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Sezione aurea
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La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o
proporzione divina, nell'ambito delle arti figurative e della matematica, indica il
rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra
la minore e la somma delle due. Lo stesso rapporto esiste anche tra la lunghezza minore
e la loro differenza.
In formule, indicando con a la lunghezza maggiore e con b la lunghezza minore, vale la
relazione:
Sezione aurea
Simbolo
Valore
Frazione
continua
[1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, ...]
(sequenza A000012
dell'OEIS)
Insieme
numeri algebrici irrazionali
Costanti
correlate
Costante di Viswanath
(a+b) : a = a : b = b : (a-b)
Tale rapporto vale approssimativamente 1,6180 ed è esprimibile per mezzo della
formula:
Un altro modo per calcolare il valore del numero aureo può essere ricavato dalla
costruzione del rettangolo aureo; si può dedurre che equivale a: 0,5 + \sqrt{1,25}\
=1.6180339887498948482045868343656...
1,6180339887...
(sequenza A001622
dell'OEIS)
Il rapporto tra i due segmenti è la sezione
aurea.
Il valore così definito, che esprime la sezione aurea, è un numero irrazionale (cioè non rappresentabile come frazione di numeri interi) e
algebrico (ovvero soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi). Esso può essere approssimato, con crescente precisione,
dai rapporti fra due termini successivi della successione di Fibonacci, a cui è strettamente collegato.
Sia le sue proprietà geometriche e matematiche, che la frequente riproposizione in svariati contesti naturali e culturali, apparentemente
non collegati tra loro, hanno impressionato nei secoli la mente dell'uomo, che è arrivato a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e
armonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale "canone di bellezza"; testimonianza ne è
forse la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di "aureo" o "divino", proprio a dimostrazione del fascino
esercitato.
Indice
1 Excursus storico-matematico
1.1 Il periodo greco
1.2 Da Fibonacci al Rinascimento
1.3 Gli ultimi due secoli
2 Matematica
2.1 Particolarità matematiche
2.2 Rappresentazioni notevoli
2.2.1 Altre rappresentazioni
2.3 Il numero "più irrazionale"
2.4 Relazione con la serie di Fibonacci
2.5 Potenze di Phi
2.6 Metodi di approssimazione e espansione decimale
2.7 Geometria
2.7.1 Costruzione geometrica con riga e compasso
3 Storia
3.1 Babilonia
3.2 L'antico Egitto
3.2.1 La Grande piramide
4 Estetica
4.1 In psicologia
4.2 Nell'arte
4.2.1 Pittura
4.2.2 Architettura (Modulor)
4.2.3 Musica
4.2.4 Letteratura
5 Botanica
6 Note
7 Voci correlate
8 Bibliografia
9 Altri progetti
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10 Collegamenti esterni
Excursus storico-matematico
Vedi anche la sezione Storia.
A livello storico vi sono diverse questioni aperte riguardo quali e se effettivamente siano esistiti prima dei greci, popoli che conoscessero
la sezione aurea e che effettivamente la utilizzassero nelle loro opere.
Il periodo greco
« La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l'altro è la divisione di un
segmento secondo il rapporto medio ed estremo. Possiamo paragonare il primo a una certa
quantità d'oro, e definire il secondo una pietra preziosa. »
(Keplero)
La definizione del rapporto aureo viene fissata attorno al VI secolo a.C., ad opera della scuola
pitagorica (i discepoli e seguaci di Pitagora), nell'Italia meridionale, dove secondo Giamblico[1] fu
scoperto da Ippaso di Metaponto, che associò ad esso il concetto di incommensurabilità.[2]
La definizione di rapporto aureo viene ricondotta allo studio del pentagono regolare; il pentagono è un
poligono a 5 lati nel cui numero i pitagorici scorsero l'unione del principio maschile e femminile (rispettivamente nella somma del 2 col
3), tanto da considerarlo il numero dell'amore e del matrimonio.[3]
L'aura magica che i pitagorici associavano al numero 5, e a tutto ciò che vi fosse legato, può spiegare come il rapporto aureo potesse
apparire ai loro occhi tanto affascinante, pur ignorandone ancora gran parte delle proprietà matematiche, e giustificare in parte l'alone di
mistero che lo ha avvolto sin dalla sua scoperta fino ai nostri giorni.
La sezione aurea risulta connessa con la geometria del pentagono: in particolare il rapporto aureo è pari al rapporto fra il lato
e la
sua diagonale
, ma anche fra
e
(o
) e fra
e
, e a sua volta
e
, e in un'infinità di relazioni simili,
se immaginiamo che nel pentagono centrale possiamo iscrivere una nuova stella a cinque punte (o pentagramma), la quale produrrà a
sua volta un nuovo pentagono centrale, in cui ripetere l'iscrizione del pentagramma e così via, seguendo uno schema ricorsivo.
Euclide, intorno al 300 a.C., lasciò la più antica testimonianza scritta sull'argomento. Nel XIII libro dei suoi Elementi,[4] a proposito
della costruzione del pentagono, egli fornisce la definizione di divisione di un segmento in "media e ultima ragione"[5] (gr. ἄκρος καὶ
µέσος λόγος):
Tale divisione è basata sul semplice concetto di medio proporzionale: un segmento
è infatti diviso in media e ultima ragione dal punto C' se il segmento
ha
con
lo stesso rapporto che
ha con esso, ovvero se:
Divisione di un segmento in "media e ultima ragione"
La divisione di un segmento
in media e ultima ragione può essere effettuata costruendo un
pentagono regolare, del quale
rappresenta una diagonale e disegnandovi all'interno un
"triangolo aureo", ossia un triangolo isoscele la cui base corrisponde al lato del pentagono e i lati
uguali alle diagonali congiungenti quest'ultimo al vertice opposto; (i triangoli adiacenti vengono
detti "gnomoni aurei").
L'ampiezza dell'angolo interno del pentagono regolare è di 108º[6], ciò significa che gli angoli alla
base degli gnomoni aurei, anch'essi isosceli, misurano 36º, e, per differenza, quelli alla base del
triangolo aureo 72º. Se ne ricava che il triangolo aureo ha angoli di ampiezza 36º, 72º, 72º;
tracciando la bisettrice di un angolo alla base, si ricava un altro triangolo
, con l'angolo in D
di 36º, ovvero 72º, come il precedente; il terzo angolo in C sarà a sua volta di 72º.
è dunque
un altro triangolo aureo.
Per il primo criterio di similitudine sui triangoli,
d'altra parte, anche il triangolo
e
Immagine del pentagono con
evidenziato il "triangolo aureo".
sono triangolo simili; è quindi:
è isoscele, perché il suo angolo in D è di 36º come l'angolo in A, risulta quindi:
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ottenendo così:
Da Fibonacci al Rinascimento
Dal declino del periodo ellenistico passarono circa mille anni prima che la sezione aurea tornasse nuovamente a stuzzicare le menti dei
matematici, che ne rilevarono proprietà di natura algebrica, prima inconoscibili per via meramente geometrica.
Nel 1202 Leonardo Fibonacci pubblica il suo Liber abaci, il libro col quale si diffonderanno in Europa le cifre indo-arabe,
semplificando le modalità di calcolo nelle operazioni quotidiane.
Rinominando il segmento AC come a, e quello minore CB come b, possiamo reimpostare la proporzione di Euclide nei più
familiari termini algebrici, come segue:
ponendo
, e sostituendo, si ha:
si arriva alla formulazione finale:
; un'equazione di secondo grado dotata di una sola soluzione positiva:
Nel medesimo libro, Fibonacci introdusse pure per la prima volta, involontariamente,[7] il concetto di successione ricorsiva, con la
successione:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
in cui ogni termine è la somma dei due precedenti, la successione di Fibonacci:
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 1 = 3;
3 + 2 = 5;
5 + 3 = 8;
... ;
che può essere riassunta come segue:
Fn-2 + Fn-1 = Fn
Ad insaputa dello scopritore, anche la successione che porta il suo nome è indissolubilmente legata alla sezione aurea; il rapporto tra i
due argomenti fu tuttavia scoperto solo qualche secolo più tardi da un altro matematico durante il periodo rinascimentale.
Il rinnovato interesse per il numero aureo in epoca rinascimentale può essere ascritto ad un altro libro, il De divina proportione di Luca
Pacioli (pubblicato a Venezia nel 1509 e corredato di disegni di solidi platonici di Leonardo da Vinci), nel quale si divulgava a una vasta
platea di intellettuali l'esistenza del numero e di alcune delle sue numerose proprietà, fino ad allora appannaggio soltanto di una più
ristretta cerchia di specialisti. Il medesimo libro scalzava inoltre la definizione euclidea, unica dicitura col quale il numero veniva
chiamato, reinventandone una completamente nuova di proporzione divina, dove l'aggettivo "divina" è dovuto ad un accostamento tra
la proprietà di irrazionalità del numero (che lo rende compiutamente inesprimibile per mezzo di una ratio o frazione) e l'inconoscibilità
del divino per mezzo della ragione umana:
« Commo Idio propriamente non se po diffinire ne per parolle a noi intendere, così questa nostra proportione non se po mai per
numero intendibile asegnare, né per quantità alcuna rationale exprimere, ma sempre fia occulta e secreta e da li mathematici
chiamata irrationale [8] »
La relazione tra il numero aureo e la serie di Fibonacci, rimasta ignota anche a Luca Pacioli, fu scoperta nel 1611 da Keplero, come
rilevano i seguenti passi di una sua lettera:
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« ... questa proporzione [...] che gli odierni [...] chiamano divina [...] è congegnata in modo tale che i due termini minori di una
serie nascente presi insieme formino il terzo, e gli ultimi due addizionati, il termine [a loro] successivo, e così via indefinitamente,
dato che la stessa proporzione si conserva inalterata [...] più si va avanti a partire dal numero 1, più l'esempio diventa perfetto.
