Matematica Finanziaria

Appunti di matematica finanziaria (di Serena Balestra e Davide Benza)
CAPITOLO I Leggi finanziarie (Libro di testo: “Matematica finanziaria” di Cristina Gosio, Bozzi Editore, Genova)
La matematica finanziaria studia i modelli matematici necessari per governare le operazioni finanziarie. Cosa sono le
operazioni finanziarie? Sono scambi di moneta contro moneta ($/€ non importa) che si protraggono nel tempo: impresto
100€ a Tizio, il quale si impegna a restituirmeli ad un tempo prefissato.
Le operazioni finanziarie si possono rappresentare sull’asse dei tempi, cioè su una retta orientata r sulla quale ogni
punto individua un tempo. Se in t1 impresto il capitale C a Tizio, questo C per definizione è ≥ 0.
L’anno (per ora la nostra
C
M
unità di misura) è diviso in
T1 – T0
Con 0≤ t1≤ t2 mesi di 30 giorni ognuno!
t0
t1
t2
r
La somma che Tizio deve restituire si chiama montante (M). M rispetto a C e M>C per l’uso che viene fatto del denaro
da chi lo riceve. Se M>C vuol dire che M = C + qualcosa; se questo qualcosa è l’interesse → M = C + I.
M segue delle leggi di capitalizzazione per la sua formazione così come ci sono delle leggi di interesse per la
formazione di I.
Vediamo per prime le Leggi di capitalizzazione per la formulazione del montante.
M, il montante dipende dal capitale e dal tempo. È una funzione che chiamiamo Φ (“fi”) → M = Φ.
M è funzione di 3 variabili: C, t1, t2 → M = Φ (C, t1, t2)
Vediamo il dominio di Φ → Φ = R+ x R+ x R+ → il codominio è: R+ → M ≥ 0.
C x t1 x t2
Vediamo ora le proprietà minime che devono essere soddisfatte da Φ perché questa sia una legge di capitalizzazione.
1) Φ (0, t1, t2) = 0: impiegando un C = 0 otterrò un M = 0.
2) Φ (C, t1, t1) = C: se impresto in t1 e mi restituiscono in t1 otterrò C = C.
3) Φ (C, t1, t2) < Φ (C, t1, t3) con 0 ≤ t1≤ t2 ≤ t3
Si può anche fare la derivata rispetto al terzo argomento Φ’3>0
Ricordiamo da matematica generale che la
derivata >0 implica che la funzione cresca.
4) Φ (C, t1, t2) < Φ (C2, t1, t2) con 0 ≤ C1 ≤ C2
Con la derivata Φ’1>0
Esempi:
t22 – t21
• Data la funzione Φ (C, t1, t2)=C * e
è adatta a rappresentare una legge di capitalizzazione?
Verifico le quattro proprietà:
1) se C = 0 → la funzione = 0 → OK
2) “e” è elevato a t21 – t21 quindi è elevato a 0; un numero elevato a 0 dà 1, che moltiplicato a C dà C → OK
t22 – t21
t23 – t21
3) C * e
<C*e
→ semplificando: t22 < t23 → OK
Oppure, facendo la derivata (?):
t22 – t21
C*
e
* 2t2 → >0 → OK
>0
>0
>0
4) C1 < C2 → OK
Oppure: t22 – t21
=1*e
>0 → OK
>0 >0
• Calcolare il montante M di 200€ impiegati in 1 dopo 2,5.
200
M?
t0
t1
2,52 – 12
t2,5
M (200, 1, 2,5) = 200 * e
= 38.113,25
Queste 4 proprietà minime devono essere verificate tutte 4 perché una Φ sia una legge di capitalizzazione.
Ci sono poi altre proprietà che una legge di capitalizzazione può avere:
1) Uniformità o stazionarietà nel tempo
Una legge si dice uniforme o unitaria nel tempo se:
Φ (C, t1, t2) = Φ (C, t1+x, t2+x)
0 ≤ t1 ≤ t2
200
M?
t0
t1
t1+x
t2
t2+x
Se una legge è uniforme allora il montante M di un capitale C non dipende dall’istante in cui è impiegato e dall’istante
in cui è disinvestito, ma dipende dall’ampiezza dell’intervallo (cioè investire dal tempo 1 al 2 o dal 2 al 3 è lo stesso).
1
Teorema (prendi una donna, trattala male…fuori dal letto nessuna pietà ☺) Se Φ è uniforme nel tempo → Φ (C, t1, t2) = M (C, t)
La Φ e quindi M è uguale a M = C + I
(Anche I è una funzione di C, t1, t2. Se I è uniforme nel tempo vale la stessa proprietà, il teorema è comunque vero:
I = f(C, t1, t2) → F(C, t1, t2) = K (C, t)
Dimostrazione Se Φ è uniforme nel tempo → Φ (C, t1, t2) = Φ (C, t1+x, t2+x)
Poniamo t1 = –x Φ (C, t1, t2) = Φ (C, –x+x, t2 – t1) = Φ (C, t2 – t1) = M (C,t)
t2 = –t1
Esempio:
t22 – t21
La funzione Φ (C, t1, t2) = C * e
è uniforme nel tempo?
t22+x2+2t2x – (t12+x2+2t1x)
(t2+x)2 – (t1+x)2
→ Φ (C, t1+x, t2+x) = C * e
=C*e
→ non è uniforme nel tempo!
2) Additività rispetto al capitale
Una legge si dice additiva rispetto al capitale se il montante M di 2 capitali, C1 e C2, è uguale al montante del
primo capitale C1 sommato al montante del secondo capitale C2:
Φ (C1+C2, t1, t2) = Φ (C1, t1, t2) + Φ (C2, t1, t2) (in pratica investire 100+100 o 200 è lo stesso)
Teorema
Se Φ è additiva rispetto al capitale → Φ (C, t1, t2) = C * f (t1, t2) → fattore di capitalizzazione: è una
quantità che moltiplicata per C dà il montante M. Rappresenta il montante di un’unità di capitale impiegato da t1 a t2.
Anche il fattore di capitalizzazione ha delle proprietà minime che derivano dalle proprietà minime di Φ.
• Dalla 1° proprietà di Φ non si ricava nulla.
• Dalla 2° proprietà di Φ si ricava che f (t1, t2) = 1
• Dalla 3° proprietà di Φ si ricava che f2’ (t1, t2) > 0
• Da C1 * f (t1, t2) < C2 * f (t1, t2) si ricava che: f (t1, t2) > 0
Da queste 3 proprietà messe insieme si ricava non solo che f (t1, t2) > 0, ma anche che f (t1, t2) > 1.
Supponiamo di avere C1, se devo calcolare l’interesse faccio F (C1, t1, t2). In generale, se ho C farò F (C, t1, t2).
Se divido la prima quantità F (C1, t1, t2) per C1: F (C1, t1, t2) / C1 ottengo l’interesse I prodotto da un’unità di capitale che
faceva parte di C1. Lo stesso vale per C2.
Se supponiamo che l’interesse che viene prodotto da un’unità di capitale C sia sempre lo stesso allora questa catena è
una catena di uguaglianze (=): F (C1, t1, t2) / C1 = F (C2, t1, t2) / C2 = F (C, t1, t2) / C.
Se però l’interesse prodotto da un’unità di capitale è sempre lo stesso vuol dire che l’interesse prodotto non dipende dal
capitale C di cui è parte e allora abbiamo una nuova funzione K (t1, t2) che dipende solo da t1 e t2 e non dal capitale C:
F (C, t1, t2) = C * K (t1, t2)
Questa quantità è additiva rispetto al capitale. L’interesse allora non dipende dal capitale di cui faceva parte: la legge è
additiva rispetto al capitale. Con l’ipotesi di additività supponiamo che un’unità di C dia lo stesso interesse di 100 unità
di C (ciò si discosta dalla realtà).
3) scomponibilità e scindibilità
Una legge di capitalizzazione si dice scomponibile se:
Φ (C, t1, t2) = Φ (Φ (C, t1, z), z, t2)
nell’istante z si disinveste il montante ottenuto in z e lo si rinveste
C
per il periodo restante.
Con 0 ≤ t1 ≤ z ≤ t2
t0
t1
z
t2
Non tutte le leggi sono scomponibili!
Teorema
Se Φ è scomponibile e additiva rispetto al capitale la legge è scindibile, cioè:
f (t1, t2) = f (t1, z) * f (z, t2)
Dimostrazione Se Φ (C, t1, t2) = Φ (Φ (C, t1, z), z, t2)
C * f(t1, t2) = C * f (t1, z) * f (z, t2) →
E se Φ (C, t1, t2) = C * f (t1, t2)
→ f (t1, t2) = f (t1, z) * f (z, t2) ho dimostrato il teorema!
Una legge per essere scindibile deve essere contemporaneamente additiva e scomponibile.
Esempio:
t2 – t1
La funzione Φ (C, t1, t2) = C * e
è additiva rispetto a C?
t2 – t1
t2 – t1
t2 – t1
Verifico Φ (C1, C2, t1, t2) = (C1 + C2) * e
→ Φ (C1, C2, t1, t2) = C1 * e
+ C2 * e
→ Φ (C1, C2, t1, t2) =
= Φ (C1, t1, t2) + Φ (C2, t1, t2) → sì è additiva!
È anche uniforme?
t2 – t1
t2+x – t1–x
t2 – t1
t2 – t1
Φ (C, t1, t2) = Φ (C, t1+x, t2+x) → C * e
=C*e
→C*e
=C*e
→ sì!
È scomponibile?
t2 – t1
z – t1 t2 – z
t2 – t1
t2 – t1
Φ (C, t1, t2) = Φ (Φ (C, t1, z), z, t2) → C * e
=C*e
*e
→C*e
=C*e
→ sì!
→ la legge è anche scindibile!
Se una legge Φ è additiva e uniforme accade che:
devono valere
Φ (C, t1, t2) = C * f (t1, t2) = C * I = C * F (C, t1, t2) = C + C * K (t1, t2): conseguenza dell’additività
Φ (C, t1, t2) = M (C, t): conseguenza dell’uniformità
entrambe →
→ Φ (C, t1, t2) = M (C, t) = C (1 + K(t1, t2)): da ciò ricavo che:
Φ (C, t1, t2) = C * (1 + K (t)) = C + CK (t): questo perché è uniforme, cioè perché non dipende da t1 e t2.
Continua…
2
1 + K (t) = fattore di capitalizzazione → f (t) = 1 + K (t) è il montante M di un’unità di capitale C = 1 impiegata da 0 a t.
C=1
M
Esempio di legge scomponibile ma non scindibile:
Φ(C, t1, t2) = (C + 1)et2 – t1 – 1
0
1
È una funzione a due variabili con proprietà minime che sono:
1) f (0) = 1
Classica domanda: introdurre il regime semplice, il
2) f’ (t) > 0
tasso variabile e spiegare come si perviene
3) f (t) > 0
all’espressione a tasso fisso se i1 = i2 = in.
Esempio:
t
Data f (t) = (1 + 0,01) verificare se f (t) è un fattore di capitalizzazione.
1) f(0) = 1 → (1 + 0,01)0 = 1 ok
2) f’(t) > 0 → (1 + 0,01)t * loge (1,01) → f’(t) > 0 ok (da matematica ricordiamo che: D ax = ax * logea)
3) f(t) > 0 → (1 + 0,01)t > 0 ok
Ora parliamo del regime dell’interesse semplice
Φ (C, t1, t2) = C (1 + K(t)) = C + CK(t) → interesse e lo chiamiamo I (C,t) → I (1,1) è l’interesse che viene prodotto da
1 unità di capitale C = 1 impiegato per t = 1 anno. È il cosiddetto Tasso “annuo” di interesse (i).
L’interesse è calcolato in modo direttamente proporzionale al capitale, nel regime dell’interesse semplice si chiede che
l’interesse sia proporzionale anche al tempo, quindi C * i * t secondo un fattore di proporzionalità che è del tipo i > 0.
Nel regime dell’interesse semplice, il montante M è:
dove 1 + i è il fattore annuo di capitalizzazione
Φ (C, t1, t2) = M (C,t) = M = C + C * i * t = C (1 + it)
Esempio:
100
M
i = 0,02
0
3
1,5
4,5
M = 100 (1 + 0,02 * 1,5) = 103
Noi abbiamo supposto che nel regime dell’interesse semplice, il tasso di interesse sia sempre lo stesso per tutto il
periodo, ma nella realtà non è così!
Introduciamo allora l’argomento del regime dell’interesse semplice a tasso variabile
C
0
t1
t1 + t2……………………………….tr = t1 + t2 + … + tn
t
i0
i1
i…
ir
M (C, t) = C + C * i (1) * t1 + C * i (2) * t2 + … + C * i (r) * tr = C + C * ∑ns=1 i (s) * ts → I = C * ∑ns=1 i (s) * ts
C’è un altro regime: il regime della capitalizzazione composta “annua”.
C
Con n intero
0
1
2…………………n
1) Φ (C, 0, 0) = C
2) Φ ( C, 0, 1) = C + C * i * t = C + C * i = C (1 + i) All’interno dell’anno il regime è semplice, mentre
alla fine degli anni interi gli interessi maturati vanno ad aggiungersi al capitale per generare altri interessi in regime di
interesse semplice (cioè l’interesse viene capitalizzato): M (C, 2) = M (C, 1) + M (C, 1) * i * 1
Φ (C, 0, 2) = Φ (C, 0, 1) + Φ (C, 0, 1) * i = Φ (C, 0, 1) * (1 + i) = C (1 + i) * (1 + i) = C (1 + i)2
→ in generale: Φ (C, 0, n) = C (1 + i)n
Ma se n non è intero come si fa? Per estendere la funzione ai valori non interi di n ci sono due tipi di convenzioni:
1) convenzione esponenziale: M = C (1 + i)No+p dove no è la parte intera e p è la parte decimale p = n – [no]
2) convenzione mista: M = C (1 + i)No * (1 + ip) → Si applica la capitalizzazione esponenziale per n0 intero e quindi si
Esempio:
applica, per la restante frazione, la capitalizzazione semplice.
C = 100; n = 4 anni e 6 mesi; i = 0,03; M = ?
1) convenzione esponenziale: M = 100 * (1 + 0,03)4,5 = 114,23 Nota: se avessi 4 anni e 8 mesi, n ≠ 4,8 = 4 + 8/12 = 4,6
2) convenzione mista: M = 100 * (1 + 0,03)4 * (1 + 0,03 * 0,5) = 102,64 (è inferiore, visto che moltiplico e non elevo)
Domanda: qual è la differenza tra le due convenzioni? Le confronto (per le proprietà delle potenze posso dividerla così):
1) M = C (1 + i)No * (1 + i)p
questi ultimi due determinano la differenza
1
2) M = C (1 + i)No * (1 + i * p)
la variabile è p
f (p)
2
Confrontiamo (1 + i)p e (1 + i * p)
con 0 < p < 1
1+i
Esponenziale = curva
1) f (p) = (1+ i)p
Lineare = retta
f (0) = (1 + i)0 = 1
f (1) = (1 + i)1 = 1 + i
1
2) f (p) = (1 + i * p)
f (0) = (1 + i * 0) = 1
f (1) = (1 + i * 1) = 1 + i
0
p
1
p
Continua…
3
La convenzione mista dà valori > della convenzione esponenziale. Questo se p è compreso tra 0 ed 1. Ma se p è
maggiore di 1, cosa succede? Se > 1, cioè se passa l’anno, la convenzione esponenziale mi dà un valore maggiore
dell’interesse semplice. Questo accade perché nella capitalizzazione composta alla fine dell’anno gli interessi maturati
generano nuovi interessi, mentre nel regime dell’intereresse semplice no, perché è una retta.
Continuiamo a confrontare le due convenzioni:
1) M = C (1 + i)n per ogni n ponendo C = 1 Negli interi le 2 convenzioni danno gli stessi risultati.
2) M = C (1 + i)[n] (1 + i (n – [n]))
Nei decimali (normalmente, invece, una funzione esponenziale > retta) ci sono due casi:
• se n € (0,1) → M = 1 + i * n è una retta. Es.: se n = 0,3 e C = 1 → M = 1 * (1 + i)0 + (1 + i(0,3–0)) = 1 + i * n
• se n € (1,2) → M = (1 + i)1 * (1 + i(n – 1)) è ancora una retta.
f(p)
Il grafico è una spezzata e questo implica che la
convenzione mista dia sempre valori maggiori della
convenzione esponenziale, tranne che negli interi
1
dove le due convenzioni danno lo stesso risultato.
0
1
2
p
Capitalizzazione composta convenzione esponenziale
C
0
n1
n1+n2
n1+n2+…+nr
Nota, soprattutto quando il tasso è variabile: mentre
nella capitalizzazione semplice avevamo una sommatoria: M=C * (1 + ∑ns=1 i (s) * ts), in convenzione
esponenziale abbiamo una produttoria.
i(1)
i(2)
n1
n2
M = (C, n) = C (1 + i1) * (1 + i2) * … * (1 + ir)nr = C * ∏ns=1 (1 + is)ns dove ∏ “pi Greco” è il simbolo di produttoria.
Regime di interesse semplice
M (C, t) = C (1 + i * t) → M (1, i) = 1 + i → fattore di capitalizzazione
I (C, t) = C * i * t → I (1, 1) = i
sono uguali!
Regime di capitalizzazione composta
M (C, n) = C (1 + i)n → M (1, 1) = 1 * (1 + i)1 = 1 + i → fattore di capitalizzazione
Tornando alla scomponibilità ci sono 2 considerazioni da fare:
abbiamo detto che una legge è scomponibile se Φ (C, t1, t2) = Φ (Φ(C, t1, z), z, t2);
poi una legge è additive se: Φ (C1 + C2, t1, t2) = Φ (C1, t1, t2) + Φ (C2, t1, t2).
Se è sia scomponibile sia additiva, allora è scindibile.
1) interesse semplice:
Φ = (C, t1, t2) = C (1 + i (t2 – t1)) → non è scomponibile.
2) capitalizzazione composta:
Φ = (C, t1, t2) = C (1 + i)t2 – t1 → è scomponibile.
Esempi vari di calcolo:
Regime dell’interesse semplice
M = C (1 + it) da cui: M/C = 1 + it → t = (M/C – 1)/i
Se C = 795 i = 0,05 M = 860 Quanto dura l’impiego?
→ 860 = 795 (1 + 0,05 * t) → t (860/795 – 1) / 0,05 → t = 1,635220126
→ t = 1 anno
Mesi = 0,635220126 * 12 = 7,622641512
Giorni = 0,62264152 * 30 = 18,6 ≈ 19 → la durata dell’impiego è di 1 anno, 7 mesi e 19 giorni
Capitalizzazione composta convenzione esponenziale
M = C (1 + i)n → M/C = (1 + i)n per calcolare n applico i logaritmi:
loge M/C = loge (1 + i)n → loge M/C = n * loge (1 +i) → n = (loge M/C)/(loge(1 +i)) → è sufficiente utilizzare la
calcolatrice scientifica.
Esempio:
n = loge 860 – loge 795 = 0,034131322 = 1,610781083
loge (1 + 0,05)
0,021189299
Convenzione mista
M = C (1 + i)No * (1 + i * p) con N0 = [n] e p = n – [n]
Noto M, C e i trovare n o t:
• se No = 0 → M = C (1 + i * p) è = all’interesse semplice
• se No = 1 → M = C (1 + i)1 * (1 + i * p) in questo caso ci sono due incognite.
Noto M, C e i possiamo conoscere la parte intera; calcolo in convenzione esponenziale la durata dell’impiego.
M = C (1 + i)No → n = no – p. Ora prendo la convenzione mista M = C (1 + i)No * (1 + ip) dove p è l’unica incognita.
Esempio:
860 = 795 (1 + 0,05)No * (1 + 0,05 * p)
860 = 795 (1,05)No → No = (loge 860 – loge 795)/loge 1,05 = 1,610781083
4
→ 860 = 795 (1,05)1 * (1 + 0,05 * p) → 860 = 834,75 * (1 + 0,05 * p) → 860 = 834,75 + 41,7375p → 860 – 834,75 =
41,7375p → 41,7375p = 25,25 → p = 0,604971548
Durata del tasso di interesse
Noto M, C e t o n → trovare i
1) regime interesse semplice:
M = C (1 + it) → M/C = 1 + it → M/C – 1 = it → i = (M/C – 1)*1/t
2) Convenzione esponenziale:
M = C (1 + i)n → M/C = (1 + i)n → (M/C)1/n = (1 + i) → i = (M/C)1/n – 1
3) Convenzione mista:
Sia con No = 0 sia con No = 1 si riesce a risolverla: No = 1 M = C (1 + ip)
No = 0 M = C (1 + i) (1 + ip)
x > 0 accettabile
C = (1 + ip + i + i + i2p) due soluzioni → x < 0 non ˝
Il regime di c/c bancario con capitalizzazione degli interessi al 31/12
Alla fine dell’anno solare, la banca fa il conto degli interessi e li aggiunge al capitale che ho versato in banca.
C = 100
Anatocismo: gli interessi passivi venivano
1/2/08
1/3/06
1/3/07
addebitati ogni 3 mesi, mentre quelli attivi ogni
1/12
anno. Noi considereremo tutto al 31/12.
1 anno 31/12/07
10/12 31/12/06
M = 100 (1 + i)1 (1 + i 11/12) in convenzione mista → separa l’anno e “i decimali”.
Nel c/c bancario bisogna segnare le scadenze solari → M = 100 (1 + i 10/12) (1 + i)1 (1 + i 1/12) → “spezza” in 3 periodi.
Questo se il tasso i è costante, ma se cambia cosa succede?
100
200
–10 (prelievo)
1/3/06
1/7/06
1/3/07
31/12/06
1/7/07
1/2/07
31/12/07
i1
i2
i3
S = saldo del c/c del 01/02/08 = c’è il cambio di tasso!
= 100 (1 + i1 4/12 + i2 6/12)(1 + i2 6/12 + i3 6/12)(1 + i3 1/12) + 200 (1 + i2 4/12 + i3 6/12)(1 + i3 1/12) – 10 (1 + i3 1/12)
Tassi di interesse equivalenti (pag. 37 del libro)
Due tassi di interesse si dicono equivalenti se, applicati allo stesso capitale per la stessa durata di tempo, producono lo
stesso montante. Con t in anni, esistono tassi semestrali, quadrimestrali, trimestrali etc. ed in generale possiamo dividere
un anno in K parti, ciascuna delle quali è un Kesimo di anno: i = 1/K = tasso relativo ad un Kesimo di anno.
1) regime di interesse semplice
1) e 2) sono sempre una funzione C * f(t)
M1 = C (1 + it) M2 = C (1 + i1/K t * K)
M1 = M2
M1 = M2 → C (1 + it) = C (1 + i1/K t * K) → i = K * i1/K
2) regime dell’interesse composto convenzione esponenziale
M1 = C (1 + i)n M2 = C (1 + i1/K)nK
M1 = M2
M1 = M2 → C (1 + i)n = C (1 + i1/K)nK → (1 + i) = (1 + i1/K)K studiare a memoria!
i1/k → i = (1 + i1/K)K – 1 tasso annuo
i = (1 + i)1/K – 1 tasso relativo a 1/K di anno. (pag. 40 del libro)
Esiste un altro tasso annuo, cioè il tasso annuo nominale convertibile K volte l’anno (in capitalizzazione composta
convenzione esponenziale). Si indica con ι (K) (“iota”K). Cosa è ι(K)? ι (K) = K * i * 1/K = K * [(1 + i)1/K – 1]
→1 + i = (1 + i 1/K)K
i 1/K = (1 + ι)1/K – 1
Esempio:
assegnato il tasso annuo nominale convertibile
100
semestralmente (1 + 0,01)2 = 1 + i
0
3,5
ι (2) = 0,02
M = 100 (1 + 0,01)7 = 100 (1 + i)3,5 → (1 + 0,01)2 = 1 + i → i½ = (1 + 0,01)½ – 1 = 0,004 Dalla f’ non cogliamo nulla,
quindi, analizzando la f”,
Considerazioni su ι (K): che andamento ha?
