
Convertiamo l’equazione in un sistema

y  x 6  6
e rappresentiamo la situazione graficamente:


 y  k ( x  30)
B
A
La seconda equazione rappresenta un fascio di rette di centro A(0; 30)
L’unico modo per avere
5 intersezioni si ha quando la retta passa per il punto B(6;6)
6 1
Sostituendo il punto B nell’equazione del fascio si ottiene k 

36 6
11. JANGO FETT [9410]
Consideriamo la lista delle cifre che è possibile inserire:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Le cifre in grassetto sono quelle che sicuramente sono state selezionate. Osserviamo che la loro somma è 18 .
Mancano 5 per arrivare a 23 ma la cifra più bassa e più alta verranno scartate. Possiamo ottenere 5 con 4  1 e
aggiungendo anche 0 e 9 avremo in totale otto cifre di cui 0 e 9 verranno scartate.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
La risposta richiesta è 9410 .
12. I SOGNI DI ANAKIN [331]
Una persona che dice la verità deve avere al suo fianco sia uno che dice la verità sia uno che mente. Uno che
mente, avendo al suo fianco uno che dice la verità, dall’altro lato deve averne un altro che dice la verità. Si crea
una sequenza VVFVVF… dalla quale sono esclusi i due anziani.
Supponiamo siano entrambi sinceri (caso VV): vista la loro risposta “no”, ed essendo uno a fianco dell’altro devono
avere alla loro destra e sinistra un altro che dice la verità. La sequenza sarebbe ..FVVFV(V)(V)VFVVF… (dove gli
anziani sono messi tra parentesi). Così facendo ci sarebbero in totale 111  222  2  335 persone. Siccome 335
non è un numero primo, il caso è da scartare.
Se fossero uno bugiardo ed uno sincero, la sequenza sarebbe …VVF(F)(V)FVVFVV… . Il totale è di
109  218  3  330 che non è un numero primo.
I due anziani devono essere entrambi bugiardi. La sequenza sarebbe ..VVFVV(F)(F)VVFVVF.. . In questo caso ci
sarebbero 110  220  1  331 persone. 331 è un numero primo.
13. IL CONTE DOOKU [76]
Applicando il criterio di divisibilità per 13 (differenza delle triplette di posto pari con le triplette di posto dispari
deve essere divisibile per 13 ) si ottiene che i numeri saranno tanti quanti a  c  b  13k . Essendo
0  a, b, c, d  9 vi sono solo due possibilità:
1) a  c  b  0 cioè a  c  b
2) a  c  b  13 cioè a  c  13  b
Analizziamo il primo caso: se b  0 abbiamo una sola possibilità, due nel caso b  1 , tre se b  2 e via di seguito.
In totale 1  2  3  ..  10  55 casi possibili.
Nel secondo caso se b  0 abbiamo 6 casi possibili, 5 se b  1 e così via fino a b  5 che ci da l’ultimo caso
possibile, per un totale di 6  5  4  3  2  1  21 possibilità.
In totale vi sono 76 numeri che verificano la condizione richiesta.
14. IN AIUTO DI OBI-WAN [1632]
Calcoliamo l’area dell’ottagono per differenza tra l’area del quadrato
PEGI e quattro volte l’area del triangolo MPN .
H
D
G
C
F
APEGI  PE 2  PB2  BE 2  1202  602  18000 m2 .
L’area del triangolo MPN la calcoliamo per differenza tra l’area dei I
triangoli MPR e NPR . Per fare ciò dobbiamo determinare le misure delle
loro altezze MK ed NQ .
Osserviamo che i triangoli PAI
che
con
AI : KM  AP : KP
120 : KM  60 : KP .
e
le
sono simili, e quindi
informazioni
note
diventa
PKM
E
L
M
A
Analogamente i triangoli RAL e RKM sono simili:
Mettendo assieme le due relazioni si ottiene:
N
K P Q
R
B
AL : KM  AR : KR che diventa 36 : KM  144 : KP  84 .
1
KM e KP  84  4KM cioè
2
1

 4   KM  84
2

KM  24 .
KP 
Procediamo allo stesso modo per
NQ .
EB : NQ  PB : PQ , cioè 60 : NQ  120 : PQ da cui PQ  2 NQ
AL : NQ  AR : QR , cioè 36 : NQ  144 :84  PQ da cui si ricava 84  PQ  4 NQ
Sostituendo la relazione appena trovata si ottiene
AMPN  AMPR  ANPR 
84  2 NQ  4 NQ , cioè NQ  14 .
24  84 14  84

 420
2
2
L’area dell’area è quindi
A  18000  4  420  16320 m2
15. NELL’ARENA [173]
Seguendo le informazioni date si arriva a tracciare la figura a fianco
riportata.
Sappiamo che OS  100 m e il problema ci chiede di calcolare SR .
2
Osservando la figura si nota che SR  SN  SA  AN con OS  hANS
3
2x 3
x  SR possiamo scrivere che
Detta
 100 , ovvero
3 2
x  100 3 173, 2 m .
R
P
N
O
A
S
16. ARRIVANO I NOSTRI [85]
Siano x il numero dei cavalieri Jedi e y il numero dei droidi presenti nell’arena, le due probabilità possono essere
scritte con le seguenti equazioni:
P(2 Jedi) 
x
y
x 1
y 1
1
1


 ; P(2 Droidi) 
 .
x  y x  y  1 12
x  y x  y 1 2
Mettiamo a sistema le due relazioni trovate e risolviamo:
x( x  1)
1