Siano 1 e 1 i termini più piccoli [...] sommandoli, il risultato è 2; aggiungiamo a questo il precedente 1, e otteniamo 3;
aggiungiamogli 2, e otteniamo 5; aggiungiamogli 3, e abbiamo 8; 5 e 8 danno 13; 8 e 13 danno 21. Come 5 sta a 8, così,
approssimativamente, 8 sta a 13, e come 8 sta a 13 così, approssimativamente, 13 sta a 21.[9] »
Keplero aveva praticamente scoperto che il rapporto fra due numeri consecutivi della successione di Fibonacci approssimava via via,
sempre più precisamente, il numero aureo; difatti:
ma Keplero, quale astronomo, non era forse tanto interessato a dimostrare la fondatezza della sua scoperta, quanto piuttosto a ricercarla
nell'architettura dell'universo, che lui invece osserva, nelle sue proprietà "divine"; non a caso concettualizzò un modello eliocentrico in
cui le orbite dei pianeti erano inscritte e circoscritte in solidi platonici e di conseguenza legate alla divina proporzione. La dimostrazione
fu fornita un secolo più tardi dal matematico Robert Simson e ulteriormente sancita dalla scoperta della formula generatrice della serie
di Fibonacci (detta appunto formula di Binet) ad opera di Jacques Binet (anche se probabilmente già nota a Eulero):
Questa formula mostra una successione di indice n di espressioni di numeri irrazionali che per ogni valore dell'indice fornisce un numero
intero.
Gli ultimi due secoli
Se per molto tempo la sezione aurea venne conosciuta con la definizione euclidea di proporzione media ed estrema, per poi assumere
l'aggettivo divina dopo l'uscita dell'opera di Pacioli, non è altrettanto certa l'origine della sua definizione come "aurea".
Nonostante la diffusa ed errata opinione che tale denominazione fosse in auge fin dall'antica Grecia, studiosi di storia della matematica
la collocano più verosimilmente attorno al XV - XVI secolo.[10]. La prima testimonianza scritta rintracciabile sembra risalire solo al
1835 nel libro Die Reine Elementar-Mathematik, in cui il matematico tedesco Martin Ohm scrive «è chiamata "sezione aurea"»,
specificando così di non esserne l'ideatore ma di usare un'espressione già discretamente diffusa. La nuova denominazione si diffuse
largamente nei primi anni dell'Ottocento, trovando sempre maggiori riferimenti nelle opere scritte, prima in tedesco e poi in lingua
inglese, facilitando così l'internazionalizzazione della formula ed entrando a pieno titolo nell'ambito culturale accademico, anche
inizialmente solo come termine legato ancora alla sfera estetica, prima di essere acquisito a pieno titolo nell'ambito matematico ufficiale,
come testimonia un articolo di E. Ackermann intitolato The Golden Section (La Sezione Aurea).
La sezione aurea si diffonde nell'Ottocento anche nel campo dell'arte, comparendo nelle opere di molti artisti in cui contrariamente al
passato, se ne può affermare la presenza per ammissione dello stesso artista; particolare contributo alla sua diffusione fu dato dalla
convinzione che la proporzione aurea, in particolare il rettangolo aureo, costituisse un canone estetico "naturale", per la sua ricorrenza
in natura, che studi recenti avevano certificato, e che quindi le sue proporzioni conferissero uno straordinario senso di armonia in tutto
ciò che la possedeva.
Non mancarono in tal senso neppure esperimenti psicologici volti proprio ad avvalorare tale tesi, anche se recentemente riprodotti con
esiti marcatamente più ambigui ed incerti. L'ossessione per la sezione aurea produsse anche serie di ricerche di contenuti originali, come
quelle volte a rintracciarne connessione nei mercati azionari, con quella che divenne nota come la teoria delle onde di Ralph Nelson
Elliott, o a ritrovare utilizzi pratici surreali come il Modulor.
Sul versante prettamente matematico, nel XX secolo l'avvento del computer e il potenziamento delle capacità di calcolo hanno
permesso di ottenere stime sempre più precise del numero irrazionale che rappresenta il rapporto aureo, altrimenti incalcolabile con i
soli strumenti della mente umana; il primo tentativo venne effettuato nel 1966 da M. Berg con un IBM 1401, calcolandolo fino alla
4599ª cifra, e successivamente, sempre nello stesso anno, fino alla decimilionesima.
Di seguito viene riportato il valore di fino al 1000º decimale:
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1,618033 9887498 9484820 4586834 3656381 1772030 9179805 7628621 3544862 2705260 4628189 0244970 7207204
1893911 3748475 4088075 3868917 5212663 3862223 5369317 9318006 0766726 3544333 8908659 5939582 9056383
2266131 9928290 2678806 7520876 6892501 7116962 0703222 1043216 2695486 2629631 3614438 1497587 0122034
0805887 9544547 4924618 5695364 8644492 4104432 0771344 9470495 6584678 8509874 3394422 1254487 7066478
0915884 6074998 8712400 7652170 5751797 8834166 2562494 0758906 9704000 2812104 2762177 1117778 0531531
7141011 7046665 9914669 7987317 6135600 6708748 0710131 7952368 9427521 9484353 0567830 0228785 6997829
7783478 4587822 8911097 6250030 2696156 1700250 4643382 4377648 6102838 3126833 0372429 2675263 1165339
2473167 1112115 8818638 5133162 0384005 2221657 9128667 5294654 9068113 1715993 4323597 3494985 0904094
7621322 2981017 2610705 9611645 6299098 1629055 5208524 7903524 0602017 2799747 1753427 7759277 8625619
4320827 5051312 1815628 5512224 8093947 1234145 1702237 3580577 2786160 0868838 2952304 5926478 7801788
9921990 2707769 0389532 1968198 6151437 8031499 7411069 2608867 4296226 7575605 2317277 7520353 6139362...
Nel 1974 il matematico Roger Penrose scoprì, utilizzando figure legate a , la
possibilità di una tassellatura a simmetria quintupla[11], attraverso l'uso di figure
diverse, detta tassellatura di Penrose. Ciò che rende detta tassellatura legata alla
sezione aurea, non è solo la particolare simmetria legata al pentagono e altrimenti
inarrivabile, ma perfino il fatto che le stesse figure sono unicamente basate sul
rapporto aureo, e che su grandi superfici il numero stesso delle figure impiegate
come rapporto approssima sempre 1,618; per esempio, prendendo due delle possibili
figure di rombi larghi e stretti, il numero di rombi larghi Nl e quello degli stretti Ns
deve essere tale da Nl/Ns = .
Nel 1976 il matematico Robert Hamman, che aveva già lavorato con Penrose per le
sue precedenti scoperte, allargò l'indagine sulla tassellatura al campo
tridimensionale, scoprendo che era possibile esaurire similmente anche un volume
ricorrendo a dei romboedri, composti dalle stesse forme utilizzate per ricoprire le
superfici. La particolarità di questo tassellamento tridimensionale era sempre quella
di avere una simmetria simile a quella dell'icosaedro (l'omologa della quintupla
bidimensionale del pentagono) se eseguita seguendo determinate regole di
giustapposizione. Tale scoperta, apparentemente solo teorica, non fu poi priva di
conseguenze, una sua utilizzazione reale avvenne nel 1984, quando Dany
Schectman, studiando alcuni cristalli di un composto di alluminio e manganese, notò
che possedevano una simmetria affine; la particolarità saliente era quella di avere
rispetto alle altre formazioni cristalline, completamente amorfe oppure regolari, una
quasiperiocità, da cui deriva la successiva riclassificazione degli stessi in
quasicristalli.
Matematica
Matematicamente, il numero aureo corrisponde a una delle due possibili soluzioni
dell'equazione di secondo grado
, le cui radici[12] sono:
Pavimento decorato a mosaico alla University of
Western Australia con un esempio di tassellatura di
Penrose, nello specifico a rombi "larghi" e "stretti".
Un'equazione scoperta nel 1994 e le prime 3000 cifre
significative di -.
Tra le due soluzioni possibili, quella che ha un senso pure a livello geometrico è la radice positiva, ovvero il numero irrazionale 1,618....
In matematica questo valore veniva indicato fino al XX secolo con la lettera greca τ (tau)[13], fu il matematico Mark Barr a introdurre
l'uso, oggi consolidato, della (phi)[14], dall'iniziale dello scultore greco Fidia (in greco Φειδίας), il quale avrebbe usato il rapporto
aureo per creare le sculture del Partenone.