ι (K)
scopriamo che è > 0, quindi la f’ è
ι (K) = K * i1/K = K[(1 + i)1/K – 1] con K = 1,2, … K € [1, +∞)
crescente. Poiché limK→∞ f’(K)=0,
lim
ι (K) = lim
(1 + i)1/K – 1 = loge (1 + i) = δ (“delta”)
ι’(K)<0. Quindi la f è fatta così:
K→+∞
K→+∞
1/K
i
Asintoto
È un c.d. “limite fondamentale”: (ay – 1) / y = logea
orizzontale
Regime di capitalizzazione continua (se K = ∞) (c’è sempre all’esame)
C
M(s)
M
s € [0,t]
δ
0
s
s + ds t
(differenziale di s)
1
K
ρ (s) (“rho”esse) è il tasso istantaneo di interesse annuo. Può essere costante per ogni istante oppure può cambiare anche
da istante ad istante. Ora voglio trovare M: scrivo la legge di formazione del montante. M(s) è il montante del capitale C
impiegato in zero fino a s. Poi considero un istante successivo s + ds. M(s + ds) è il montante del capitale C impiegato
da zero fino a s + ds. Se faccio M(s + ds) – M(s) trovo l’interesse che matura nel tempo ds.
5
LEGGE DI FORMAZIONE DEL MONTANTE = M(s + ds) – M(s) = M(s) ρ(s) ds + θ(ds). Non è uguale, perchè
abbiamo supposto che il tasso ρ(s) sia uguale in tutto ds. Ma nella realtà non è così e allora devo aggiungere una
quantità per rendere le due quantità uguali (“teta”) → θ(ds). È un infinitesimo di ordine superiore a ds.
Quando ds tende a zero, anche θ(ds) tende a zero ma in modo più veloce di quanto tenda ds (tocca prima lo zero):
0 =0
lim θ(ds) forma indeterminata 0/0, ma θ(ds) tende a zero più velocemente e lim
ds→0
ds→0
ds
ds
Ma noi vogliamo trovare M:
lim
M(s + ds) – M(s) = lim M(s) θ(s) ds + lim θ(ds) =
Ricordiamo da matematica generale che il limite del
ds→0
ds→0
ds→0
ds
ds
ds
rapporto incrementale è la derivata prima della funzione.
M(s) θ(s)
tende a zero
lim
f(x + h) – f(x) = f’(x)
h→0
h
→ M’(s) = M (s) * ρ (s) → è un’equazione differenziale del primo ordine perché esiste la derivata prima della funzione.
→ ρ (s) = M’(s)/M(s) → Nota la funzione M, trovare ρ (s). Qui abbiamo s, ma vale per qualunque t→ ρ(t) = M’(t)/M(t).
Esempio:
0,01t2
Data M(t) = Φ (C, 0, t) = C * e
ρ (t) = ?
è la c.d. “equazione differenziale” del primo ordine
→ ρ (t) = C * e0,01t2 * 2 * 0,01t = 0,02t
perché c’è la derivata prima.
C * e0,01t2
Nota M(t) ho trovato ρ (t), ma a noi interessa calcolare M(s) noto ρ(s) → ρ(s) = M’(s)/M(s) → D loge M(s)
→ ρ (s) = D loge M(s) integro da ambe le parti: ∫t0 ρ (s) = ∫t0 D loge M(s) → loge M (s)] t0 = ∫t0 ρ (s) ds (Torricelli)
→ loge M(t) – loge M(0) = ∫t0 ρ (s) ds → loge M(t)/M(0) = ∫t0 ρ (s) ds → vogliamo trovare M (t) → e loge M(t)/M(0) = e ∫t0ρ(s)ds
→ M(t)/M(0) = e ∫t0ρ(s)ds → M (t) = M(0) * e ∫t0ρ(s)ds (dove M(0) = C; “ds” è per chiudere l’integrale, non confondere)
Esempio:
100
M
con ρ (s) = 0,02s
0
3,5
3,5
eelleevvaattoo→
0,02 s2/2] 3,50
0,02 (3,5)2/2 – 0
→ ∫ 0 0,02s ds
M = 100 * e
= 100 * e
= 100 * e
= 100 * 1,103031912 = 113,031912
(“fi” di t)
Facciamo alcune considerazioni:
∫t0ρ(s)ds
t
1) M (t) = C * e
∫ 0 ρ(s) ds è il fattore logaritmico di capitalizzazione e si indica con φ (t) →
→ ∫t0 ρ(s) ds = φ (t) → M (t) = C * e∫t0ρ(s)ds = C * eφ(t) → fattore di capitalizzazione da 0 a t in cap. continua
C
M
Da C ad M → capitalizzo Per trovare l’integrale tra t1 (cioè un istante
successivo a 0) e t, anziché tra 0 e t, basta trovarlo
0
t
Da t a 0 → attualizzo
anche tra 0 e t1 e far la differenza, ma è più comodo
Ma se si ha M, come si fa a trovare C?
osservarlo in termini di φ: Mt1(t) = C * eφ(t) – φ(t1).
C = M * e – φ(t) → fattore di attualizzazione
2) Se ho M (t) = C * e∫t0ρ(s)ds e se ρ(s) è costante, cioè non dipende da s, chiamata δ (delta) → M(t) = C * e∫t0δds =
= C * eδ ]t0 = C * eδ*t ma se sono in regime di capitalizzazione composta:
M = C (1 + i)t dico che δ e i sono equivalenti se, applicati allo stesso capitale per la stessa durata di tempo,
danno lo stesso montante: C (1 + i)t = C * e δ*t → eδ = 1 + i → δ = loge (1 + i) → i = eδ – 1
δ e i si dicono tassi corrispondenti (e non equivalenti).
Leggi di attualizzazione e di sconto
V
C
C
Con V < C e V = C – s
0
t1
t2
t3
Con le leggi di sconto trovo S (lo sconto); con le leggi di attualizzazione trovo V (il valore scontato).
V = V (C, t1, t2) è il valore del capitale C, esigibile in t2, calcolato in t1.
Proprietà minime (vedi pag. 52 del libro)
1) V (0, t1, t2) = 0
2) C (C, t1, t2) = C
3) C (C, t1, t2) > V (C, t1, t3)
con 0 ≤ t1≤ t2 ≤ t3
4) V (C1, t1, t2) < V (C2, t1, t2)
con 0 < C1 < C2
1) Uniformità nel tempo
Una legge di attualizzazione è uniforme nel tempo se:
V (C, t1, t2) = V (C, t1+x, t2+x) → V (C, t1, t2) →
δ (C, t) attualizzazione
→ V (C, t1, t2) = C – S = C – φ(C, t) = δ (C, t)
S (C, t) sconto
2) additività rispetto al capitale
V (C1 + C2, t1, t2) = V (C1, t1, t2) + V (C2, t1, t2) → V (C, t1, t2) = C * g (t1, t2) →fattore di sconto/attualizzazione
g è il valore scontato di un’unità di capitale
a. g (t2, t1) = 1
b. g’2 (t1, t2) < 0
c. g (t1, t2) > 0
3) scomponibilità
C
V (C, t1, t2) = V (V(C, z, t2), t1, z)
0
t1
z
t2
6
Se V è scomponibile e additiva allora la legge si dice scindibile, cioè i fattori di attualizzazione stanno così:
g (t1, t2) = g (z, t1) * g (t2, z)
per l’uniformità per l’additività
Se V è additiva e uniforme rispetto al C allora V (C, t1, t2) = C – φ (C, t) = C * g (t1, t2)
= C – C * h (t) = δ (C, t) = C * (1 – h(t)) → g (t) è il fattore di attualizzazione di un’unità di C da t a zero, le cui
proprietà minime sono:
1) g (0) = 1
2) g’ (t) < 0
3) g (t) > 0
Esistono diversi regimi di sconto:
1) regime dello sconto commerciale (vedi pag. 55 del libro)
S (C, t) = C * h (t) = C * d * t
dove d è il fattore di proporzionalità > 0; rappresenta lo sconto che viene
fatto su un’unità di C: è il tasso di sconto annuo. (ricorda C * i * t della capitalizzazione semplice)
S (1,1) = 1 * d * 1 = d sconto fatto su un’unità di tempo; se è l’anno sarà il tasso di sconto annuo.
V (C, t) = C – Cdt
con 0 < t < 1/d
Esempio:
Dati C = 100
d = 0,02
t = 3 anni e 3 mesi
→ V = 100 – 100 * 0,02 * (3 + 3/12) = 93,5
V (1, 1) = 1 – 1 * d (1) = 1 – d → fattore annuo di sconto
1 – d > 0 → – d > – 1 → d < 1 ma sappiamo che d > 0 → 0 < d < 1
.
2) Regime dello sconto composto (pag. 56 del libro)
C
0
1
2……………….. n – 2
n–1
n
V (C, n, n) = C
V (C, n – 1, n) = C – Cd = C (1 – d)
V (C, n – 2, n) = V (C, n – 1, n) – V (C, n – 1, n) d = V (C, n – 1, n) * (1 – d) = (C – Cd) (1 – d) = (C(1 – d))*(1 – d) =
= C (1 – d)2
In generale V (C, 0, n) = C (1 – d)n
V (C, n) = C (1 – d)n con n intero →
C
M
1) M (C, t) = C (1 + it) → C = M(C, t)/(1 + it) → V (C, t) = C/(1 + it)
0
t
2) M (C, n) = C (1 + i)n → C = M(C, t)/(1 + i)n → V (C, n) = C/(1 + i)n Regime dello sconto composto
d (C, t) = C/(1 + it)
d (C, n) = C/(1 + i)n
Regime della capitalizzazione composta
Il regime dello sconto composto e il regime della capitalizzazione composta, danno valori uguali.
Se C (1 – d)n = C / (1 + i)n elevando alla radice ennesima → 1 – d = 1/(1 + i)
Se conosco i posso calcolare d. (1 – d)n = valore scontato attuale in 0 di una unità di capitale disponibile in n.
→ 1 – d = 1/(1 + i) → 1 = (1 – d)(1 + i)
Le leggi sono CONIUGATE, cioè: quando un fattore di capitalizzazione è
l’inverso del fattore di attualizzazione, danno lo stesso valore.
Fattore annuo di
Fattore annuo di capitalizzazione: si indica con u → u = (1 + i)
attualizzazione o di sconto, si indica con v = 1/(1 + i)
Si osserva che u = 1/v → v * u = 1
Noto i → trovo d
d = 1 – 1/(1 + i) = (1 + i – 1)/(1 + i) = i / (1 + i) = i * 1/(1 + i) = i * v
Noto d → trovo i
1 + i = 1/ (1 – d) → i = 1 / (1 – d) – 1 = (1 – 1 + d) / (1 – d) = d/(1 – d)
Ora confronto il regime dello sconto commerciale con il regime dell’interesse semplice
Se t = 0 → V (C, 0) = C
se t = 1 → V (C, 1) = C – C d = C (1 – d)
V (C, 0) = C
V (C, 1) = C /(1 – d)
Le due leggi sono coniugate.
Se però t ≠ 0 e t ≠ 1, le due leggi non sono più coniugate → Per questo motivo si introduce il regime dello sconto
razionale, che si costruisce come legge coniugata all’interesse semplice (che non ha leggi coniugate).
3) regime dello sconto razionale (pag. 62)
V (C, t) = C / (1 + it) = C – Sr (C, t) in regime di interesse semplice, se è richiesto il valore attuale.
Sr (C, t) = C – C/(1 + it) = (C + Cit – C) /(1 + it) = Cit/(1 + it) ← se conosco i e devo trovare t.
Se conosco d e devo trovare i → 1 +i = 1 / (1 – d) → i = 1 / (1 – d) – 1 → i = (1 – 1 + d)/(1 – d) = d/(1 – d)
→ V (C, t) = C – C * d/(1 – d) * t → semplificando ottengo → C – C * d * t → V = C – S
1 + d/(1 – d) * t
1–d + dt
Classica domanda per l’orale
I tassi di sconto equivalenti (pag. 63)
2 tassi si dicono equivalenti se, applicati allo stesso C esigibile alla stessa scadenza, producono lo stesso valore attuale.
1) Regime sconto commerciale
V1 = C (1 – dt) V2 = C (1 – d1/K * Kt)
V1 = V2
con K intero e > 1; d = Kd1/K’
V1 = V2 → C (1 – dt) = C (1 – d1/K * Kt) → d = d1/K * K
(argomento facoltativo) Tasso annuo di sconto
2) Regime sconto composto
nominale convertibile K volte l’anno: è un tasso di
V2 = C (1 – d1/K)nK
V1 = V2 sconto composto.
V1 = C (1 – d)n
dK = K * d1/K
con d1/K = K[1 – (1 – d)1/K]
V1 = V2 → C (1 – d)n = C (1 – d1/K)nk → 1 – d = (1 – d1/K)K
Osservazione: d1/K = 1 – (1 – d)
1/K
limK→∞ = ι(K)= δ. Anche lo sconto ha legge coniugata,
quindi possiamo prendere ρ sia per la capitalizzazione
sia per l’attualizzazione.
7
Esercizi del 28/02/07
• Esercizio 1
Determinare il M se C = 100€ investito per un anno e 5 mesi, a tasso annuo i = 0,02 in regime di interesse semplice.
I=C*i*t
M = C + I = 100 [1 + 0,02 * (1 + 5/12)] = 102,83333333
• Esercizio 2
106.750 = 100.000 [1 + i*(7/12+15/360)] →
C = 100.000€
106.750 = 100.000 [1 + i*(210+15)/360] →
t = 7m, 15 gg
106.750 = 100.000 + i*225*100.000/360 →
106.750 – 100.000 = i*62.500 →
M = 106.750
6.750 = i*62.500 → i = 6.750/62.500 = 0,108 = 10,8%
i=?
100.000
106.750
1
7/12+15/360 (perché abbiamo ipotizzato tutti mesi di 30 gg.)
106.750 = 100.000[1 + i(5/8)]; i = 10,8%.
• Esercizio 3: tasso variabile, interesse semplice
C = 450.000 impiegato per un anno, sapendo che il tasso annuo i è stato i1 = 0,09 per i primi 4 mesi, i2 = 0,1 per i
successivi 2 mesi e i3 = 0,105 per i mesi restanti.
450.000
Nota: sarebbe errato = C (1 + i1) + C (1 + i2) + C (1 + i3)
Perché si ripeterebbe il capitale iniziale generando un montante più alto.
0
4/12
6/12
1
M = C[1 + i1 x t1 + i2 x t2 + i3 x t3] = 494.625
• Esercizio 4: Capitalizzazione composta
Approfondimento sull’esercizio 5:
C = 5.000€
Non è possibile raddoppiare semplicemente il tasso (per passare da quello
6 anni e 4 mesi
semestrale a quello annuale) ed elevare all’equivalente in anni per ottenere lo
i = 0,12 in caso di:
stesso risultato: M = 1.000(1 + 0,05 x 2)3,5 =1.395,9646
1) convenzione esponenziale = ?
Per trasformare nel tasso equivalente dovremmo utilizzare la formula dei tassi
equivalenti (pag. 5 di questi appunti): 1 + i = (1 + i1/K)K
2) convenzione mista = ?
1 + i = (1 + 0,05)2 → i = 0,1025
C
M
Infatti:
M = (1 + 0,1025)3,5 = 1.407,100423
2
n = n0 + p
1) M = C (1 + i)n0 + p = 5.000 * (1 + 0,12)6+4/12 = 10.249, 06265
2) M = C (1 + i)n0 (1 + ip) = 5.000 * (1 + 0,12)6 (1 + 0,12*4/12) = 10.263,87796
Notiamo che il montante in convenzione mista è maggiore del montante in convenzione esponenziale.
• Esercizio 5
C = 1.000€ è impiegato in capitalizzazione composta semestrale per 3 anni e mezzo, al tasso semestrale di i½ = 0,05.
M = 1000 (1 + 0,05)7 = 1.407,100423
• Esercizio 6
Determinare il montante prodotto da 100€ impiegati in capitalizzazione composta mensile per un anno, sapendo che il
tasso mensile i è stato i1 = 0,01 da Gennaio a Febbraio, i2 = 0,011 nei mesi da marzo a settembre ed i3 = 0,012 da ottobre
a dicembre.
100€
0
2
9
12
0,01
0,011 0,12
Nota: m1, m2, m3 sono già tassi mensili, quindi non devono esser divisi per 12
m1
m2
m3
M = C * (1 + i1) * (1 + i2) * (1 + i3) = 100 * (1,01)2 * (1,011)7 * (1,012)3 = 114,1411843
• Esercizio 7
C1 = 1.050 al tasso i1 = 0,08
C2 = 1.000 al tasso i2 = 0,12
Dopo quanto tempo, in capitalizzazione semplice, producono lo stesso montante?
1.050
M1
M1 = 1.050 (1 + 0,08 * t)
0
t
0,08
1.000
M2
M2 = 1.000 (1 + 0,12 * t)
0
t
0,12
1,05(1 + 0,08t) = 1,012t → t = 1,3888888
Lo esprimiamo in anni: 1 anno + 0,3888888
0,3889 * 12 = 4,66677777 quindi 4 mesi + 0,6667 → 0,6667 * 30 ≈ 20 gg.
8
• Esercizio 8
C = 5.000; i = 0,11; M = 12.000
Determinare la durata dell’impiego se la convenzione è esponenziale.
5.000
12.000
M = C (1 + i)n
12.000 = 5.000 (1 + 0,11)n
n = (loge M/C)/(loge(1 +i)) (vedi pag.4 di questi appunti)
0
n
2,4 = (1 + 0,11)n
= (ln(12.000/5.000))/ln1,11 = ln2,4/ln1,11 =
0,11
= 0,875468737339 / 0,104360015324243 = 8,38892
Siccome n è all’esponente dobbiamo applicare i logaritmi!
→ 8 anni, 4 mesi, 20 gg.
Ln2,4 = ln(1 + 0,11)n
BASTA USARE LA CALCOLATRICE SCIENTIFICA
Ln2,4 = n * ln 1,11
n = ln2,4/ln1,11 = 8,3889 → 8 anni + 0,388928793 (prosegui come nell’esercizio 7)
• Esercizio 9
Trovare i 2 tassi semestrali della capitalizzazione semplice equivalenti per 2 anni rispettivamente al tasso annuo i = 0,1
della capitalizzazione composta e al tasso trimestrale i¼ = 0,03 della capitalizzazione composta trimestrale.
C
I tassi sono equivalenti se producono lo stesso montante quindi:
confronto semestre con anno
C (1 + i½ * 4) = C (1 + 0,1)2 → 4 * i½ = 1,12 – 1 →
0
2=4 semestri
→ i½ = 0,0525
C
Il capitale è semplificato infatti qui è indifferente investire 1 milione o 1 €.
confronto semestre con trimestre
C (1 + i½ * 4) = C (1 + i¼)8 → 1 + i½ * 4 = 1,038 →
0
2=8 trimestri
→ i½ = 0,06669252
Nota: non si deve calcolare su base annua così: (1 + i x 2) = 1,034!
• Esercizio 10
Ci detta ora un esercizio che non abbiamo ancora visto in classe e che in parte non dovremmo sapere risolvere.
Dato un tasso quadrimestrale in capitalizzazione composta i1/3 = 0,04 trovare:
1) i equivalente ad i1/3 = ? = trovare il tasso annuo equivalente.
2) punto che non dovremmo ancora saper risolvere: tasso annuo nominale convertibile 6 volte l’anno
corrispondente ad i, cioè ι(6) (“iota 6”)
C
M
C (1 + i1/3)3 = C (1 + i)1
→ 1,043 = 1 + i → i½ = 0,124864
0
1=3quadrimestri
• Esercizio 11
1/7/4 C1 = 100
1/2/5 C2 = 200
Determinare il montante al 31/12/5 se è assegnato il tasso i = 0,01 di capitalizzazione composta annua convenzione
esponenziale.
100€
200€
M=?
7
11
1/7/4 1/2/5 31/12/5
Detto ciò, M è la somma dei due montanti:
M = 100 (1 + 0,01)18/12 + 200 (1 + 0,01)11/12 = 303,336
Nota: NON è 100 (1 + 0,01)18/12 + 300 (1 + 0,01)11/12
• Esercizio 12
i = 0,04
C1 = 100
1/1/5
C2 = 200
1/4/5
C3 = 300
1/7/5
Calcolare il montante all’1/7/5 nelle seguenti ipotesi:
1) capitalizzazione composta annua convenzione esponenziale
2) capitalizzazione composta trimestrale al tasso trimestrale equivalente ad i
100€
200€
300€
1/1/5
1/4/5 1/7/5
3/12
6/12
non capitalizzato
1) M1 = 100 (1,04)6/12 + 200 (1,04)3/12 + 300 = 603,9510716
2) Per prima cosa cerchiamo i1/4: C (1 + i)1 = C (1 + i1/4)4
1,04 = (1 + i1/4)4 → 1,041/4 = (1 + 4/4)1 → i1/4 = 0,009853407
M2 = 100 (1 + i1/4)2 + 200(1 + i1/4)1 + 300 = 603,951 che è infatti lo stesso montante di prima!
Lezione pomeridiana
• Esercizio 13 (siamo arrivati in ritardo per cui ne manca “un pezzetto”)
Determinare f (2,5) = 1,021
2a(5 – 2) = 1,021 applicando la funzione logaritmica a destra e sinistra avremo: ln23a = ln1,021 → a ≈ 0,01
9
• Esercizio 14
Dato M(t) = a + btet/20
Determinare per quali valori di a e b è adatta ad esprimere il montante di un euro investito al tempo 0.
M(0) = C = 1 (sostituisco 0 a t)
M’(t) > 0 (la derivata deve essere maggior di 0 perché aumenta nel tempo)
M(0) = a + b * 0 * e0/20 = 1 → a = 1
M(t) = 1 + btet/20 → M’(t) = bet/20 + btet/20 * 1/20 * 1 = b[et/20 + t t/20* 1/20]
M’(t) > 0 et b > 0
• Esercizio 15
Dato f(t) = e 0,08t (1 + kt), verificare che per K > 0 è adatta a rappresentare un fattore di capitalizzazione da 0 a t. K > 0.
1) f (0) = 1
2) f’(t) > 0
f (0) = e0,08*0 (1 + K * 0) = 1 sì
f’(t) = faccio la derivata del prodotto = e0,08t * 0,08 (1 + kt) + e0,08t * K sì
• Esercizio 16: tratto da una prova d’esame!
