UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA TRANSIZIONI DI FASE E

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Fisica
Tesi di Laurea
TRANSIZIONI DI FASE
E IL MODELLO DI ISING
Relatore:
Prof. Gianluca Grignani
Laureando:
Giulio Capponi
Anno Accademico 2014/2015 Alla mia famiglia
2
Indice
Introduzione
1 Transizioni di fase
1.1
Classicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Transizioni del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Transizioni continue
1.4
Esponenti critici e universalità
2.2
2.3
2.4
6
8
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4.1
La funzione di partizione
1.4.2
La funzione di correlazione
. . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.4.3
Gli esponenti critici
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1
2
Il modello di Ising a spin-1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Il modello di Ising
2.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
6
Il modello di Ising a spinAltri modelli
17
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.3.1
Il modello di Potts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3.2
Il modello di Heisenberg e X-Y . . . . . . . . . . . . . . .
21
Risoluzione del modello di Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.4.1
22
Metodo della matrice di trasferimento
. . . . . . . . . . .
2.4.1.1
Energia libera
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.4.1.2
Magnetizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.4.2
Soluzione di Onsager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.4.3
Teorie di campo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.4.3.1
Disuguaglianza di Bogoliubov . . . . . . . . . . .
27
2.4.3.2
Teoria di Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.4.3.3
Validità delle teorie di campo medio . . . . . . .
33
Commenti nali
3
34
Introduzione
Nel 1920, il professor Wilhelm Lenz introdusse un modello statistico elementare, spinto dall'esigenza teorica di semplicare al massimo la natura degli spin
in un materiale ferromagnetico e di ottenere un sistema risolvibile in maniera
esatta. L'ipotesi che fornisce la maggiore semplicazione è considerare i dipoli
magnetici, situati nei siti di un reticolo d-dimensionale, descritti da grandezze
scalari
si
che possono assumere solo i valori
+1
o
−1.
L'obiettivo era anche
quello di studiare la transizione di fase ferromagnete-paramagnete, che avviene
ad una temperatura critica
Tc .
Nel 1922, Lenz chiese ad Ernst Ising, uno dei
suoi studenti di dottorato all'Università di Amburgo, di analizzare il suo modello. Ising trovò la soluzione esatta del caso unidimensionale ma mise in luce
l'assenza di una transizione di fase. Da allora il modello è conosciuto in letteratura come modello di Ising, poiché Lenz non pubblicò mai nulla sull'argomento.
In realtà la conclusione di Ising non era del tutto corretta in quanto, come sarà
mostrato più avanti, il modello unidimensionale ammette una transizione critica a
Tc
nulla. Nel 1936, Peierls dimostrò che nel caso bidimensionale avviene
una transizione critica a
Tc
non nulla, e il valore esatto di questa temperatu-
ra critica fu calcolato da Kramers e Wannier nel 1941.
Fu poi Lars Onsager
nel 1944 a risolvere in maniera esatta il modello bidimensionale. Nonostante la
semplicità del modello possa sembrare eccessiva, fornisce una serie di risultati
utili, soprattutto per quanto riguarda i cosiddetti esponenti critici. Questi sono
dei numeri caratteristici di un sistema in cui è prevista una transizione di fase
critica, che, tuttavia, dipendono solo da pochi parametri fondamentali, tra cui
la dimensionalità
d
del sistema e non dipendono dal tipo di interazioni. Quindi
gli stessi esponenti critici possono essere comuni a diversi sistemi anche di natura molto diversa, nei quali però deve avvenire una transizione critica. Questi
sistemi con gli stessi esponenti critici si raggruppano in classi di universalità.
La giusticazione teorica dell'universalità è fornita dalla teoria del gruppo di
rinormalizzazione, che non sarà discusso in questa tesi.
L'utilità del modello
di Ising, dunque, sta nel semplicare lo studio dei fenomeni critici di sistemi
(anche non magnetici) magari più complicati ma appertenenti alla stessa classe
di universalità.
Nel Capitolo 1 si deniranno e classicheranno le transizioni di fase, al ne di
comprendere meglio cosa si intende per transizione del primo ordine e transizione
critica; poi si deniranno gli esponenti critici, non prima di aver introdotto alcuni
concetti necessari della meccanica statistica.
1
2
quello originariamente pensato da Lenz, ed altri modelli classici (Ising a spinNel Capitolo 2 sarà nalmente descritto il modello di Ising a spin- , cioè
1 e Potts) o quantistici (Heisenberg e X-Y) che generalizzano il primo; alla
4
1
2
to (la matrice di trasferimento) ed altri approssimati (teorie di campo medio).
ne saranno riproposti dei metodi risolutivi per il modello a spin- : uno esat-
Per quanto riguarda la soluzione esatta di Onsager per il caso bidimensionale, sarà fornita solo la soluzione nale e non il calcolo completo, in quanto
particolarmente complesso.
5
Capitolo 1
Transizioni di fase
1.1 Classicazione
Una transizione di fase avviene quando è presente una singolarità nell'energia
libera o in almeno una delle sue derivate. Ciò comporta un brusco cambiamento
delle proprietà siche del sistema, come ad esempio la densità, la conducibilità
elettrica, la magnetizzazione, la struttura cristallina, ecc... Una prima classicazione delle transizioni di fase consiste nel considerare la variazione di entropia
∆S
nel passaggio da una fase all'altra, mantenendo ssa la temperatura.
questo caso si dicono transizioni del primo ordine quelle in cui
∆S 6= 0,
In
quindi
quelle in cui ad una certa temperatura è associato il calore latente, mentre si
dicono continue quelle in cui
∆S = 0,
quindi non c'è calore latente assorbito
o ceduto durante la transizione. Una classicazione più generale fa riferimento
ai potenziali termodinamici, come ad esempio l'energia libera di Gibbs (G) che
G(T, P ) = U − T S + P V nel caso si consideri solo lavoro di voG(T, H) = U − T S + µH nel caso si consideri il lavoro di un magnete
ha la forma
lume o
in un campo magnetico H. Nelle precedenti espressioni di G si sono utilizzate
le variabili intensive temperatura T, pressione P, campo magnetico H e le variabili estensive energia interna U, volume V, entropia S e momento di dipolo
magnetico
μ.
Considerando una trasformazione reversibile, se si dierenzia G e
dU = T dS − δL, dove δL
µdH se magnetico), si
dG = −SdT + V dP e dG = −SdT + Hdµ.
si tiene conto della prima legge della termodinamica
sta ad indicare il lavoro innitesimo (P dV se di volume,
ottengono le seguenti espressioni :
La classicazione di Ehrenfest consiste nel denire transizioni del primo ordine
quelle in cui l'energia libera di Gibbs ha una discontinuità nita in una delle
sue derivate prime, del secondo ordine quelle con la discontinuità nelle derivate
seconde e così via. In sintesi se
G1
e
G2
sono rispettivamente le energie libere
nella fase iniziale e nella fase nale, per una trasformazione dell' n-esimo ordine
si ha
∂ n G1 ∂ n G2 6=
∂hn P0
∂hn P0
(1.1)
dove h è una delle variabili termodinamiche intensive da cui dipende G e
P0
è il punto di transizione. Questo schema è tuttavia incompleto in quanto non si
6
considera la possibilità che una derivata seconda tenda a innito, cosa che invece
accade, con modelli analitici esatti, in transizioni come quella ferromagneteparamagnete.
Uno schema più generale, dovuto a Fischer, denisce ancora
transizioni del primo ordine quelle con una discontinuità nita nelle derivate
prime dell'energia libera, denizione che comprende quella data inizialmente
per cui
∆S 6= 0:
infatti l'entropia è denita come
∂G S=−
∂T H,P...
(1.2)
quindi è evidente da 1.1 che per questo tipo di transizione si ha
∆S 6= 0.
Inoltre Fisher denisce transizioni continue o critiche quelle in cui le derivate
prime dell'energia libera sono continue ma una delle derivate seconde risulta
avere una discontinuità (nita) oppure diverge in un certo punto. Sono chiamate
continue proprio perché le derivate prime sono continue nel punto di transizione,
quindi, ad esempio, la variazione di entropia avviene con continuità da una
fase all'altra.
In generale non è escluso che tutte le derivate prime e seconde
siano continue e ci sia discontinuità nelle derivate terze o superiori, quindi si
deniscono, richiamando lo schema di Ehrenfest, transizioni di ordine n quelle
con tutte le derivate continue prima dell'n-esima che invece è discontinua. Tale
denizione può essere data anche mediante un altro potenziale termodinamico
che è l'energia libera di Helmholtz
F (T, V ) = U − T S ,
con
dF = −SdT − δL.
Al ne di caratterizzare una transizione di fase è bene introdurre il concetto
di parametro d'ordine . Si tratta di una grandezza sica che rappresenta la
principale dierenza qualitativa tra una fase e l'altra.
Inoltre rappresenta la
variazione della simmetria di un sistema a transizione avvenuta e può essere
una grandezza scalare, vettoriale o tensoriale. Nel caso di transizioni continue o
critiche si passa da una fase più simmetrica ad una meno simmetrica o viceversa.
Data la continuità di queste transizioni, anche il parametro d'ordine risulta
continuo, quindi nel punto di transizione il sistema assume la simmetria di una
delle due fasi.
Spesso la fase più simmetrica, in cui il parametro d'ordine è
nullo, è quella che si presenta ad una temperatura maggiore di una certa
Tc
(detta appunto temperatura critica) mentre la fase meno simmetrica, in cui il
parametro d'ordine è diverso da zero, si presenta a temperature al di sotto di
Tc .