La radice negativa dell'equazione, presa in valore assoluto (cioè priva di segno) è uguale a 0,618...; questo valore viene contrassegnato
con la lettera greca Φ (Phi), in maiuscolo, ed è talvolta detto sezione argentea[15][16].
Particolarità matematiche
Il rapporto aureo è l'unico numero non naturale il cui reciproco e il cui quadrato
mantengono inalterata la propria parte decimale.[18]
Dimostrazione
Per effettuare la dimostrazione, basta
prendere l'equazione originaria e modificarla:
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Se invece prendessimo Φ avremmo similmente che:
così emerge che il reciproco è uguale alla
radice stessa meno l'unità,[17] mentre per il
quadrato questa va aggiunta.
ma Φ non conserva inalterata la propria parte decimale (diversamente da ):
da qui si nota che la parte decimale di Φ² più Φ fornisce come risultato
Questo vuol dire che sommando e sottraendo
il valore 1 a , si modifica solo la parte
intera e non quella frazionaria, che rimane
inalterata.
, ovvero
1.[19] Quindi Φ presenta le seguenti proprietà:
Utilizzando la relazione che lega a Φ si può riscrivere la seconda equazione come:
da cui:
generalizzando per qualsiasi potenza del numero aureo l'equazione diventa:
L'ultima equazione racchiude le precedenti proprietà del numero, e si evince anche che è una delle possibile radici di ogni equazione
del tipo
.
Considerando le potenze di n elevato numeri via via più grandi, si ottengono numeri "quasi interi", cioè molto prossimi ad un numero
naturale, a potenze pari per difetto a potenze dispari per eccesso, ad esempio:
Essendo quest'ultima una caratteristica fondamentale dei Numeri di Pisot, la sezione aurea ne rappresenta un caso particolare.
Rappresentazioni notevoli
Il numero aureo è legato a due rappresentazioni, per così dire "notevoli", aventi diverse caratteristiche in comune:
entrambe sono ottenute per mezzo di operazioni ricorrenti
l'unico numero che compare nelle operazioni suddette è 1
Queste proprietà si dimostrano entrambe sfruttando lo stesso procedimento:
può essere ottenuto mediante una successione infinita di
radici quadrate sommando ogni volta 1 al risultato, e poi
estraendo nuovamente la radice
poniamo
si nota subito che essendo un processo infinito, la parte sotto
radice è ancora uguale a x², per cui:
e quindi:
può essere il risultato di una frazione continua illimitata,
avente tutti i termini uguali a 1 come denominatore
poniamo:
Trattandosi di una frazione infinita, si nota che il denominatore è
uguale a x, per cui:
se si moltiplicano entrambi i membri per x, si ha:
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che è l'equazione generatrice di .
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che è l'equazione generatrice di .
Altre rappresentazioni
Il numero "più irrazionale"
Per approfondire, vedi le voci numero irrazionale e frazione continua.
L'irrazionalità di phi, cioè l'impossibilità di essere espressa compiutamente mediante una frazione, è una tra le sue caratteristiche
tipiche e singolari, che viene direttamente dimostrata dalla sua formula generatrice:
La parte decimale infatti è interamente generata da
un numero irrazionale.
(che è un numero irrazionale), che sommato con un numero razionale fornisce
Inoltre questa proprietà del numero aureo può essere spiegata riprendendo la sua formulazione per mezzo di frazione continua.
Ogni numero, benché irrazionale, può infatti essere approssimato da una frazione continua:
scritta più brevemente come:
[a0; a1; a2;...].
La frazione può essere interrotta in qualsiasi punto:
[a0; ...; an]
rappresentando a0 la parte intera, l'approssimazione sarà determinata di volta in volta dai a1, ... an presenti di un ordine del 10-n
dell'n-esimo numeratore preso in considerazione[20].
Essendo i numeratori della frazione continua tutti 1, ne risulterà che, ogni frazione si scelga, questa presenterà la minore accuratezza di
approssimazione verso l'omologa persa al medesimo numerare di qualsiasi altro numero irrazionale; ovvero il numero aureo è il numero
più difficile da approssimare con un rapporto fra due interi razionali, da qui l'affermazione di numero "più irrazionale" fra gli irrazionali.
Relazione con la serie di Fibonacci
È stato già detto che facendo il rapporto di due numeri consecutivi di Fibonacci, questo approssima sempre meglio il numero aureo, man
mano che si procede nella successione; provare questo equivale a provare che il limite della successione fra numeri di Fibonacci
consecutivi è , ovvero:
La relazione può essere dimostrata per induzione: supponiamo che le precedenti frazioni convergano ad un valore definito 'x. La serie di
Fibonacci è una serie ricorsiva i cui termini sono uguali a:
possiamo quindi riscrivere il limite come:
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cioè uguale a 1 più il reciproco della frazione, che ripassando per il passaggio a limite, di cui
omettiamo i segni, possiamo riscrivere come segue.
che risolvendo darà .
La funzione generatrice della serie si basa proprio su :
Essendo
minore di 1 in valore assoluto, per n che diventa sempre più grande essa diventa una quantità così prossima a zero
da risultare ininfluente nella somma algebrica, tanto che per n grande i numeri della successione di Fibonacci possono essere
approssimati con:
analogamente a quanto visto precedentemente, soltanto che in questo caso i numeri quasi interi sono ottenuti dopo la divisione di un
altro numero irrazionale
.
Inoltre abbiamo:
Potenze di Phi
Ecco qui alcuni rapporti notevoli interni a phi stesso con delle sue potenze
Elementi di regolarità nelle potenze di si hanno anche con la serie di Fibonacci; per esempio, se invece del rapporto tra due elementi
successivi si prende un passo maggiore, il limite di questo convergerà sicuramente verso un p, e precisamente:
si ha inoltre:
,
Per alti valori dell'esponente, le potenze di phi possono essere considerate con buona approssimazione numeri naturali.
La sezione aurea presenta proprietà particolari se utilizzata come base di un sistema di numerazione.
Metodi di approssimazione e espansione decimale
Nonostante la sezione aurea possa essere compiutamente riportata in termini numerici con la nota formula
la presenza della radice di 5, ne decreta, attraverso l'irrazionalità, l'impossibilità di conoscerne tutta la
parte decimale, il che determina che essa può essere soltanto approssimata con maggior grado di precisione da
frazioni sempre più grandi oppure mediante algoritmi iterativi.
Il primo metodo più conosciuto è senz'altro quello di sfruttare il legame con i numeri di Fibonacci, attraverso
quest'altra ormai nota formula
il cui grado di approssimazione sempre migliore misurabile con la
differenza dal limite effettivo calcolabile con questa formula
. Rimane ovviamente sempre
l'inconveniente di dover preliminarmente calcolare valori sempre maggiori della successione.
Assai meno calcoli preliminari, richiede invece il calcolo mediante il metodo più classico della frazione
Approssimando φ, è
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continua, come precedentemente visto, il cui grado di approssimazione può essere solo stimato, risalendo alla
frazione corrispondente m/n, inferiore a
; se non fosse come già spiegato che si tratta della frazione
continua più lenta in assoluto.
possibile calcolarne un
numero arbitrario di
cifre decimali.
Geometria
La sezione aurea ricorre abbastanza frequentemente in geometria, particolarmente nelle figure a geometria pentagonale.
Nel pentagono regolare e nel pentagramma emerge naturalmente, e per questo, come abbiamo già detto, venne scoperto
dai greci, nel rapporto fra la diagonale e il lato o, nel secondo caso, fra il pentagono interno e il lato della punta stellata;
ma la si ritrova pure nel decagono come rapporto fra la misura del raggio della circonferenza circoscritta e del lato, o
ancora, trasferendoci nella geometria solida, perfino nel dodecaedro, un poligono a dodici pentagoni, e nell'icosaedro,
entrambi solidi platonici.
Esistono inoltre dei poligoni definibili aurei, poiché presentano in alcune delle loro parti il rapporto aureo; il caso più emblematico è
senz'altro il rettangolo aureo, seguito dal triangolo aureo :
Nel rettangolo il rapporto è rintracciabile fra il lato corto e quello lungo, mentre nel triangolo fra la base e i lati uguali; inoltre in
entrambe le figure si può notare che sono ricavabili una successione di figure simili sempre più piccole con fattore di
rimpicciolimento rispetto a quella più esterna; nel rettangolo aureo inoltre è possibile verificare che la sequenza "converge" verso un
punto di fuga che non raggiungerà mai[21], denominato dal matematico Clifford A. Pickover l'occhio di Dio, probabilmente rifacendosi
alla definizione di "divina" data alla proporzione da Pacioli.
Lavorando sulle successioni inoltre è possibile ricavare una sorta di spirale, spesso confusa
con la spirale aurea, anch'essa legata all'omonima sezione, ma di cui questa rappresenta
soltanto una buona approssimazione formata da quarti di cerchio; così come avviene nel caso
rettangolo, dove in questo caso la spirale approssimante , si avvicina a quella aurea, a volte
tangendola e altre sovrapponendosi[22] ed entrambe tendendo verso un polo asintotico
coincidente con lo stesso «occhio di Dio».