C1 = 100
1/1/5
C2 = 200
1/7/6
Calcolare il montante all’1/7/7:
1) in regime di interesse semplice se è in vigore il tasso i = 0,02
2) in regime di interesse semplice se è in vigore il tasso i1 = 0,02 dall’1/1/5 all’1/1/6 e successivamente i2 = 0,04
3) in regime di capitalizzazione composta annua convenzione esponenziale al tasso annuo di interesse i = 0,02
4) in regime di capitalizzazione composta annua convenzione esponenziale se è in vigore il tasso annuo i1 = 0,02
dall’1/1/5 all’1/1/6 e i2 = 0,04 successivamente
5) in regime di capitalizzazione composta annua convenzione mista al tasso annuo i = 0,01
6) in regime di capitalizzazione composta semestrale convenzione mista a tasso semestrale i½ = 0,01
è come fosse esponenziale in quanto t è intero
100€
200€
M=?
1/1/5 1/1/6 1/7/6 1/7/7 cioè 2 anni e mezzo
1) M = 100 (1 + 0,02 * 2,5) + 200 (1 + 0,02 * 1) = 309
2) M = 100 [1 + (i1 * 1) + (i2 * 1,5)] + 200 (1 + i2 *1) = 316 → semplice: sommatoria
3) M = 100 (1 + 0,02)2,5 + 200 (1 + 0,02)1 = 309,0752494
4) M = 100 (1 + 0,02)1 (1 + 0,04)1,5 + 200 (1 + 0,04)1 = 316,180798 → esponenziale: produttoria
5) M = 100 (1 + 0,01)2 (1 + 0,01 * 0,5) + 200 (1 + 0,01)1 = 304,52005
6) M = 100 (1 + 0,01)5 + 200 (1 + 0,01)2 = 309,121005
• Esercizio 17 (tratto dalla prova d’esame del 19/04/06)
Verso 100€ per il pesce d’aprile del 2005, nella seguente ipotesi:
In regime di interesse semplice:
a. determinare il montante all’1/1/8 al tasso annuo di interesse del 2%.
b. Al tasso annuo di interesse del 2%, quanto tempo deve trascorrere per avere un montante di 113€?
c. Determinare a quale tasso annuo di interesse dobbiamo impiegare i 100€ l’1/4/5 fino all’1/1/8 per avere un
montante pari a 105€.
d. Determinare il montante all’1/1/8 se il tasso di interesse semestrale è del 2% dall’1/4/5 all’1/10/5 e
successivamente il tasso semestrale è del 3%.
In regime di capitalizzazione continua: dobbiamo ancora spiegarlo a lezione…
a. 100€
1/4/5 1/1/6 1/1/8
0
9/12
2+9/12 (espressi in anni)
M = 100 (1 + 0,02 * (2 + 9/12)) = 105,5
b.
113 = 100 + 100 * 0,02 * t → 13 = 2 t → t = 13/2 = 6,5
113 = 100 (1 + 0,02 * t) la nostra incognita è “t” quindi: 1,13 = 1 + 0,02t → 6,5 anni → 6 anni e mezzo → 6 anni 6 mesi
c. 100€
105€
2 anni 9 mesi
1/4/5
d. 100€
1/1/8
105€
M = 100 (1 + i * (2 + 9/12)) = 105 troviamo i = 5/275 = 0,0181818181818
1/4/5 1/10/5 1/1/8
2 anni e 3 mesi = 4,5 semestri
i½=0,02 i½= 0,03
M = 100 (1 + i1 * t1 + i2 * t2) = 100 (1 + 0,02 * 1 + 0,03 * 4,5) = 115,5
Nota: in capitalizzazione semplice NON si deve fare: 100 (1 + 0,02 * 5,5) + 100 (1 + 0,03 * 4,5)
10
Esercizi del giorno 14 Marzo 2007
• Esercizio 18 (tratto dall’esame della sessione di settembre 2006, riproposto identico al 3° appello della sessione estiva del 2007)
Versiamo 100 Euro l’1/4/5 in ipotesi di capitalizzazione continua a tasso annuo istantaneo ρ(s) = 0,02/(0,2+0,02s).
L’istante iniziale di tale legge è l’1/1/5. Determinare il montante all’1/1/8.
Nota: il tasso medio delta soprassegnato è quel tasso che, in regime di capitalizzazione continua, è equivalente a ρ(s) nell’intervallo t1, t2,
se M1 = M2: δ(t2 – t1) = …
Soluzione:
100
* Per prima cosa calcolo φ(t) = ∫t0 ρ(s) ds. Poiché la derivata è al numeratore, si trasforma
nel modulo del logaritmo naturale del denominatore: φ(t) = loge|0,2 +0,02s| |0t
1/1/5 1/4/5 1/1/8 * Applico il teorema di Torricelli-Barrow:
φ(t) = loge(0,2+0,02t) – (loge0,2 + 0)
* Per le proprietà dei logaritmi diventa (“trasformo il meno in diviso”):
φ(t) = loge(0,2 + 0,02t)/0,2
* Semplifico e trovo la φ(t) finale:
φ(t) = loge(1 + 0,1t)
* Ora utilizzo la formula M = C * eφ(t), ricordando che, per calcolare il tempo da t1 a t2, bisogna calcolarlo da t0 a t2 e sottrarre da t0 a t1:
M = 100 * eφ(t) – φ(t1) = 100 * eφ(3) – φ(3/12) =
M = 100 * e loge (1 + 0,1 x 3) – loge (1 + 0,1 x 3/12) = per le proprietà dei logaritmi, “trasformo ancora il meno in diviso”, poi, con la
calcolatrice scientifica, trovo che M = 126,829.
• Esercizio 19
Data la funzione M(t) = 100 / (1 – 0,05t) con t € [0,10]
1) determinare il capitale C di cui M(t) rappresenta il montante al tempo t
2) scrivere l’espressione di ρ(t) in regime di capitalizzazione continua
3) calcolare il montante prodotto al t10 e l’interesse prodotto al t5 per l’impiego iniziale di 100
4) calcolare i seguenti tassi equivalenti a ρ(t), nel periodo [0,10],
a. tasso di interesse annuo del regime di capitalizzazione composta
b. tasso di interesse semestrale del regime di capitalizzazione composta
5) in regime di interesse semplice:
a. tasso di interesse annuo
b. tasso di interesse trimestrale
Soluzione:
1) M(0) = 100 / 1 – 0 = 100 (perché M(0) = C)
2) ρ(t) = M’(t)/M(t) = [0,05*100/(1 – 0,05t)2] / [100/(1 – 0,05t)] = 0,05/(1 – 0,05t)
3) M(10) = 100 / (1 – 0,05 x 10) = 200
M(5) – M(0) = 100/(1 – 0,05 x 5) – 100 = 33,333333
4) M1 = C(1 + i)10 = 100(1 + i)10
M2 = M(10) = 100 / (1 – 0,05 x 10)
a. il tasso annuo: (1 + i)10 = 1 / (1 – 0,5)
elevo dx e sx alla 1/10 e trovo i = 0,071773463
b. il tasso semestrale:
1 + i = (1 + i½)2 = 0,035264924
5) M1(10) = 200 = M2(10) = 100(1 + ī x 10);
a. ī = 0,1
b. ī1/4 = 0,1/4 = 0,025
• Esercizio 20 (tratto dall’esame della sessione estiva 2006)
Dato il tasso annuo nominale convertibile 3 volte l’anno ι(3) = 0,06
1) determinare il tasso di interesse quadrimestrale ad esso corrispondente ed il tasso di interesse annuo ad esso
corrispondente
2) determinare il montante prodotto all’1/1/6 dai capitali 100 impiegato l’1/1/4 e 400 impiegato l’1/5/5
È data la legge di capitalizzazione continua ad intensità annua di interesse ρ(s) = 0,06/(1 – 0,06s)
3) determinare il fattore di capitalizzazione da 0 a t
4) determinare il tasso medio relativo all’intervallo [0,2] ed il tasso medio relativo all’intervallo [2,5]
Soluzione:
Implicitamente sappiamo che siamo in regime di capitalizzazione composta.
1) i1/3 = ι(3)/3 = 0,06/3 = 0,02
(1 + i) = (1 + i1/K)K → i = -1+1,023 = 0,061208
2) 100
400
1/1/4 1/5/5 1/1/6
M1/1/6 = 100 (1 + i)2 + 400(1 + 0,061208)8/12 = 528,7762419
(2 quadrimestri = 8 mesi)
Essendo tassi equivalenti si può calcolare anche così: …+400(1 + i1/3)2…
3) f(t) = f(0,t) = eφ(t) = e∫0t – 0,06/(1 – 0,06s) ds = e – loge (1 – 0,06t) = per le proprietà porto il –1 all’esponente = 1/(1 – 0,06t)
4) eδx2 = f(2) N.B.: nei tassi medi più che ricordare la formula pensate al significato: è quel tasso equivalente alla
ρ dove si eguagliano i due montanti. eδx2 = 1/(1 – 0,06x2)
δ = 0,06391
eδ(5 – 2) = e φ(5) – φ(2) = e φ(5) / φ(2) → f(5) / f(2) = [1/(1 – 0,06x5)] / [1/(1 – 0,06x2)] = 0,07628
11
Esercizio del giorno 21 Marzo 2007 mercoledì pomeriggio
• Esercizio 21
Determinare il tasso d corrispondente ad i = 0,02
1 – d = 1 / (1 + i)
d = i * v = 0,02 /1,02 = 0,019607843
Determinare i tassi semestrali:
a) in regime di sconto commerciale: d * 1/2 = d/2 = 0,009803922 “Corrisponde”, infatti alla cap. semplice.
b) in regime di sconto composto: 1 – d = (1 – d1/K)K
d1/2 = 1 – (1 – d)1/2 = 0,009852
d1/K = 1 – (1 – d)1/K
• Esercizio 22
Supponendo che oggi, 1/1/4, si disponga dei seguenti crediti: C1 = 1000 esigibile l’1/1/7, C2 = 1.500 esigibile l’1/7/8.
Determinare il valore oggi dei due crediti:
a) in regime di capitalizzazione composta annua convenzione esponenziale a tasso annuo i = 0,02
1000€ 1500€
1/1/4 1/1/7 1/7/8
Oppure: 1000 * (1 + 0,02)–3
V1/1/4 = 1000/(1 + 0,02)3 = 942,3223345
4,5
V1/1/4 = 1500/(1 + 0,02) = 1372,114918
b) con lo sconto razionale:
sappiamo che dobbiamo far tutto in regime di interesse semplice:
V1/1/4 = 1000/(1 + 0,02 x 3) = 943,3962264
V1/1/4 = 1500/(1 + 0,02 x 4,5) = 1376,146789
c) Determinare il valore oggi in regime di sconto commerciale se è assegnato il tasso d semestrale.
(??? 1000x(1 – 0,01x2x3) = 940, perché alla prof. fa 941????)
V1/1/4 = 1000(1 – d(1)1/2 x 2 x 3) = 941,176
d) In sconto composto a tasso semestrale d2.
V1/1/4 = 1000/(1 – d(2)1/2)2x3 = 942,0452353
e) In regime di capitalizzazione continua a tasso δ corrispondente ad i.
V1/1/4 = 1500eδ – 4,5= …
Formula di partenza: e = (1 + i)–1
δt
Oppure:
-e
= (1 + i) – 1t
V1/1/4 = 1000(1 +0,02) δ – 4,5= 1372,114 equivale al punto a)
f) Dimostrare che è una legge di attualizzazione (per il corso da 6 crediti).
…
Abbiamo sempre parlato di attualizzazione di capitali che avvengono da t a 0, ma potremmo avere un’attualizzazione da
t2 a t1, cioè una legge V(C, t1, t2) = C (1 + 0,02)t1 – t2 = C (1 + 0,02) – (t1 – t2)
È una legge di attualizzazione perché verifica le proprietà che lo dimostrano.
V = V(1000, 0, 3) + V (1500, 0, 4,5) = 1000 (1 + 0,02) – 3 + 1500(1 + 0,02) – 4,5 = 2314,434
A questo punto sappiamo capitalizzare ed attualizzare capitali singolarmente.
Possiamo passare alle rendite.
12
CAPITOLO II La rendita (pag. 85 del libro)
Si definisce rendita certa o discreta una successione di somme (o capitali), uguali o meno tra loro, disponibili
incondizionatamente a scadenze determinate. Le singole somme si chiamano Rate.
R1
R2
Rs
Rn
Rendita posticipata → i termini sono disponibili
alla fine di ogni periodo.
t2
ts
tn
0
t1
R1
R2
R3
Rn+1
Rendita anticipata → i termini sono disponibili
all’inizio di ogni periodo (es.: l’affitto).
t2
tn
0
t1
La rendita (discreta o certa) può essere, con riferimento alla durata:
a) temporanea → se ha un numero finito di rate / perpetua → se ha un numero infinito di termini o rate;
b) immediata → se i termini partono subito / differita → se i termini partono dopo un po’;
c) a termini variabili / a termini costanti → Le R sono tutte uguali (→ unitarie se tutte le R valgono 1).
Rendita immediata, posticipata, temporanea per t anni, di termine variabile
R2
Rn
R1
1 / (1 + i)n = Vn
t2………………………….tn
0
t1
V(0) = R1 (1 + i) –t1 + R2 (1 + i) –t2 + … + Rn (1 + i) –tn → V(0) = ∑ns=1Rs (1 + i) –ts
V (tn) = R1 (1 + i) tn–t1 + R2 (1 + i) tn–t2 + … + Rn → V (tn) = ∑ns=1Rs (1 + i) tn–ts = (1 + i)tn * ∑ns=1Rs (1 + i) –ts =
= (1 + i)tn * V (0) → questo solo se siamo in regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale.
→ V (0) = V (tn) (1 + i) –tn
In generale:
R1
R2
Rn
formalizzazione generica
0
t1
t2…………… tz………….tn
V (tz) = R1 (1 + i)tz – t1 + R2 (1 + i)tz – t2 + … + Rn (1 + i) –(tn – tz) = Rn (1 + i)tz – tn = ∑ns=1 Rs (1 + i)tz – ts = Valutazione in tz
Esempio:
200
300
500
la scegliamo perché ha legge coniugata ed
è il caso più semplice:
il valore finale di una rendita è = al valore
attuale capitalizzato per tn anni.
Attualizzazione: esponenziale = elevo a –n
Semplice = divido per (1 + i * n)
0
1
2
3
4
5
6
1) Regime di capitalizzazione composta convenzione esponenziale
V4 = 200 (1 + i)2 + 300 (1 + i)1 + 500 (1 + i) –2
Oppure:
Valore attuale = V0 = 200 (1 + i) –2 + 300 (1 + i) –3 + 500 (1 + i) –6 = V (4) (1 + i)4
2) Regime di interesse semplice con legge coniugata per l’attualizzazione
V4 = 200 (1 + i * 2) + 300 (1 + i * 1) + 500 * 1 / (1 + i * 2)
Rendita immediata, posticipata, periodica (il periodo è sempre =) di periodo 1 (annua), a rate costanti = 1
R=1
R=1
Rn = 1
0
1
2
n
V (0) = (1 + i) –1 + (1 + i) –2 + … + (1 + i) –n = δ + δ2 + … + δn → i termini variano in progressione geometrica
S = somma = a1 * (1 – qn) / (1 – q) dove q è la ragione (se individuiamo la ragione, il 1° termine ed il n° dei termini, si fa così la ∑).
→ V (0) = δ * (1 – δn) / (1 – δ) = (1 – δn) / (µ – 1) = (1 – δn) / (1 + i – 1) = (1 – δn) / i = a n┐ i Deriva da: i a n┐ i + δn = 1
Fissato i → a n┐ i = [1 (1 + i) – n] / i
a) Valore attuale di una rendita posticipata: a n┐ i
1……………………………………1
µ * v = 1 → µ = 1/v
0
1
2………………………….n
a n┐ i = δ + δ2 + … + δn = δ * (1 – δn) / (1 – δ) = (1 – δn) / i
Esempio:
Se R = 1 posticipata di n = 10 e i = 0,03 → δn = (1 + 0,03)–10
→ a 10┐ 0,03 = [1 – (1 + 0,03) –10] / 0,03 = 8,530202837
b) Valore attuale di una rendita anticipata: α n┐ i
1
1………………..1
Ricordarsi che qui le rate sono unitarie,
negli esercizi bisogna moltiplicarle!
0
1………………n – 1
n
α n┐ i = 1 + δ + δ2 + … + δn – 1 = µ (δ + δ2 + … + δn) = µ * a n┐ i = 1 /δ * (1 – δn) / i = (1 – δn) / δ
µ = 1 + i = 1 / δ →δ = fattore di sconto = 1/(1+i)
c) Valore finale di una rendita posticipata: s n┐ i
Il valore finale di una rendita posticipata unitaria
periodica temporanea immediata si indica con s n┐ i,
1
1
1
si definisce “temporanea n anni” o “figurato n”.
Quando “i” non c’è è sottinteso.
0
1
2
.n
s n┐ i = µ n–1 + µ n–2 + … + µ + 1 = 1 * (µn – 1) / (µ – 1) = (µn – 1) / (1 + i – 1) = [(1 + i)n – 1] / i = (µn – 1) / i
13
d) Valore finale di una rendita anticipata: S n┐ i
1
1
1
1
n
0
1
2…………………………n–1
S n┐ i = µ n + µ n–1 + … + µ = µ (µ n–1 + µ n–2 + … + µ + 1) = µ * s n┐ i = (µn – 1) / i * µ
Vediamo ora alcune relazioni:
1) a n┐ i = s n┐ * δn
2) (1 / a n┐) – (1 / s n┐) = i Dimostro: (1 / a n┐) – (1 / a n┐ * µn) = (µn – 1) / (a n┐ * µn) = (µn – 1) / (µn – 1) * i = i
3) α n┐ = a n–1┐ + 1 e anche S n┐ = s n–1┐ + 1
Dimostro: α n┐ = (1 – δn) / i * µ = (µ – δ n–1) / i = (1 + i – δ n–1) /i = [(1 + δn–1) / i] + 1 = a
Dimostro: S n┐ = (µn – 1) / i * µ = (µ n+1 – µ) / i = (µn+1 – 1 + i) / i = (µn+1 – 1) / i + i/i = s n+1┐ + 1
Schema riassuntivo sulle rendite immediate
Valore iniziale
Valore finale
Posticipata
R
R
R
R
R
Anticipata
R
a
R
R
R
s
R
α
S
Valori iniziali
Valori finali
Posticipato (a)
Anticipato: α = a * (1 + i)
Posticipato (s)
Anticipato: S = s * (1 + i)
(1 + i)n – 1
1 – (1 + i) –n
1 – (1 + i) –n * (1 + i) =
(1 + i)n – 1 * (1 + i)
i
i
i
i
= 1 – (1 + i)–n+1 + 1
N.B.: qui n è il numero di rate NON di anni!
Non sempre coincidono.
i
Tutte le rendite viste finora erano immediate. Consideriamo ora le rendite differite, cioè disponibili dopo un tot di anni:
Nota: ogni testo utilizza una sua simbologia e dicitura per α,a,s,S, noi utilizziamo queste lettere ma su altri testi possono variare.
Le rendite differite
a) valore attuale di una rendita posticipata differita di m anni: /m a n┐ i
1
1
1
0
1……….m
m+1
m+2…..m+n
/m a n┐ i = δ m+1 + δ m+2 + … + δ m+n = δ m (δ1 + δ2 + … + δ n) = δm * a n┐ i
Indica che la rendita è differita di m anni.
b) valore attuale di una rendita anticipata differita di m anni: /m α n┐ i
1
1
1
0
1
m
m+1
m+2…..m+n
/m α n┐ i = δm * α n┐ i
c) valore finale di una rendita posticipata differita di m anni: /m s n┐ i
1
1
1
0
1
m
m+1
m+2…..m+n
/m s n┐ i = µ m+n–(m+1) + µ m+n–(m+2) + … + 1 = µ m+n–m–1 + µ m+n–m–2 + … + µ + 1 = s n┐ i
d) valore finale di una rendita anticipata differita di m anni: /m S n┐ i
1
1
1
0
1
m
m+1
m+2…..m+n
/m S n┐ i = S n┐ i
Rendita perpetua, posticipata, in n anni con n → +∞ (es.: la pensione)
R
R
R
0
1
2
3
lim 1 – δn = lim
1 – 1/(1 + i)n = 1 / i = a
i
n→+∞
i
s n┐ = (µn – 1) / i → lim (µn – 1) / i = +∞
n→+∞
Ci sono poi le rendite perpetue.
+∞
non si può parlare di valore finale di una rendita perpetua, ovviamente, in quanto ∞.
14
Esempio (Rendita a termini variabili):
100
200
300
con i = 0,02
1/1/05 1/1/07 1/7/08
1/1/09
V1/1/09 = 100 (1 + 0,02)4 – 200 (1 + 0,02)2 + 300 (1 + 0,02)0,5 = 619,3083641
V1/1/07 = 619,3083641 (1 + 0,02) –2 = 595,2598656
Oppure:
100 (1 + 0,02)2 + 200 + 300 (1 + 0,02) –1,5 = 595,2598656
Esempio (Rendita a termini costanti):
R
R
R
R
R
con R = 1.000 e i = 0,02
1/1/05 1/1/06 1/1/07 1/1/08 1/1/09
V1/1/09 = R * s 5┐ 0,02 = R * s 4┐ 0,02 + R = 1000 * [(1 + 0,02)5 – 1] / 0,02 = 1000 * [(1 + 0,02)4 – 1] / 0,02 * (1 +
+ 0,02) + 1000 = 5.204,04
R * s 5┐ calcolato con le posticipate = s4┐+R con le anticipate.
Esempio (Rendite a tassi variabili):
R
R
R
R
R
con R = 100
1/1/05 1/1/06 1/1/07 1/1/08 1/1/09
i2 = 0,02
i1 = 0,01
Tasso posticipato:
V1/1/09 = Rs3┐ 0,01 (1 + 0,02)2 + Rs2┐ 0,02
Tasso anticipato:
V1/1/09 = 100 (1 + 0,01)2 * (1 + 0,02)2 + 100 (1 + 0,01) * (1 + 0,02)2 + 100 (1 + 0,02)2 + 100 (1 + 0,02) + 100 =
= 517,251604
Esempio (sui tassi):
Sia assegnato il tasso annuo nominale convertibile trimestralmente ι (4) = 0,02. Determinare:
1) il tasso trimestrale i ¼ e il tasso i corrispondente a ι(4).
ι(4) = 0,02 / 4 = 0,005 → ι(4) = 0,005
(1 + i) = (1 + i ¼)4→ 4√(1 + i) = 1 + i ¼→ 4√(1 + 0,005) = 1 + i ¼→ 1 + i ¼ = 3,972506971→ i ¼ = 2,972507
2) il tasso semestrale i ½ corrispondente a ι(4) e il tasso annuo nominale convertibile semestralmente ι(2).
(1 + i) = (1 + i ½)2 → √(1 + 0,02015) = 1 + i ½ → i ½ = 0,010024752
ι(2) = 2 * i ½ = 1 * 0,010024752 = 0,020049504
3) Il tasso annuo istantaneo δ a ι(4)
1 + i = eδ → δ * loge (1 + i) dove i = 0,020015 → δ = loge 1 + 0,020015 = 0,020015
• Esercizio 23 (tratto da un tema d’esame):
Sia dato un regime di capitalizzazione continua a tasso annuo istantaneo ρ (t) = 2 / (a + t) con a > 0.
