Esercitazione numero 3 Scienza delle finanze 2015/2016

Esercitazione numero 3
Scienza delle finanze 2015/2016
Sistemi di voto, Teorema di Arrow e Teorema dell’elettore mediano
Prof. E. Peluso
Dott. P. Carapella
1)
2)
3)
4)
Trovare, se esiste, il vincitore di Condorcet?
Trovare il vincitore con sistema di plurality.
Trovare il vincitore con il sistema di Borda
Quale assioma del teorema di Arrow viene violato da Borda ?
Soluzione
Disclaimer: Le soluzioni sono solo abbozzate, all’esame siate più esaustivi.
1) Esiste un vincitore di Condorcet ed è l’alternativa A.
Esercizio 1
A vs B
A vince con 6 voti
Ci sono 3 elettori con le seguenti preferenze per 3 alternative A, B, C
B vs C
B vince con 5 voti
C vs A
A vince con 4 voti
Elettore 1
A
B
C
Elettore 2
C
A
B
Elettore 3
B
C
A
Soluzione
2) Il vincitore con plurality è C che prende 4 voti. Il problema di questo
sistema è che può selezionare un vincitore diverso da quello di
Condorcet e può essere influenzato da strategic voting.
3) Il vincitore con Borda è di nuovo A che prende 20 punti. Il problema con
Borda è la possibile violazione dell’ Indipendenza delle alternative
irrilevanti, uno degli assunti del Teorema di Arrow.
Con questo ordinamento di preferenze non esiste un vincitore di Condorcet.
Esercizio 3
A vs B A vince
Il consiglio degli studenti deve scegliere un nuovo Presidente fra 4 possibili
candidati : A, B, C, D. Le preferenze sono le seguenti:
a) Esiste un vincitore di Condorcet?
B vs C B vince
(120)
C
D
B
A
C vs A C vince
Esericizio 2
Ci sono 3 tipi di elettori con le seguenti preferenze per 3 alternative A, B, C
(2)
A
B
C
(3)
B
A
C
(4)
C
A
B
(50)
B
C
A
D
(40)
D
A
B
C
(90)
A
C
B
D
(60)
A
D
C
B
1) Qual è il numero minimo di voti perché un candidato vinca con
maggioranza semplice?
2) Qual è il numero minimo di voti perché un candidato vinca con
maggioranza relativa?
Chi è il candidato che vince con sistema di plurality?
3) Qual è il candidato che vince con il sistema di Borda?
(100)
D
B
A
C
4) Qual è il candidato che vince con il doppio turno (Runoff) ? Quale assunto
di Arrow viene violato da questo sistema?
Soluzione
1)Il numero dei voti totali è 460. Il requisito minimo per la maggioranza
semplice è quindi
460/2 +1= 231
2) Il requisito minimo per la maggioranza relativa è Voti Totali/ Numero dei
candidati= 460/4 +1= 116
Con il sistema di Plurality il vincitore sarà il candidato A che prende 150 voti.
3) Con il sistema di Borda il vincitore sarà il candidato di che prende 1240
punti.
4) Con il Runoff C e B sono eliminati al primo turno. Al secondo turno D
vincerà con 260 voti mentre A prenderà solamente 200 voti.
Il problema con il Runoff è la violazione dell’assunto di monotonicità. Se
aumento le preferenza per un candidato al primo turno questo potrebbe
perdere al secondo!
Esercizio 4
Abbiamo 3 consumatori la cui funzione di utilità dipende da G, una quantità
di bene pubblico. Quest’economia può produrre una quantità di bene
pubblico compresa fra 0 e 2.
!
Il primo individuo ha funzione di utitlità Ua = ! Mentre il secondo: ! ! = 2 −
!!
Il terzo individuo invece: ! ! = ! −
!!
!
1) Qual è l’outcome di questa elezione? Si può applicare il teorema
dell’elettore mediano?
Soluzione
Prima bisogna derivare il punto ottimale di G per i tre elettori. Per A avremo
!
=0. Siccome la derivata prima è strettamente crescente l’individuo A vorrà il
!
massimo ottenibile nell’economia. A voterà per G=2.
Il punto ottimo di B è -2G=0 quindi G=0, egli voterà quindi per G=0
Per C avremo 1-G=0 quindi G=1. Egli voterà per questa opzione.
L’opzione vincitrice sarà G=1, che batte le altre due opzioni in voto di
maggioranza. Questa opzione è anche quella dell’elettore mediano.