Sempre in ambito geometrico la sezione aurea trova un ruolo
importante anche nella composizione di alcuni frattali, ove
adottandolo come coefficiente di omotetia sarebbe in grado di assicurare la massima frattalizzazione della
figura prima che le sue parti inizino a sovrapporsi. Nel caso dei frattali che riescono a simulare forme
naturali, come un albero, per esempio, che rappresenta il grado di ottimalità massima per ottenere la
maggiore superficie di chioma senza sovrapposizione; a tal proposito prende proprio il nome di albero
aureo[23], una particolare forma di albero di Barnsley con valore pari a Φ[24].
Costruzione geometrica con riga e compasso
Per approfondire, vedi la voce Rettangolo aureo.
La sezione aurea può essere costruita geometricamente, con riga e compasso, su qualsiasi
segmento AB, ed è possibile agire in due modi:
1. dividere il segmento date le proporzioni media ed estrema
2. creare dal medesimo un segmento in proporzione media ed estrema
Nel primo caso una possibile divisione del segmento ci è indicata da Euclide alla Prop. 30,
libro VI dei suoi Elementi[25], tuttavia esiste un modo molto più semplice:
dato un segmento AB, si traccia la perpendicolare in B di lunghezza CB, pari a AB/2,
si traccia poi l'ipotenusa AC del triangolo rettangolo così disegnato e su di essa si
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Dimostrazione
Per la dimostrazione si può procedere in due modi:
Primo metodo
Per il teorema delle tangenti e delle secanti si ha che AB è medio proporzionale rispetto a AE e AD:
AD : AB = AB : AE
Per le proprietà delle proporzioni:
(AD - AB) : AB = (AB - AE): AE
da cui si ha, ricordando che AE = AE':
AE' : AB = E'B : AE'
AB : AE' = AE' : E'B
Secondo metodo
Definendo
e
si ha, per il teorema di Pitagora,
Quindi,
risulta
segmento AB. Abbiamo perciò che
vedere che
che equivale a
. Ma, come visto,
,e
è proprio la misura del
. Per provare che questi tre segmenti soddisfano la proporzione aurea basta
, cioè che
, il che prova l'asserto, ovvero che i segmenti AE', AB e
soddisfano la
proporzione aurea. Ne viene che AE' è la sezione aurea di AB.
segna il punto E, ove passa la circonferenza di centro C e raggio CB. Si riporta ora il segno con raggio AE su AB definendo il
segmento AE' medio proporzionale rispetto ad AB e E'B.
Per il secondo caso invece si procede diversamente, utilizzando di fondo lo stesso metodo attraverso cui si ottiene un rettangolo aureo.
Dato un segmento AB si traccia la perpendicolare DB di lunghezza pari ad AB; da questo
punto, quindi, si trova il punto medio C del segmento interessato e puntandovi, con apertura
pari all'ipotenusa CD, si riporta la lunghezza sul prosieguo del segmento, trovando così BD',
per il quale AB rappresenta il medio proporzionale rispetto alla loro somma AD'.
Per un'agevole dimostrazione algebrica se attribuiamo al segmento AB valore unitario, cioè
1;
Mentre DC similmente, per il teorema di Pitagora, vale:
sommando i due si ricava:
che è la stessa soluzione dell'equazione generatrice del numero aureo.
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Storia
A livello storico vi sono diverse questioni irrisolte: se e quali popoli, prima dei greci, conoscessero la sezione aurea e la utilizzassero
consapevolmente nelle loro opere. I casi più importanti sono quelli legati ai babilonesi e agli egizi.
Babilonia
Alcune tavolette, riportanti calcoli computazionali, testimoniano nei Babilonesi conoscenze sia matematiche che geometriche tali da
poter ottenere buone approssimazioni dell'area del pentagono e perfino di pi greco. Mancano tuttavia prove schiaccianti circa la loro
effettiva conoscenza della sezione aurea; ciononostante eminenti studiosi, fra cui Michael Scheneider [26] e Helen Hedian [27],
affermano la sua presenza su steli e bassorilievi: alcuni esempi sarebbero una stele babilonese e una raffigurazione di una divinità alata
del IX secolo a.C. (Metropolitan Museoum of Art), la "leonessa morente"[28] di Ninive (600 a.C.).
L'antico Egitto
Le affermazioni sulla conoscenza del rapporto aureo in epoca pre-ellenica coinvolgono anche gli antichi Egizi, sull'ondata di una
fervente e misticheggiante letteratura ottocentesca, che fra l'altro asseriva la presenza di conoscenze matematiche ben più avanzate, le
cui tracce sarebbero tutt'oggi visibili nei resti di numerosi monumenti. Per quanto riguarda il rapporto aureo, il dibattito verte su casi
meno conosciuti come quelli dell'Osireion e la Tomba di Petosiri alla ben più famosa piramide di Cheope.
Nel primo caso si tratterebbe del monumento funerario del re Seti I (XIX dinastia), riportato alla luce nel 1901 da
Flinders Petrie, al riguardo Robert Lawlor asserisce che l'architettura della stanza più interna sarebbe basata su una
mistica geometria pentagonale contenente il rapporto aureo, ravvisabile in una serie di intrecci geometrici che si
possono estrapolare. Precisamente all'interno della stanza sarebbe possibile disegnare secondo Lawlor due
pentagoni contrapposti fino all'esaurimento della lunghezza, mentre la larghezza conterrebbe le circonferenze ad
essi circoscrivibili; su tale disegno sarebbero poi ricavabili con altri intrecci da cui giustificare la presenza degli altri
elementi architettonici.[29] Si tratta comunque di una interpretazione senza seguito in ambito accademico.
La tomba di Petosiri, sommo sacerdote di Thot, è stata rinvenuta da Gustave Lefebvre nei primi anni venti, e risale
al III secolo a.C., quando era già attestata la conoscenza della sezione aurea da parte dei Greci. In questo caso il
rapporto aureo sarebbe riscontrato, sempre dallo stesso Lawlor [29], in un bassorilievo raffigurante
l'imbalsamazione del sacerdote, anche qui in un intricato intreccio di segni geometrici che richiedono un elevato
grado di astrazione rispetto alla figura, per essere plausibilmente nelle reali intenzione dell'autore.[30]
La Grande piramide
Pianta del
Osireion con la
geometria
pentagonale di
Lawlor
Il caso largamente più dibattuto riguardante l'Egitto è però la presenza della sezione aurea, e non solo[31], nella Piramide di Cheope
nella piana di Giza e unica delle sette meraviglie ad essere giunta fino a noi intatta. Il mito esoterico-numerologico che circonda la
Grande piramide nasce probabilmente in seguito all'opera di John Taylor, The great pyramid: why was it built and who built it? (La
grande piramide: perché fu costruita e chi la costruì), pubblicata nel 1859, e suffragata a ruota dallo studioso, astronomo e
piramidologo, Charles Piazzi Smyth[32].
Il rapporto aureo sussisterebbe in questo caso fra il semilato della piramide e l'altezza della
facciata triangolare costruibile sulla stessa, il che porterebbe a un'inclinazione teorica della
facciata pari a 51° 49' ca. La piramide reale ha un'altezza totale di circa 147m e lati di 230m,
con una inclinazione della pareti di 51° 50' 35", estremamente simile all'inclinazione teorica, e
di fatti, esplicitando i conti, tra il semilato e l'"altezza"[33] reali:
Si tratta anche questa volta di valore molto vicino a quello teorico; risulta comunque logico chiedersi se ciò può costituire una prova di
una reale conoscenza da parte degli egizi della sezione aurea o se tale risultato sia stato un'inconsapevole conseguenza del modo in cui è
stata costruita, così come sarebbe presumibile dagli scritti di Erodoto (Storie Libro II).
L'astronomo Britannico John Herschel scriveva, citando Erodoto, che la
«Piramide [di Cheope è] caratterizzata dalla proprietà di avere ciascuna delle
facce uguale al quadrato costruito dell'altezza», ora, stante le svariate
perplessità circa la corretta interpretazione del passo incriminato, si tratterebbe
di una spiegazione alternativa all'ipotesi che essa sia stata inserita
volontariamente e coscienziosamente nella piramide di Cheope.
Effettivamente le misure della piramide, 147² = 21609 e 115 × 186,64 =
21463.6, sono straordinariamente simili, e parrebbero confermare la citazione,
se non fosse che da nessuna parte pure questa trova definitiva conferma.
Spiegazione
Il rapporto fra altezza s della facciata e semilato a e
uguale a:
s/a = Φ
e questo perché l'area della triangolare T (s × a) della
facciata e uguale al quadrato dell'altezza della
piramide h².
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Non si ritrova infatti nel passo di Erodoto che recita
s × a = h² → applicando il teorema di Pitagora
«
Per la costruzione della Piramide occorsero vent'anni. Essa è
quadrata.. Presenta da tutti i lati una faccia di otto plettri, un'altezza
uguale. È di pietre levigate e perfettamente connesse, di cui nessuna
misura meno di trenta piedi. »
( Erodoto, Storie, II, 124:5 [34])
s × a = s² - a² - riordinando e dividendo per a²
(s/a)² - (s/a) - 1 = 0
⇒ x² - x - 1 = 0
siccome questa è l'equazione della sezione aurea ne
discende che essa è connaturata in una piramide che
venisse fatta secondo le caratteristiche indicate da
Erodoto.