1) Determinare il fattore logaritmico di capitalizzazione φ (t).
φ (t) = ∫t0 2 / (a + s) ds = 2 loge (a + s)]t0 = 2 [loge (a + t) – loge (a + 0)] = 2 loge (a + t)/a = loge [(a + t)/a]2
2) Determinare per quale valore del parametro a, il tasso medio dell’intervallo [0, 5] è δ = 0,05.
δ* = 0,05 = φ (t2) – φ (t1) → φ (5) – φ (0) → loge [(a + 5)/a]2 – 0 = 0,05 → loge [(a + 5)/a]2 = 0,05 * 5 →
__________ t2 – t1
5–0
5
→ √[(a + 5)/a] 2 = √e0,025 → (a + 5) / a = √e0,025 → a + 5 = √e0,025 * a → a = 5 + √e0,025 → a = 37,55
3) Assunto a = 40 scrivere il fattore di capitalizzazione f(t).
f(t) = loge [(a + t)/a]2 → e loge [(a + t)/a]2 → [(a + t)/a]2 = [(40 + t)/40]2
4) Calcolare il montante prodotto da un capitale C = 100 € impiegati in 0 fino a 10 anni e il montante prodotto da
C = 200€ impiegati alla fine del 1° anno per 10 anni.
100
200
0
1
10
11
Ф (100, 0, 10) = 100 * e φ(10) = 100 * f(10) = 100 [(40 + 10) / 40]2 = 156,25
Ф (200, 1, 11) = 200 * e φ(11) – φ(1) = 200 * φ(11)/φ(1) = 200 * f(11)/f(1) =
= 200 * [(40 + 11)/40]2 / [(40 + 1)/40]2 = 200 * 1,625625 / 1,050625 = 309,4586556
5) Calcolare M prodotto dopo 12 anni di tempo o da una rendita continua di intensità annua R (s) = 40 + s legge
con istante iniziale 0, versato da [2 a 12] + espresso in anni e valutata al tasso annuo istantaneo ρ (s).
0
2
12
V12 = ∫t2t1 R (s) * e φ(t2) – φ(t1) ds = ∫122 (40 + s) * e φ(12) – φ(2) ds = ∫122 (40 + s) * f(12)/f(2) ds =
= ∫122 (40 + s) * [(40 + 12)/40]2 / [(40 + 2) / 40]2 ds = ∫122 (40 + s) * 1,69/1,1025 ds =
= (40 + s) * 1,532879819]122 = (40 + 12) * 1,532879819 – (40 + 2) * 1,532879819 =
= 79,70975057 – 64,3809524 = 15,32879817
15
Esercizi del giorno 28 Marzo 2007
• Esercizio 24
Rendita in regime di capitalizzazione continua a tasso ρ(t) = 2 / (40 + t)
t = 12 anni da t0.
R(s) = 40 + s
[2, 12]
Montante = ?
M12 = ∫212 R(s) * e φ(12) - φ (s) ds
Possiamo trasformare il “–“ in “/”: ∫212 R(s) * e φ(12) / e φ(s) ds = ∫212 R(s) * f(12)/s ds
φ(t) = ∫0t 2 / (40 + s) ds = 2 * ∫0t D ln (40 + s) ds; utilizziamo Torricelli:
= 2 (ln (40 + s) ]0t = 2 [ln (40 + t) – ln 40] = ln [(40 + t) / 40]2
2
Ma siccome a noi interessa φ(t) = e ln[(40+t)/40] = [(40 + t) / 40]2 =
= ∫212 (40 + s) * [(40 + s) (che sarebbe R(s)) / 40]2 / [(40 + t) / 40]2 = ∫212 522 * 1 / (40 + s) ds; utilizziamo Torricelli:
= 522 * ln (40 + 12) – ln 42 = 577,5
Nota: questo è l’esempio più complicato possibile sulle rendite continue!
• Esercizio 25
Oggi t0 si decide di versare una rendita di termine costante R = 100 trimestralmente e posticipatamente per 2 anni.
Determinare il montante all’atto dell’ultimo versamento se sono dati rispettivamente:
1) il tasso trimestrale del 2% della capitalizzazione composta trimestrale;
2) il tasso annuo nominale, convertibile trimestralmente, del 4%;
3) il tasso annuo effettivo del 3% della capitalizzazione composta annua convenzione esponenziale;
4) il tasso annuo istantaneo δ = 0,01 della capitalizzazione continua;
5) il tasso annuo istantaneo ρ = 0,02 * s; istante iniziale di tale legge il t0.
Soluzione:
R
R
R
R
R
R
R
R
R
0
¼
2/4
¾
1
1 + ¼ 1+2/4 1+3/4 2
1) i1/4 = 0,02
M2 = R s 8¬0,02 = 100 [(1 + 0,02)8 – 1] /0,02 = 858,296
2) ι(4) = 0,04 = 4 + 1/4 → i1/4 = 0,01 → M2 = R s 8¬0,01 = 828,567
3) i = 0,03
Primo metodo:
M2 = R [(1 + 0,03)2 – ¼] + R[(1 + 0,03)2 – ½] + …
Secondo metodo:
1 + i = (1 + i¼)4
1 + 0,03 = (1 + i¼)4 → i¼ = 0,007417072
M2 = R s 8¬0,007417 = 821,0787474
4) valutazione di rendita discreta in capitalizzazione continua
O lo valutiamo uno per uno così: M2 = R * e δ(2 – ¼) + R * e δ(2 – 2/4) + …
Oppure ricordiamo che: δ = ln (1 + i) → eδ = 1 + i → i = e 0,01 –1 = 0,01005 → 1 + 0,01005 = (1 + i¼)4 → i¼ = 0,002503
M2 = R s 8¬ 0,002503 = 807,04
5) M2 = R * e φ(2) – φ(1/4) + R * e φ(2) – φ(2/4) + … + R = …
2
2
Per prima cosa come al solito bisogna calcolare φ(t) = ∫0t 0,02s ds = 0,02 s2/2]0t = 0,01t2 = 100 * e 0,01x2 – 0,01(1/4) +
2
2
+ 100 * e 0,01x2 – 0,01(2/4) + … + 100 = 819,55
• Esercizio 26 importante per capire le rendite
Sia assegnato il tasso annuo nominale convertibile trimestralmente ι(4) = 0,02.
Oggi, l’1/1/5, dispongo delle seguenti rendite:
rendita A: annua di termine costante = 100, 1° termine disponibile l’1/1/5 e ultimo termine disponibile l’1/1/12.
rendita B: semestrale di termine costante = 50, 1° termine disponibile l’1/7/5 e ultimo termine disponibile l’1/7/10.
Determinare: il valore oggi ed il valore all’atto dell’ultimo versamento delle due rendite.
100
100
100
100
100
100
100
100
1/1/5 1/1/6 1/1/7 1/1/8 1/1/9 1/1/10 1/1/11 1/1/12
1/7/5
…
…
…
1/7/10
V1/1/5 di A: da ι (4) ad annuo: i¼ 0,02/4 → i = 0,020150501; 100 α 8¬0,02015 = 746,826101
V1/1/12 di A: 746,8261 (1 + i)7 oppure 100 s 8¬i = 858,7534483
V1/1/5 di B: (1 + i¼)4 = (1 + i½ )2 → i½ = 0,010025 → 50 a 11¬i½ = 518,3057096
V1/7/10 di B: 518,305(1 + i½)11 oppure (1 + i)5,5= 578,4147399 oppure 50 s11¬0,010025
Qui è un VI ant.
Qui è un VF post.
Qui è un VI post.
Qui è un VF post.
16
CAPITOLO III L’ammortamento (pag. 127 del libro)
Si supponga che in un certo istante zero un soggetto impresti un certo capitale A ad un altro soggetto, il quale si
impegna in un certo tempo a restituirgli il capitale A + gli interessi.
questo è un amm.to globale degli interessi e del capitale.
A
A+I = A(1 + i)n
0
n
Si può però ammortizzare diversamente; per esempio restituire alla fine di ogni anno gli interessi dovuti.
A
A*i
A*i
A*i+A
questo è un amm.to periodico degli interessi e globale del capitale.
0
1
2………n
(è il c.d. “ammortamento americano”)
Prevede che si paghino gli interessi sul debito fino a scadenza e la restituzione globale del capitale a scadenza.
Le rate valgono: R1 = R2 = … = Rn – 1 = i; Rn = 1 + i
Le quote capitale valgono: C1 = C2 = … = Cn – 1 = 0; Cn = 1
Le quote interesse IS valgono tutte i per ogni s.
In entrambi i casi (globale o americano), comunque, i risultati devono essere uguali (entrambi sono attualizzati in 0):
1) A (1 + i)n (1 + i) –n = A
2) A * i a n┐ i + A (1 + i) –n = A * i * [1 – (1 + i) –n] / i + A * (1 + i) –n = A – A (1 + i) –n + A (1 + i) –n = A
C’è poi l’ammortamento generale, cioè l’ammortamento periodico del capitale e periodico degli interessi:
R2
Rn
A
R1
0
1
2………n
Il soggetto in questo caso paga un insieme di rate “ennupla di rate” che però non sono prese a caso, cioè devono
verificare la condizione di amm.to → equivalenza finanziaria tra avere A oggi, tempo 0, e avere la somma di n Rate alla
fine di n anni:
n
A = ∑ Rs * δs dove δs = (1 + i)–s
s=1
Esaminiamo ora il problema di costituzione del capitale. Supponiamo che per una certa scadenza n si voglia avere a
disposizione una certa somma C; per far ciò accantoniamo delle somme, delle rate R, che devono soddisfare la
condizione di costituzione:
n
C = ∑ Rs * µn–s
s=1
{ indica un vettore.
Perché ho supposto che A = C = 1
Problema di ammortamento in generale: A = {R = (R1, R2, …, Rn), Rs ≥ 0 per ogni s, ∑ns=1 Rs * δn = 1} (pag. 132)
Problema di costituzione in generale: C = {R = (R1, R2, …, Rn), Rs ≥ 0 per ogni s, ∑ns=1 Rs * µn–s = 1}
I due problemi sono legati da due teoremi:
1° teorema: data una ennupla di rate che ammortizza il debito di 1 $ in n anni → la stessa ennupla di rate costituisce il
capitale µn. Cioè: Se R € A = {R = (R1, R2, …, Rn), Rs ≥ 0 per ogni s, ∑ns=1 Rs * δs = 1} →
→ R € Č = {R = (R1, R2, …, Rn), Rs ≥ 0 per ogni s; ∑ns=1 Rs * µn–s = µn} (pag. 133)
Dimostro: ∑ns=1 Rs * δs = 1 → ∑ns=1 Rs * µn = µn → ∑ns=1 Rs * µn–s = µn è vero! Ma era prevedibile perché:
R1
R2
Rn
questa per ipotesi è l’amm.to di 1$ visto che siamo in capitalizzazione
0
1
2………n
composta convenzione esponenziale e allora i * µn = µn
2° teorema: se abbiamo una ennupla di rate che ammortizza in n anni 1 $ → la ennupla di rate che si ottiene
moltiplicando ciascuna rata per δn costituisce in n anni il capitale di 1$. Cioè:
Se R € A = {R = (R1, R2, …, Rn), Rs ≥ 0 per ogni s, ∑ns=1 Rs * δs = 1} → R = {R = (R1 * δn, R2 * δn, …, Rn * δn)} =
(R1, R2, …, Rn) € C dove C = {R = (R1, R2, …, Rn), Rs > 0 per ogni s; ∑ns=1 Rs * µn–s = 1}
Dimostro:
I
II
III
I) Se ho una ennupla di rate e la moltiplico per una quantità >0 avrò sempre una ennupla di rate.
II) Ciascuna componente di Rs è >0 perché ciascuna rata la moltiplico per δn.
III) Vale la condizione di costituzione?→∑ns=1 Rs * µn–s = ∑ns=1 Rs * δn * µn * µ–s = ∑ns=1 Rs * µ–s = ∑ns=1 Rs * δn = 1
Questo vale nel discreto, ma nel continuo com’è?
Supponiamo di essere in regime di capitalizzazione continua con tasso ρ (s) e di dover ammortizzare 1€ in n anni,
versando una rendita continua di flusso R(s).
Rs
0
s
n
1
1
n
∫ = R(s) * e-φ(s) ds = 1
condizione di amm.to nel continuo
0
n
∫ = R(s) * eφ(n) – φ(s) ds = 1
condizione di costituzione nel continuo
0
17
Mentre, come abbiamo visto, la costituzione di capitale nel discreto è ∑ns=1 R(s) * µn–s = 1
R1
R2
Rz
Rn
0
1
2……… z
n
1
Fz è il fondo ammortamento alla scadenza z; è la valutazione finanziaria delle rate versate fino all’istante z.
Fz = ∑zs=1 R(s) * µz–s = 1
Il fondo Fz in n vale: Fz * µn–z = ∑ns=1 R(s) * µz–s * µn–z = ∑ns=1 Rs * µz–s + n–z = ∑ns=1 Rs * µn–s
Questo accade se i è uguale in ogni istante.
Esempio:
Dati i = 0,01 e 1.000€ da costituire in 5 anni, versando R.
100
50
300
200
R5 = ?
0
1
2
3
4
5
1) determinare R5 → 1000 = 100 (1 + 0,01)4 + 50 (1 + 0,01)3 + 300 (1 + 0,01)2 + 200 (1 + 0,01) + R5 →
→ 1000 = 104,060401 + 50,00005 + 306,03 + 202 + R5 → R5 = 1000 – (662,090451) → R5 =337,909549
2) Determinare F2 → F2 = R1 (1 + i) + R2 = 100 (1 + 0,01) + 50 = 151
3) Quanto vale F2 alla scadenza 5? → 151 (1 + 0,01)3 = 155,575451 (si porta a scadenza)
Nella realtà però non abbiamo i costante e allora:
100
50
300
200
337,9
0
1
2
3
4
5
i = 0,02
1) Quale C si costituisce?→C=100(1 + 0,01)(1 + 0,02)3 +50(1 + 0,02)3 +300(1 + 0,02)2 + 200 (1 + 0,02) +337,9 =
= 1,061208 + 53,0604 + 432 + 204 + 337,9 = 1.028,021608
2) Da 2 in poi si sospendono i versamenti previsti e si versa una rendita posticipata, costante di rata R. Quanto
vale R per avere 1.000?
100
50
R
R
R
0
1
2
3
4
5
i1 = 0,01
i2 = 0,02
1.000
1.000 = F2 (1 + 0,02)3 + Rs 3┐0,02 → 1.000 = 151(1 + 0,02)3 + Rs 3┐0,02 → Rs 3┐0,02 = 1.000 – 160,242408 →
→ R * µn – 1 = 839,757592 → R * (1 + i)n – 1 = 839,757592 → R * (1 + 0,02)3 – 1 = 839,757592 → R = 274,394717
i
i
0,02
3) Calcolare K → F2 (1 + 0,02)3 + K = 1.000 → K = 1.000 – F2 (1 + 0,02)3 = 1.000 – 151 (1 + 0,02)3 =
= 839,757592
In generale è possibile costruire un progetto/piano di costituzione di capitale.
Esempio:
C = 1.000; i = 0,01; R1 = 200; R2 = 400; R3 = ?
→ 1.000 = 200 (1 + 0,01)2 + 400 (1 + 0,01) + R → 1.000 = 204,02 + 404 + R → R = 1.000 – 608,02 → R = 391,98
Z anni
Fondo iniziale
Interessi
Rata
Fondo finale
1
/
/
200
200
2
200
2
400
602
3
602
6,02
391,98
1.000
C’è poi un caso particolare:
∑ns=1 Rs * µn–s = 1 ma se R è costante → R ∑ns=1 µn–s = 1 → R * sn┐i = 1 → R = 1 / (sn┐i) = σ n┐i (“sigma minuscola” =
termine costante di costituzione) → F2 sarà: F2 = ∑ns=1 Rs * µz–s = Rsz┐ = sz┐ / sn┐
Questo nel discreto, ma nel continuo è: ∫n0 R(s) e φ(n) – φ(s) ds = 1
Rs
0
s
z
n
Se vogliamo calcolare il fondo in z sarà la valutazione finanziaria delle rate da 0 a z, il tutto valutato in 0.
→ Fz = ∫z0 R(s) e φ(z) – φ(s) ds
→ Fn = Fz * e φ(n) – φ(z) = ∫z0 R(s) e φ(z) – φ(s) ds * e φ(n) – φ(z) = ∫z0 R(s) e φ(n) – φ(s) ds
Consideriamo ora l’ammortamento:
R1
R2
Rz
Rn
0
1
2………z………n
Condizione di amm.to: ∑ns=1 R(s) δs = 1
Ora dividiamo la Rata in quota Capitale Cs e in quota interesse Is → Rs = Cs + Is.
Seguono le definizioni:
Dove Cs è dato da: ∑ns=1 Cs = 1 (se il debito è unitario) → ∑ns=1 Cs = debito estinto = Bz ← è la somma delle quote di
capitali pagate fino a z (detta anche somma capitale di ammortamento).
→ 1 – Bz = debito residuo = Dz → Dz = 1 – Bz = ∑ns=1 Cs – ∑zs=1 Cs = ∑ns=z+1 Cs = Dz
Se B0 = 0 → D0 = 1
Se Bn = 1 → D0 = 0
Rs = Cs + Is ≥ 0
Se Cs > 0 ogni volta che pago una rata estinguo una parte di debito Bz>Bz – 1
In questo caso si ha un amm.to graduale, cioè le Bz al crescere di Cs sono una funzione crescente mentre Dz decresce.
18
I1 è la parte di rata che paga gli interessi su 1 → I1 = i * 1 = i * D0 = i (1 – B0)
I2 = i * D1 = i (1 – B1)
→ Is = i * Ds – 1 = i (1 – Bs – 1)
È quindi possibile costruire un piano di ammortamento.
Esempio: Si versano 4 rate annue posticipate:
i = 0,02 A = 2.000 n = 4 con R1 = R2 = 500 e R3 = R4
500
500
R
R
0
1
2
3
4
2.000
2.000 = 500 (1 + 0,02) –1 + 500(1 + 0,02) –2 + R(1 + 0,02) –3 + R(1 + 0,03) –4
→ 2.000 = 490,1960784 + 480,5843906 + R (0,942322334) + R (0,888487047)
→ R (1,830809382) = 2.000 – 970,780489 → R = 1.029,219531 / 1,830809382 = 562,1664063
Z = anni
Rz = R
Dz =Dz–1 – Cz
Iz = Dz * i
Cz = Rz – Iz
Bz = Cz cumulato
0
0
2.000
/
/
/
1
500
1.540
40
460
460
2
500
1.070,8
30,8
469,2
929,2
3
551,151
541,065
21,416
529,735
1.458,935
4
551,151
/
10,8213
540,3297
1.999,27
In questi casi l’ammortamento è determinato; ma c’è un altro caso in cui l’amm.to è determinato:
Teorema: se sono assegnate le quote capitali e l’amm.to è graduale, cioè se Cs > 0 → l’amm.to è determinato.
Cs>0 amm.to determinato → per essere determinato devono verificarsi le seguenti 3 ipotesi:
una ennupla di rate
R>0
Verificare le condizioni di ammortamento: ∑ns=1 Rs δs = 1
Se Cs > 0 sappiamo che Bz > Bz–1 per ogni z; questo implica che ogni anno si estingue il debito. (Se Cs = 0 pago solo gli
interessi e non estinguo nessun debito, se Cs < 0 il debito aumenta.)
Dimostrazione:
1) che ho una ennupla di rate:
Rs = Cs + Is = Cs + i (1 – Bs – 1) → posso scrivere anche così: Bs * Bs – 1 + i (1 – B s – 1)
→ Cs = Bs – Bs – 1 perché Bs = ∑nz=1 Cz
→ Bs – 1 = ∑n–1z=1 Cz = C1 + C2 + … + Cs–1 + Cs – C1 – C2 – … – Cs–1 = Cs
Is = i (1 – Bs–1)
Quindi per dimostrare 1):
Rs = Cs + (1 – Bs–1)
Cs > 0 → Rs = Cs + i (1 – Bs–1)
Così dimostro che ho una ennupla di rate con
>0
va da 0 a 1
rate > 0 e quindi dimostro anche:
2) perché C > 0
3) l’ammortamento verifica le condizioni di ammortamento? → ∑ns=1 Rs * δs = 1 ???
→ ∑ns=1 (Bs – Bs – 1 + i (1 – Bs – 1)) * δn = ∑ns=1 [Bs – Bs – 1 + i (1 – Bs – 1) + 1 – 1] * δn =
= ∑ns=1 [(1 – Bs – 1) + i (1 – Bs – 1) – (1 – Bs)] * δs = ∑ns=1 [(1 – Bs – 1)*(1 + i) – (1 – Bs)] * δs =
dove (1+i)=µ
= ∑ns=1 (1 – Bs – 1) * δs–1 – ∑ns=1 (1 – Bs)* δs =
= (1 – B0)δ0 + (1 – B1)δ + … + (1 – Bn–1)δn–1 – (1 – B1)δ – … – (1 – Bn)δ = 1 – 0 = 1 → è vero! dove Bn = 1
Conclusione: note le quote capitali>0, quindi ammortamento graduale, se Bz>Bz-1, l’ammortamento è determinato.
Quindi per delineare il piano non serve sempre aver le rate, ma bastano delle quote capitale > 0.
Esempio:
C = 250
D = 1.000
i = 10%
Z
R
Dz
Iz
Cz
Bz
0
/
1.000
/
/
/
1
350
750
100
250
250
2
325
500
75
250
500
3
300
250
50
250
750
4
275
/
25
250
1.000
Dimostrazione: Si dimostri che Dz non è altro che la valutazione finanziaria delle rate che devono essere ancora versate. Dz = ∑ns=z+1 Rs δs–z →
→ usiamo la stessa strada utilizzata qui sopra. 1 – Bz = Dz. Così possiamo evitarci di sviluppare tutto il piano d’ammortamento.
TIPI DI AMMORTAMENTO:
1) Ammortamento francese (a rate posticipate costanti): (pag. 148)
R
R
R
R
R
(“alfa”)
0
1
2
3………n–1
n
∑ns=1Rδs = 1 cioè:
Rata
unitaria costante per ammortizzare
1 = R * a n┐i da cui ricavo R = 1 / (a n┐i) che si scrive α n┐i →
in
n
anni.
R = A / a n┐i
Osservazione → 1 / (a n┐i) – 1 / (s n┐i) = i
α n┐i – σ n┐i = i → α n┐i = 1 + σ n┐i
mentre α n┐i – i = σ n┐i
Visto che l’ammortamento francese → R = Rz+1
con z = 1…n–1
Iz + Cz = Iz+1 + Cz+1 → Iz+1 = Iz – iCz
Quindi sostituendo Iz+1 avremo: Iz + Cz = Iz – iCz + Cz+1 → Cz+1 = Cz + iCz → Cz+1 = Cz (1 + i)
Questo implica che le quote capitale variano in progressione geometrica di 1° termine σ n┐e ragione (1+i),
perché ogni quantità si ottiene moltiplicando la precedente per una costante (1 + i) → Cz = σ n┐i * (1 + i)z–1
Cz = A/sn┐i *(1+i)z–1
19
2) Ammortamento italiano o uniforme (o a quote capitale costanti):
A = 1, n, i
Cz = C
z = 1, 2, n
∑ns=1 Cs = 1 → C + C + C = 1 → nC = 1 quindi:
Cz = C = 1/n Lungo tutta la durata n vengono versate
n volte
n quote capitale C costanti annue
Bz = ∑ns=1 Cs = 1/n + 1/n + 1/n = z/n
posticipate e la corresponsione degli
Dz = 1 – Bz = 1 – z/n = (n – z) / n
interessi avviene mediante il versamento
Iz = i (1 – Bz–1) = i * [1 – (z – 1)/n]
di n quote interesse annue posticipate.