Per le transizioni del primo ordine invece, anche se spesso si ha un cambio di
simmetria tra le due fasi, queste simmetrie possono non avere nulla in comune,
in quanto non ci sono vincoli di continuità nel punto di transizione. Un caso
particolare è rappresentato dalla transizione liquido-vapore, in cui non si ha una
variazione della simmetria nelle due fasi. È tuttavia utile denire un parametro
d'ordine per questa transizione. Una grandezza che varia sensibilmente tra la
fase liquida e quella di vapore è la densità
Ψ = ρliquido − ρvapore
ρ.
Quindi si denisce il parametro
e nel graco 1.1 è mostrato l'andamento della densità di
liquido e vapore nella curva della pressione di vapore nel diagramma delle fasi
di un generico uido.
7
Figura 1.1
Nel punto critico
re
(ρc )
Pc = (Tc , ρc )
le due densità raggiungono lo stesso valo-
e non è più possibile una distinzione tra fase liquida e fase di vapore.
Un altro esempio di parametro d'ordine è la magnetizzazione media per una
transizione ferromagnete-paramagnete che è continua o critica. Infatti la magnetizzazione è diversa da zero nella fase ferromagnetica (più simmetrica) ed
uguale a zero nella fase paramagnetica (meno simmetrica) che si osserva sopra
la temperatura critica. Ancora un altro esempio è la transizione continua uidosuperuido nell'elio, in cui si sceglie come parametro d'ordine la funzione d'onda
del condensato, la quale è nulla nella fase di uido e diversa da zero nella fase
di superuido.
1.2 Transizioni del primo ordine
Esempi di transizione di fase del primo ordine sono le transizioni liquido-vapore,
solido-liquido e solido-vapore. Questi fenomeni sono caratterizzati dall'assorbimento o il rilascio di calore latente durante la transizione, quindi, come già
discusso, da una discontinuità dell'entropia tra le due fasi. In gura 1.2 è rappresentato un generico diagramma di fase pressione-temperatura, dove sono individuate delle curve in cui avvengono le varie transizioni (curva di sublimazione,
curva di fusione e curva di pressione di vapore).
Figura 1.2
Le transizioni solido-liquido e solido-vapore sono sempre del primo ordine,
mentre quella liquido-vapore presenta un punto critico nel quale le due fasi
8
sono indistinguibili.
Infatti in questo punto avviene una transizione critica,
quindi l'entropia varia con continuità da una fase all'altra. Oltre la temperatura
critica (Tc ), che è la temperatura corrispondente al punto critico, non avvengono
transizioni di fase.
È interessante studiare l'andamento dell'energia libera di
Gibbs (G), ad esempio per il passaggio da liquido a vapore. La funzione G è
crescente se si incrementa la pressione P mantenendo costante la temperatura T,
viceversa è decrescente con T a P costante. Inoltre, in entrambi i casi, presenta
una cuspide nel punto di transizione, indice di discontinuità delle derivate prime.
Quindi denendo
P0
il punto di transizione, tenendo conto delle relazioni
S=−
!
∂G ∂T P0
(1.3)
P
V =
!
∂G ∂P P0
(1.4)
T
e mettendo il pedice 1 o 2 a tutte le grandezze relative rispettivamente alla
fase liquida e alla fase di vapore, si ricava che
S2 − S1 =
!
∂G1 −
∂T P0
!
∂G2 >0
∂T P0
(1.5)
!
∂G2 −
∂P P0
!
∂G1 >0
∂P P0
(1.6)
P
V2 − V1 =
T
P
T
quindi dalla fase liquida alla fase di vapore entropia e volume aumentano in
modo discontinuo.
È interessante vedere cosa succede nel punto critico. Se ad esempio si considera una mole di argon, si osserva che l'andamento del calore specico molare
a volume costante con il rapporto tra temperatura e temperatura critica è il
seguente
Figura 1.3
9
Il calore specico diverge alla temperatura critica. Infatti, poichè Cv =
∂F
∂S
e S = −
con F (T, V ) energia libera di Helmholtz, si avrà Cv =
∂T
∂T
V
V
2 ∂ F
−T ∂T 2 . Quindi il calore specico è proporzionale alla derivata seconda
V
dell'energia libera di Helmholtz e se questa diverge nel punto critico, si ha per
T
denizione una transizione continua o critica.
1.3 Transizioni continue
Alcuni esempi di transizioni continue o critiche sono i passaggi ferromagneteparamagnete, conduttore-superconduttore e uido-superuido nell'elio. In questa parte sarà analizzata la transizione ferromagnete-paramagnete. Come è noto
i materiali ferromagnetici sottoposti ad un campo magnetico esterno H si magnetizzano e presentano una magnetizzazione residua anche dopo che H viene
spento.
Oltre una certa temperatura critica
Tc ,
anche detta temperatura di
Curie, assumono un comportamento paramagnetico, cioè non presentano magnetizzazione residua quando viene annullato H. Durante la fase ferromagnetica
si osserva una transizione del primo ordine. Si vede bene dal seguente graco
che esprime la variazione della magnetizzazione M con la temperatura T
Figura 1.4
La magnetizzazione residua è diversa se il campo H applicato viene portato
a 0 da sinistra,
H → 0+ ,
o da destra,
H → 0− ,
questo signica che c'è una di-
scontinuità nella magnetizzazione, che è il parametro d'ordine della transizione.
∂F
∂H T dove N è il numero di particelle nel materiale. La discontinuità della derivata prima dell'energia libera di Helmholtz in
Infatti si ha che
M = −N
V
H = 0 indica appunto una transizione del primo ordine.
A temperature maggio-
ri di quella critica non si ha questa discontinuità e nemmeno alla temperatura
critica stessa, dove però ad
H = 0
la magnetizzazione ha pendenza innita.
L'andamento di M con H è mostrato nella gura seguente
Figura 1.5
10
La derivata della magnetizzazione M per
la suscettività isoterma
χT
χT =
per
T = Tc
diverge in
T = Tc
diverge in
H = 0.
Infatti
che è
H = 0,
∂M
∂H
=−
T
N
V
∂2F
∂H 2
T
come mostrato in gura
Figura 1.6
Poichè la derivata seconda dell'energia libera di Helmholtz diverge, questa
è per denizione una transizione critica. Analizzando invece il comportamento
della suscettività al variare della temperatura con H ssato si giunge alle stesse
conclusioni, cioè per
H=0
si ha una transizione critica in
T = Tc
Figura 1.7
Infatti il calore specico a campo esterno costante (CH ) diverge per
T = Tc
e poichè
CH = T
∂S
∂T
= −T
H
∂2F
∂T 2
H
è evidente che anche la transizione dal comportamento ferromagnetico a
quello paramagnetico e viceversa è per denizione continua o critica.
11
1.4 Esponenti critici e universalità
Prima di introdurre gli esponenti critici delle transizioni di fase continue è importante richiamare alcuni concetti e denizioni della meccanica statistica, poichè,
volendo descrivere il comportamento delle funzioni termodinamiche durante una
transizione di fase, sia essa critica o del primo ordine, bisogna in primo luogo
analizzarne le caratteristiche microscopiche, quindi ricavarne quelle macroscopiche con l'applicazione di modelli statistici. Si consideri ad esempio un materiale
ferromagnetico. È noto che alcuni atomi posseggono un piccolo dipolo magnetico dovuto sia allo spin degli elettroni che al loro moto intorno al nucleo. Per
i ferromagneti sotto la temperatura di Curie
Tc ,
questi dipoli tendono ad al-
linearsi per eetto della loro interazione dando luogo ad un campo magnetico
percepibile su scale macroscopiche. In questo caso i dipoli magnetici (che d'ora
in poi saranno chiamati semplicemente spin) tendono a formare una congurazione di minima energia. Se quindi si considera un reticolo d-dimensionale nel
quale a ciascuno spin, posto nel sito reticolare i-esimo, è associata una grandezza vettoriale
→
−
Si ,
l'Hamiltoniana scritta nella versione più semplice possibile
(interazione a primi vicini) avrà la forma
H = −J
X→
−−
→
Si Sj
hiji
dove
hiji
indica che la somma è estesa ai primi vicini e
J >0
è la costante
di accoppiamento (ssa la scala energetica dell'interazione). È evidente che la
minima energia si ha quando tutti gli spin sono allineati, quindi nella fase ferromagnetica domina questa tendenza. Per
T > Tc ,
nella fase paramagnetica, il
sistema non tende a minimizzare l'energia interna, bensì a massimizzare l'entropia. Come già specicato, il parametro d'ordine della transizione ferromagneteparamagnete è la magnetizzazione totale del sistema quindi
P →
−
→
−
M = i Si .
Da
questo punto in poi saranno utilizzati termini magnetici ma i modelli saranno
spesso applicabili anche a sistemi non magnetici.
1.4.1
La funzione di partizione
La meccanica statistica che si utilizzerà è quella classica.
Si indica con C un
possibile stato del sistema (in questo caso è una congurazione degli spin in cui
è nota ogni orientazione di
(N
→ ∞).
→
−
Si ).
Sia anche il numero N di spin molto elevato
Se il sistema è in equilibrio termico con l'ambiente, scambiando
energia solo in forma di calore, si ha il cosiddetto insieme canonico. A questo è
associata la seguente probabilità per un generico stato C
E(C)
BT
−k
P (C) =
Dove
mann,
T
E(C)
e
Z
è l'energia del sistema nello stato
la temperatura assoluta e
Z
C, kB
è la costante di Boltz-
la funzione di partizione. Quest'ultima è
denita così (è conveniente scegliere un insieme statistico in cui
variabili temperatura
T
H)
X
Z(T, H) =
e−βE(C)
Z
dipenda dalle
e campo esterno
C
12
(1.7)
β = kB1T . La 1.7 assicura una corretta normalizzazione della
probabilità:
C P (C) = 1. Data una generica grandezza sica O, il suo valore
di aspettazione hOi si ottiene con la media statistica pesata sui diversi stati
dove si è posto
P
possibili del sistema
P
hOi =
C
O(C)e−βE(C)
Z
La funzione di partizione contiene anche informazioni rilevanti sulle proprietà
termodinamiche del sistema all'equilibrio, infatti si ha che
Z(T, H) =
X
e−βE(C) =
X
C
ω(E)e−βE =
X
E
e−β(E−T S) ≡ e−βF (T,H)
(1.8)
E
dove si è utilizzata la formula di Boltzmann
S(E) = kB ln ω(E)
in cui
ω(E)
rappresenta il numero di microstati che hanno energia E. Si può dimostrare che
la
F (T, H)
è l'energia libera di Helmholtz
F = U − T S.
