Tabella di alcuni integrali utili nel calcolo dei coefficienti di Fourier Il
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Tabella di alcuni integrali utili nel calcolo dei coefficienti di Fourier Il
Tabella di alcuni integrali utili nel calcolo dei coefficienti di Fourier Il parametro k e’ intero e positivo; il parametro a reale. π Z Z Z = − x cos(kx) dx = x2 sin(kx) dx = x2 cos(kx) dx = x3 sin(kx) dx = x3 cos(kx) dx = x4 sin(kx) dx = x4 cos(kx) dx = x5 sin(kx) dx = x5 cos(kx) dx = eax sin(kx) dx = eax cos(kx) dx = 0 π 0 π 0 Z π 0 Z π 0 Z π 0 Z π 0 Z π 0 Z π 0 Z π Z 0 π 0 Z π Z 0 π 2 eax sin(kx) dx = 0 Z 0 π (−1)k π k −1 + (−1)k k2 (−1)k 2 − k 2 π 2 − 2 k3 2(−1)k π k2 (−1)k π k 2 π 2 − 6 − k3 3(−1)k k 2 π 2 − 2 + 6 k4 k 24 − (−1) π 4 k 4 − 12π 2 k 2 + 24 k5 k 2 2 4(−1) π k π − 6 k4 (−1)k π π 4 k 4 − 20π 2 k 2 + 120 − k5 5(−1)k π 4 k 4 − 12π 2 k 2 + 24 − 120 k6 k aπ k − (−1) e k a2 + k 2 (−1)k aeaπ − a a2 + k 2 √ [k2 /(4a)] e π k k − 2iaπ √ √ √ −2Erf + Erf + 4 a 2 a 2 a 2iπa + k √ Erf 2 a √ [k2 /(4a)] π k − 2iaπ 2iπa + k ie √ √ √ Erf − Erf 4 a 2 a 2 a x sin(kx) dx 2 eax cos(kx) dx = 1 π/2 Z Z = (−1)k (2k + 1)2 x cos[(2k + 1)x] dx = (−1)k (2k + 1)π − 2 2(2k + 1)2 x2 sin[(2k + 1)x] dx = 4(−1)k (2k + 1)π − 8 4(2k + 1)3 0 π/2 Z Z x sin[(2k + 1)x] dx 0 π/2 0 π/2 2 x cos[(2k + 1)x] dx = (−1)k (2πk + π)2 − 8 4(2k + 1)3 0 3 x sin[(2k + 1)x] dx Z k π/2 Z = 0 π/2 (2πk + π)2 − 8 3(−1) 4(2k + 1)4 k 3 x cos[(2k + 1)x] dx = (−1) (2k + 1)π (2πk + π)2 − 24 + 48 8(2k + 1)4 0 2(−1)k (2k + 1)π π/2 Z x4 sin[(2k + 1)x] dx = (−1)k π 4 k + π/2 x4 cos[(2k + 1)x] dx = Z Z Z x5 sin[(2k + 1)x] dx = 0 π/2 5 x cos[(2k + 1)x] dx = eax sin[(2k + 1)x] dx = eax cos[(2k + 1)x] dx = 0 π/2 1 2 2 π 2 − 6 + 24 − 3(2πk + π)2 + 24 1 4 2 − 3(2πk + π)2 + 24 (2k + 1)6 1 (−1)k (2k 32 + 1)π (2πk + π)4 − 80(2πk + π)2 + 1920 − 120 (2k + 1)6 aπ 0 π/2 Z 1 4 2 5(−1)k π 4 k + π/2 k+ (2k + 1)5 0 Z (2k + 1)5 0 Z (−1)k e 2 a + 2k + 1 a2 + (2k + 1)2 aπ 0 π/2 2 eax sin[(2k + 1)x] dx = 0 (−1)k e 2 (2k + 1) − a a2 + (2k + 1)2 √ (2k+1)2 π 2k + 1 −iπa + 2k + 1 √ −2Erf √ √ e 4a + Erf + 4 a 2 a 2 a iπa + 2k + 1 √ 2 a √ (2k+1)2 π −iπa + 2k + 1 iπa + 2k + 1 √ Erf √ √ ie 4a − Erf 4 a 2 a 2 a +Erf Z π/2 2 eax cos[(2k + 1)x] dx 0 = Gli integrali dei tipi Z π/2 f (x) sin[(2k)x]dx , Z π/2 f (x) cos[(2k)x]dx , 0 0 si riportano immediatamente ad integrali su [0, π] del tipo considerato nella tabella precedente. 2