 ( x  y )( x  y  1)  12

sottraiamo le due relazioni:

y ( y  1)
1


 ( x  y )( x  y  1) 2
 ( x  y ) ( x  y  1)
5


12
 ( x  y ) ( x  y  1)

y ( y  1)
1

 ( x  y )( x  y  1)  2

 x2  x  y 2  y
5
 ( x  y )( x  y  1)   12


y ( y  1)
1


 ( x  y )( x  y  1) 2
Elaboriamo ulteriormente la prima relazione ricavando una delle incognite in funzione dell’altra:
12 x  12 y  5x  5 y . Cioè x 
7
y
17
Sostituiamo il valore trovato nella seconda equazione:
2 y( y 1)  ( x  y)( x  y  1)
7
 7

2 y( y  1)   y  y  y  y  1
 17
 17

24  24

2 y ( y  1) 
y
y  1
17  17

12  24 y  17 
y 1  

17  17 
288 y  204
y 1 
289
289 y  289  288 y  204
y  85 .
7
Per completezza x 
 85  35 .
17
17. ANAKIN E OBI-WAN VS DOOKU [4845]
Siccome 31 è un numero primo, ciascun elemento della cinquina dovrà essere una potenza di
diverso da zero:
xa 1
xb 1
xc 1
xd 1
xe 1
31 con esponente
) . Questo implica che xa  1  xb  1  xc  1  xd  1  xe  1  21 ,
(31 ,31 ,31 ,31 ,31
cioè xa  xb  xc  xd  xe  16 . Usando le combinazioni con ripetizione calcoliamo velocemente tutte le
possibilità:
 5  16  1  20 

     4845 .
 16   16 
18. YODA vs DOOKU [1650]
Risolviamo il problema sfruttando la Geometria Analitica scegliendo come
direzione dell’asse delle ascisse uno dei lati del triangolo e ponendo
l’origine del sistema di riferimento nel il piede dell’altezza relativa a quel
lato (vedi figura). Sia A(a;0) , B(b;0) e C (0;220) .
Con queste scelte le misure dei lati sono
C
AB  a  b , AC  2202  a 2 e
BC  2202  b2 . Il perimetro cercato è la somma dei tre valori.
Con le scelte fatte, abbiamo tre modi equivalenti per esprimere il doppio
dell’area; uguagliamoli tra loro:
B
A
264  2202  a 2  220(a  b) e 600  2202  b2  220(a  b) , relazioni
che possiamo, semplificando ed elevando al quadrato, scrivere nel seguente modo:
2
2
5

 11

2202  a 2   (a  b)  e 2202  b2   (a  b)  .
6

 30

Sottraendo le due relazioni appena trovate otteniamo
 5 11  5 11 
a 2  b2       (a  b)2 che semplificando ulteriormente diventa
 6 30  6 30 
14
(a  b) (a  b)  (a  b) 2 cioè
25
11a  39b
39
a  b.
11
Con le informazioni fin qua trovate, il perimetro cercato è dato dalla seguente relazione:
5
11
11
11  39

2 p  2202  a 2  2202  b2  a  b  (a  b)  (a  b)  (a  b)  (a  b)   b  b   10b .
6
30
5
5  11

Inseriamo l’ultima informazione trovata per
risoluzione:
121  39

220  b 
 b  b
900  11

2
a
2
2
121 25 00 2
b
9 00 121
16 2
4
b  200 , da cui b  220
3
9
b

165
e quindi
.
Il perimetro cercato è infine 2 p  10b  1650 cm .
2202  b2 
in una delle due relazioni sulle aree scritte all’inizio della
19. LA FUGA [2866]
Dobbiamo risolvere il sistema di equazioni
 xy  x  y  13
4
4
con l’obiettivo di calcolare x  y .
 2
2
x
y

xy

40

Dalla prima equazione ricaviamo x  y , mentre nella seconda raccogliamo a fattor comune:
 x  y  13  xy

 xy ( x  y )  40
Sostituendo la prima nella seconda otteniamo
xy(13  xy)  40 , cioè
( xy)2  13xy  40  0 equazione di secondo grado in xy che ha due possibili soluzioni: xy  8 e xy  5 .
Il sistema di partenza si riduce quindi in due casi:
 xy  8
 xy  5
e 
.

x  y  5 x  y  8
Il primo sistema non ha soluzione in quanto l’equazione risolvente
Senza la necessità di determinare le soluzioni calcoliamo
T 2  5T  8  0 ha   0 , mentre il secondo si.
x4  y 4  ( x  y)4  4 xy( x 2  y 2 )  6( xy)2  ( x  y)4  4 xy  ( x  y)2  2 xy   6( xy)2 
84  4  5  82  2  5  6  52  2866
20. IL MATRIMONIO SEGRETO [33]
Il gioco è una variante del gioco del Nim (https://it.wikipedia.org/wiki/Nim) dove la situazione iniziale, visto il
vincolo di poter togliere al massimo 9 sassi, deve essere analizzata modulo 10 .
I tre mucchi sono fatti da 1 , 4 e 18 sassi che visti in modulo 10 equivalgono a 1  4  8 . La somma “nim” dei
numeri in binario è
0001 
0100 
1000 
1101
Pe portare la configurazione insicura ad una sicura è necessario che il terzo valore
1000 diventi 101 , e quindi
dobbiamo togliere 10002  1012  112  3 sassi dal terzo mucchio. Non c’è altro modo per raggiungere una
configurazione sicura. La risposta è quindi “0033”.