I termini variano in progressione aritmetica di primo termine i e ragione i/n.
Rz = 1/n + [1 – (z – 1)/n] = 1/n + i – 1/n (z – 1) → C([1/n + i – i/n(z – 1)]
C’z = Cz = A/n
RIVEDERE SUL LIBRO
3) Ammortamento tedesco (facoltativo dal 2007, come l’ammortamento inglese):
È uguale a quello italiano dal punto di vista finanziario, ma qui gli interessi vengono dati anticipatamente
rispetto a quello italiano nel quale vengono dati posticipatamente.
I0 = i * δ = d → Iz = Iaz = i * δ * (1 – Bz–1)
Se però i tassi non sono costanti:
i(2)
i(1)
0
1
2………n
D’0 = 1 (debito che si ha all’inizio) → D0
D’1 = D’0 – C’1
I’1 = i(1) * D’0 = i(1) * D0
R’1 = C’1 + I’1
I’2 = i(2) * D’1
A=1
Rz Dz Cz Iz
Se prefisso la quota capitale
D’0 = 1
I’1 = i(1) * D’0 = i(1) * D0
C’1 = C1
R’1 = C’1 + I1 = C1 + I’1
D’1 = D’0 – C’1 = D0 – C1 = D1
C’2 = C2
I’2 = i(2) D1
R’2 = C2 + I’2
D’2 = D1 – C2 = D2
C’z = Cz
R’z = Cz + Iz
D’z = Dz
I’z = i(z) * Dz
• Esercizio 27
A = 10.000 da ammortizzare in 4 anni a tasso annuo 0,01. Amm.to Francese. Compilare il piano d’amm.to.
R
R
R
R
0
1
2
3
4
10.000
10.000 = R * a n┐i → 10.000 = R * 1 – (1 + i)–n → 10.000 = R * 1 – (1 + 0,01)–4 → 10.000 = R * 3,901965549
i
0,01
→ R = 2.562,811
Z
Rz
Dz
Cz
Iz
0
/
10.000
/
/
1
2.562,811
7.537,19
2.462,811
100
2
2.562,811
5.049,7509
2.487,4391
75,3719
3
2.562,811
2.517,437409
2.512,313491
50,497509
4
2.562,811
/
2.537,636626
25,17437409
• Esercizio 28
Compilare il piano di ammortamento a quote di capitale prefissate in questo amm.to francese:
i1 = 0,01
i2 = 0,02
i3 = 0,03
i4 = 0,04
Z
R’z
Dz
Cz
I’z
Iz
0
/
10.000
/
/
/
1
2.562,89
7.537,1
2.462,89
100
0,01
2
2.636,1806
4.900,9294
2.487,4384
148,7422
0,02
3
2.662,340382
2.238,589018
2.515,3125
147,027882
0,03
4
2.626,978561
/
2.537,435
89,54356072
0,04
R’z verifica la condizione di ammortamento?
R1
R2
R3
R4
0
1
2
3
4
0,01
0,02
0,03
0,04
10.000 = R’1 (1 + 0,01)–1 + R’2 (1 + 0,01)–1 (1 + 0,02)–1 + R’3 (1 + 0,01)–1 (1 + 0,02)–1 (1 + 0,03)–1 +
+ R’4 (1 + 0,01) –1 (1 + 0,02) –1 (1 + 0,03) –1 (1 + 0,04) –1
Leggere da pag. 153 a 163.
4) Ammortamento americano (importante): vedi pag. 17 di questi appunti.
20
Esercizi del giorno 4 Aprile 2007
• Esercizio 29
Vengono effettuati 5 versamenti annui di 100€ ciascuno 1° versamento 1/1/3.
1) determinare il capitale costituito all’1/1/7 in regime di capitalizzazione composta a tasso annuo di interesse del 10%.
2) compilare il piano di costituzione.
3) determinare il capitale costituito se il tasso di interesse annuo l’1/1/5 (dopo il versamento della rata qui prevista)
passa dal 10 al 12%.
Facoltativo) Compilare il nuovo piano di costituzione.
4) L’1/1/3 vengono effettuati 5 versamenti annui di R€ ciascuno per costituire il capitale di 1.000€ per l’1/1/7.
Determinare quanto deve valere R in regime di capitalizzazione composta semestrale convenzione esponenziale a tasso
semestrale di interesse i½ = 0,05
5) assunto R sopra determinato, determinare il capitale costituito all’1/7/8
Soluzione
oppure: 100(1,1)4+100(1,1)3+100(1,1)2+10(1,1)+100 = 610,51
1) i = 0,1; C1/1/7 = ? = 100 s5¬0,1 = 610,51
R1
R2
R3
R4
R5
1/1/3 1/1/4 1/1/5 1/1/6 1/1/7
2) piano di costituzione:
Z
Fz – 1
Interessi
Rate
Fz
1
/
/
100
100
2
100
10
100
210
3
210
21
100
331
4
331
33,1
100
464,18
5
464,1
46,41
100
610,51 (torna)
3) Fino all’1/1/5 = 10%, poi 12%
C = Rs3¬0,1(1 + 0,12)2 + Rs2¬0,12 = 331(1 + 0,12)2 + Rs2¬0,12 = 627,2064
nota: con (1 + 0,12)2 porto a scadenza.
Facoltativo)
Z
Fz – 1
Interessi
Rate
Fz
1
/
/
100
100
2
100
10
100
210
3
210
21
100
331 (fin qui =)
4
331
39,72
100
470,72
5
470,72
56,4864
100
627,2064
4) R1
R2
R3
R4
R5
1/1/3 1/1/4 1/1/5 1/1/6 1/1/7
Prima cosa da fare è passare ai tassi annui.
i ½ = 0,05 → 1 + i = (1 + i ½ )2 = (1 + 0,05)2
i = 0,1025
1.000 = Rs5¬0,1025 → R = 162,98
5) C1/7/8 = 1000(1 + 0,05)3 = 1177,625
• Esercizio 30
A = 2000
n=4
i = 1%
2000 = Ra4¬0,01
R = 512,5621
Z
R
Dz
Iz
Cz
0
/
2000
/
/
1
512,5621
1507,4378
20
492,5621
2
512,5621
1009,95
15,074378 497,4877
3
512,5621
507,4874
10,0995
502,4626
4
512,5621
≈0
5,074874
507,4872
21
CAPITOLO IV I prestiti
R1
R2
Rt
Rn
0
t1
t2………t………tn
v (t, i*) = ∑ Rs (1 + i*)–(ts–t)
↓
ts>t: somma estesa da ts a t → non metto anche l’uguale perché le rate scadenti in t le considero già versate.
valore del prestito.
Capitalizzazione convenzione esponenziale.
Se però il tasso non è i* ma δ* corrispondente ad i* → δ = loge(1 + i*) → v (t, δ*) = ∑ts>t Rs e –δ*(ts – t) (in cap. continua)
C’è un caso particolare con R scadenti negli interi (scadenze annue):
R2
Rz
Rz+1
Rn
v (t=z+p, i*) = ∑ns=z+1 Rs (1 + i*)–(s – (z+ρ))
R1
0
1
2
z……..t=z+p….z+1………n
v (t=z+p, δ*) = ∑ns=z+1 Rs * e –δ*(s – (z+ρ))
dove 0 ≤ p ≤ 1
Se l’istante di valutazione t = z, per definizione si considera già versata:
v (z, i*) = ∑ns=z+1 Rs (1 + i*) –(s–z) (con p = 0)
v (z, δ) = ∑ns=z+1 Rs e –δ*(s–z)
Sapendo che R si divide in Cs + Is si può scrivere così:
∑ns=z+1 (Cs + Is)(1 + i*) –(s–z) = ∑ns=z+1 Cs (1 + i*) –(s–z) + ∑ns=z+1 Is (1 + i*) –(s–z)
µz,i: Usufrutto
Az,i: Nuda proprietà +
Valutazione finanziaria in z delle: quote capitale
quote interesse
Se i* = i, Vz,i è il debito residuo: v (z,i) = Dz.
• Esercizio 31: Tema d’esame
Il debito di 4.000 concesso 1/1/01 viene ammortizzato in 4 anni nei seguenti modi:
Caso A: Amm.to con 2 rate annue posticipate a quote di capitale costante con i precisato dopo;
Caso B: Amm.to in capitalizzazione composta semestrale di 2% con le seguenti R:
R1 = 800 disponibile il
1/7/01
R2 = ?
1/1/02
R3 = 800
1/7/02
R4 = 1.000
1/1/03
Caso C: Amm.to mediante versamento di 2R costanti = 2.200 versate rispettivamente l’1/1/02 e l’1/1/03.
Determinare il tasso annuo in ammortamento con capitalizzazione composta annua.
Svolgimento:
Caso A: stendere il piano d’ammortamento con i = 5% e stendere il piano d’amm.to ipotizzando tassi annui del 5% nel
primo anno e del 6% nel 2° anno a quote di capitale prefissate.
A = 4.000
n = 4 C = 4.000/2 = 2.000
i = 5%
Z
Cz
Dz
Iz
Rz
0
/
4.000
/
/
1
2.000
2.000
200
2.200
2
2.000
/
100
2.100
Z
iz
Cz
Dz
Iz
Rz
0
/
/
4.000
/
/
1
0,05
2.000
2.000
200
2.200
2
0,06
2.000
/
120
2.120
Caso B:
1) Descrivere condizione di ammortamento e determinare R2
2) Determinare il D subito dopo il versamento della seconda rata
3) Determinare il valore del prestito subito dopo il versamento della 2a rata al tasso annuo di valutazione del 6%
convenzione esponenziale.
800
R2
800
1.000
1/7/01 1/1/02 1/7/02 1/1/03
1) 4.000 = 800 (1 + 0,02)–1 + R2 (1 + 0,02)–2 + 800 (1 + 0,02)–3 + 1.000 (1 + 0,02)–4
4.000 = 784,3137255 + R2 (0,961168781) + 753,8578677 + 923,845426
R2 (0,961168781) = 4.000 – 2.462,017019 → R2 = (4.000 – 2462,017019) * 1,022 = 1.600,117
2) D1/1/02 = 800 (1 + 0,02)–1 + 1.000 (1 + 0,02)–2 = 1.745,482507
3) V1/1/02 = 800 (1 + 0,06)–½ + 1.000 (1 + 0,06)–1 = 1.958,88? 1.720,424916
Caso C:
2200
2200
1/1/01 1/1/02 1/1/03
4.000
4.000 = 2.200 (1 + i)–1 + 2.200 (1 + i)–2 → 4.000 = 2.200 [(1 + i)–1 * (1 + i)–2] → semplificando ottengo:
40 = 22 (1 + i)–1 + 22 (1 + i)–2 → 20 = 11 (1 + i)–1 + 11 (1 + i)–2 → i = → –1,51 non accettabile
0,06596
Non ho ben capito come abbia risolto l’esercizio in classe, ma a casa l’ho risolto così: ho posto (1 + i)–1 = z.
Viene una parabola: 11z2 + 11z – 20 = 0; con Ruffini: ∆=112 – 4 (–20) 11 = 1001; z1,2 = neg, (–11+31,63858404)/(2*11) = 0,938117456;
Quindi: (1 + 1)–1 = 0,938117456; ho elevato ambo i lati alla – 1: 1 + i = 0,938117456 –1 → i = 0,065964601 e il risultato torna! ;)
22
• Esercizio 32:
A = 1.000
in 10 anni
Determinare R: 1) con un ammortamento francese con tasso annuo del 4%
2) a quote di ammortamento costante con tasso 4%
1) 1.000 = R a 10┐ 0,04 → 1.000 = R * [1 – (1 + i)–n]/0,04 → R = 123,2909443
2) Rz = A (1/n + i – i/n(z – 1))
cioè:
R=
I
+C
cioè: Rata1 = 1.000x4% + 1.000/10 = 140
R1 = 1.000 (1/10 + 0,04 – 0,04/10(1 – 1)) = 140
R2 = 1.000 (1/10 + 0,04 – 0,04/10(2 – 1)) = 136
cioè: Rata2 = 900x4% + 1.000/10 = 136 e così via…
R3 = 1.000 (1/10 + 0,04 – 0,04/10(3 – 1)) = 132
R4 = 1.000 (1/10 + 0,04 – 0,04/10(4 – 1)) = 128
R10 = 104
Nell’ipotesi di ammortamento francese:
3) determinare il debito residuo subito dopo il versamento della 7a rata
R
R
R
D7 = R a 3┐0,04 = 342,14358
7
8
9
10
4) determinare il valore del prestito dopo il versamento della 7a rata se il tasso di valutazione i½ = 0,02 con
capitalizzazione composta esponenziale.
D7 = R (1 + 0,02)–2 + R (1 + 0,02)–4 + R (1 + 0,02)–6 = 341,88
5) Subito dopo il versamento della 7a rata si sospendano i versamenti all’8a e 9a rata. Determinare l’ammontare R’
della 10a rata necessaria per completare l’ammortamento al tasso annuo i = 0,04.
1000 = 123,2909 a 7┐0,04 + R’ (1 + 0,04)–10 = 384,865
Fin qui abbiamo sempre visto soltanto prestiti indivisi.
Prestiti Divisi (pag. 185 del libro)
Se per una SPA, per esempio, un prestito è ingente, non è opportuno trovare un unico finanziatore e si ricorre al prestito
diviso, che consiste nel suddividere l’importo in obbligazioni. Si hanno così prestiti con un solo soggetto debitore a cui
non fa fronte un unico finanziatore (creditore) ma una pluralità di finanziatori i quali sottoscrivono una quota di prestito.
Per ogni titolo occorre distinguere: valore nominale, sul quale viene corrisposto l’interesse, valore di emissione, che è il
prezzo pagato dai sottoscrittori, valore di mercato (o corso), valore di rimborso all’atto dell’estinzione del debito.
L’emissione ed il rimborso dei titoli può avvenire alla pari, sotto la pari o sopra il valore nominale.
I tipi più diffusi di titoli di credito sono:
1) Buoni o certificati di credito: se è prefissata la data del rimborso del capitale che è la stessa per tutti i
sottoscrittori:
a. BOT: non è previsto il pagamento degli interessi per cui sono detti zero coupon bond;
b. BTP: a scadenza superiore all’anno e tasso fisso con cedole;
c. CCT: a scadenza superiore all’anno e tasso variabile con cedole.
2) Obbligazioni: è previsto un piano di rimborso graduale del debito mediante estrazione ed il pagamento
periodico degli interessi.
A = valore nominale del prestito
Ora parliamo di prestiti divisi, cioè di titoli: A / N = C
N = numero di titoli emessi
C0 = valore di emissione di un titolo
C = valore nominale di un titolo
C’ = il valore di rimborso di un titolo
Ci = valore della cedola
n = la durata in anni del prestito diviso
Ci sono vari tipi di titoli:
1. I titoli a capitalizzazione integrale: non danno diritto al pagamento di interessi periodici. Es. i BOT.
C0
C
Possono avere scadenza trimestrale, semestrale o annua al massimo.
0
t
Che regime di capitalizzazione utilizzano? Interesse semplice.
C = C0 (1 + it)
2. I titoli senza pagamento di cedola si chiamano zero coupon bond (z.c.b.): non prevedono il pagamento di
interessi periodici, hanno scadenze intere, viaggiano in regime di capitalizzazione composta se serve in
convenzione esponenziale.
C = C0 (1 + i)t
3. Esistono anche titoli che danno origine al pagamento di cedole (Coupon Bond, come i BTP, buoni del tesoro
pluriennali), interessi periodici “annui” in ammortamento americano.
Ci
Ci
Ci+C ← Se C’ (il valore di rimborso) = C lo schema è questo.
0
1
2……… n
Se ho più titoli devo moltiplicare per N: N * C
Tutti e 3 i titoli sono uguali per tutti i sottoscrittori.
Obbligazioni
Funzionano come i BTP, ma lo Stato all’inizio stabilisce il numero delle obbligazioni che alla fine di ogni anno
vengono estinte, cioè quelle per cui viene pagato il debito. Avviene per estrazione a sorte.
Esempi:
Z.C.B.
98
100
Se le pago 98 e alla fine varranno 100, di che tasso di rendimento godono?
0
2
100 = 98 (1 + i)2
23
I problemi nascono con i BTP, nel determinare il tasso effettivo di rendimento dei titoli con cedola.
Ci
Ci
Ci+C
se C0 > C → emissione sopra la pari
C0 > C’ → rimborso sopra la pari
0
1
2
n
se C0 = C → emissione alla pari
C0 = C’ → rimborso alla pari
C0 < C’ → rimborso sotto la pari
C = Ci a n┐i + C (1 + i)–n condizione di ammortamento se C0 < C → emissione sotto la pari
se C0 ≠ C → C0 = Ci a n┐x + C (1 + x)–n è tutto noto tranne x
f(x)
x = tasso effettivo di rendimento di chi acquista quel titolo
Cin + C
C0 = f(x)
x € [0, +∞)
f(0) = Cin + C (basta sostituire 0 ad “x”)
C0
0
x
x
Vediamo perché è disegnata così:
f(x) = Ci (1 + x)–1 + Ci (1 + x)–2 + … + (Ci + C) (1 + x)–n
lim f(x) = 0
per capire il suo andamento studio la derivata prima:
x→∞
f’(x) = Ci (1 + x)–2 + Ci (1 + x)–3 < 0
decrescente (in realtà erano tutte cose con segno negativo, quindi + … < 0)
f ”(x) > 0 concava vs l’alto
0 < C0 ≤ Cin + C : condizione fondamentale; il problema ha
soluzione e il tasso effettivo di rendimento x è determinato. Come si fa a trovare la soluzione?
C0 = Ci a n┐x + C (1 + x)–n
Ci + C
C0 = (Ci + C)(1 + x)–1
Con n = 1
C0
0
1
Con n = 2
C0
Ci
Ci+C
C0 = Ci (1 + x)–1 + (Ci + C)(1 + x)–2
0
1
2
Con n > 2 si utilizza il metodo di iterazione che non dà una soluzione, ma consente di avvicinarsi ad essa:
Teorema A
Se abbiamo un’equazione del tipo x = φ(x), x € [a; b] e φ(x) € [a; b] e deve esistere φ’(x) e tale derivata deve avere una
caratteristica fondamentale cioè | φ’(x) | ≤ K ≤ 1. Esiste un’unica soluzione x tale che x = φ (x).
Se x0 € [a; b]
x1 = φ (x0)
x2 = φ (x1)
e scopro che xn+1 = φ (xn) che si avvicina sempre di più a x.
Trovo una successione di valori che non so come sia fatta.
Teorema B
Ci permette di capire come sia fatta la successione, quindi se valgono le stesse ipotesi del teorema A la successione è
così:
Se φ (xn)>0 → x0 < x1 < x2 < … < x oppure x < … < x2 < x1 < x0
Se φ’(xn)<0 → si procede a saltelli cioè: x0 < x2 < x < x3 < x1 (è il celeberrimo c.d. “teorema della ragnatela”)
φ(x)
y = x coeff.angolare = 1 si incontrano.
b
φ(x)coeff.angolare<1
φ(x0)
φ(x1)
Questo se φ’(x)>0
φ’(x)<1
a
0
a
x x2 x1 x0 b
x
Se φ’(x)<0 funzione decrescente, come? | φ’(x) | ≤ K < 1
– φ’(x) ≤ K < 1 cioè φ’(x) ≥ –K > –1
φ(x)
b
La retta tangente alla curva ha un coefficiente angolare > –1.
φ(x1)
la successione di valori non si ha tutta in un senso o tutta in un altro come
prima: si ha a saltelli. Si ha una c.d. convergenza a ragnatela.
φ(x0)
L’ipotesi del coefficiente angolare è fondamentale per ottenere la convergenza. Nel caso di emissione sopra la pari si potrebbe dimostrare che
φ’(x0)>0 e φ”(x0)<0: l’approssimazione si ha tutta in un senso, indietro.
a
Accade, ovviamente il contrario sotto la pari: C0 < C, a saltelli.
0
a
x1 x x2 x0 b
x
Titolo con cedola (applichiamo quanto appena detto ai BTP):
Ci
Ci
Ci+C
C0 = Ci a n┐x + C (1 + x)–n
0
1
2………..n
x = tasso effettivo di rendimento = ?
Se n = 1 oppure se n = 2 ho un’equazione di 1° o 2° grado quindi so come risolverlo e non ci son problemi.
24
Se n > 2 utilizzo il teorema di iterazione. x = φ(x)
C0 = Ci a n┐x + C (1 + x)–n
si moltiplicano entrambi i lati per (1 + x)n quindi:
n
–n
C0 (1 + x) = Ci a n┐x (1 + x) + C
sottraggo ad ambo i membri C0 (a n┐x diventa s n┐x)
divido e moltiplico per x
C0 (1 + x)n – C0 = Ci s n┐x + C – C0
x * [C0 (1 + x)n – C0]/n = Ci s n┐x + C – C0
x * [C0 (1 + x)n]/n – 1 = Ci s n┐x + C – C0 → x = Ci / C0 + C – C0/C0 s n┐x = Ci / C0 + (C/C0 – 1)/s n┐x
la successione si determina così: x0 = Ci/C0; x1 = φ(x0); x2 = φ(x1)
x = Ci / C0 + (C/C0 – 1)/s n┐x
• Esercizio 33
Si hanno tre titoli A, B, C, tutti di valore nominale = al valore di rimborso Ci = C scadenti a 2 anni da oggi.
A titolo zero coupon bond valore nominale C0 = 94,27
B titolo coupon bond cedola annua post = 12 valore emissione C0 = 117,27
C titolo coupon bond cedola 6 mesi posticipata = 5,5 valore emissione C0 = 115,44
Determinare il tasso effettivo di rendimento dei tre titoli.
Soluzione:
< 0 non accettabile Si poteva fare anche Ma col TER si
100=94,27(1+TER)2 attualizza.
A
94,27
100
94,27 = 100(1 + x)–2 → x = 0,029943133
0
2
B
117,27
12
12+100
117,27 = 12(1 + x)–1 + 112(1 + x)–2
0
1
2
117,27(1 + x)2 – 12(1 + x) – 112 = 0
2
0 + x = 12 ± √12 + 4 x 117 x 112 / (2 x 117,27) → x = 0,029959… (la soluzione <0 no!)
C
115,44 5,5
5,5
5,5
5,5+100
115,44 = 5,5 a┐4x½ + 100 (1 + x½)–4
0
1
2
applico il teorema di iterazione.