F (T, H) = −kB T ln Z(T, H)
Invertendo la 1.8 si ha
(1.9)
L'importanza fondamentale della funzione di partizione sta proprio nel fatto
che tutte le proprietà termodinamiche macroscopiche si possono ottenere dalla derivazione dell'energia libera
F (T, H).
Ecco le principali per un sistema
magnetico
∂ ln Z
∂β
∂S
∂U
=T
=
∂T H
∂T H
∂F
S=−
∂T H
U =−
CH
M =−
χT =
1.4.2
∂F
∂H
∂M
∂H
(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)
T
(1.14)
T
La funzione di correlazione
Come già detto, per avere una piena comprensione delle transizioni di fase è
necessario capire cosa succede a livello microscopico.
Per farlo in modo più
quantitativo si introduce la funzione di correlazione, in questo caso, la funzione
di correlazione tra due spin
13
−
−
Γ (→
ri , →
rj ) = hsi − hsi ii · hsj − hsj ii
→
−
ri è la posizione dell'i-esimo spin nel reticolo. Se il sistema è invariante
→
− →
−
per traslazione si ha che hsi i = hsj i = hsi e che Γ( ri , rj ) = Γij dipende solo da
→
−
→
−
ri − rj . Quindi
dove
Γij = hsi sj i − hsi2
→
−
→
−
→
−
Lontano dalla temperatura critica, per r = ri − rj → ∞ i due spin diventano non correlati, sia sopra che sotto Tc . Infatti, anche se per T < Tc si
ha che hsi =
6 0 , la denizione data della funzione di correlazione considera le
uttuazioni degli spin dal loro valor medio. Quindi, lontano dal punto critico
ξ , detta lunghezza
→
−
r ). Questa
→
−
non è altro che la dimensione tipica entro il quale le uttuazioni degli spin si dal
valore medio risultano correlate. Per T 6= Tc la funzione di correlazione tende a
→
−
0 esponenzialmente con r
gli spin tendono ad essere correlati entro una certa lunghezza
di correlazione (che supponiamo non dipendere dall'orientazione di
r
−
Γ(→
r ) ∼ r−τ e− ξ
con
Per
τ ssato. In questo modo si è data una denizione un pò più rigorosa di ξ .
T = Tc invece la lunghezza di correlazione diverge e infatti la funzione di
correlazione decresce come una potenza e non più esponenzialmente
−
Γ(→
r)∼
dove d è la dimensione del sistema ed
1.4.3
η
1
rd−2+η
è un esponente critico.
Gli esponenti critici
Prima di denire cosa siano gli esponenti critici conviene introdurre la tempec
che misura la deviazione del sistema dalla temperatura
t = T −T
Tc
t → 0 si è in prossimità di Tc . Sia R(t) una generica funzione termo-
ratura ridotta
critica. Se
dinamica continua e positiva per piccoli valori di t. Si assume che esista e sia
nito il limite seguente
ln R(t)
t→0
|t|
λ = lim
dove
λ
(1.15)
si denisce esponente critico della funzione
R(t).
In ogni transizione
critica, quasi ogni funzione termodinamica è caratterizzata da un certo espo-
λ ∼ lnlnR(t)
|t| quindi si ottiene, sfruttando le
λ
proprietà dei logaritmi, che R(t) ∼ |t| . A seconda del valore di λ, la funzione
R(t) in corrispondenza del punto critico (t → 0) può divergere (se λ < 0) o può
annullarsi (λ > 0). Gli esponenti critici sono numeri spesso positivi ed espressi
nente critico. La 1.15 si può scrivere
come frazioni di interi, indicati con lettere greche. In Tabella 2.1 sono riportati
gli andamenti delle più importanti grandezze termodinamiche per un sistema
magnetico.
14
Tabella 1.1
CH a campo magnetico esterno H costante e nullo ha
α ≥ 0. Se α > 0, CH diverge nel punto critico, mentre se α = 0
Il calore specico
esponente critico
presenta diversi comportamenti a seconda del modello utilizzato per il calcolo.
La magnetizzazione M a campo magnetico esterno costante e nullo presenta
β > 0, quindi nel punto critico si annulla. In questo caso si scrive−t e non
|t| perché l'andamento di M si ricava ponendosi nella fase ferromagnetica, con
T < Tc quindi t < 0. La suscettività isoterma χT a campo H nullo ha esponente
γ > 0 quindi diverge nel punto critico, come visto in precedenza. Per quanto
riguarda l'andamento del campo esterno in funzione della magnetizzazione M ,
per l'isoterma critica T = Tc , la dipendenza da t è solo implicita (t = 0) e
l'esponente critico corrispondente è δ > 0. Nel punto critico la magnetizzazione
si annulla, e con essa il campo H per la positività di δ . Come già accennato
prima, nel punto critico, la lunghezza di correlazione ξ diverge e infatti ha
esponente critico ν > 0 ma che nella legge compare con il segno meno. Inne la
→
−
→
−
funzione di correlazione a coppie Γ( r ), che nella tabella è chiamata G( r ), Ha
l'andamento mostrato precedentemente e si ha che η ≥ 0. Anche in questo caso
la dipendenza da t è solo implicita. La seguente Tabella 1.2, invece, mostra gli
andamenti delle corrispondenti funzioni termodinamiche per un uido, quindi il
parametro d'ordine è la dierenza tra le densità invece della magnetizzazione,
invece del campo magnetico esterno
suscettività isoterma
χT
H
si trova il volume
si trova la compressibilità isoterma
V e
κT .
al posto della
Tabella 1.2
Il motivo per cui si introducono gli esponenti critici è che, per modelli che
considerino interazioni a corto raggio, dipendono solo dalla dimensionalità d del
sistema e dalla simmetria del parametro d'ordine (cioè dal tipo di grandezza:
scalare, vettoriale o tensoriale). Quindi non dipendono dal tipo di interazioni
che descrivono il sistema. I sistemi in cui avviene una transizione di fase critica
si raggruppano in classi di universalità, a cui appartengono tutti i sistemi con la
stessa dimensionalità e la stessa simmetria del parametro d'ordine, quindi con
gli stessi esponenti critici. Ad esempio, un magnete con anisotropia uniassiale
come il di-uoruro di manganese
M nF2 ,
può essere studiato con il modello di
Ising tridimensionale, così anche la miscela
CCl4 + C7 F16 , che è un sistema ui-
do, sempre tridimensionale, con parametro d'ordine che ha la stessa simmetria
15
di quello del modello di Ising tridimensionale. Da misure sperimentali risulta
che per
M nF2
si ha
β = 0.335(5)
dove la cifra tra parentesi è quella su cui
agisce l'incertezza, mentre per il secondo sistema risulta
β = 0.33(2).
Un altro
esempio sono i sistemi cristallini nei quali una supecie di ferro può sisorbire
atomi di idrogeno. Il sistema può essere studiato con il modello di Ising bidimensionale (che sarebbe specico per il ferromagnetismo). L'universalità degli
esponenti critici, dunque, comporta che per trattare una classe di universalità
basta studiare il sistema più semplice, che può anche essere inventato e non
avere riscontro sico.
Esistono delle relazioni tra gli esponenti critici che sono espresse in forma di
disuguaglianze. La più semplice da dimostrare è dovuta a Rushbrooke e deriva
dalla relazione (nota) tra calore specico a campo esterno costante e nullo e a
magnetizzazione costante
χT (CH − CM ) = T
Poichè
CM ≥ 0
∂M
∂T
2
(1.16)
H
si ha che
χT CH ≥ T
∂M
∂T
2
(1.17)
H
t → 0− (si
arriva a Tc dalla fase ferroma−α
T < Tc ) si hanno i seguenti andamenti asintotici: CH ∼ (−t)
β−1
∂M
e
. Quindi dalla 1.17 si ottiene che asintoti∂T H ∼ − (−t)
e dalla Tabella 1.1 si vede che per
gnetica, cioè da
,
−γ
χT ∼ (−t)
camente
(−t)
−(α+γ)
≥ (−t)
2β−2
e visto che
(−t) è positivo e piccolo la relazione
è rispettata se
α + γ + 2β ≥ 2
(1.18)
Un'altra disuguaglianza tra esponenti critici è dovuta alla convessità dell'energia libera ed è
α + β (1 + δ) ≥ 2
(1.19)
e ancora, facendo assunzioni ragionevoli sul comportamento delle variabili
termodinamiche o della funzione di partizione nel punto critico
γ ≤ (2 − η) ν
(1.20)
dν ≥ 2 − α
(1.21)
γ ≥ β (δ − 1)
(1.22)
Considerando ad esempio il modello di Ising bidimensionale, con il metodo
H = 0, si ottengono gli esponenti α = 0, β =
7
1
1
,
γ
=
,
δ
=
15,
ν
=
1
e η = . È facile vedere che le disuguaglianze 1.18,
8
4
4
1.19, 1.20, 1.21 e 1.22 sono vericate come uguaglianze.
analitico esatto di Onsager ad
16
Capitolo 2
Il modello di Ising
Il modello di Ising fu ideato nel 1925 da Lenz ed Ising, inizialmente come modello classico. Fu formulato in termini di un sistema magnetico, poi però ebbe
notevole successo anche per lo studio di sistemi non magnetici, soprattutto per
il calcolo degli esponenti critici, data l'universalità di questi ultimi e la semplicità del modello. La risoluzione del modello di Ising consiste nel trovare la
funzione di partizione del sistema, dalla quale è possibile ricavarsi l'energia libera di Helmholtz 1.9 e con questa studiare l'andamento della magnetizzazione
M
con la temperatura
T
(1.13). L'obiettivo è studiare il comportamento critico
del modello di Ising a diverse dimensioni e quindi fornire una previsione teorica
1
2 (che sarà discusso a breve) è stato risolto esattamente solo in una dimensione, con il metodo
degli esponenti critici. In realtà il modello di Ising a spin-
della matrice di trasferimento, e in due dimensioni, con il metodo di Onsager,
solamente in assenza di campo magnetico
H
esterno. Per dimensioni superiori
si utilizza l'approssimazione di campo medio, che fornisce informazioni qualitative sul comportamento critico delle funzioni termodinamiche e sugli esponenti
critici.