Non risulta di fatto alcun riferimento al "quadrato dell'altezza", ma soltanto
misurazioni come risultante che da studi condotti da Richard Gillings[35],
Roger Fischler e George Markowsky[36], ciononostante la sostanziale
equivalenza come rilevata nell'erronea interpretazione del passaggio erodoteo esiste nelle dimensioni della piramide, come sopra
evidenziato, ma probabilmente pure in questo caso è da ascrivere cause non legate alla volontà del progettista e forse perfino ignare a
quest'ultimo.
Spiegazioni tecniche sono state trovate legate alle modalità di costruzione: una proposta da Gillings[35], sulla base dei problemi 56 e 60
contenuti nel famoso Papiro Rhind incentrati sui seked - una unità di misura egiziana dell'inclinazione delle superfici laterali - sostiene
che il rapporto aureo deriverebbe dalla necessità tecnica di tenere una certa inclinazione costante della parete durante tutta la
costruzione della piramide; l'altra, considerata anche la più attendibile[37], fornita invece da Kurt Mendelssohn[38] secondo cui gli egizi
utilizzavano due diverse unità di misura: una per grandezze verticali, il cubito, e una per quelle orizzontali, un rullo dal diametro di
cubito la cui circonferenza è uguale a Π cubiti, dalla combinazione dei due emergerebbe naturalmente il numero aureo.[39]
Sia, quindi, che la presenza della sezione aurea derivi dal tentativo di costruire una piramide con le peculiarità attribuitele da alcuni dagli
scritti di Erodoto, sia che derivi da mere contingenze costruttive, appare improbabile che derivi da una precisa e voluta scelta dei
progettisti; in sostanza nemmeno la più importante della presunte testimonianze della sua conoscenza da parte degli indizi, trova
spiegazioni alternative in grado di spiegarne la sua presenza in via del tutto fortuita e inconscia.
Estetica
In psicologia
Per approfondire, vedi la voce Rettangolo aureo#Il rettangolo più bello?.
Nell'Ottocento iniziarono i primi studi psicologici volti ad attestare su base scientifica la pretesa superiorità estetica della sezione aurea,
in particolar modo i test si concentrarono sulla preferenza estetica per il rettangolo aureo, che fra tutti i derivati geometrici della divina
proporzione sembra essere quello ad aver ereditato maggiormente il suo alone di "fascino".
Tutto sembra aver avuto inizio con i contestati studi di Gustav Fechner, fondatore della psicologia sperimentale. Nel suo Manuale di
estetica (Vorschule der Aesthetik), edito nel 1879, Fechner pubblicò i risultati dei suoi esperimenti condotti sia sulle persone, testando le
loro preferenze estetiche, che sul campo, misurando migliaia di oggetti d'uso quotidiano per far emergere la testimonianza di una
tendenza inconscia verso la proporzione aurea; ma benché soltanto una delle tre modalità di ricerca confermasse la sua tesi, Fechner
non esitò dall'asserire che vi era una dimostrata preferenza per il rettangolo aureo, e quindi per la sezione aurea.
Subito vennero mosse una serie di critiche alla correttezza e ai metodi usati da Fechner nel condurre i suoi esperimenti, non ultimo
quello di aver influenzato egli stesso, in buona o in mala fede, gli stessi soggetti; inoltre non mancarono sospetti, che nel caso fosse
confermata la genuinità degli esperimenti, il risultato positivo dell'esperimento non fosse da attribuire ad altre cause, non prese da lui in
considerazione, e impossibili da confutare vista la poca chiarezza riguardante le modalità dell'esperimento.
Comunque nel corso del XX secolo, l'ipotesi Fechneriana è stata ripetutamente oggetto di verifica, a volte trovando risultati che
parzialmente sembravano convalidarla, altre volte confutarla nel tutto; risulta interessante però come avvicinandosi ai nostri tempi la
casistica favorevole si sia pian piano diradata, man mano che venivano analizzate e prese tutte le ipotesi e quelle accortezze
sperimentali, per filtrare i risultati da contaminazioni di eventuali concause accidentali. Tuttavia esistono anche recenti studi condotti
sulla sezione aurea nel 1997 la Empirical studies of the art è uscita con un fascicolo speciale raccogliendo ben 7 studi condotti con
metodi differenti di cui nessuno, però, fa emergere una ben che minima preferenza per la sezione aurea [40], mentre addirittura Holger
Höge con il suo lavoro intitolato The golden section hypothesis – its last funeral[41] sembra voler mettere definitivamente fine a tutte le
speculazioni.
Nell'arte
Molto spesso capita che nelle opere di diversi artisti venga riscontrata la presenza della proporzione aurea, in particolar modo sotto
forma di rettangolo aureo, e molto spesso a sproposito; anche diversi siti internet, nonché libri, caldeggiano ferventemente questa
ipotesi, a volte azzardata, col rischio di consolidare l'esistenza di un falso mito: ovvero, la presunta superiorità estetica della sezione
aurea. Occorre invece muoversi con cautela, pure in questo ambito perché la presunta presenza della sezione può in molte opere essere
frutto di plurimi fattori, che possono trarre in inganno e indurre a facili considerazioni affrettate; tre paiono essere i più importanti:
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1. Tralasciando le ovvie possibilità di imprecisioni nelle misurazioni, a volte viene affermata la presenza del rapporto aureo pur
trovandosi di fronte a numeri quali 1.5, 1.6, 1.66 e 1.75 frettolosamente assimilati a sue "buone" approssimazioni. Nonostante
l'evidente difficoltà di approssimazione di un numero irrazionale con la dovuta precisione, bisogna almeno considerare
l'eventualità che l'artista abbia voluto sì usare misure non arbitrarie, ma, forse, semplicemente rifacendosi a rapporti fra numeri
interi; così com'è possibile d'altronde che abbia volutamente usato numeri vicini al rapporto aureo proprio per tentare di
approssimarlo.
2. Le misurazioni spesso sono state effettuate prendendo a riferimento punti arbitrari o sulla cui oggettività è tuttora aperto un
dibattito; inoltre non è da escludere, la non poi tanto remota possibilità che in un sistema complesso, formato da diversi elementi,
rapporti prossimi al valore aureo possano formarsi per fattori ascrivibili al caso, pure in mancanza di un'effettiva volontà
dell'artista.
3. Il convincimento della sua superiorità estetica e la riproposizione di modelli familiari, se non canonici, possono aver indotto
l'artista a copiare o a ispirarsi da forme e proporzioni di opere di altri artisti dove la sezione aurea era effettivamente o
approssimativamente presente, e quindi averla involontariamente riprodotta nella propria opera.
A fronte di queste considerazioni, si può capire come sia pienamente lecito affermare la presenza della sezione aurea, in un'opera o
nell'estetica di un artista, soltanto in presenza di forti indizi che indicano che l'artista ha volutamente e consciamente utilizzato tale
sezione nelle sue opere, o per sua ammissione diretta.
Pittura
Ne La geometria segreta dei pittori[42], Charles Bouleau sostenne la tesi di una diffusissima presenza della sezione aurea nei pittori
prerinascimentali, quali Giotto, Duccio e Cimabue, in un'epoca ben precedente la pubblicazione del De divina proporzione, e questo per
sostenere, come egli afferma, la tesi del rapporto aureo quale canone estetico riconosciuto a priori, anche se non vi sono evidenze, in
tale direzione, da parte di nessuno dei maggiori esperti dei tre pittori.
Un altro pittore, che le dicerie vogliono maniacalmente affascinato dalla sezione aurea, sarebbe stato Leonardo
da Vinci, e le prove sarebbero all'interno di alcuni dei suoi dipinti più famosi: quali il San Gerolamo, La Vergine
delle Rocce, la Testa di vecchio e la celebre Monna Lisa. Sebbene, in questo caso, la presenza della sezione
aurea sia più plausibile, se non altro la sua collaborazione con Luca Pacioli nella stesura del De Divina
Proportione, alcuni dei dipinti citati risultano di molto precedenti al periodo di collaborazione fra i due umanisti,
iniziato nel 1496 a Milano presso Ludovico il Moro; fa eccezione per la Gioconda, sulla quale il dibattito
accademico però risulta ancora aperto e abbastanza controverso, inoltre il rapporto aureo sarebbe da rintracciare
all'interno di un rettangolo aureo i cui riferimenti non sarebbero ben definiti.
La parata del circo (1888) di
Georges Seurat
In epoca più recente altro caso dubbio, cui viene ascritta una passione per la
sezione aurea, sarebbe il pittore francese Georges Seurat, nel cui caso, forse, la
diceria è stata alimentata da una naturale propensione per un pittura spaziale dove il rilievo geometrico,
si carica, nelle prospettive dell'artista, di una valenza emozionale che egli intende trasmettere facendo un
particolare uso di tratti verticali, orizzontali e angoli retti; ma manca a sostegno della tesi l'ammissione
dell'artista di avere fatto esplicito uso della proporzione aurea, anche se a sostegno vengono spesso citati
diversi studi sulle proporzioni di dipinti come il La parade de cirque. In quest'ultimo caso un massiccio
aiuto alla diffusione del "mito" sarebbero stati alcuni scritti di Matila Ghyka[43]. Stesse cose avrebbe
affermato il matematico inglese David Bergamini nel suo libro Mathematics[44], curato nel 1963 dai
redattori di Life Magazine.