È stabile sullo 0,0149
x = 5,5/115,44 + (100/115,44 – 1)/s4┐x0
x = 0,047643797 – 0,133749/s4┐x0
x0 = 0,047643797;
x1 = 0,0165035;
x2 = 0,015022972;
x3 = 0,0149500;
x4 = 0,014947107
Valutazione di prestiti divisi
δ (t, i*) = ∑ts>t Rs (1 + i*)–(ts – t)
Nel caso degli zero coupon bond non ci sono problemi per la valutazione: δ (t, i*) = C (1 + i*)–(n – t)
Se abbiamo invece un BTP (caso tipico di titolo con cedola):
Ci
Ci
Ci
Ci
Ci + C
c<p<1
0
1
2……… z t
z+1…… n
n – (z + 1) + 1 = n – z è il numero dei termini
δ (t, i*) = Ci an–z┐i* * (1 + i*)–(1 – p) + C(1 + i*)–[n – (z+p)] è il valore del BTP secondo la nostra definizione ≠ listini pubblici
Corso secco e corso tel quel
(ecco come si ragiona sui mercati, nella realtà):
Ci
Ci
Ci + C
z
z+1
z+2
n
t = z+p
si chiama dietimo α(p)
Si ipotizza che all’interno dell’anno la cedola si formi in modo direttamente proporzionale al tempo: t = Ci * p
Ciò implica che inizia la cedola = 0 e in z + 1 = Ci. Il soggetto che acquista il titolo ha diritto a Ci (1 – p),
infatti Cip + Ci (1 – p) = Ci → il soggetto che acquista deve pagare dietimo + corso secco (= corso tel quel).
→ s (z + p, i*) = Ci (1 – p)(1 + i*)–(1–p) + Ci a n–z–1┐i* (1 + i*)–(1–p) + C(1 + i*)–(n – (z+p))
n – (z + 2) + 1 = n – z – 1 è il numero dei termini
Confronto tra corso tel quel e valore del titolo
δ (t, i*) = Ci an–z┐i* * (1 + i*)–(1 – p) + C(1 + i*)–(n – (z+p))
1
1
1
a
=1+a
0
1
2
n–z–1
n–z
n–z–1
= Ci(1 + an–z–1┐ i*)(1 + i*)–(1–p) + C(1 + i*)–(n – (z+p)) =
= (Cip + Ci(1 – p))(1 + i*)– (1–p) + C an–z–1┐ i* (1 + i*)–(1–p) + C(1 + i*)–(n – (z+p))
= α(p) (1 + i*)– (1–p) + Ci (1 – p)(1 + i*)– (1–p) + Ci an–z–1┐ i* (1 + i*)–(1–p) + C (1 + i*)–(n – (z+p))
= α(p) (1 + i*)– (1–p) + φ (z + p, i*)
Dietimo scontato + corso secco
α(p) + φ (z + p, i*) > δ (t, i*) → corso tel quel > valore del titolo. Questo accade
perché il soggetto che paga il dietimo paga anticipatamente quello che riceverà a fine anno. Se pago al corso tel quel
pago di più di quanto vale il titolo; quindi il tasso che ho è minore di “quello che ha chi lo ha comprato al suo valore”.
• Esercizio 34
3
3
3*8/12 3+100
Calcolare dietimo α, corso secco φ e corso tel quel. i* = 0,04
1/1/00 1/1/01 1/1/02 1/1/03 1/1/04
p = 4/12
1/5/02
1 – p = 8/12
α(4/12) = Ci * p = 3 * 4/12 = 1 dietimo
98,43+1 = 99,43 corso tel quel
φ(2 + 4/12 * 0,04) = 3 * 8/12 (1 + 0,04)–8/12 + 103 (1 + 0,04) – 1 – 8/12 = 98,43 corso secco
δ (2 + 4/12; 0,04) = 3 (1 + 0,04)–8/12 + 103 (1 + 0,04) – 1 – 8/12 = 99,405 → corso tel quel > δ
Per capire di che tipo di titolo si sta parlando si attribuiscono degli indici al titolo:
1. la durata o indice temporale;
Questi primi 2 indici non tengono conto della componente finanziaria e
2. la vita residua o “maturity”.
non danno informazioni in merito alla cedola.
25
3.
la duration: è l’indice più importante; si può associare a qualsiasi titolo; è la media delle scadenze residue,
ts – t, ponderata con i valori attuali in t delle somme Rs scadenti rispettivamente in ts. Formula ed esempio:
D (t, i*) = ∑ts>t (ts – t) Rs(1 + i*)–(ts – t)
10
10
10
10
10+100
0
1
2
3
4
5
con i* annuo
∑ts>t Rs(1 + i*)–(ts – t)
2+3/12
–9/12
D (2 + 3/12, i*) = 9/12 x 10 (1 + i*)
+ (1 + 9/12) x 10 (1 + i*)–1–9/12 + (2+9/12) * 110 (1 + i*)–2–9/12
–9/12
+ 10 (1 + i*)–1–9/12 + 110 (1 + i*)–2–9/12
10 (1 + i*)
Assegnando δ*, cioè = log(1 + i*), come si scriverà la duration?
D (t, δ*) = ∑ts>t (ts – t) Rs e–δ* (ts – t)
∑ts>t Rs e–δ* (ts – t)
Se ho uno zero coupon bond:
Rn
con δ*
0
t
n
D (t, δ*) = (n – t) Rn e–δ* (n – t) = n – t (maturity titolo)
Rn e–δ* (ts – t)
Supponiamo di avere un tasso δ* che subisce un incremento di valore: δ* + d δ*; come reagisce il titolo a
questo cambiamento? Si passa da V(t, δ*) a V(t, δ* + d δ*).
V (t, δ* + d δ*) – V (t, δ*) x d δ* ≈ ∂ V (t, δ*) / ∂ δ* x d δ*
V(t, δ*)
d δ*
V (t, δ*)
(si divide allo scopo di poter confrontarli)
Variazione relativa
Derivata parziale
∂ V (t, δ*) / ∂ δ* = ∑ts>t Rs e – δ*(ts – t) –(ts – t) Ora sostituisco e ottengo:
variazione relativa ≈ –∑ts>t (ts – t) Rs e – δ*(ts – t) x d δ* = – D (t, δ*) d δ*
– duration x differenziale
volatilità
V (t, δ*)
(∂V/∂δ*)/V
Più la duration è alta più la variazione relativa è alta, in valore assoluto; il titolo allora risente di più delle variazioni dei
tassi. Un titolo è tanto più volatile quanto più la duration è alta. Al crescere di i, quindi all’aumentare della cedola Ci, la
duration decresce. I titoli che hanno la duration più alta sono quelli con cedola nulla, cioè gli zero coupon bond. Ciò è
detto “effetto cedola”.
Variazione relativa nel caso di tasso annuo
i* → i* + d i* calcolare la variazione relativa (domanda da esame):
V(t, i* + di*) – V(t, i*) ≈ ∂V(t, i*) / ∂i* x di*
V = (t, i*) = ∑ts – t Rs (1 + i*)
(ts – s) V(t, i)
V(t, i)
volatilità
volatilità
∂V(t, i*) = ∑ts – t Rs [– (ts – t)(1 + i*)] = –∑ts – t Rs (ts – t) Rs(1 + i*)
x
1
x di* = – D (t, i*) x
1
x di*
∂i*
V
(t,
i*)
(1
+
i*)
(1
+
i*)
duration al tasso i*
• Esercizio 35: Compito d’esame sulla duration:
Oggi 1/1/00 è disponibile il titolo di valore nominale C = 100 che dà diritto a cedole annuali al tasso annuo nominale
del 6%; prima cedola al 1/1/01 e rimborso alla pari al 1/1/03. Sia i* = 0,05 il tasso di valutazione. Determinare:
1) Duration e valore del titolo oggi;
2) Variazione relativa del titolo quando il tasso passa da i* = 0,05 a i* + di* = 0,05 + 0,55;
3) Legame tra la duration e la variazione relativa. Verificare numericamente;
4) 1/04/00 dietimo, corso secco e corso tel quel.
Soluzione:
1/4/00 6
6
6+100
oggi
1/1/00
1/1/01 1/1/02 1/1/03
1) V(0) = 6 (1 + 0,05)–1 + 6 (1 + 0,05)–2 + 106 (1 + 0,05)–3 = 102,7232
D(0) = 6 x 1 (1 + 0,05) –1 + 6 x 2 (1 + 0,05)–2 + 106 x 3 (1 + 0,05)–3 = 2,83
la duration è una misura di tempo
102,7232
2) Variazione relativa = [V(0,55) – V(0,05)]/V(0,05) = – 0,01337847
era sbagliato!(?)
correzione calcolo:
Variazione relativa ≈ – D (0) 1/(1 + i*) di* = –2,83/(1 + 0,05) x 0,55 = –– 00,,00113355003366 → –1,482780952
3) p = 3/12
1 – p = 9/12
α(p) = α(3/12) → 6 x 3/12 = 1,5 dietimo
corso secco = (6 – 1,5)(1 + 0,05)–9/12+6*1,05–1–9/12+106*1,05–2–9/12 = 102,53
corso tel quel = 104,03
• Esercizio 36: primo appello sessione estiva 2006 (svolto in classe il giorno 18/4/7)
Il capitale di 10.000 € è ammortizzato in 10 anni con un ammortamento uniforme. Se il tasso di ammortamento è del
5% annuo, si determini:
1) le quote capitale e compilare le prime 3 righe del piano di ammortamento
2) calcolare quanto vale la decima rata
3) calcolare la nuda proprietà alla scadenza = 5 al tasso annuo di valutazione i* = 0,04
Supponiamo che, dopo il versamento della terza rata, si sospenda l’ammortamento a quote di capitale costanti e si
prosegua l’ammortamento con un ammortamento francese ancora per i 7 anni previsti al tasso annuo del 5%.
4) determinare la rata costante da versare
5) verificare la condizione di ammortamento del debito iniziale di 10.000€.
– (ts – t)
26
Soluzione:
1) A = 10.000
n = 10
i = 0,05
Z
C
Dz
Iz
Rz
0
10.000
1
1.000
9.000
500
1.500
2
1.000
8.000
450
1.450
3
1.000
7.000
400
1.400
Avevamo detto che anche se non abbiamo le quote capitali, possiamo determinare lo stesso l’ammortamento in questi
casi, inoltre lo costruiamo non per righe ma per colonne.
2) Rz = A (1/n + i – i/n(z – 1)) → R10 = 10.000 (1/10 + 0,05 – 0,05/10 * 9) = 1.050 (ci si poteva arrivare anche
proseguendo con il piano di ammortamento)
3)
x
x
x
x
x
z=5
6
7
8
9
10
A5;0,04 = C a 5┐0,04 = 1.000 a5┐0,04 = 4.451,82
4)
x
x
x
R
R
R
R
R
R
R
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Su quale debito io pago? Sul debito residuo, che abbiamo già calcolato = 7.000 e va ammortizzato come fosse francese.
D3 = 7000 = R a 7┐0,05 → R = 1.209,738729
10.000 = R1 (1 + 0,05)–1 + R2 (1 + 0,05)–2 + R3 (1 + 0,05)–3 + R/3 a 7┐0,05 =
Il differimento (R differito3) che avevamo chiamato vm: R/3 a 7┐0,05 = R a 7┐0,05 (1 + 0,05) –3
• Esercizio 37
Abbiamo sempre un debito di 10.000 contratto l’1/1/5 ed ammortizzato con 10 rate annue posticipate al tasso annuo
i = 0,06 in uno dei seguenti modi:
a) ammortamento francese
i. determinare la rata, l’ammontare della sesta quota capitale e quello della sesta quota interessi
ii. determinare il debito residuo ed il valore del prestito al tasso annuo istantaneo δ = 0,05
subito dopo il versamento della sesta rata.
b) ammortamento americano
i. determinare l’ammontare di ciascuna rata d’ammortamento.
ii. Per costituire il capitale A = 10.000 per l’1/1/2015, si versano 10 rate annue posticipate
costanti di ammontare T al tasso annuo di costituzione i1 = 0,04
iii. Determinare l’ammontare T e il capitale costituito subito dopo il versamento della sesta rata.
iv. Dopo aver fatto i primi sei versamenti di ammontare T, si sospendano i versamenti settimo
ed ottavo. Determinare l’ammontare T’ delle due rate uguali tra loro che, versate l’1/1/2014 e
l’1/1/2015, permettono di costituire 10.000 alla prevista scadenza 1/1/2015.
Soluzione:
x
x
x
R
R
R
R
R
R
R
1/1/5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1/1/2015
A = 10.000
a) 10.000 = R a 10┐0,06 → R = 1.358,679582
Ricordiamo che le rate variano in progressione geometrica di ragione 1 + i e termine sigma n: Cz = σ n┐i (1 + i)z – 1.
C6 = A/(s 10 ┐0,06) (1 + 0,06)5 = 1.015,284
I6 = R – C6 = 343,396
D6 = R a 4┐0,06 = 4.707,97
0
6 7
10
V (6,δ = 0,05) → R = a 4┐ĩ → R e–δx1 + R e–δx2 + R e–δ+3 + R e–δ+2 = 4.803,617
b) R1 = R2 = … = R9 = Ai = 10.000 x 0,06 = 600
R10 = A + Ai = 10.600
T = 10.000 σ 10┐0,04 = 832,9094435
F6 = T s 6┐0,04 = s6┐0,04 / s10┐0,04 = 5.524,67
5.524,67 * (1 + 0,04)4 + T’(1 + 0,04) + T’ = 10.000
• Esercizio 38: lezione pomeridiana del giorno 2007-05-02
Oggi, 1/1/5, sono disponibili 2 titoli entrambi di valore nominale 100 e con rimborso alla pari l’1/1/7.
Il titolo A è zero coupon bond, il titolo B è un coupon bond con 2 cedole annue, ciascuna di ammontare 3, disponibili
rispettivamente l’1/1/6 e l’1/1/7. Al tasso annuo di valutazione i* = 0,01 determinare all’1/2/5:
1) Il valore del titolo A e B
2) Il dietimo ed il corso secco del titolo B
Possiamo, su questo argomento, svolgere
Soluzione:
sempre gli esercizi in questo modo, più
vA = 100 (1 + 0,01) –(1 + 11/12) = 98,11092423
semplice che utilizzare le rendite.
vB = 3 (1 + 0,01) – 11/12 + 103(1 + 0,01) – 1 – 11/12 = 104,02
αP = (1/12) = 3 x 1/12 = 0,25
S (1/12, 0,01) = 3 x 11/12 (1 + 0,01) – 11/12 + 103(1 +0,01) – 1 – 11/12 = 103,7792829
27
Lezione del giorno 2007-05-09
• Esercizio 39
Oggi tempo 0, 1/1/5 sono emessi i seguenti 2 titoli, scadenti tra 3 anni, rimborsati alla pari, valore nominale 100:
- Titolo A: zero coupon bond con valori di emissione C0 = 91.
- Titolo B: coupon bond cedola annua = 2,5, prima cedola tra 1 anno valore di emissione C0 = 97.
Determinare in 0:
a) I tassi di effettivo rendimento dei 2 titoli
b) Valori dei 2 titoli al tasso annuo di valutazione i1 = 0,03
c) La duration al tasso i1 = 0,03
Soluzione:
A
91
100
0
3
B
97
2,5
2,5
100
0
1
2
3
a) Ci sono svariati metodi:
Primo metodo: 91(1 + TER)3 = 100 → (1+TER)3=100/91=1,098901099 → elevo alla 1/3 → TER = 1,0989010991/3 – 1 = 0,031936251
Oppure con la radice: (1+TER)3 = 100/91→ faccio la radice terza→ 1+TER = 3√1,098901099 → TER = 0,031936251
Secondo metodo: 100(1 + TER)–3 = 91 → (1+TER) –3=91/100 → elevo alla –1/3 → TER= 0,91–1/3 – 1= 0,031936251
97 = 2,5 a3┐iB + 100 (1 + iB)–3
iB = f(iB)
x = Ci/C0 + (C/C0 – 1)/1 n┐iB = 2,5/97 + (100/97 – 1) /1 n┐iB = 0,025773195 + 0,30927135/1 n┐iB
iB0 = 0,025773185
iB1 = f(iB1) = 0,035821278
applico l’approssimazione a saltelli
iB2 = f(iB2) = 0,035721844
iB0 = f(iB3) = 0,035722822
possiamo dire stabile i = 0,03572
b) VA (0,03) = 100 (1 + 0,03)–3 = 91,51416594
VB (0,03) = 2,5 a3┐0,03 + 100 (1 + 0,03) –3 = 98,58
c) DA = 100 * 3 * (1 + 0,03) –3 = 3 anni
100(1 + 0,03) –3
DB = 2,5 * 1 * (1 + 0,03)–1 + 2,5 * 2 * (1 + 0,03)–2 + 102,5 (1 + 0,03)–3 = 2,926856947 anni
VB(0,03)
28
CAPITOLO V La struttura del mercato
Osserviamo uno zero coupon bond emesso oggi con valore A, scadente in t con valore C.
A
C
0
t
C = Φ(A, 0, t) se è additiva: A f0 (0, t) noti C e A posso determinare il fattore di capitalizzazione: f0 (0, t) = C/A
Posso trovare il tasso effettivo di rendimento: f0 (0, t) = (1 + i0 (0, t))t = C/A
Tasso a pronti o tasso spot
1/t
Come lo calcolo?
è il tasso effettivo di rendimento di uno zero coupon bond emesso
in zero e scadente in t.
Osservando i vari tassi spot di vari titoli: cosa succede sul mercato? Eccone la struttura:
i(0,t)
per tutti gli zero coupon bond con quella scadenza si può individuare il tasso di effettivo rendimento, per la condizione di arbitraggio: cioè se ci fossero occasioni migliori sul mercato tutto
si equilibrerebbe a quel determinato tasso. Il mercato interpola.
Riusciamo, grazie a t, a stabilire i valori in qualsiasi t.
t2
t3
t4
t
t = tempi di osservazione di qualunque zero coupon
0
t1
Se i tassi spot di tutti gli zero coupon bond fossero uguali avremmo una struttura piatta di mercato:
i(0,t)
C = A f0 (0, t)
tasso annuo spot
f0 (0, t) = C/A
Fino ad oggi avevamo ipotizzato, appunto, una struttura
piatta, o al max a “scalini”, cioè con tasso variabile per certi
0
t1
t2
t3
t4
t intervalli di tempo.
Gli stessi ragionamenti valgono per il tasso istantaneo spot anziché annuo.
e δ0(0, t)*t = C/A → δ0 (0, t) = 1/t*loge(C/A) tasso istantaneo spot δ0(0, t) = loge(1 + i0(0, t))
2 Maggio 2006 (corrispondente alla lezione del giorno 9 Maggio 2007, con t1 e t invertiti sugli assi dei tempi)
Tasso annuo spot i0 (0, t)
δ0(0, t)
δ0(0, t) = loge(1 + i0(0, t)) Noti tutti i tassi spot, si può osservare il grafico della struttura di mercato. Fissato il tempo 0
oggi, prendiamo in considerazione uno ZCB con prezzo A1 in t1 e scadente in t con valore C1.
A1
C1
0
t1
t
con 0 ≤ t1 ≤ t
C1 = Φ0 (A1, t1, t)
C1 = A1 f0 (t1, t) → f0 (t1, t) = C1/A1
i0 (t1, t) tasso annuo forward o a termine
(1 + i0(t1, t))t – t1 = C1/A1 → i0(t1, t) = (C1/A1)1/(t – t1) – 1 per la formula dei tassi spot basta porre t1 = 0.
δ0(t1, t) → f0 (t1, t) →e δ0(t1, t)(t – t1) = (C1/A1) → δ0(t1, t)(t – t1) = loge C1/A1 → δ0(t1, t) = 1/(t – t1) * loge (C1/A1)
Ora il tasso spot e il tasso forward sono legati tra loro?
Un mercato si dice coerente, consistente o in equilibrio se: f0 (0, t) = f0 (0, t1) f0 (t1, t) come già visto, è la scindibilità.
Per spiegare quando un mercato è in equilibrio, possiamo dire che il mercato non è in equilibrio quando vale il minore o
il maggiore. Esempio: f0 (0, t) > f0 (0, t1) f0 (t1, t) significa che è possibile comprare e vendere titoli allo scoperto, avendo un guadagno certo, cioè significa poter far arbitraggi. In un mercato in squilibrio posso vendere oggi a Tizio allo
scoperto un titolo che mi dà diritto ad incassare + C/ [f0 (0, t1) f0 (t1, t)].
Tizio con questo acquisto si garantisce in t1 – C/ f0 (t1, t); in zero ho incassato e allora vado sul mercato e compro dei
titoli a questo prezzo: – C/ f0 (0, t); tali titoli in t mi renderanno +C; ma in t1 dovrò dare a Tizio quello che gli spetta
quindi oggi compro dei titoli allo scoperto da Caio + C/ f0 (t1, t) e dovrò dare a Caio – C. Quindi ho comprato e venduto
allo scoperto.
In t: incasso C e vendo C
In t1: dovevo – C/ f0 (t1, t) e mi spettava + C/ f0 (t1, t)
0
t1
t
+ C/[ f0 (0, t1) * f0 (t1, t)]
– C/ f0 (t1, t)
+C
facciamo la somma algebrica!
– C/ f0 (0, t)
+ C/ f0 (t1, t)
–C
C/[ f0 (0, t1) * f0 (t1, t)] – C/ f0 (0, t) > 0
0
0
“guadagno dove ho >”
C/ f0 (0, t) < C/[ f0 (0, t1) * f0 (t1, t)] → f0 (0, t) > f0 (0, t1) * f0 (t1, t)
Noi però prendiamo in considerazione un mercato in equilibrio; allora deve valere f0 (0, t) = f0 (0, t1) * f0 (t1, t).
1a considerazione: se il mercato è in equilibrio, noti i tassi spot → possiamo determinare i forward.
(1 + i0 (0, t))t = (1 + i0 (0,t1))t1 * (1 + i0 (t1,t))t – t1
numeratore
i0 (0, t) = (C/A) – 1
denominatore
t
i0 = (1 + i0(0,t))
(1 + i0(0,t1))t1
incognita
1/(t – t1)
–1
formula dei tassi forward
con t1 < t
29
2a considerazione: oggi determino il fattore di capitalizzazione, in vigore da t1 a t. In condizioni di certezza posso
prevedere cosa accade in t1, quando il fattore di capitalizzazione non dipende dall’oggi, “se oggi è proprio domani”.
Posso determinare allora il valore di un titolo con cedola, nota la struttura del mercato, con tassi spot?
R2
Rn
Nel calcolare V(0) supponiamo che quel titolo R1 sia composto da tanti zcb di cui
R1
0
t1
t2………tn
conosco il valore. i0(0,t) appartiene a t.
V(0) = R1(1 + i0(0,t1)–t1 + R2(1 + i0(0,t2)–t2 + … + Rn(1 + i0(0,tn)–tn
∑ns=1 Rs(1 + i0(0, ts))–ts con i tassi spot
Se avessi i tassi forward:
–t1
–t2
–tn
V(0) =R1 * e –δ(0,t ) + R2 * e –δ(0,t ) + … + Rn * e –δ(0,t )
n
–δ(0,t1)ts
∑ s=1 Rs * e
con i tassi forward
tassi spot
Duration→D(0) = ∑ns=1 ts * Rs (1 + i0(0,t1))–ts
∑ns=1 Rs (1 + i0(0,t1))–ts
Duration→D(0) = ∑ns=1 ts * Rs (e–δ(0,ts)ts)
tassi forward
ts
∑ns=1 Rs e–δ(0,ts)
La Duration era un indice di volatilità, considerando i* che passa ad i* + di*.