2.1 Il modello di Ising a spin- 12
Si consideri un reticolo di una generica dimensione d. Il sistema ha complessivamente
N
atomi e ad ogni sito reticolare è associato un atomo. Nel modello
1
2 ad ogni atomo è associata una variabile classica di spin si
1, 2...N ) che può assumere solo due valori: +1 o -1. Se si pongono
di Ising a spin(con
i =
questi spin in un campo magnetico esterno
→
−
H,
l'Hamiltoniana del sistema ha la
seguente forma
H=−
N
X
X
X
Hi si +
Jij si sj +
Kijk si sj sk + ...
i=1
hiji
(2.1)
hijki
Il primo termine descrive l'interazione di ciascun atomo con il campo esterno
→
−
H,
H (e che per comodità si assume con le dimensioni di un'energia,
Jij e Kijk ). Gli altri termini esprimono le interazioni di scambio a
primi vicini: Jij è l'energia di scambio a coppie, Kijk l'interazione a tre spin e al
che ha modulo
così come
17
H si
= H ), poi
posto dei puntini andrebbero tutti i termini successivi. Tuttavia, il campo
considera costante e interagisce allo stesso modo con tutti gli spin (Hi
si trascurano tutti i termini di interazione a tre o più spin. Inoltre si considera
isotropa l'interazione a coppie, quindi
Jij = J
è la stessa per ogni coppia di
spin. La 2.1 diventa
H = −H
N
X
si − J
i=1
X
si sj
(2.2)
hiji
J < 0 è favorita una congurazione a spin antiparalleli
= −1), mentre per J > 0 un allineamento a spin paralleli (si sj = 1).
J = 0 non si hanno interazioni tra spin, quindi il comportamento è para-
È evidente che se
(si sj
Per
magnetico. È importante far notare che il modello n ora descritto prescinde
dalla dimensionalità d del sistema. Dall'Hamiltoniana 2.2 risulta evidente che
questo modello può rappresentare solamente un sistema magnetico che nello
spazio degli spin ha una forte anisotropia lungo l'asse del campo
→
−
H,
cosa che
nei sistemi magnetici reali accade raramente. Quindi, paradossalmente, questo
modello risulta più utile per descrivere il comportamento critico di sistemi non
magnetici ma che hanno un parametro d'ordine locale (che continuerà a chia-
si )
marsi spin
capace di assumere solo i valori +1 o -1.
Il primo esempio di
1
è quello costituito da
2
3) di ottone (CuZn), cioè di una lega binaria
sistema descrivibile con l'Hamiltoniana di Ising a spinun reticolo tridimensionale (d
=
di rame e zinco. Nell'ottone gli atomi di rame e zinco sono uguali in numero e
giacciono sui siti di un reticolo cubico a corpo centrato (bcc). Alla temperatura
Tc = 733K
avviene una transizione di fase continua ordine-disordine. Il rame
e lo zinco, infatti, a basse temperature tendono ad occupare separatamente i
due diversi sottoreticoli cubici semplici che compongono il bcc (fase di ordine).
A temperature alte (T
> Tc ),
maniera del tutto casuale.
invece, tendono ad occupare i siti reticolari in
È chiaro, dunque, che il termine disordine non si
riferisce alla struttura cristallina bensì all'occupazione dei diversi siti (disordi-
si , con si = 1 se si
JCuCu , JZnZn e JCuZn
ne occupazionale). Assegnando ad ogni atomo la variabile
tratta di Cu e
si = −1
se si tratta di Zn e denendo
le interazioni di scambio rispettivamente tra due atomi di rame, due atomi di
zinco e uno di rame e uno di zinco, si può scrivere l'Hamiltoniana
H
=
1X
1X
JCuCu (1 + si )(1 + sj ) +
JZnZn (1 − si )(1 − sj )
4
4
hiji
hiji
1X
+
JCuZn [(1 + si )(1 − sj ) + (1 − si )(1 + sj )]
4
(2.3)
hiji
Questa scittura è giusticata dal fatto che il singolo termine della sommatoria
JCuCu se gli atomi vicini sono entrambi di rame (si = sj = 1), diventa
= sj = −1) ed è JCuZn se gli atomi sono
P
PN
Raccogliendo i termini
hiji si sj e
i=1 si in 2.3 si ottiene
si riduce a
JZnZn
diversi.
se sono entrambi di zinco (si
H = −J
X
hiji
si sj − H
N
X
si + C
i=1
18
(2.4)
dove
J = 14 (−JCuCu − JZnZn + 2JCuZn ) , H = − 21 JCuCu + 12 JZnZn
e
C
è un
termine indipendente dallo spin. Poichè nel sistema ci sono complessivamente lo
stesso numero di atomi di Cu e di Zn, si ha che
P
assume la forma dell'Hamiltoniana di Ising a spin-
H.
Si ha che
i si = 0 e l'Hamiltoniana 2.4
1
2 in assenza di campo esterno
< 0, il che vuol dire che nella
JCuCu + JZnZn > 2JCuZn quindi J
T < Tc , quindi in una congurazione
fase ordinata (a
degli spin che tende
a minimizzare l'energia) gli spin tendono a disporsi in maniera antiparallela,
come ci si aspettava visto che devono giacere sui due diversi sottoreticoli cubici
che compongono il bcc. A questo comportamento, che non ha nulla a che fare
con l'antiferromagnetismo, si può associare un parametro d'ordine, in analogia
con la magnetizzazione, che è la dierenza tra il numero di atomi di zinco e
di carbonio in uno dei due sottoreticoli (Ψ
= NZn − NCu ). Poichè 2.4 ha la
Ψ della 2.2 con J < 0 rispetto
stessa simmetria rispetto al parametro d'ordine
M , gli esponenti critici devono essere gli stessi del modello
1
tridimensionale. Sperimentalmente per l'ottone si ottengono
2
0.005 e γ = 1.24 ± 0.015 mentre da una stima per il modello di
alla magnetizzazione
di Ising a spin-
β = 0.305 ±
β ≈ 0.33
Ising
e
γ ≈ 1.24.
La leggera discrepanza è dovuta anche al fatto che
non si considera la dipendenza di
J
dalla temperatura, dovuta alla dilatazione
termica.
Un altro esempio di sistema non magnetico descrivibile dal modello di Ising
1
2 è quello rappresentato dal gas reticolare. Si tratta di un altro modello
che è rappresentato da un reticolo in cui un sito può essere occupato da un
a spin-
atomo o vuoto. Si associa ad ogni sito la variabile
t
che può essere 0 se il sito è
vuoto o 1 se il sito è pieno e l'Hamiltoniana corrispondente è
H = −JL
X
ti tj − µL
X
dove
JL > 0
ti
(2.5)
i
hiji
è l'interazione a primi vicini che favorisce l'occupazione dei siti
vicini ad uno occupato e
µL
è il potenziale chimico che regola il numero totale
di siti occupati: se è molto positivo si avranno molti siti occupati viceversa se
(1−si )
dove si = ±1 si
2
ottiene da 2.5 la stessa forma della 2.2 con il campo esterno H che dipende dal
è molto negativo.
potenziale chimico
Con la semplice sostituzione
µL .
ti =
Ad esempio il sisorbimento dell'idrogeno da parte della
supercie (110) del reticolo di ferro è descrivibile con questo modello. Le buche
di potenziale, tra un atomo di ferro e l'altro, fanno da gas reticolare e formano un reticolo triangolare.
Il numero di atomi di idrogeno adsorbiti dipende
dalla pressione sulla supercie del ferro. Tuttavia gli atomi adsorbiti tendono
a formare diverse congurazioni (fasi) e le transizioni da una fase all'altra non
sono descrivibili dal semplice modello di Ising a primi vicini, ma necessitano di
termini di interazione a secondi vicini e anche a tre spin.
1
2
dipendono dalla dimensionalità d del sistema. Ad esempio per
In generale, dal modello di Ising a spin- , le transizioni di fase previste
transizione critica con
critica per
Tc 6= 0
se
d > 1.
Invece se
Tc = 0.
19
d=1
H → 0 si
ha una
si ha una transizione
2.2 Il modello di Ising a spin-1
1
2 è appropriato per descrivere sistemi con un parametro d'ordine locale (si ) che può assumere solo due possibili valori. Un modello
Il modello di Ising a spin-
che consente un maggior numero di stati è il modello di Ising a spin-1, in cui
si
può assumere i valori -1, 0 e 1. Questo è un modello classico rappresentato
dall'Hamiltoniana
H = −J
X
si sj − K
hiji
X
s2i s2j − D
X
s2i − L
i
hiji
X
(s2i sj + si s2j ) − H
X
si
(2.6)
i
hiji
Questa forma deriva dall'aver scritto i prodotti tra tutte le possibili potenze
degli spin primi vicini.
seconda perchè se
Non sono state considerate le potenze superiori alla
si = 0, ±1
allora
s3i = si .