Esistono però anche diversi artisti che fecero effettivo uso della sezione aurea nelle loro opere: uno dei primi fu senz'altro Paul Sérusier
(1864 - 1927) per sua stessa ammissione. È probabile che Sérusier abbia appreso della sezione aurea da un altro pittore amico suo,
l'olandese Jan Werkade, durante una visita avvenuta nel 1896, quando andò a trovarlo presso un monastero di Benedettini a Beuron,
nella Germania meridionale; nell'occasione un gruppo di monaci stava ricavando una serie di opere a sfondo religioso basandosi su una
Padre Didier Lenzdi riguardanti particolari «misure sacre»[45] tra cui vi era ovviamente la sezione aurea.[46]
Dopo Sérusier la conoscenza della sezione aurea si diffuse a molti artisti, e non poté mancare di trovare degna posizione anche
all'interno del cubismo, come dimostra il nome di una mostra: la "Section d'Or", tenuta a Parigi nel 1912 da alcuni dei primi esponenti
del movimento pittorico, benché nessuna delle opere presentate al suo interno contenesse alcun legame con . Tuttavia non mancarono
pittori cubisti che ne fecero realmente uso, come lo spagnolo Juan Gris e lo scultore lituano Jacques Lipchitz; i due fra l'altro lavorarono
assieme alla creazione della scultura Arlequin basata su un particolare triangolo aureo ideato da Keplero. Spostandoci in Italia troviamo
invece Gino Severini che lo utilizzo nei primi anni venti e più tardi Mario Merz, il quel però fece in realtà più uso dei numeri di
Fibonacci piuttosto che della sezione aurea.
Oltre oceano, negli Stati Uniti troviamo Jay Hambidge che, all'inizio del Novecento teorizzò due tipi di arte moderna: una a "simmetria
statica", basata su forme geometriche, e una invece "dinamica" basata sulla sezione aurea e la spirale logaritmica. Oltre Manica invece
abbiamo, sempre agli inizi del secolo, Anthony Hill (1930) che si ispirò al numero aureo in una serie di opere denominate sotto relief
construction; un altro artista, l'israeliano Yigal Tumarkin, addirittura inserì in una sua opera direttamente la formula (1 + √5)/2.
Tra i falsi miti legati alla pittura contemporanea resta da sfatare quello dell'utilizzo della sezione aurea da parte dell'olandese Piet
Mondrian, su cui furono fatte a più riprese diverse illazioni del tutto infondate. Mondrian fece prettamente uso di forme rettangolari e
linee verticali e orizzontali per comporre le sue opere, e questa estrema geometrizzazione alimentò negli anni diverse speculazioni sul
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fatto che questi dipinti celassero più o meno velati riferimenti o proporzioni auree; ciononostante non si hanno riscontri diretti da parte
dell'artista, né dei suoi principali esperti, ad esempio il critico Yve-Alain Bois ha escluso categoricamente tali ipotesi.[47]
Architettura (Modulor)
Per approfondire, vedi la voce Modulor.
Nell'architettura del XX secolo, una delle più interessanti applicazioni della sezione aurea fu senz'altro segnata dalla nascita del
Modulor, letteralmente "modulo d'oro" derivato dal nome francese.
L'ideatore fu l'architetto svizzero Le Corbusier che si prefisse di utilizzare la sezione aurea e la successione di Fibonacci quale sistema
su cui basare le proporzioni di tutti gli spazi dedicati alla vita dell'uomo con l'intento di creare uno standard che fosse allo stesso tempo
armonico e funzionale alle esigenze del vivere quotidiano; l'idea sottostante era che poiché era possibile riscontrare la sezione aurea
nelle proporzioni del corpo umano, nonché in altri svariati esempi naturali, questa potesse essere la base ottimale su cui strutturare tutto
l'ambiente circostante, in modo che risultasse armonico e armonizzato ad esso secondo una presupposta regola naturale, identificata
appunto nella proporzione aurea. L'idea di armonia implicita cela ancora un volta la concezione di un'estetica superiore legata alla
sezione aurea.
Lo stesso Le Corbusier utilizzò gli schemi del Modulor in diversi suoi progetti, come nella costruzione di alcune strutture governative
nella città di Chandigarh in India. Nel suo complesso, però, il Modulor non trovò grande seguito presso altri architetti, anzi fu molto
spesso oggetto di critiche circa l'inconsistenza delle sue basi teoriche, che ne decretarono man mano l'insuccesso.
In Italia Giuseppe Terragni l'ha usata nella progettazione di alcuni edifici razionalisti.
Musica
Per approfondire, vedi la voce Retorica musicale.
La musica ha numerosi legami con la matematica, e molti ritengono che in essa sia centrale il ruolo della sezione aurea. A sostegno di
tale tesi vengono spesso richiamate alcune particolarità strutturali di determinati strumenti come il violino e il piano.
Nel caso del violino alcuni ritengono che la piacevolezza del suono derivi dalle sapienti capacità dei liutai di costruire la sua cassa
armonica secondo particolari geometrie; per esempio l'arco che ne costituisce la base avrebbe, in molti casi, il suo centro di curvatura
proprio in posizione aurea rispetto alla lunghezza complessiva dello strumento,[48] inoltre anche lo stesso Stradivari si sa per certo che
cercasse di posizionare gli occhielli del violino sempre in tale posizione; non vi sono però conferme sul fatto che tali accorgimenti
conferiscano effettivamente un suono "migliore" allo strumento, che non possano essere invece attribuiti alla lavorazione dei materiali o
alla scelta degli stessi.
Nel pianoforte, invece, particolare rilievo viene dato alla struttura della tastiera, in special modo
con parallelismi fra i numeri di questa e quelli di Fibonacci. I tredici tasti delle ottave, distinti in
otto bianchi e cinque neri, a loro volta divisi in gruppi da due e tre tasti ciascuno; 2, 3, 5, 8, 13
appartengono infatti tutti alla successione di Fibonacci, ma anche in questo caso, ancor più che
nel precedente, si tratta di una mera coincidenza che non può neppure essere attribuita a una
specifica volontà del costruttore, trattandosi di una soluzione motivata unicamente
dall'evoluzione strutturale dello strumento.
In passato si è fatto notare, che molti degli intervalli musicali naturali sarebbero riducibili a
frazioni in termini di numeri di Fibonacci (una sesta maggiore di La e Do 5/3, una sesta minore
di Do e Mi 8/5).
Già Pitagora aveva osservato che gli accordi musicali ottenuti da corde le cui lunghezze siano in
rapporto come numeri interi piccoli risultino particolarmente gradite all'orecchio.[49] Tuttavia, i motivi per cui tali rapporti sono
particolarmente consonanti, sono spiegati (almeno in parte) dall'acustica, non hanno praticamente alcuna connessione con la serie di
Fibonacci.
Sul piano compositivo la sezione aurea attraverso la serie di Fibonacci può, ovviamente, essere rapportata a qualsiasi unità di misura
concernente la musica, cioè durata temporale di un brano, numero di note o di battute, ecc. non sono comunque rari anche in questo
caso facili entusiasmi dovuti a fraintendimenti numerici. Per esempio Paul Larson nel 1978 sostenne di aver riscontrato nei Kyrie
contenuti nel Liber Usualis, il rapporto aureo a livello delle proporzioni melodiche, ma in mancanza di una documentazione che ne
attesta la volontà di inserimento rimane tutto a livello puramente congetturale; medesime illazioni sono sempre state fatte per le opere di
Mozart, anche se recentemente John Putz, matematico all'Alma College, subitamente convinto di tale teoria specialmente per quanto
riguarda le sonate per pianoforte, dovette ricredersi riscontrando un risultato decente soltanto per la Sonata n. 1 in Do maggiore.
Questo è quello che hanno fatto, per esempio, Béla Bartók (1881-1945) in alcune delle sue maggiori composizioni (come la Musica per
Archi, Percussioni e Celesta) e Claude Debussy (1862-1918), il quale era particolarmente attratto dalla sezione aurea, citata da lui come
le divine nombre nella raccolta Estampes (1903) e usata, tra gli altri, nella composizione dei brani La Mer (1905) e Cathédrale
Engloutie.
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Sezione aurea - Wikipedia
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Quest'ultimo, in particolare, è un preludio per pianoforte di 89 battute, di cui le prime 68 hanno un tempo doppio delle restanti 21: in
altre parole, alla battuta 68 il brano rallenta il tempo a metà. L'effetto prodotto all'ascolto, quindi, riduce le battute di questa prima
sezione a 34, e il brano ha una lunghezza percepita da chi lo ascolta di 55 battute, vale a dire la sezione aurea di 89. Questo è uno dei
tanti esempi che si possono citare per descrivere l'applicazione del concetto di sezione aurea all'interno delle composizioni musicali di
Debussy. Il pianista Roy Howat ha analizzato altri brani di Debussy come Reflets dans l'eau, L'isle joyeuse (oltre al già citato La mer)
riscontrando in ognuno varie applicazioni delle tecniche succitate.