Ora nel caso D(0), volendo studiare la variazione negativa con una determinata struttura del mercato, vogliamo capire
se la Duration è ancora indice di volatilità. Supponiamo che, data una certa struttura del mercato, questa subisca un
incremento (o un decremento) tutto uguale, cioè che abbia uno shift additivo (da δ0(0, ts) a δ0(0, ts)+h):
1
2
h
n
cioè il titolo risente di più o di meno della struttura di mercato.
δ0(0, ts) → δ0(0, ts) + h
Sviluppo in serie di Taylor
δ relativa = ∑ns=1 Rs e–[δ0(0,ts)+h] – ∑ns=1 Rs * e–δ0(0,ts)*ts = raccogliendo …
ex ≈ 1 + x + x2/2! + x3/3! + …
∑ns=1 Rs e–δ0(0,ts)*ts
dove ! → fattoriale
= ∑ns=1 Rs e–δ0(0,ts)*ts [e–h*ts – 1] =
e–hts ≈ 1 – hts (“Taylor troncato”)
V(0, δ0(0,ts))
≈ – h ∑ns=1 Rs e–δ0(0,ts)*ts = – h D(0)
anche qui quello che determina la variazione negativa del valore del titolo
V(0, δ0(0,ts))
è la duration, che è sempre un indice di volatilità.
• Esercizio 40 (Tema d’esame):
Oggi sul mercato sono disponibili 3 zero coupon bond di valore nominale 100:
A) Prezzo oggi = 98,83 rimborso tra 3 mesi
B) Prezzo oggi = 97,82 rimborso tra 6 mesi
C) Prezzo oggi = 95,88 rimborso tra 1 anno
Inoltre è disponibile il titolo D) di valore nominale 100 con cedole semestrali di ammontare 2 ciascuna; 1a cedola
disponibile tra 1 semestre da oggi, rimborso alla pari tra un anno. Si fissi l’origine dei tempi oggi e si misuri il tempo in
anni:
1) scrivere la Duration dei titoli A, B, C
2) in ipotesi di struttura piatta del mercato al tasso annuo i* = 0,04, calcolare oggi il valore del titolo D) e la
duration
3) determinare i tassi annui spot i0(0,t) per t = ¼ t = ½ t = 1 e determinare anche le rispettive intensità δ0(0,t)
Utilizzando la struttura non piatta determinata calcolare oggi:
4) il valore del titolo D)
5) la Duration del titolo D)
Soluzione:
1) A)
98,93 100
Titolo B)
97,82 100
0
3/12=¼
0
6/12=½
Titolo C)
95,88 100
Titolo D)
2
2+100
0
1
0
½
1
DA(0) = 100 * ¼ * (1 + i)–¼ = ¼
DB(0) = 100 (½ * (1 + i)–½ = ½
DC(0) = 1
–¼
–½
100(1 + i)
100 (1 + i)
(quindi nei ZCB durata = duration)
2) V0D = 2 * (1 + 0,04)–½ + 102 (1 + 0,04)–1 = 100,038 (insomma è sufficiente attualizzare)
DD(0) = 2 * ½ (1 + 0,04)–½ + 102 * 1 * (1 + 0,04)–1 = 0,990197927
VD(0) → 100,038
3) titolo A) 98,93 = 100 (1 + i0(0, ¼))–¼ → i0(0, ¼) = 0,048201601
i0(0, ts) = (C/C’)–1/t – 1
–½
titolo B) 97,82 = 100 (1 + i0(0, ½)) → i0(0, ½) = 0,045068321
titolo C) 95,88 = 100 (1 + i0(0, 1))–1 → i0(0, 1) = 0,04297038
δ0(0,t) = loge (1 + i0(0,t))→ formula intensità
δ0(0, ¼)=loge (1 + 0,0482)=0,047;
δ0(0, ½)=loge (1 + 0,045068)=0,04408; δ0(0,1)=loge (1 + 0,04297)=0,04207
4) VD(0) = 2 (1 + i0(0, ½))–½ + 102 * 1 * (1 + i0(0,1))–1 = 99,754
5) DD(0) = 2 * ½ (1 + i0(0, ½))–½ + 102 * 1 * (1 + i0(0,1))–1 = 0,9901937
δD(0) → 99,754
30
• Esercizio 41: lezione pomeridiana del giorno 9 Maggio 2007
Al tempo 0 acquisto un titolo che dà diritto ad incassare i capitali R1 = 50 e R2 = 1.050 rispettivamente tra un anno e tra
due anni da oggi.
1) In ipotesi di struttura piatta, al tasso annuo di interesse i* = 0,04 determinare al tempo 0 il valore e la duration
del titolo.
2) In ipotesi di struttura piatta, determinare al tempo 0 la variazione relativa del valore del titolo se il tasso passa
da i* = 0,04 a i* + di* = 0,038.
3) In ipotesi di struttura piatta, al tasso annuo istantaneo di interesse δ* = 0,04, determinare al tempo 0 il valore
del titolo.
4) Ho acquistato oggi il titolo pagandolo 1.018 e lo tratterrò per i due anni previsti. Determinare il tasso annuo di
effettivo rendimento.
5) In ipotesi di struttura non piatta, determinare al tempo 0 il valore e la duration del titolo se sono dati i seguenti
tassi annui spot
a. i(0,1) = 0,0385;
b. i(0,2) = 0,0405.
Soluzione:
1) V(0) = 50 (1 + 0,04) –1 + 1.050 (1 + 0,04) –2 = 1.018, 86
D(0) = 50 * 1 * (1 + 0,04)–1 + 1.050 (1 + 0,04)–2 * 2 = 1,952813067
1.018,86
2) Vrel = [50 (1 + 0,038)–1 + 1.050 (1 + 0,038) –2 ] – 1.018,86 = 0,003766
1.018,86
È una funzione decrescente al crescere del tasso perché la sua derivata prima è negativa, quindi il risultato della
prima parte del numeratore è 1.022,698. Un altro modo sarebbe stato il seguente (per approssimazione):
Vrel ≈ - Duration / (1 + i*) x di* = - 1,95 / (1 + 0,04) (- 0,002) = 0,00375
3) V(0) = 50e – 0,04 x 1 + 1.050 e – 0,04 x 2 = 1.017,31
4) Scriviamo la condizione di ammortamento:
1.018 = 50(1 + x)–1 + 1.050 (1 + x)–2
Non va applicata l’iterazione, infatti abbiamo un’equazione di solo 2° grado, quindi risolviamo così:
1.018 = 50(1+TER)–1 + 1.050(1+TER)–2
poniamo (1+TER)–1 = z
2
1.050z + 50z – 1.018 = 0
con Ruffini: ∆ = b2 – 4ac = 4.278.100
(-b±√∆)/2a = neg, 0,961122303
(1+TER)–1 = 0,961122303
–1
Elevo alla -1: 0,961122303 = 1+TER
TER = -1 + 1,040450312 = 0,040450312
Fino a qui erano cose della scorsa lezione: in ipotesi di struttura piatta.
5) i0(0,1) = 0,0385
i0(0,2) = 0,0405
Scomponiamo in tanti zero coupon bond
V(0) = 50 (1 + 0,0385)–1 + 1.050 (1 + 0,0405)–2 = 1.017,99
D(0) = 50 * 1 * (1 + 0,0385)–1 + 1.050 * 2 ( 1+ 0,0405)–2 diviso 1.017= 1,9527
• Esercizio 42
Oggi sul mercato sono disponibili 3 zero coupon bond (a, b, c) di valore nominale 105.
Determinare in ipotesi di mercato coerente:
1) I tassi spot i0(0,1), i0(0,2), i0(0,3)
2) I tassi annui forward i0(0,2), i0(0,3)
Se la struttura del mercato è quella sopra definita, determinare:
3) Il prezzo oggi di un titolo coupon bond con cedole annue posticipate = 8 di vita residua 3 anni e valore di
rimborso = 115.
4) La duration oggi di questo titolo.
Se la struttura del mercato è piatta, a tasso annuo istantaneo di valutazione δ* = 0,05 determinare:
5) La duration tra un anno e 6 mesi da oggi di:
a. Che scade tra un anno con valore di rimborso = 107
b. Che scade tra 2 anni con valore di rimborso = 110
c. Che scade tra 3 anni con valore di rimborso = 112
E del titolo coupon bond (del punto 3)
Soluzione:
1) 105 = 107 (1 + i0(0,1) –1 => i0(0,1) = 0,019047619
105 = 110 (1 + i0(0,2) –2 => i0(0,2) = 0,023532631
105 = 112 (1 + i0(0,3) –3 => i0(0,3) = 0,02174591
2) Senza far troppi conti conviene ragionare: Se (1+i0(0,1)) = 107/105 e (1+i0(0,1))2 = 110/105
107/105 x 105 /110
Allora i0(1,2) = 0,02803
f0(0,3) = f0(0,2)f0(2,3) oppure come ragionamento sopra.
31
i0(2,3) = 0,018181818
3) C0 = 8 (1 + i0(0,1)–1 + 8 (1 + i0(0,2))–2 + 123 (1 + i0(0,3))–3 = 130,7993309 (attualizzato con i tassi spot)
4) D(0) = [8 * 1 * 105/107 + 8 * 2 * 105/110 + 123 * 3 * 105/112] / 130,79 = 2,821579376
Oppure: 8* 1 * (1 + i0(0,1))–1 + 8 * 2 * (1 + i0(0,2))–2 + 123 * 3 * (i0(0,3))–3 = 2,821579376
130,7993309
5) DB = 0,05
DC = 1,5
D (0,δ* = 0,05) = 8 * 1 * e – 0,05 + 8 * 2 e – 0,05 * 2 + 123 * 3 * e – 0,05 *3 = 1,43
8 * e – 0,05 * 1 + 8 * e – 0,05 * 2 + 123 – 0,05 * 3
• Esercizio 43
Oggi 1/1/4 ho a disposizione i seguenti 2 titoli di valore nominale C = 100, entrambi con rimborso l’1/1/6 pari al valore
nominale. Uno è zero zoupon bond, l’altro è coupon bond con 2 cedole, ciascuna di ammontare = 7, disponibili l’1/1/5 e
l’1/1/6. Supponiamo che oggi lo zero coupon bond abbia un prezzo = 95,18 e il coupon bond abbia un prezzo = 108, 64
Sia f0 (z,t) il fattore di capitalizzazione da z a t. Determinare in ipotesi di mercato coerente:
a) F0 (0,2) e i0(0,2)
b) F0(0,1) e i0(0,1)
Assumiamo i seguenti valori: i0(0,1) = 0,03 e i002 = 0,025
c) Determinare il tasso annuo forward i0(1,2) ed il fattore f0(1,2)
Soluzione:
95,18
100
1/1/4
1/1/6
108,64 7
7+100
1/1/4 1/1/5 1/1/4
f0(0,2) = 100/95,18 = 1,0506
(1 + i0(0,2))2 = 1,0506
i0 (0,2) = 0,025
108,64 = 7 / f0(0,1) + 107/f0(0,2)
f0(0,1) ≈ 1,030
i0(0,1) = 0,03
f0(0,2) = f0(0,1)f0(1,2)
f0(1,2) = 1,0506/1,03 = 1,02
32
CAPITOLO VI Le scelte finanziarie sugli investimenti (argomento per 6 CFU, beati i 5 CFU!)
Un’operazione finanziaria può essere rappresentata come un’entrata (= Ricavi) e un’uscita (= Costi).
Se ho un’operazione finanziaria come questa:
Costo 100
Entrata 70
Entrata 80
0
1
2
Un 1° modo per rappresentare l’operazione finanziaria è quella di scrivere l’insieme dei Costi e dei Ricavi.
C = {(100,0)}
R = {(70,1),(80,2)}
In generale:
C = {(C0,t0);(C1, t1);…} R = {(r0,t0),(r1,t0);…}
Un 2° modo è quello di scrivere le uscite con un meno e le entrate con un più.
–100
+70
+80
0
1
2
Posso individuare le poste
P = {(–100,0);(+70;1);(+80;2)}
In generale:
P = {(x0,0);(x1;t1);…}
Il 3° modo (più usato) è:
X = (x0, x1, …, xn) = (–100;+70;+80)
vettore delle poste prese con il loro segno
T = (t0, t1, …, tn) = (0, 1, 2)
vettore delle scadenze
Detto questo: se abbiamo delle operazioni finanziarie tra cui scegliere come si fa a scegliere quella migliore? È meglio
imprestare o comprare titoli? Dobbiamo cercare dei criteri che ci guidino nella scelta tra progetti alternativi che però
devono essere dello stesso tipo. Bisogna quindi distinguere prima di tutto tra investimenti e finanziamenti. Un 4° modo
per rappresentare un’operazione finanziaria è il saldo di cassa che è la somma algebrica delle poste fino all’istante t.
x0
x1
x2
xn
S(t) = ∑ts≤t Xs
t2
tn
0
t1
S(t)
0
t<0
S(t)= –100
0≤t<1
50
–30
1≤t<2
+50
t≥2
0
1
2
t
– 30
–100
Come facciamo ad individuare l’operazione finanziaria? Come faccio ad individuare quale operazione è dal saldo di
cassa? È una funzione il cui grado determina un’operazione finanziaria. X = (–100,+70,+80)
T = (0,1,2)
Allora tra questi progetti dobbiamo saper distinguere gli investimenti dai finanziamenti! Partiamo dagli investimenti.
Indici di finanziamento: a) scadenza media aritmetica
b) scadenza media finanziaria
a) Si indica con:
z = ∑ns=0 xs ts
è la media delle scadenze delle poste ponderate con le poste stesse.
∑ns=0 xs
Esiste una scadenza media dei costi e dei ricavi.
–100
+70
+80
z = 70(1) + 80(2) = 1,53 Ricavi
z = 100(0) = 0
0
1
2
70+80
100
b) scadenza media finanziaria:
x0
x1
x2
xn
z(i) è quella scadenza per la quale è indifferente avere la somma delle poste
0
t1
t2
z(i)
tn
o avere ciascuna posta disponibile alla relativa scadenza.
Siamo in capitalizzazione composta convenzione esponenziale.
t = anni
i* anno
(∑ns=0 xs)*(1 + i)–z(i) = (∑ns=0 xs)*(1 + i)–ts
incognita
Dobbiamo ricavare la scadenza media finanziaria:
(1 + i)–z(i) = ∑ns=0 xs (1 + i) –ts
applichiamo i logaritmi
∑ns=0 xs
loge (1 + i) –z(i) = loge ∑ns=0 xs (1 + i) –ts = –z(i) = loge ∑ns=0 xs (1 + i) –ts – loge ∑ns=0 xs =
∑ns=0 xs
loge (1 + i)
n
= z(i) → loge ∑ s=0 xs – loge ∑ns=0 xs (1 + i) –ts
loge (1 + i)
–100
+70
+80
zr(i) = loge (70 + 80) – loge [70(1 + i)–1 + 80(1 + i)–2]
0
1
2
loge (1 + i)
zr(i) = loge 100 – loge 100 = 0
loge (1 + i)
Come è fatta la scadenza media finanziaria?
z(i)
È una funzione decrescente e ha un asintoto orizzontale che
z
è la scadenza della 1a posta.
lim z(i)
t1 < z (i) < z
t1
i→∞
lim z(i) = z
0
i
i → 0+
33
A cosa servono gli indici?
Investimento in senso stretto → quando l’ultima scadenza dei costi precede la prima scadenza dei ricavi.
IS
–C0
–Ci
–Cm
R1
IS = ctm < rt1
0
ct1
ctm
rtn
Investimento in senso lato → quando la scadenza media aritmetica dei costi precede la prima scadenza dei ricavi.
IL
–Cm
t1
IL = zc < rt1
“Detto male tanto per capirci”: costi x anno costi < anno 1° incasso
costi
0
z
rt1
Investimento generale → quando la scadenza media finanziaria dei costi precede quella dei ricavi.
Ig = zc(i) < rt1(i)
Che legame c’è tra questi investimenti?
IS => IL => Ig come si dimostra questa cosa?
IS => IL 1a dimostrazione: z0 = ∑ns=0 Cs cts ≤ ∑ns=0 Cs ctm = ctm ∑ns=0 Cs = ctm ultima scadenza costi
∑ns=0 Cs
∑ns=0 Cs
∑ns=0 Cs
a
2 dimostrazione: z0 < rt1: IL => Ig dobbiamo dimostrare che z0(i) < zr(i) per ogni i € (0, 100).
Per far ciò dobbiamo far una premessa.
IL => z0(i) < zr(j)
i≠j
Caso particolare i = j → z0(i) < zr(j) per dimostrare si fa così.
IL → Hp ct1 < z0(i) < zc
Per Hp d’investimento in senso lato → zc < rt1 → ct1 < z0(i) < zc < rt1 < zr(j)
Z(i)
Zr
rt1
zc
zr(i)
z0(i) < zr(j) per ogni i e j
se i = j allora zc(i) < zr(i) no viceversa perché Ig ≠> IL
cz(i)
t
c 1
0
i
j
i
Inversione delle scadenze. Tutte le considerazioni sono simmetricamente estese al finanziamento.
Fs = l’ultima scadenza dei ricavi precede la prima dei costi: rtm < ct1
FL = zr < ct1
Fg = zr(i) < zc(i)
Esempio:
–100
70
80
Is: ctm < rt1
0
1
2
–100
80
–30
+90
Is: no perché ctm = 2 ≠ rt1 = 1
0
1
2
3
IL = z0 = 100(0) + 30(2) = 60 = 0,46
z0 < rt1 → 0,46 < 1
100 + 30
130
Possiamo confrontare i diversi investimenti per trovare il più conveniente.
Siamo in presenza di due investimenti → 1 prevede di spendere 100€ in 0.
2 prevede di spendere 1000 miliardi in 0.
Sono “completi” rispetto al capitale iniziale e “completi” rispetto all’orizzonte temporale. Cosa vuol dire “completi”?
Che abbiamo lo stesso esborso iniziale e lo stesso orizzonte temporale.
A
–100
+70
+80
0
1
2
hanno lo stesso C iniziale e lo stesso orizzonte
B
–100
+65
+90
quando possiamo confrontarli
0
1
2
Se invece fossero così:
A’
–95
+70
+80
0
1
2
non sono completi rispetto al C iniziale, però le uscite non sono tanto
B’
–100
+65
+90
lontane l’una dall’altra. Allora è possibile effettuare un’operazione inte0
1
2
grativa che permette che le operazioni abbiano lo stesso esborso iniziale.
Supponiamo di avere 100 con i1 in capitalizzazione composta in convenzione esponenziale: si ha 100 e si investe solo
95, quindi si ha ancora a disposizione 5 e possiamo applicare, appunto, questa operazione integrativa.
–5
5(1 + i)2
considero l’operazione completa con l’unione (somma algebrica delle
0
2
poste alle scadenze)
Il progetto B verrà confrontato con AUA’
–95–5=–100
70 80+5(1 + i)2
0
1
2
34
Se invece il soggetto ha “proprio in tasca 95” → il progetto A viene subito intrapreso mentre per intraprendere B
dobbiamo considerare 1 operazione di completamento. Noi abbiamo 95 dobbiamo farci imprestare 5, quando per me
sarà un’entrata e dovrò restituire –5(1 + i)2.
BUB’ –100+5=–95
65
+90–5(1 + i)2
B’
+5
–5(1 + i)2
0
2
0
1
2
Completamento rispetto all’orizzonte temporale:
A
–100
+70
+80
0
1
2
conviene completare al soggetto che ha la scadenza minore. Supponiamo
B
–100
+65
+90
+5
che possiamo impiegare la moneta da 2 a 3 al tasso i.
0
1
2
3
AUA”
–100
70
0
80(1 + i’2)1
A”
+80
–5(1 + i’2)1
2
3
0
1
2
3
La scelta è immediata quando valuto i postulati di preferenza assoluta. Essi sono 2:
1) Tra due poste disponibili alla stessa scadenza scelgo quella di importo più alto (somma algebrica poste).
2) Tra due poste positive di stesso importo sceglierò quella che è disponibile prima, mentre se le poste sono
negative sceglierò quella che è disponibile dopo.
Cosa vuol dire? 150
–5
100
–10
3
4
3
4
100
90
70
P1 > P2
Se ho due progetti:
P1
0
1
2
P2
–10
80
70
0
1
2
Altro esempio:
P1
–100
+R
+70
R ≥ 0 possiamo applicare il 1° postulato
0
1
2
R > 80 → P1 > P2
P2
–100
+80
+70
R = 80 → P1 = P2
0
1
2
0 < R < 80 → P2 > P1
P1
–100
+R
+70
0
1
2
P2
–100
+80
+80
0
1
2
2° postulato di preferenza assoluta
P1
–100
+80
–5
+70
0
1
2
2,5
P2
–100
+80
+70
–5
0
1
2
2,5
Si può effettuare una scelta sotto il 1° postulato e sotto quali condizioni?
Se R = 80 → P2 > P1
se 0 ≤ R < 90
P2 > P1
Se R > 80 non è applicabile il 1° postulato quindi occorre applicare il
criterio di scelta.
È applicabile il 2° postulato? Sì e si sceglie P2. Casi di scelta immediata.
P1
–100
+90=80+10
+70
0
1
2
P2
–100
+80
+80=70+10
0
1
2
Un primo criterio che viene più usato nelle aziende e non dipende dalla componente finanziaria si chiama “pseudo
criterio del tempo di recupero” e si basa sul saldo di cassa.
S(t)
–100
+70
+80
S(t)–∑ts≤t xs
0
1
2
50
–30
1
2
T
t
T = tempo di recupero
–100
Nel tempo di recupero il saldo di cassa rimane sempre positivo; nel nostro esempio T = 2.
Se ho 20 o più progetti il criterio di scelta dice che si sceglierà quello che ha T più basso perché indice di tempestività
del recupero dei capitali impiegati. Se si è indecisi, intraprendendo un progetto, il criterio dice che si stabilisce un tempo
che individua una frontiera di recupero del capitale. Cioè se il T < di questo tempo limite il progetto conviene, se > no.
Sp2(t)
Sp1(t)
P1 > P2
0
T1 T2
35
Un generico progetto P dipende dalle poste e dal tempo, cioè: P = (x0, x1, …, xn; t0, t1, …, tn). L’indice che associamo è
Wp = (x0, x1, …, xn; t0, t1, …, tn). Per comodità sosteniamo che W sia derivabile rispetto a tutte le variabili.
Un criterio di scelta deve rispettare 4 requisiti minimi:
1° postulato di preferenza assoluta
1. W: ∂W > 0
∂xs
2. Deve rispettare il 2° postulato di preferenza assoluta: ∂W
se la posta è positiva < 0
se la posta è negativa > 0
∂ts
3. Deriva dall’utilizzo di una determinata unità di misura della moneta: p’ e p” se ho che Wp’> Wp” usando una
certa unità di misura della moneta. Se si cambia unità di misura della moneta:
p’ > p” → Wp’ (ax’T’)>Wp”(ax”T”) → Wp’ (x’T’) > Wp”(x”T”)
4. Unità di misura del tempo: Wp’ (x’T’) > Wp” (x” T”) se cambio il tempo Wp’(x’aT’) > Wp”(x”aT”) a > 0
Il primo criterio di scelta è il criterio del REA (risultato economico attualizzato) cash flow; somme anno scontate.
x1
xn
struttura piatta → Wp = Vp(i) = ∑ns=0 xs (1 + i)–ts
con i > 0
x0
0
t1
tn
100
70
80
REA = –100+70(1 + 0,1)–1 + 80(1 + 0,1)–2 = 29,75
tn
In brutte parole, se non abbiamo capito male, è la somma algebrica dei valori attuali di costi e ricavi in t0.