Le costanti di interazione
hanno chiaramente le dimensioni di un'energia e
J
K, D, L
può essere positiva o negativa
K , D e L non compaiono nel modello a spin- 21 perchè
2
se si = ±1
si = si quindi è tutto contenuto in J e H . Per la
maggiore varietà di parametri presenti in questo modello, il comportamento
1
2
si ha che
come per Ising a spin- .
critico è dierente da quelli visti n ora: il diagramma di fase per K = L = 0,
J > 0 e D 6= 0 mostra tre superci in cui avvengono transizioni di fase del primo
ordine che si intersecano in una linea tripla. Queste superci terminano in delle
tricritico
linee nelle quali avvengono transizioni critiche (linee di punto critico). La linea
tripla termina in un punto detto
dal quale le tre transizioni diventano
tutte critiche e inizia un'unica linea di punto critico.
Chiaramente le tre fasi
sono rappresentate dalle tre porzioni di spazio delimitate dalle tre superci.
Figura 2.1
2.3 Altri modelli
Il modello discusso no ad adesso è un modello classico e con il parametro
d'ordine locale che può assumere al massimo tre valori.
È utile citare altri
modelli che generalizzano quello di Ising. Di seguito si tratteranno il modello
di Potts, anch'esso classico, ma con la variabile di spin
si
che può assumere
un generico numero q di stati distinti, il modello di Heisenberg e X-Y che sono
invece modelli quantistici e non hanno più la simmetria dell'Hamiltoniana di
Ising lungo la direzione del campo
→
−
H
(che si assume essere diretto lungo l'asse
z).
20
2.3.1
Il modello di Potts
Si consideri H = 0 e il parametro d'ordine uno scalare a
si = 1, 2, 3...q . L'Hamiltoniana è scritta in questo modo
X
H = −J
δsi sj
q componenti, quindi
(2.7)
hiji
dove
δsi sj
è una delta di Kronecker e
minima energia si ha per
si
e
sj
J > 0.
Da 2.7 si capisce che la
uguali. In caso contrario l'interazione a primi
vicini risulta zero. Denita in questo modo, l'Hamiltoniana di Potts ammette
q congurazioni di minima energia equivalenti e degeneri. Il modello di Potts
prevede una transizione di fase ferromagnete-paramagnete che è critica per
4,
e del primo ordine per
d > 4.
d≤
È evidente che l'Hamiltoniana di Potts 2.7 è
1
2 (2.2) se q = 2 ma non è uguale
a quella a spin-1 (2.6) per q = 3. Infatti se si e sj sono entrambi 0 la 2.6 è 0
mentre se sono entrambi 1 o -1 è diversa da zero. Un esempio di fenomeno sico
equivalente all'Hamiltoniana di Ising a spin-
descrivibile dalla 2.7 è il sisorbimento degli atomi di kripton su una supercie
di grate (reticolo esagonale di atomi di carbonio). In questo caso ci si serve
del modello bidimensionale con
q = 3.
Infatti durante l'adsorbimento gli atomi
di Kr si posizionano negli esagoni del reticolo ma le dimensioni del kripton sono
tali da lasciare vuoti gli esagoni adiacenti. Questo fa si che si generino 3 diverse
coperture del reticolo di carbonio (Fig.2.2) ognuna corrispondente ad un reticolo
triangolare di atomi di Kr (sottoreticoli a,b oppure c) e ad ognuna delle quali è
associato
si = 1, 2, 3.
Figura 2.2
2.3.2
Il modello di Heisenberg e X-Y
Il modello di Ising si rivela in realtà non adatto alla trattazione di fenomeni
magnetici reali, in quanto è applicabile solo a quei magneti con una forte anisotropia lungo una sola direzione.
Infatti da 2.2 si vede che gli spin possono
giacere solo parallelamente o antiparallelamente alla direzione del campo esterno, si parla infatti di parametro d'ordine scalare a due o tre componenti. Più in
generale, nei magneti, sono ammesse delle uttuazioni degli spin dalla direzione di
→
−
H
e il parametro d'ordine è un vettore
→
−
si .
Quindi un'Hamiltoniana più
realistica per sistemi magnetici ha questa forma
H = −Jz
X
hiji
szi szj − J⊥
X
X
szi
(sxi sxj + syi syj ) − H
i
hiji
21
(2.8)
Se si pone
Jz = J⊥
si ottiene il
modello di Heisenberg
, completamente
isotropo, che descrive dicilmente le interazioni in un magnete, poichè questo
ha sempre una qualche anisotropia. Tuttavia esprime l'Hamiltoniana microscopica che descrive l'interazione di scambio alla base del ferromagnetismo. Questo
è un modello quantistico, quindi a dierenza di Ising, gli spin sono operatori con
[sxi , syi ] = i~szi (uguale per
Se invece si considera J⊥ 6= 0 e Jz = 0
le regole di commutazione dei momenti angolari, cioè
modello X-Y
tutte le permutazioni cicliche di x, y e z).
si ottiene l'Hamiltoniana del
dove gli spin sono vettori bidimen-
sionali. Nei sistemi reali rappresentati dalle Hamiltoniane di Heisenberg e X-Y
avvengono delle transizioni di fase critiche sotto certe condizioni. Assumendo
che il modulo del campo esterno
una transizione critica a
Tc 6= 0
H
per
tenda a zero si ha che un sistema X-Y ha
d ≥ 2,
ma per
d=2
il sistema transisce ad
una fase ordinata anomala perchè presenta, a tutte le temperature, una funzione
di correlazione che decade, per
r → ∞,
come una potenza negativa (mentre di
solito avviene solo alla temperatura critica). Per
critica per
Tc = 0.
senberg, presentano una transizione critica a
d = 1, 2.
d=1
invece si ha transizione
Per quanto riguarda i sistemi descritti dal modello di Hei-
È interessante che per
d≥4
Tc 6= 0
per
d>2
e a
Tc = 0
per
gli esponenti critici per i modelli di Ising
1
d ≥ 4 gli esponenti
2
calcolati con l'approssimazione di campo medio sono uguali a quelli calcolati
a spin- , di Heisenberg e X-Y sono gli stessi, e inoltre per
esattamente (con metodi numerici).
2.4 Risoluzione del modello di Ising
Come anticipato, in questa parte della tesi si cercherà di risolvere, dove possibile,
1
2
funzione di partizione e le principali funzioni termodinamiche di un sistema che
il modello di Ising a spin- , cioè saranno descritti dei metodi per ottenere la
abbia Hamiltoniana del tipo 2.2. Sarà inoltre studiato il comportamento critico
previsto dal sistema.
Per il modello a
d = 1
sarà utilizzato il metodo della
matrice di trasferimento e si vedrà come il modello predice una transizione critica
con
Tc = 0.
La soluzione di Onsager fornirà la funzione di partizione per
Poichè non è possibile risolvere esattamente il modello per
d > 2,
d = 2.
si studierà
l'approssimazione di campo medio, che permette di stimare il comportamento
critico del sistema a prescindere dalla dimensionalità d.
2.4.1
Metodo della matrice di trasferimento
1
2 per un sistema unidimensionale (d =
1) nel caso semplice di interazione a primi vicini. Il sistema è fondamentalmente
Si consideri l'Hamiltoniana di Ising a spinuna catena di spin.
La condizione per applicare il metodo della matrice di
trasferimento è avere un numero nito di stati di spin (e in questo caso ce ne
sono due) e considerare l'interazione con un numero nito di spin vicini (in
questo caso è uno, perchè è un sistema unidimensionale e si considerano i primi
vicini). L'Hamiltoniana è del tipo 2.2 con
H = −J
N
−1
X
i=0
d=1
si si+1 − H
quindi
N
−1
X
i=0
22
si
(2.9)
dove
N
è il numero totale di spin. Si suppone per comodità che il sistema
sia periodico, cioè che
N →∞
sN ≡ s0
(è come se la catena si chiudesse ad anello), per
la periodicità sarà irrilevante. La funzione di partizione 1.7 in questo
caso è
X
Z=
X
e−βEs =
{s}
dove
{s}
mere i valori
eβ(J
PN −1
i=0
si si+1 +H
PN −1
i=0
si )
(2.10)
{s}
indica una generica congurazione degli spin (che possono assu-
+1
−1)
o
e
Es
è l'energia corrispondente, quindi è data dalla
2.9. Svolgendo le sommatorie e sfruttando le proprietà degli esponenziali la 2.10
diventa
Z
X
=
eβJs0 s1 +βH
s0 +s1
2
eβJs1 s2 +βH
s1 +s2
2
...eβJs0 sN −1 +βH
sN −1 +s0
2
{s}
=
X
T0,1 T1,2 ...TN −1,0
(2.11)
{s}
trasferimento
dove compaiono gli elementi
Ti,i+1
della matrice
T
(detta
) che sono deniti così
Ti,i+1 = eβJsi si+1 +βH
matrice di
si +si+1
2
= ±1) si ha che
β(J+H)
e
e−βJ
T=
e−βJ
eβ(J−H)
e in questo caso (si , si+1
(2.12)
si = 1, la seconda a si = −1, la prima
si+1 = −1. È da notare come la dimensione
La prima riga della 2.12 si riferisce a
colonna a
si+1 = 1
e la seconda a
della matrice (in questo caso
2 × 2)
sia data dal prodotto tra il numero di stati
possibili per il singolo spin (cioè due: +1 e -1) e il numero di spin considerati
per l'interazione (in questo caso solo uno perchè consideriamo i primi vicini).