Bartòk e Debussy sono solo due tra i compositori che hanno usato in musica il concetto di sezione aurea, ma se ne potrebbero
menzionare molti altri, tutti operanti tra la fine del XIX secolo e il XX secolo. In epoche più recenti, musicisti quali Stockhausen, Pierre
Barbaud, Iannis Xenakis, facendo evolvere i precedenti utilizzi della matematica in musica, hanno introdotto un utilizzo più strutturato
della matematica (soprattutto il calcolo delle probabilità e del computer per la composizione musicale). Xenakis in particolare ha
fondato a tale fine, a Parigi nel 1972, un gruppo di ricerca universitario chiamato CEMAMU, che ha appunto come obiettivo
l'applicazione delle conoscenze scientifiche moderne e del computer alla composizione musicale e alla creazione di nuovi suoni tramite
sintetizzatori.
Sofija Gubajdulina ha utilizzato frequentemente la serie di Fibonacci nelle sue opere - ad esempio nella Sinfonia "Stimmen...
Verstummen...", in Perception, nel pezzo per percussioni All'inizio era il ritmo, nel coro Omaggio a Marina Cvetaeva, nel trio Quasi
hoquetus, nella sonata Et exspecto e altre. Va sottolineato che la compositrice ha fatto ricorso alla serie di Fibonacci quale regola per
organizzare il ritmo, generale o particolare, delle sue opere: "La Sezione Aurea è stata impiegata [...] in due sensi: nella struttura
intervallare e in quella ritmica. Delle due a me interessa particolarmente la seconda. Se si interpreta la struttura intervallare con le cifre
occorre prendere il semitono come unità di misura. [...] Certamente i numeri 3-5-8, e quindi anche gli intervalli che essi rappresentano,
sono disposti in una sequenza che è quella della serie di Fibonacci. Ma su questo tipo di applicazione io ho alcuni dubbi, perché gli
intervalli in questione sono considerati all'interno del sistema temperato, [...] un sistema artificiale. La serie di Fibonacci si applica
invece al sistema del mondo, in una parola a quella natura che viene violata dall'artificio del sistema temperato. L'uso della serie di
Fibonacci nel sistema ritmico mi sembra invece giusto e naturale perché il ritmo è legato alla naturalità del nostro respiro."[50]
Anche la musica Rock, specialmente nel cosiddetto rock progressivo, si è confrontata con gli aspetti mistico-esoterici della sezione
aurea, e più precisamente dalla serie di Fibonacci. L'esempio più emblematico è la musica dei Genesis, che hanno usato assiduamente la
serie fibonacciana nella costruzione armonico-temporale dei loro brani: Firth of Fifth è tutto basato su numeri aurei: ad esempio ci sono
assoli di 55, 34, 13 battute, di questi alcuni sono formati da 144 note, ecc. Oltre ai Genesis, altre rock band hanno usato, seppure più
sporadicamente, i numeri aurei nelle loro composizioni. Fra questi i Deep Purple nel brano Child in Time e i Dream Theater nell'album
Octavarium, interamente concepito secondo il rapporto tra i numeri 8 e 5 e termini consecutivi della sequenza di Fibonacci. Risale
invece al 2001 Lateralus album della band americana Tool che contiene il singolo omonimo "Lateralus" costruito fedelmente sulla serie
di Fibonacci.
Letteratura
Per quanto possa sembrare stravagante c'è chi ha rintracciato il rapporto aureo pure in letteratura, più specificatamente in poesia. Ci
sarebbero due modi per poterlo rintracciare: come idea ispiratrice dell'opera, oppure come principio organizzatore della struttura ritmica
che dona al componimento le sue decantate doti di armonia. Unica opera, tra l'altro a sfondo umoristico, realmente appartenente al
primo caso è una poesia del matematico Paul Bruckman intitolata Media costante, pubblicata nel 1977 sulla rivista matematica
Fibonacci quarterly, dove in versi vengono decantate le principali proprietà algebriche del numero, il cui nome viene tradotto per
l'occasione in "media aurea".
Riguardo alla seconda possibilità circa la presenza della sezione aurea in poesia, sono state fatte alcune elucubrazioni sulla Eneide di
Virgilio; un docente dell'università di Princeton, George Duckworth, affermò in un suo saggio[51], edito nel 1962, che il poeta latino
avrebbe strutturato il testo sezionandolo in parti "minori" e "maggiori" che avrebbero rispettato il rapporto aureo. Ora, Duckworth
individua queste parti in modo apparentemente oggettivo, ovvero in base al carattere prevalente del loro contenuto sia questo di dialogo
o di narrazione o descrizione; concludendo poi che il numero dei versi è tale da approssimare il rapporto aureo. Nel 1981 tali dati
vennero rianalizzati da Leonard Curchin e dal matematico Roger Fishler, i quali dimostrarono che l'analisi era innanzitutto viziata da un
fatto: che prendendo due numeri disuguali M (Maggiore) e m (minore), il rapporto (M + m)/M è più vicino a di quanto non lo sia
M/m; e Duckworth prese a sostegno della propria ipotesi soltanto la prima frazione, escludendo la seconda che avrebbe confutato la sua
ipotesi. Inoltre notarono come i dati mostravano dei rapporti in realtà del tutto casuali e soltanto per circostanza vicino al numero aureo
o alla serie di Fibonacci.
Botanica
Per approfondire, vedi la voce Fillotassi.
In natura uno degli esempi più significativi di utilizzo della sezione aurea è rappresentato dagli studi sulla
disposizione geometrica delle foglie e delle infiorescenze di alcune piante (Fillotassi).
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Sezione aurea - Wikipedia
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http://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_aurea
Nel XIX secolo i fratelli Louis ed Auguste Bravais, botanico il primo e cristallografo il secondo,
osservarono che in alcune piante le foglie si dispongono sul fusto secondo una spirale vegetativa, in cui
l'angolo tra due foglie successive è pressoché costante ed è di circa 137.5º. Tale angolo, corrispondente
all'angolo aureo, garantisce un utilizzo ottimale della luce solare [52].
Le foglie, numerate da 1 a 10
in base all'ordine di
formazione, si dispongono a
formare una spirale.
Note
1. ^ Livio, op. cit., p. 15
2. ^ Giamblico, Silloge delle dottrine pitagoriche ca. 300 d.C.:
«Dicono che il primo che divulgò la natura della
commensurabilità e dell'incommensurabilità a chi non era
degno di conoscere tale teoria si attirò un tale disprezzo
che non solo lo si bandi dalla vita in comune e dalle
associazioni [pitagoriche], ma fu costruita la sua
tomba...»
3. ^ Capparelli Vincenzo. La sapienza di Pitagora Roma, Edizioni
Mediterranee, 1988, (passim)
4. ^ Indice analitico (http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements
/subjindex.html#extreme) su Euclid's Elements
5. ^ Libro VI, Def. 3 (http://aleph0.clarku.edu/~djoyce
/java/elements/bookVI/defVI3.html)
6. ^ Poiché la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è in
gradi sessagesimali (n-2) x 180, tale somma per un pentagono è
540°, che diviso per 5 fa 108°
7. ^ In realtà Fibonacci pone un problema per la cui soluzione
occorre calcolare i primi 12 termini della successione che oggi
porta il suo nome e non fa alcuna considerazione sulla
successione infinita.
8. ^ Erman di Rienzo. la divina proporzione
(http://www.matematicamente.it/storia/divina_proporzione.zip)
(DOC) p. 17
9. ^ Livio, op. cit., p. 226
10. ^ François Lasserre. The birth of mathematics in the age of
Platone. Londra, Hutchinson, 1964 Carl B. Boyer. Storia della
Matematica Milano, Mondadori, 1990 ISBN 88-04-33431-2
11. ^ Tassellature diverse sono facilmente componibili con triangoli
equilateri, quadrati e esagoni, si tratta di tassellazioni regolari e
periodiche, con simmetrie rispettivamente triple, quadruple e
sestuple, possibili principalmente perché detti poligoni regolari
hanno angoli che sono multipli perfetti dell'angolo giro; motivo
che fino ad ora aveva impedito di ottenere una tassellazione a
geometria quintupla prerogativa del pentagono, che invece fu
possibile grazie a Penrose
12. ^ La "radice" di cui si parla qui e nel seguito non è sinonimo di
"radice quadrata", bensì ha il significato di "soluzione
dell'equazione".
13. ^ dal greco tomé, "taglio" o "sezione"
14. ^ La lettera greca usata per indicare il numero aureo nella forma
1,618 è minuscola, la maiuscola Φ viene usata per indicarne il
suo reciproco, ovvero 0,618.
15. ^ Golden Ratio Conjugate (http://mathworld.wolfram.com
/GoldenRatioConjugate.html) , MathWorld
16. ^ La sezione argentea non è quindi una soluzione dell'equazione
per cui invece è soluzione; piuttosto è il valore assoluto di una
soluzione dell'equazione, oltre che il reciproco della sezione
aurea :
17. ^ cioè è il "complemento ad uno della radice dell'equazione
18. ^ Esistono altri numeri i cui reciproci mantengono la stessa parte
decimale (vedi Reciproco#Reciproci_particolari), ma nessun altro
lo fa anche elevato al quadrato.
19. ^ La barretta sopra il "9" indica che si tratta di un numero
decimale periodico.
20. ^ Ecco perché ϕ è il più irrazionale! in La favola della sezione
aurea (http://www.unich.it/progettistisidiventa
/archivio_lavori_studenti/Bastioni_Aurea.pdf) . p. 54
21. ^ Una immagine (http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica
/pz_file/occhiodidio.htm) più chiara sull'Occhio di Dio
22. ^ Una immagine (http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica
/pz_file/spiralog3.htm) della Spirale aurea e della spirale di
Fibonacci
23. ^ Laura Lotti. L'albero aureo (http://www.frattali.it
/alberoaureo.htm) 3 maggio 2004 - immagini
24. ^ L'omotetia, in questo caso, deve essere una contrazione, in
modo da accorciare le distanze. Il rapporto di omotetia deve
essere dunque strettamente minore di 1, ovvero 0,618..., cioè il
reciproco di 1,618.
25. ^ libro VI, Prop. 30 (http://aleph0.clarku.edu/~djoyce
/java/elements/bookVI/propVI30.html) in Euclid's elements
26. ^ Michael Scheneider, A Baginner's guide to Constructing the
Universe, New York, Harper Perennial, 1995. ISBN
0-06-092671-6
27. ^ Helen Hedian, The golden section and the artist su "The
Fibonacci Quarterly" 14:406-18, 1976
28. ^ Dying lioness (http://whs.eanes.k12.tx.us/art/Smaller%20Site
/images/Art%20History/Chap%202/) (Leonessa morente)
bassorilievo custodito al British Museum di Londra
29. ^ a b Robert Lawlor, Sacred Geometri philosophy and practice
London, Thames and Hudson, 1982 ISBN 0-500-81030-3
30. ^ Livio, op. cit., p. 80
31. ^ Ci sono al riguardo diversi studiosi che affermano che nelle
misure della Grande piramide sarebbero riscontrabili diverse
costanti cosmologiche e matematiche, fra cui il π, anche se
nessuna di queste tesi è accettata nell'ambito accademico.
32. ^ Piazzi Smyth, The Great Pyramid, New York, Gramercy book,
1978
33. ^ L'altezza della parete può essere desunta dai dati precedenti
applicando il teorema di Pitagora
34. ^ Erodoto Storie (http://www.filosofico.net/erodotostorie2.htm)
traduzione da filosofico.net; Qui (http://thepiraz.interfree.it/favola
/erodoto.htm) (GR) il frammento originale
35. ^ a b Richard Gillings Mathematics in the Time of the Pharaohs.
Cambridge, Dover Publications, 1982 ISBN 0-486-24315-X
36. ^ Markowsky, op. cit., Misconceptions:The Great Piramid was
designed to comform to ϕ, p. 6
37. ^ Livio, op. cit., p. 94
38. ^ Kurt Mendelssohn. L'enigma delle piramidi. Milano,
Mondadori, 1990. ISBN 88-04-43384-1
39. ^ Una esauriente spiegazione matematica la puoi trovare in
Bastioni, op. cit., Le piramidi contengono Π e Φ per puro caso.
40. ^ Zocchi, op. cit.
41. ^ Höge, Holger, The Golden Section hypothesis - Its Last funeral
in Empirical Studies of the Arts, 1997 15:2, 233-255.
42. ^ Charles Bouleau la geometria segreta dei pittori, Milano
Mondadori 1999. ISBN 88-435-2643-X
43. ^ Esthétique des proportrions dans la nature et dans les arts,
1927 e Le nombre d'or: rites et rytmes pytagoriciens dans le
développemont de la civilisation occidentale, 1931.
44. ^ David Bergamini, Mathematics, New York, Time Incorporated,
1963.
45. ^ Padre Didier Lenzdi riteneva che grandi opere dell'antichità,
nonché capolavori (fra cui, a suo dire, rientrava anche l'arca di
Noè), erano composti su figure geometriche semplici come cerchi,
triangoli equilateri ed esagoni (Alessandra Candela, Forme
dell’arte e forme della matematica, una ricerca
(http://www.dm.unito.it/modelli/forme/arte.pdf) (PDF), 24 maggio
2006).
46. ^ La notizia è confermata da alcune note biografiche di Maurice
Denis, biografo di Sérusier, oltreché pittore egli stesso.
47. ^ Livio, op. cit., p. 261
48. ^ Livio, op. cit., p. 271
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Sezione aurea - Wikipedia
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http://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_aurea
49. ^ Ciononostante, il sistema di note più usato al giorno d'oggi,
basato sul temperamento equabile, prevede che i rapporti tra due
semitoni successivi della scala cromatica sia pari alla quantità
12
√2, un numero irrazionale, il che fa sì che gli unici rapporti
interi fra le note corrispondano agli intervalli di ottava (il cui
rapporto è pari a due).
50. ^ Fonte: "Un'autobiografia dell'autore raccontata da Enzo
Restagno", contenuto in AA.VV. "Gudajdulina", ed. EDT
51. ^ George Duckworth. structural patterns and proportions in
Vergil's Aeneid, Ann arbor, university of Michigan press, 1962
52. ^ Livio, op. cit., p. 168
Voci correlate
Successione di Fibonacci
Rettangolo aureo
Angolo aureo
Retorica musicale
Bibliografia
Mario Livio, La sezione aurea, Milano, Rizzoli 2003, ISBN 88-17-87201-6
Rocco Panzarino, Dio Sezione Aurea Bellezza, Collana di Filosofia Sapientia 10, Fasano, Schena editore 2005
Cornelis Jacobus Snijders, La sezione aurea: arte, natura, matematica, architettura e musica, 2ª ed. Padova, Muzzio 1985. ISBN
88-7021-668-3
Claudio Lanzi, Ritmi e riti: orientamenti e percorsi di derivazione pitagorica, Simmetria, 2003. ISBN 88-87615-26-8
Ugo Adriano Graziotti, Hermetica Geometria Roma, Simmetria 2005
Osvaldo Rea, Nautilus, l'enigma dell'impero, Pompei, Palestra Grande. ISBN 88-901473-9-3
Aldo Scimone, "La Sezione Aurea. Storia culturale di un leitmotiv della Matematica", Palermo, Sigma Edizioni, 1997.
Altri progetti
Commons (//commons.wikimedia.org/wiki/Pagina_principale?uselang=it) contiene file multimediali su Sezione aurea
(//commons.wikimedia.org/wiki/category:Golden_ratio?uselang=it)
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Collegamenti esterni
Sezione aurea (http://search.dmoz.org/cgi-bin/search?search=Sezione+aurea&all=yes&cs=UTF-8&cat=World%2FItaliano) su
Open Directory Project (Segnala (http://www.dmoz.org/cgi-bin/add.cgi?where=) su DMoz un collegamento pertinente all'argomento "Sezione aurea")
Scoperto Rapporto aureo nella bellezza femminile (http://www.physorg.com/news180195066.html)
La divina proportione (http://www.matematicamente.it/cultura/storia_della_matematica/la_divina_proportione_200708291175/)
in matematicamente.it
La favola della sezione aurea (http://thepiraz.interfree.it/sez_aurea.htm) . Sito di approfondimento sulla sezione aurea con un
occhio critico rispetto al comune pensiero
Alessandro Zocchi. La Sezione aurea: Gli esperimenti psicologici per verificare la bellezza del rapporto aureo
(http://www.cicap.org/enciclop/at101948.htm) . Cicap, 11 marzo 2005
Manuel Basioni. La favola della sezione aurea (http://www.unich.it/progettistisidiventa/archivio_lavori_studenti
/Bastioni_Aurea.pdf) (PDF), 7 settembre 2001
Guido Carolla. Il numero aureo ed i suoi sviluppi (http://www.matematicamente.it/didattica/percorsi_didattici
/il_numero_aureo_e_i_suoi_sviluppi_200708211039/) (PDF) 3 aprile 2004
Carmelo Arena. Cinematica e sezione aurea (http://math.unipa.it/~grim/convreg1_arena_PA.pdf) (PDF) 17 settembre 2004
Nadia Ricchetti La sezione aurea (http://www.ilparadosso.it/downloads/anno_4_numero_1/articoli/sezione_aurea.pdf) (PDF) Il
paradosso. 11 ottobre 2006
George Markowsky, Misconceptions about the Golden (http://www.umcs.maine.edu/~markov/GoldenRatio.pdf) , in The College
Mathematicals Journal, 1992, 23-1.
(EN) Golden Ratio (http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html) su MathWorld
(EN) The Golden section ratio: Phi (http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi.html)
Le prime 10000 (http://fabulousfibonacci.com/portal/index.php?option=com_content&view=article&id=7&Itemid=17) cifre
decimali del numero
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Sezione aurea - Wikipedia
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