Quindi se ad esempio si considerasse il modello di Potts (unidimensionale) a
q stati con interazioni
T, la 2.11 diventa una
a primi vicini si avrebbe una matrice
corrispondenti agli spin eccetto quello di
Z=
X
T0,1 T1,2 ...TN −1,0 =
s0
Denita
s0
X
TN
0,0
= T r TN
s0 =±1
{s}
Poichè
q × q.
serie di prodotti matriciali che saturano tutti gli indici
è l'unico spin rimasto, la sommatoria è solo sui possibili valori di
quest'ultimo e la somma dei termini diagonali di
TN
è stata scritta come traccia.
La traccia è invariante per cambiamento di base, quindi si può considerare la
forma diagonale di
TN
e chiamando
λ±
i due autovalori corrispondenti a
T
è
evidente che
Z=
X
TN
N
0,0
N
= (λ+ ) + (λ− )
s0 =±1
23
(2.13)
e si possono, a questo punto , calcolare alcune funzioni termodinamiche per
1
2 a partire dagli autovalori della 2.12 che si ottengono
dalla condizione di annullamento del determinante della matrice (T − λI2x2 )
il modello di Ising a spin-
eβ(J+H) − λ eβ(J−H) − λ − e−2βJ = 0
con un pò di passaggi diventa
λ2 − 2λeβJ cosh (βH) + e2βJ − e−2βJ = 0
dalla quale si ottiene
λ± = eβJ cosh (βH) ±
q
e2βJ sinh2 (βH) + e−2βJ
(2.14)
Grazie all'espressione degli autovalori della matrice di trasferimento si vedranno alcuni risultati.
2.4.1.1 Energia libera
n × n,
In generale la 2.13 si può scrivere (supponendo di avere una matrice
quindi con
n
autovalori
λi )
X
Z=
TN
0,0
=
s0 =±1
n−1
X
λN
i
(2.15)
i=0
Assumendo gli autovalori reali e ordinati in modo che il valore assoluto sia
decrescente, si può applicare alla matrice 2.12 il teorema di Perron-Frobenius,
valido per matrici con elementi reali non negativi, che aerma che l'autovalore
di modulo massimo
λ0
è reale, positivo e non degenere. Ora è facile calcolare
F
N , dove F è l'energia libera, sfruttando la 1.9 e
scrivendo la funzione di partizione come la 2.15
l'energia libera per spin
f =
n−1
f =−
kB T X N
ln
λi
N
i=0
alla quale si applica il limite termodinamico
N →∞
n−1
f
e poiche per
N →∞
(
kB T
−
ln λN
0
N
!
si ha
1+
n−1
X
i=1
"
λi
λ0
N #!)
f = −kB T ln λ0 nel limite N
1
l'autovalore di modulo massimo è
2
segue che
a spin-
n−1
X
X
1
1
= −kB T lim
ln
λN
ln λN
λN
i = −kB T lim
0 +
i
N →∞ N
N →∞ N
i=0
i=1
(
"
#!)
n−1
X λ i N
1
N
= −kB T lim
ln λ0 1 +
N →∞ N
λ0
i=1
∼−
kB T
ln λN
0 = −kB T ln λ0
N
→ ∞. Nel caso del modello
λ+ (da 2.14) quindi
24
di Ising
f = −kB T ln e
βJ
cosh (βH) +
q
e2βJ sinh2
(βH) +
e−2βJ
(2.16)
u tenendo presente
S
s= N
, quindi basta
e da questa espressione ci si può ricavare l'energia per spin
che
f = u − Ts
dove
s
non è altro che l'entropia per spin
far tendere a zero la temperatura, cioè
f ∼u
β → ∞.
Sotto questo limite si ha che
e
f
q
1
ln eβJ cosh (βH) + e2βJ sinh2 (βH) + e−2βJ
β
q
1
= − ln eβJ cosh (βH) + sinh2 (βH) + e−4βJ
β
1 ∼ − ln eβJ (cosh (βH) + sinh(βH))
β
= −
quindi
βH
1
e + e−βH
eβH − e−βH
βJ
u = − ln e
+
β
2
2
1
1
= − ln eβJ+βH = − (βJ + βH)
β
β
= −J − H
2.4.1.2 Magnetizzazione
Per ricavare la magnetizzazione si potrebbe utilizzare la 1.13 e trovare la ma-
M
N dalla derivazione dell'energia libera per spin 2.16.
Tuttavia sarà utilizzato un altro metodo di calcolo che sfrutta gli autovalori e
gnetizzazione per spin
gli autovettori della matrice di trasferimento. la magnetizzazione per spin, nel
1
2 è il valor medio degli spin hsi e si può dimostrare che
hsi = hu0 |s|u0 i dove |u0 i è l'autovettore relativo a λ0 = λ+ e s è la matrice
diagonale che ha come elementi i possibili stati di spin. Quindi
modello di Ising a spin-
|u0 i =
a+
a−
,
hu0 | =
Si noti che a+ e a− sono reali,
T |u0 i = λ+ |u0 i si ottengono
a2±
1
=
2
a+
a−
,
s=
+1
0
0
−1
infatti risolvendo l'equazione agli autovettori
1± p
!
eβJ sinh (βH)
(2.17)
e2βJ sinh2 (βH) + e−2βJ
Segue da 2.17 che
hsi = hu0 |s|u0 i =
a+
= a2+ − a2− = p
a−
+1
0
0
−1
eβJ sinh (βH)
e2βJ sinh2 (βH) + e−2βJ
25
a+
a−
(2.18)
hsi che non ci sono transizioni di fase
T 6= 0. Infatti se si fa tendere a zero il campo esterno H , sia da destra
Si vede da quest'ultima espressione di
critiche a
che da sinistra, la 2.18 si annulla per ogni temperatura non nulla. Si vede invece
T → 0 la magnetizzazione media per spin assume due diversi
H → 0+ o H → 0− . Infatti se si fa tendere la temperatura a 0+ ,
divergere β , la 2.18 diventa
che per
eβJ sinh (βH)
p
e2βJ sinh2 (βH) + e−2βJ
valori per
cioè si fa
sinh (βH)
|sinh (βH) |
∼
e se successivamente si fa tendere a zero il campo esterno si ottiene
sinh (βH)
lim±
=
H→0 |sinh (βH) |
(
+1 se H → 0+
−1 se H → 0−
Ovviamente va notato che invertendo l'ordine dei limiti non si ottiene lo stesso risultato: se si fa tendere a zero prima il campo esterno e poi la temperatura
si avrà sempre magnetizzazione nulla.
2.4.2
Soluzione di Onsager
Il modello di Ising unidimensionale presenta una transizione critica solo per
Tc → 0+ .
Quando il modello fu introdotto per la prima volta, vista l'assenza
di una transizione critica con
di materiali ferromagnetici.
Tc 6= 0
, non fu considerato utile alla trattazione
È dovuta a Peierls la dimostrazione che nel caso
bidimensionale esiste un punto critico con
Tc 6= 0,
e fu grazie a Kramers e
Wannier che questa temperatura critica fu calcolata. Essi riuscirono a far vedere
che la funzione di partizione si può espandere in serie nella regione delle alte
e delle basse temperature, dimostrando anche la relazione di dualità tra le due
espansioni.
Grazie all'esistenza di una singolarità in entrambe le serie e alla
dualità, fu calcolata esattamente la temperatura critica del modello su di un
reticolo quadrato, che è data dall'equazione
sinh
J
kB Tc
=1
Inne Lars Onsager calcolò esattamente, con una dimostrazione complicata
H=
N → ∞ del
e non banale, la funzione di partizione, quindi l'energia libera, per il caso
0.
Si riporta il risultato di Onsager per il limite termodinamico
logaritmo naturale della funzione di partizione
lim ln (Z (T, H = 0))
N →∞
1
+
2π
ˆπ
=
p
1
2
2
dφ ln
1 + 1 − κ sin φ
2
ln (2cosh (2βJ)) +
(2.19)
0
2sinh(2βJ)
cosh2 (2βJ) . Con il risultato 2.19 è possibile calcolare l'energia libera
grazie alla 1.9.
dove
κ≡
26
2.4.3
Teorie di campo medio
Si è già accennato all'impossibilità di risolvere in maniera analitica il modello di
Ising oltre una certa dimensione. In questa parte saranno discusse due teorie di
campo medio che permettono di trattare in modo qualitativo il comportamento
critico di certi sistemi. Per teorie di campo medio si intendono dei metodi di
risoluzione, perlopiù classici, che grazie alla media termica di certe grandezze
forniscono un'espressione più o meno approssimata dell'energia libera. La media
termica o media d'insieme di una generica grandezza statistica
hAi =
dove
{s}
A
è data da
{s}
A (s) e−βEs
P
{s}
e−βEs
Es
l'energia associata. La prima teoria
P
è uno stato del sistema e
che sarà trattata è quella basata sulla disuguaglianza di Bogoliubov, applicata
1
2
libera da un principio variazionale. Poi sarà illustrata la teoria di Landau, la
direttamente al modello di Ising a spin- , con la quale ci si ricava l'energia
quale invece ipotizza e sfrutta lo sviluppo in serie di potenze dell'energia libera
intorno al punto critico. Alla ne si confronteranno gli esponenti critici ottenuti
dalle due teorie.
2.4.3.1 Disuguaglianza di Bogoliubov
La teoria che sta per essere descritta sarà applicata all'Hamiltoniana di Ising a
1
2
spin- . La disuguaglianza di Bogoliubov è la seguente
F ≤ Φ = F0 + hH − H0 i0
ed è un principio variazionale.
In 2.20 la
F0
F
H0
vera e l'Hamiltoniana vera del sistema, la
e la
(2.20)
H
sono l'energia libera
è un'Hamiltoniana di prova e
La media termica h...i0 viene fatta sugli
H0 . L'Hamiltoniana di prova viene scelta priva
J = 0 se si considera H0 l'Hamiltoniana di Ising.
H0 dipende da un parametro variazionale H0 detto
la sua energia libera associata.
stati dell'Hamiltoniana di prova
di interazioni, quindi ha
L'Hamiltoniana di prova
parametro di campo medio, ed è chiaro dalla 2.20 che per ottenere la migliore
stima dell'energia libera (detta
minimizzare
Φ
rispetto a
H0 ,
Fmf
energia libera di campo medio) è necessario
cioè
Fmf = min(Φ)
H0
Risulta evidente che la scelta di
migliore stima
Fmf .
campo esterno nullo
H0
è fondamentale al ne di ottenere la
Applichiamo questa teoria al modello di Ising a spin-
H = 0.
1
2 con
L'Hamiltoniana vera del sistema sarà quindi
H = −J
X
si sj
(2.21)
hiji
e come Hamiltoniana di prova si sceglie
H0 = −H0
X
si
(2.22)
i
27
dove
H0
è un'approssimazione del campo di scambio ottenuto con una media
termica su tutte le variabili.
Quindi nella 2.22 l'interazione di scambio
contenuta nel parametro di campo medio
H0
J
è
e tutti gli spin interagiscono con
quest'ultimo allo stesso modo. Praticamente la 2.22 non considera interazioni a
due corpi e corrisponde all'Hamiltoniana di un paramagnete semplice. Quindi
l'energia libera
F0
e la media statistica sugli spin per un paramagnete sono dati
da
F0 = −N kB T ln (2cosh (βH0 )) ,
e il termine
hH − H0 i0
hsi0 = tanh (βH0 )
(2.23)
si calcola considerando che la media termica è fatta
nel sistema approssimato (campo medio) dove non vi è correlazione tra spin
e poichè nella 2.22 ci sono solo termini ad un singolo spin (si ), la media del
prodotto
hsi sj i0
può essere fattorizzata quindi
hsi sj i0 = hsi i0 hsj i0 . Inoltre
hsi i0 = hsj i0 = hsi0 .
si considera il sistema invariante per traslazioni, quindi
Chiamando
z
il numero di primi vicini di un sito reticolare si ha che
hH − H0 i0
= −J
−J
X
hsi sj i0 + H0
X
hiji
i
X
hsi i0 hsj i0 + H0
X
hsi i0 =
i
hiji
−J
hsi i0 =
zN 2
hsi0 + N H0 hsi0
2
(2.24)
zN
2 si esprime il numero di legami presenti nel reticolo (ad ogni sito
sono associati z legami, zN viene dimezzato per non contare due volte lo stesso
dove con
legame). Ora sostituendo 2.23 e 2.24 in 2.20 si ottiene che
Φ
zN 2
hsi0 + N H0 hsi0 =
2
zN
= −N kB T ln (2cosh (βH0 )) − J
tanh2 (βH0 ) +
2
+N H0 tanh (βH0 )
= −N kB T ln (2cosh (βH0 )) − J
Derivando
Φ
rispetto a
H0
(2.25)
e ponendo uguale a zero (cioè minimizzando) si
ottiene l'equazione
H0 = zJ tanh (βH0 )
(2.26)
H0 = zJhsi0
(2.27)
hsi0 = tanh (βJzhsi0 )
(2.28)
e dalla 2.23
Quindi sostituendo 2.27 e 2.28 in 2.25 si ottiene l'energia libera di campo
medio
28
Fmf
zN 2
hsi0 + zJN hsi20 =
2
zN 2
= −N kB T ln (2cosh (βJzhsi0 )) + J
hsi0
2
= −N kB T ln (2cosh (βJzhsi0 )) − J
(2.29)
che rappresenta la migliore approssimazione possibile dell'energia libera ottenibile dalla teoria di campo medio di Bogoliubov, nella fase ferromagnetica
di un sistema descrivibile dall'Hamiltoniana di Ising. Per ottenere la magnetiz-
hsi0 è necessario risolvere la 2.28. Con metodi graci
T maggiore di un certo valore Tc si ha che hsi0 = 0 (fase
per T < Tc vi sono due soluzioni di hsi0 , una nulla e
zazione di campo medio
(Fig.2.3) si vede che per
paramagnetica) mentre
l'altra nita e diversa da zero. Solo quest'ultima è un minimo per l'energia libe-
Tc si calcola uguagliando le derivate delle due curve
y = tanh (βJzhsi0 )) perchè a T = Tc per denizione la y = hsi0 è
alla y = tanh (βJzhsi0 ) nell'origine quindi si trova che kB Tc = Jz .
ra. La temperatura critica
(y
= hsi0
tangente
e
Figura 2.3
La curva della magnetizzazione che si ottiene dalle considerazioni grache è
questa
Figura 2.4
zJ
kB non
dipende dalla dimensionalità del sistema ma solo dal numero dei primi vicini z .
È importante notare come la temperatura critica ottenuta
Inoltre
Tc
Tc =
ottenuta con la teoria di campo medio è sempre strettamente positiva,
e questo non coincide , ad esempio, con la temperatura critica calcolata con il
metodo (esatto) della matrice di trasferimento per un sistema unidimensionale, a
riprova del fatto che il campo medio non è che un'approssimazione. Si noti come
29
la dimensionalità
d
del sistema non è mai stata considerata, quindi i risultati
ottenuti dovrebbero valere per tutte le dimensioni, anche se più avanti si vedrà
che quella di campo medio è una buona approssimazione solo oltre una certa
dimensione.
l'energia
È interessante studiare il comportamento critico del sistema con
Fmf
appena ottenuta, quindi fornire una previsione degli esponenti
critici delle principali grandezze di un sistema magnetico (si veda Tabella 1.1).
β che descrive il comportamento critico
c
e
T → Tc . Ricordandosi che t = T −T
Tc
scrivere T = Tc (1 + t) la 2.28, sfruttando il
Si consideri innanzitutto l'esponente
della magnetizzazione
β
M ∼ (−t)
che quindi la temperatura si può
fatto che
per
zJ
kB , diventa
Tc =
hsi0
=
tanh (βJzhsi0 ) = tanh
hsi0
= tanh
1+t
Poichè come si vede in Fig.2.4
hsi0 → 0
hsi0
espandere in serie per piccoli valori di
Tc
hsi0
T
=
(2.30)
per
e di
T → Tc , quindi 2.30 si può
t, trascurando i termini al
secondo ordine
hsi0
hsi0
hsi30
−
+O
1 + t 3 (1 + t)3
=
= hsi0 (1 − t) −
!
hsi50
=
5
(1 + t)
hsi30
+ O t2 , hsi20 t, hsi40
3
dalla quale si ottiene
1
hsi0 ∼ (−t) 2
1
2
4
2 , il che giustica l'aver trascurato termini come hsi0 t e hsi0
2
(sono entrambi dello stesso ordine di t ). L'esponente α che descrive il comporQuindi
β =
H costante e nullo per t → 0,
Fmf . Poichè hsi0 → 0, si sviluppa
+
in serie la 2.29 per piccoli valori di hsi0 e poi si deriva due volte. Per t → 0 si
−
ha che la magnetizzazione è proprio uguale a zero (hsi0 = 0) mentre per t → 0
tende a zero (hsi0 → 0). Questa dierenza tra limite destro e sinistro fa si che
per T < Tc si ottiene
3
cH = N kB + O(t)
2
mentre per T > Tc
tamento del calore specico
cH
a campo esterno
si calcola derivando due volte l'energia libera
cH = 0
C'è quindi una discontinuità nel punto critico.
Poichè per questa appros-
simazione il calore specico non diverge, nell'espressione
essere posta uguale a
0,
quindi si ha
α = 0.
cH ∼ |t|−α la α deve
γ e δ descrivono il
Gli esponenti
comportamento rispettivamente della suscettività isoterma e del campo esterno
H
in funzione della magnetizzazione per un'isoterma critica (t
30
= 0).
Per
H (2.21) un
s
.
Si
vede
bene dalla
i i
esterno H si somma ad H0 ,
studiare i due andamenti è necessario aggiungere all'Hamiltoniana
termine che dipenda dal campo esterno
forma esplicita 2.24 di
hH − H0 i0
H,
cioè
−H
che il campo
P
quindi da 2.27 e 2.28 si ottiene
hsi0 = tanh (β (Jzhsi0 + H)) = tanh
Tc
T
H
hsi0 +
Jz
e alla temperatura critica
H
hsi0 = tanh hsi0 +
Jz
espandendo dunque per piccoli
hsi0 ∼ hsi0 +
γ = 1.
hsi0
H
hsi30
−
+ O hsi20 H, hsi0 H 2 , H 3 , hsi50
Jz
3
dalla quale si ottiene che
ottiene che
1
hsi0 ∼ H 3
δ = 3.
quindi
Con calcoli analoghi si
In sintesi i valori degli esponenti calcolati con questa teoria
di campo medio sono
α = 0,
2.4.3.2 Teoria di Landau
β=
1
,
2
γ = 1,
δ=3
(2.31)
Un altro esempio di teoria di campo medio che permette il calcolo approssimato
dell'energia libera e degli esponenti critici è la teoria di Landau. L'ipotesi su cui
si basa la teoria è che l'energia libera
F
si possa sviluppare in serie di potenze
del parametro d'ordine (chiamato genericamente
m)
intorno al punto critico.
In particolare si vedrà il caso ferromagnetico, quindi il parametro
magnetizzazione.
È una teoria di campo medio in quanto
m
m
sarà la
è sempre una
media termica e la si può vedere come un parametro di campo medio. Per il
ferromagnete l'espansione in serie è la seguente
F = F0 + a2 m2 + a4 m4
dove
Gli
ai
F0
è l'energia libera di ordine zero e
ai
(2.32)
è il coeciente della potenza
hanno le dimensioni di un'energia, mentre
2.32 ci si ferma all'ordine 4, in quanto si sceglie
mi .
m è presa adimensionale. Nella
a4 > 0 e con questa condizione
i termini successivi non alterano il comportamento critico.
Si noti che sono
presenti solamente i termini di ordine pari. Questo perchè l'energia libera di un
ferromagnete non dipende dal segno (verso) della magnetizzazione bensì dal suo
modulo, quindi i termini dispari non rispettano questa simmetria. Sotto queste
ipotesi l'energia libera prevede un comportamento critico illustrato in Figura
2.5 (dove è ragurato l'andamento di
in
m=0
F − F0 ):
per
a2 > 0
ammette un minimo
m il termine
m = 0 ma ha molteplicità 4,
per a2 < 0 si iniziano ad avere
di molteplicità 2 (pannello a) perchè per piccoli valori di
dominante è
m2 ;
per
a2 = 0
il minimo è sempre in
infatti la curva è molto appiattita (pannello b);
due minimi in due valori opposti della magnetizzazione che con l'aumentare
del modulo di
per
a2 < 0
a2
diventano sempre più grandi in valore assoluto (pannello c
e pannello b per
a2 0),
mentre per
31
m = 0
si ha sempre un
annullamento della derivata ma si può dimostrare che rappresenta un massimo
per
F
(con la derivata seconda)
Figura 2.5
L'evoluzione del graco dell'energia libera per
a2
decrescente mostra come
eettivamente ci sia una transizione critica: la fase in cui
m = 0 corrisponde alla
fase paramagnetica (campo esterno nullo), mentre quella in cui possono coesistere due valori non nulli e opposti di
m
corrisponde alla fase ferromagnetica.
La comparsa di una magnetizzazione spontanea è una rottura della simmetria
rotazionale del sistema. È quindi evidente che il coeciente
temperatura del sistema (nella fase ferromagnetica con
a2 = 0
si ha
T = Tc
e per
a2 > 0
T < Tc
a2
dipenda dalla
si ha
a2 < 0,
per
si ha T>Tc ) quindi si considera direttamen-
te proporzionale alla temperatura ridotta
t: a2 = ã2 t.
Potrebbe sorprendere
che si trova un comportamento singolare da un espansione regolare della
F
,
ma la magnetizzazione che minimizza l'energia libera è una funzione del campo
esterno e della temperatura che presenta un punto critico. Gli esponenti critici
calcolati con la teoria di Landau si ottengono dalla derivazione della
F
espressa
come in 2.32 piuttosto che dall'espansione in serie delle grandezze considerate
β si ottiene dalla minimizzazione
t < 0 (fase ferromagnetica). Si vede, infatti, che considerando a2 = ã2 t e ponendo uguale a zero la derivata rispetto ad m si ottiene
1
m ∼ (−t) 2 per t → 0− , quindi β = 12 . Per ottenere l'esponente α del calore
specico si deve derivare F due volte rispetto la temperatura ed è evidente che
1
2
se m ∼ (−t) 2 i termini di secondo e quarto ordine in 2.32 andranno come t
(tenendo conto ancora una volta che a2 = ã2 t), quindi il calore specico tenderà
ã2
−
+
ad un valore costante cH =
2Tc a4 per t → 0 e cH = 0 per t → 0 ; quindi α = 0.
Come prima, per δ e γ è necessario introdurre il termine di campo esterno −hm
dove appunto h è il campo esterno con le dimensioni di un'energia. Quindi la
(come invece è stato fatto prima). L'esponente
dell'energia libera 2.32 per
2.32 diventa
F = F0 + ã2 tm2 + a4 m4 − hm
(2.33)
dalla quale si ricalcola la magnetizzazione all'equilibrio per una isoterma
t = 0, dall'annullamento della derivata si
h = 4a4 m3 , quindi h ∼ m3 e δ = 3. Per γ bisogna studiare la
−1
∂h
∂m
= ∂m
. Dalla
suscettività isoterma χT =
∂h T o meglio il reciproco χT
minimizzazione di 2.33 e dal comportamento critico della magnetizzazione m ∼
1
−1
(−t) 2 è evidente che χ−1
e γ = 1.
T ∼ t quindi χT ∼ t
critica: si deriva la 2.33 e si pone
ottiene che
È interessante notare che gli esponenti critici ottenuti con la teoria di Landau
sono gli stessi di quelli ottenuti con la disuguaglianza di Bogoliubov. In realtà
è un risultato atteso in quanto l'Hamiltoniana di Ising è la stessa ed ha la
32
stessa simmetria rispetto all'inversione della magnetizzazione. Inoltre anche la
zJ
kB ,
infatti se si sviluppa in serie il coseno e il logaritmo per piccoli valori di hsi0
denizione di temperatura critica per la teoria di Landau è analoga a
Tc =
nella 2.29 si ottiene
Fmf = F0 +
N Jz 2
hsi0 (1 − βJz) + O hsi40
2
N Jz
2 (1 − βJz). Da
quest'ultima denizione di a2 , dato che per la teoria di Landau a temperatura
zJ
Jz
critica si ha a2 = 0, segue che
kB Tc = 1 quindi Tc = kB .
che confrontata con 2.32, ponendo
m = hsi0
dà
a2 =
2.4.3.3 Validità delle teorie di campo medio
I valori 2.31, ottenuti con la disuguaglianza di Bogoliubov e con la teoria di Landau, non dipendono dalla dimensionalità
d
del sistema. Tuttavia, sfruttando la
1
2 in assenza di campo esterno, si
1
ottengono dei valori che invece dipendono da d, ad esempio β =
8 per d = 1 e
1
β = 3 per d = 2, δ = 15 per d = 2 e δ = 4.8 per d = 3 o ancora γ = 74 per d = 2
e γ = 1.24 per d = 3. In generale si nota che con l'aumentare delle dimensioni
risoluzione esatta del modello di Ising a spin-
ci si avvicina ai risultati di campo medio. Infatti, nelle teorie di campo medio,
si trascurano le uttuazioni del parametro d'ordine dal valor medio, e quando queste diventano importanti per l'energia libera, la teoria di campo medio
non è quantitativamente corretta.
Per capire quando le uttuazioni incidono
signicativamente sull'energia libera si consideri che l'energia associata ad una
uttuazione è dell'ordine di
kB T
e la grandezza della uttuazione è rappresen-
tata dalla lunghezza di correlazione
associata alla uttuazione
ff luct
ξ.
Quindi, volendo studiare l'energia libera
(normalizzata al volume d-dimensionale) si ha
ff luct ≈ kξBdT . Poichè la lunghezza di correlazione ha un espo−ν
dν
nente critico ξ ∼ |t|
allora la ff luct ha un comportamento critico ff luct ∼ |t| .
innanzitutto che
Poichè il calore specico è proporzionale alla derivata seconda dell'energia libera
rispetto alla temperatura ed ha un comportamento critico
do due volte si ottiene che
2−α
F ∼ |t|
cH ∼ |t|−α , integran-
e vale lo stesso andamento anche se
l'energia libera è normalizzata al volume
f ∼ |t|2−α .
La condizione anchè
le teorie di campo medio descrivano in maniera quantitativamente corretta il
comportamento critico del sistema è che l'energia della uttuazione sia molto
|t|dν < |t|2−α ma poichè t → 0 si considera |t| < 1 e la condizione degli esponenti è dν > 2 − α. Si può dimostrare che
ν calcolato con la teoria di campo medio sia ν = 12 e poichè α = 0 come in 2.31
minore dell'energia libera totale: quindi
si ottiene
d>4
condizione sulla dimensionalità del sistema anchè gli esponenti di campo
medio siano quantitativamente corretti. Quest'ultima condizione spiega il perchè non ci si possa aspettare, per
d = 1, 2, 3, 4, previsioni teoriche degli esponenti
critici consistenti con quelle calcolate esattamente.
33
Commenti nali
La soluzione di Onsager costituì una pietra miliare nel campo delle transizioni
di fase. Riguardo alla sua importanza è impossibile non citare il celebre scambio
epistolare tra Hendrik Casimir e Wolgang Pauli subito dopo la Seconda Guerra
Mondiale; dopo che Casimir ebbe espresso la sua frustrazione nell'essere stato ignaro di quanto avvenuto in Fisica Teorica durante la guerra, Pauli, nella
sua risposta, scrisse Non e' successo niente di importante, tranne la soluzione
esatta del modello di Ising bidimensionale da parte di Lars Onsage r [5]. Negli
anni successivi al lavoro di Onsager, si diuse, nella comunità dei ricercatori, la
speranza di poter estendere il suo metodo ai reticoli tridimensionali o bidimensionali con campo esterno non nullo. Tuttavia non furono fatti molti progressi
in questa direzione.Per quanto riguarda il modello bidimensionale in presenza di
campo magnetico, notevoli progressi sono stati fatti dal 1990, grazie a Zamolodchikov, sfruttando la Teoria Quantistica dei Campi e la Teoria Analitica della
Matrice S. Il modello di Ising tridimensionale, invece, benchè molte delle sue
proprietà (come gli esponenti critici e le funzioni di stato) siano note grazie a
simulazioni numeriche, trovarne una soluzione esatta cositituisce ad oggi uno dei
problemi aperti della Fisica Teorica, classicato come problema NP-completo
per la teoria delle classi computazionali.
34
Bibliograa
[1] J.
M.
Yeomans-Statistical
mechanics
of
phase
transitions,
Oxford
University Press, 1992
[2] G. Mussardo-Il modello di Ising, introduzione alla teoria dei campi e delle
transizioni di fase, Bollati Boringhieri, 2007
[3] N. Goldenfeld-Lectures on phase transitions and critical phenomena,
Westview Press, 1992
[4] R. Zivieri- Fisica dei fenomeni critici, UNIFE, 2011/2012
[5] S. M. Bhattacharjee, A. Khare-Fifty years of the exact solution of the twodimensional Ising model by Onsager, Institute of Physics, Sachivalaya Marg,
2008
[6] B. A. Cipra-The Ising model is NP-complete, SIAM News, 2000
35