0
t1
Tra due o più progetti si sceglierà quello con REA + alto; se ho un unico progetto calcolo il REA e lo confronto con il
REA del progetto nullo che è 0; quindi se il REA > 0 mi conviene intraprendere il progetto.
Proprietà
perché la D di xs è = 1
• ∂WVp(i) / ∂xs = (1 + i)–ts > 0
• ∂Vp(i) / ∂ts = xs(1 + i)–ts * (–1) * loge (1 + i) = xs > 0
derivata negativa < 0
D[a+(x)]=a+(x)*t’(x)*loge
>0
>0
derivata positiva > 0
cioè P’ > P”
• Vp’(i) = ∑ns=0 x’s(1 + i)–t’s > Vp”(i) = ∑ns=0 x”s(1 + i)–ts”
Se cambio moneta moltiplico per a.
∑ns=0 ax’s(1 + i)–ts’ > ∑ns=0 ax”s(1 + i)–ts”
essendo a > 0 lo semplifico e rimane = a sopra
• ∑ns=0 x’s(1 + i)–ts’ > ∑ns=0 x”s(1 + i)–ts”
p’>p” se cambio tempo, prima anni ora semestri
1 + i = (1 + i1/a)at’s
n
–at’s
n
–ts”
∑ s=0 x’s(1 + i1/a)
> ∑ s=0 x”s(1 + i)
dove 1 + i = (1 + i1/k)K
n
–ts”
Vp(i) = ∑ s=0 xs(1 + i)
i>0
–100
70
80
Vp(i)= –100+70(1 + i)–1+80(1 + i)–2
0
1
2
Osservazioni: il REA è un’operazione lineare cioè gode di queste 2 proprietà:
1) Vp’ U Vp”(i) = Vp’(i) + Vp”(i)
Vp’
Vp”
Dimostrazione: ∑ns=0 (x’s + x”s)(1 + i)–ts = ∑ns=0 x’s(1 + i)–t’s + ∑ns=0 x”s(1 + i)–t”s
2) Se devo fare il REA di un progetto in cui ciascuna posta è moltiplicata per α basta fare:
Vαp(i) = αVp(i)
Vp(i)
Dimostrazione: ∑ns=0 αxs(1 + i)–ts = α∑ns=0 xs(1 + i)–ts = αVp(i)
Problema delle operazioni di completamento
Abbiamo 2 progetti:
P1
–1000
+1100
non sono completi rispetto al capitale iniziale
0
1
Il soggetto ha in tasca 1.000e possiamo investire la moneta al
P2
–950
+1050
tasso i in capitalizzazione composta convenzione esponenziale
0
1
P 2’
–50
+50(1 + i)
P 2 U P 2’
–950–50= –1000
+1050+50(1 + i)
0
1
0
1
Calcolo il REA del 1° progetto Vp(i) = 1000+1000(1 + i)–1
Vp2 U Vp’2 = –950–50+[1050+50(1 + i)](1 + i) –1 tasso di attualizzazione e tasso di mercato
Se il tasso di mercato è uguale al tasso che uso per l’attualizzazione capita che:
–950–50+1050(1 + i)–1+50(1 + i)(1 + i)–1 = –950+1050(1 + i)–1 → REA(Vp2) senza operazioni di completamento.
Quindi se i è unico non occorre fare operazioni di completamento perché il REA è un’operazione lineare.
Vp2 U Vp’2 = Vp2(i) + Vp’2 (i)
Se invece il tasso di attualizzazione del REA è diverso dal tasso di mercato occorre fare operazioni di completamento.
Il tasso interno di rendimento (TIR) (in merito si vedano anche gli appunti di finanza aziendale)
Esso cerca di ovviare al problema della soggettività del REA. Vediamo un’operazione finanziaria quanto rende. Cosa è
il TIR? Se esiste e deve esser unico. La soluzione di questa equazione è:
TIR se З! ∑ns=0 x0(1 + TIR)–ts = 0 Il TIR estende il risultato i > –1 cioè compresi tra –1 e 0.
Il criterio del TIR sostiene che se si è di fronte a 2 progetti da confrontare si sceglierà quello con il TIR maggiore.
Se si ha un unico progetto, invece, lo si sceglie se ha TIR > 0.
NON è un’operazione lineare x’ → Vp’ U Vp”(i) = ∑ns=0 (x’s+x”s)(1 + i)–ts = 0
Il TIR verifica 4 proprietà minime.
36
Vp(i) = ∑ns=0 xs(1 + i)–ts = 0
Vp(i)
i > –1; i(–1, +∞)
x0 positivo
L’asse delle
limi→∞ ∑ns=0 xs(1 + i)–ts =
ascisse
–1
0
i
= x0 + x1(1 + i)–t1…xn(1 + i)–tn =
individua il TIR
= x0 + x11/(1 + i)–ts…xn1/(1 + i)–tn
x0 negativo
Quindi rimane x0 ed è positivo o negativo? Se x0 è negativo avrò un asintoto orizzontale negativo
Se x0 è positivo avrò un asintoto orizzontale positivo
Invece lim i→–1+ ∑ns=0 xs(1 + i)–ts dipenderà da caso a caso, però se faccio:
lim i→–1+ 1/(1 + i)tn [∑ns=0 xs(1 + i)tn–ts + xn] = + ∞ * xn
quindi se quest’ultima posta è positiva la funzione tende a
+∞
0
+ ∞, se è negativa tende a –∞.
Nel particolare:
se siamo in Is con un’unica uscita iniziale:
IS –C0
R1
R2
Rn
La prima è un’uscita quando x0 è negativo.
Vp(i) 0
t1
t2
tn
Se scrivo REAVp(i) = –C0 + r1(1 + i)–t1…+ rn(1 + i)–tn se voglio sapere
se è decrescente o no basta fare la derivata quindi:
V’p(i)= 0→ –t1 r1(1 + i)–t1–1 ≤ strettamente decrescente o passa per l’origine
TIR
TIR
oppure no. Questo dipenderà dal valore di i: se 0 oppure no.
-1
V’p Vp(0) = –C0 + ∑ns=1 rs: somma algebrica di tutte le poste quando è il saldo
–C0
finale di cassa. Quindi basta solo calcolare il saldo finale di cassa.
Is però con più uscite iniziali:
–C0
Ci
Cm
R1
Rm
La prima è una posta negativa e ho un asintoto orizzontale
IS
Vp(i)
0
t1
ctm
rt1
Vp(i) = –C0 –C1 (1 + i)–t1…r1(1 + i)–rt1 e faccio la derivata prima e avrò che
–C0 = 0; –Ci diventa positivo quindi tutti i negativi diventano positivi,
mentre i positivi diventano negativi. Di conseguenza non possiamo dire
i
-1
nulla perché dipenderà dalla somma dei positivi e negativi e in generale
–C0
non possiamo dire nulla sull’andamento. Si dimostra quindi che quando la
funzione incontra l’asse x lo fa sempre decrescere.
IL → zc < rt1
←non € a TIR perché incontra 2 punti
TIR
La prima posta x0 è sicuramente un costo x0 < 0:
asintoto orizzontale negativo.
TIR TIR
i
-1
–C0
0
x0
Confrontiamo TIR e REA
Il REA dà indici sulla scelta di 2 progetti, il TIR ne dà un’altra. Danno lo stesso ordine di preferibilità oppure danno
risultati diversi? Consideriamo un unico progetto e cerchiamo di capire se intraprenderlo o meno.
Vp(i)
I 2 criteri dicono:
REA → intraprendo il progetto se il REA>0. Se il tasso di valutazione è i1,
Vp(i1)
calcolo il REA e mi trovo Vp(i1), se invece avessi Vp(i2) non lo
TIR
intraprendo perché REA<0.
TIR → nella II definizione iniziale si confrontano tasso di rendimento
Vp(i2)
e tasso di mercato; se è i1, TIR > i1 → conviene intraprendere il
progetto; se invece i2, tasso di mercato > TIR non conviene
x0
intraprendere il progetto.
Conclusioni: se il tasso è i1, il progetto è preferibile sia per il REA sia per il TIR. Se il tasso è i2, non è preferibile né per
il REA né per il TIR. Se ho un unico progetto, quindi, REA e TIR conducono alle stesse scelte. Ma se ho 2 o più
progetti cosa succede?
Vp(i)
Se considero tasso mercato i1.
i>i*, P1 > P2 ho l’inversione delle preferenze, però i1 e i2 potrebbero essere
P2>P1
i*
vicinissimi ma da lati opposti. Il criterio del REA è altamente soggettivo
P1<P2
perché condiziona fortemente le scelte del decisore, mentre per il TIR P1
i1 i*
i2
è sempre preferito a P2 e si chiama break point (punto di rottura) o punto di
Vp1(i) inversione delle preferenze. Ciò lascia intendere che TIR e REA non conVp(i2)
Vp2(i) ducono sempre alle stesse scelte.
37
Criterio del montante
Esso associa a ciascun progetto “una cosa del tipo”:
x0
x1
x2
xn
Fissa per ciascun intervallo una coppia di tassi, 1 attivo e 1 passivo.
t2
tn
Come funziona? I tassi vanno applicati sui montanti parziali.
0
t1
M0 = x0
M1 → x0 > 0 progetto produce fondi
x0 > 0 → x0(1 + i0)t1–0 +x1
montante parziale
x0 < 0 → x0(1 + i0)t1 +x1
x0 < 0 progetto assorbe fondi
M2 → M1 > 0; M1(1 + i2)t2 – t1+x2
M1 < 0; M1(1 + j2)t2 – t1+x2
Se ho un unico progetto si intraprende se M finale è > 0; se ho 2 o più progetti, sceglierò quello con montante più alto.
Criterio TRM
Funziona come quello sopra ma la logica è diversa. Un grosso problema è l’individuazione dei tassi; allora considero
un’unica coppia di tassi per tutti e calcolo M finale. Questo Mn sarà una funzione dei tassi. Scopo: valutare la coppia
dei tassi i e j che farà sì che li ho determinati e studio la crescita o decrescita.
• Esercizio 44
Si consideri il progetto P1 il cui vettore scadenze è T = (0, 12)
0
t<0
1) Disegnare il saldo di cassa; determinare il tempo di recupero ed il vettore poste.
(t) = –100
0≤t<1 2) Determinare il TIR annuo e determinare se è conveniente intraprendere P1 secondo il
–10
1≤t2
criterio del REA al tasso annuo di valutazione del 10%.
10
t>2
Consideriamo il progetto P2 che prevede le stesse uscite ed entrate di P1 con un’uscita supplementare di –R alla fine del 3° anno. Determinare:
3) Per quali valori di R P2 è un IS o un IL.
4) Per quali valori di R la scadenza media aritmetica dei ricavi è > della scadenza media aritmetica dei costi.
Soluzione:
1)
10
tempo di recupero T = 2
Per calcolare le poste → –100–0
1
2
–10–(–100) = –10+100 = 90
–10
+10–(–10) = + 10 + 10 = 20
–100
X = (–100;+90;20)
2) Vp(i) = –100 + 90(1 + i)–1 + 20(1 + i)–2 = 0 moltiplico tutto per (1 + i)2 e cambio segno.
–1
100(1 + i)2 –90(1 + i)–1 (1 + i)–2 –20(1 + i)–2(1 + i)–2 =100(1 + i)2 – 90(1 + i)1–20 = 0
(1 + i) = 9 ± √81 – 4(10)(–2) = 1 + i = 9±12,6 = → x1 = 1,08
2x10
20
x2 = –0,18 non accettabile
3) P2
–100
+90
+20
–R
R≥0
0
1
2
3
Is → R = 0
dobbiamo calcolare zc = 100(0) + R(3) < 1
3R – 1 < 0
3R – 100 – R < 0
100 + R
100+R
100 + R
IL = zc < rt1
– – – – – – – – – –+++++++++++++++
–2R – 100 – R < 0
2R > 100
R > 100
R > 50
+++++++++++++++++++++
100 + R
100 + R
2
R > –100
–100
0
50
0 < R < 50
4) zr > zc
90(1)+20(2) > 100(0)+R(3)
90+40 > 3R
130 > 3R .
90+20
100+R
100
100+R
110 100+R
13 > 3R
13 – 3R > 0 1300 + 13R – 33R > 0
1300 – 20R
1300 > 20R
11 100+R
11 100+R
11(100 + R)
11(100+R)
100 > R
R > 65
– – – – – – – – – – +++++++++++
0 < R < 65
R > –100
++++++++++++++++++++++++
–100
0
65
• Esercizio 45
Si considerino le seguenti operazioni finanziarie:
t = anni
A
–200
+200 +80
–90
0
+100 X = (–200;+200;+80;–90;+100)
0
1
2
3
4
5
T = (0, 1, 2, 3, 5)
B
–200
+300 +80
0
–90
+100 X = (–200;+300;+80;–90;+100)
0
1
2
3
4
5
T = (0, 1, 2, 4, 5)
C
–200
+200 +80
–I=–70 0
+80
X = (–200;+200;+80;–I;+80)
I≥0
0
1
2
3
4
5
T = (0, 1, 2, 3, 5)
1) che tipo di investimento è l’operazione A e B è IL?
2) determinare per quali valori di I, C è Is ed è IL ma non in senso stretto.
3) Confrontare le operazioni A e B utilizzando i postulati di preferenza assoluta, posto I = 70
4) utilizzare il criterio del REA al tasso annuo i = 0,06
i
J
0,06
0,05
5) utilizzare il criterio del montante se i tassi attivi e passivi sono i seguenti: 1
2
3
4
5
0,065
0,06
0,06
0,06
0,055
0,055
0,05
0,05
38
Leggi di capitalizzazione
Proprietà minime
Uniformità o stazionarietà nel
tempo
Additività rispetto al capitale
Scomponibilità e scindibilità
Regime dell’interesse semplice
Regime della capitalizzazione
composta “annua”
Tassi di interesse equivalenti
Iota
Legge di formazione del
montante
Capitalizzazione continua
Proprietà minime dello sconto
C, t1, t2 → M = Φ (C, t1, t2)
Φ (0, t1, t2) = 0
Φ (C, t1, t1) = C
Φ (C, t1, t2) < Φ (C, t1, t3)
Φ (C, t1, t2) < Φ (C2, t1, t2)
Φ (C, t1, t2) = Φ (C, t1+x, t2+x)
impiegando un C = 0 otterrò un M = 0.
se impresto in t1 e mi restituiscono in t1 otterrò C = C.
con 0 ≤ t1≤ t2 ≤ t3
con 0 ≤ C1 ≤ C2
0 ≤ t1 ≤ t2 M dipende solo dall’ampiezza dell’intervallo:
investire da t1 a t2 o da t2 a t3 è lo stesso.
Φ (C1+C2, t1, t2) = Φ (C1, t1, t2) + Φ (C2, t1, t2) investire 100+100 o 200 è lo stesso
Φ (C, t1, t2) = Φ (Φ (C, t1, z), z, t2)
In z disinvesto e re-investo.
Φ (C, t1, t2) = C (1 + it)
Se il tasso è variabile: M = C * (1 + ∑ns=1 i (s) * ts)
n
M = Φ (C, 0, n) = C (1 + i)
convenzione mista: M = C (1 + i)No * (1 + ip)
n
ns
M = C * ∏ s=1 (1 + is)
convenzione esponenziale: M = C (1 + i)No+p
n = ln(M/C) / ln(1+i)
Due tassi di interesse si dicono equivalenti se, applicati allo stesso
i = K * i1/K (interesse semplice)
K
capitale per la stessa durata di tempo, producono lo stesso montante.
(1 + i) = (1 + i1/K) (composta)
1/K
Tasso annuo nominale convertibile k volte l’anno, in comp. espon.
i 1/K = (1 + ι) – 1
M(s+ds)–M(s) = M(s)ρ(s)ds+θ(ds)
ρ(t) = M’(t)/M(t) (capitalizzazione continua)
M (t) = M(0) * e ∫t0ρ(s)ds
δ[t1,t2] = ∫t1t2 ρ(s) ds / (t2 – t1)
Tasso istantaneo δ*
M (t) = C * eφ(t)
φ (t) = ∫t0 ρ(s) ds
δ*: V(0) = ∑Ci * e–δ**t + C * e–δ**t
Uniformità nel tempo
V (0, t1, t2) = 0
V (C, t1, t2) = C – S = C – φ(C, t) = δ (C,t)
C (C, t1, t2) = C
Additività
C (C, t1, t2) > V (C, t1, t3)
con 0 ≤ t1≤ t2 ≤ t3
V (C1 + C2, t1, t2) = V (C1, t1, t2) + V (C2,
V (C1, t1, t2) < V (C2, t1, t2)
con 0 < C1 < C2
t1, t2) → V (C, t1, t2) = C * g (t1, t2)
Scomponibilità
V (C, t1, t2) = V (V(C, z, t2), t1, z)
Regime dello sconto
commerciale
Sconto composto
Sconto razionale
S (C, t) = C * h (t) = C * d * t
I tassi di sconto equivalenti
d = d1/K * K (commerciale)
1 – d = (1 – d1/K)K (composto)
d1/K = 1 – (1 – d)1/K
d = i * v = i * 1/(1 + i) = i/(1 + i)
Rendita immediata, posticipata,
temporanea per t anni, di termine
variabile
V (tz) = ∑ns=1 Rs (1 + i)tz – ts
Valutazione in tz
V (C, 0, n) = C (1 – d)
V (C, t) = C / (1 + it)
con 0 < t < 1/d
n
C–C*d*t→V=C–S
1–d + dt
Schema riassuntivo sulle rendite immediate
Valore iniziale
Posticipata
Anticipata
R
Posticipato (a)
1 – (1 + i) –n
i
a n┐ i = [1 – µn] / i
Condizione di amm.to
Valore finale
R
R
R
R
a
R
R
R
R
s
α
Anticipato: α = a * (1 + i)
1 – (1 + i) –n * (1 + i)
i
S
Posticipato (s)
(1 + i)n – 1
i
α n┐ i = µ * a n┐ i = (1 – δn) / δ
n
s
s
A=∑
s=1
s n┐ i = [(1 + i)n – 1]/i = (µn – 1)/i
Rs * δ dove δ = (1 + i)
∫
Nel continuo:
n
n
0
= R(s) * e
-φ(s)
–s
ds =1
Condizione di costituzione
C=∑
Ammortamento francese (a rate
costanti posticipate)
Cz+1 = Cz (1 + i)
Si utilizzano le rendite
(z = anno in considerazione;
n = totale anni)
Ammortamento italiano o
uniforme (a quote capitale
costanti)
Rz = C[1/n + i – i/n(z – 1)]
Cz = C = 1/n
Bz = ∑ns=1 Cs = 1/n + 1/n + 1/n = z/n
Dz = 1 – Bz = 1 – z/n = (n – z) / n
Iz = i (1 – Bz–1) = i * [1 – (z – 1)/n]
s=1
R
Rs * µ
n–s
Anticipato: S = s * (1 + i)
(1 + i)n – 1 * (1 + i)
i
S n┐ i = (µn – 1) / i * µ
equivalenza finanziaria tra avere A oggi, tempo 0, e
avere la somma di n Rate alla fine di n anni
∫n
Nel continuo: 0 = R(s) * eφ(n) – φ(s) ds = 1
Cz = σ n┐i * (1 + i)z–1
Cz =
A * (1 + i)z–1
Piano d’amm.to
s n┐i
Cz = Rz – Iz
A = R * a n┐i
Bz = Cz cumulato
R = A / a n┐i
Dz = Dz–1 – Cz
Iz = R – Cz
Dz = R * a n-z┐i
Iz = Dz * i
Rz = Cz + Iz
1
Ammortamento tedesco
I0 = i * δ = d
Iz = Iaz = i * δ * (1 – Bz–1)
Prestiti
Prestiti divisi
con i: v = (t, i) = ∑ Rs (1 + i)±(ts – t)
(in capitalizzazione continua)
con δ: v (t, δ*) = ∑ Rs * e±δ(ts – t)
(valore del prestito)
∑ns=z+1 (Cs + Is)(1 + i*) –(s–z) = ∑ns=z+1 Cs (1 + i*) –(s–z) + ∑ns=z+1 Is (1 + i*) –(s–z)
Az,i: Nuda proprietà +
µz,i: Usufrutto
BOT C = C0 (1 + it)
A capitalizzazione integrale Interesse semplice non
danno diritto al pagamento di interessi periodici.
z.c.b. C = C0 (1 + i)t
I titoli senza pagamento di cedola si chiamano zero
coupon bond in convenzione esponenziale.
Titoli che danno origine al pagamento di cedole interessi periodici
BTP
Tasso effettivo di rendimento
C0 = C i a n┐TER + C (1 + TER)–n
Metodo di iterazione
φ(x) = Ci/C0 + [(C/C0) – 1]/sn┐x
dove: sn┐x = [(1 + x)n – 1]/x
Confronto tra corso tel quel e
valore del titolo
È uguale a quello italiano dal punto di vista finanziario, ma qui gli
interessi vengono dati anticipatamente rispetto a quello italiano nel
quale vengono dati posticipatamente.
“annui” in ammortamento americano.
Se n < 3 → cedola (se z.c.b. = 0) x valore iniziale di una rendita
posticipata con tasso TER + valore di rimborso x (1 + TER)–n
Se n > 2 → per trovare il TER utilizzo l’iterazione:
x0 = Ci/C0
xω = Ci/C0 + [(C/C0) – 1]/sn┐xω–1 finché non trovo un valore stabile
δ (t, i*) = Ci an–z┐i* * (1 + i*)–(1 – p) + C(1 + i*)–(n – (z+p))
dove Ci an–z┐i* = cedola – dietimo
Dietimo = Ci * p; p = tempo del dietimo; z = anno in considerazione; n = anni tot.; tel quel = secco + dietimo;
Corso secco = (ci – dietimo) attualizzato al tempo del dietimo + restante attualizzazione
D (t, i*) = ∑ts>t (ts – t) Rs(1 + i*)–(ts – t)
Esempio:
V(0) = 6(1 + 0,05)–1 +6(1 + 0,05)–2 +106(1 + 0,05)–3
∑ts>t Rs(1 + i*)–(ts – t)
= 102,7232
Assegnando δ*, cioè = log(1 + i*)
D(0) = [6 x 1 (1 + 0,05) –1 + 6 x 2 (1 + 0,05)–2 +
–δ* (ts – t)
D (t, δ*) = ∑ts>t (ts – t) Rs e
106 x 3 (1 + 0,05)–1]/102.7232 = 2,83
∑ts>t Rs e–δ* (ts – t)
i* → i* + d i* calcolare la variazione relativa nel caso di tasso annuo:
V(t, i* + di*) – V(t, i*) ≈ ∂V(t, i*) / ∂i* x di*
V = (t, i*) = ∑ts – t Rs (1 + i*)
(ts – s) V(t, i)
V(t, i)
volatilità
La duration
volatilità
∂V(t, i*) = ∑ts – t Rs [– (ts – t)(1 + i*)] = –∑ts – t Rs (ts – t) Rs(1 + i*)
∂i*
V (t, i*)
duration al tasso i*
i tassi spot
V(0) = ∑ns=1 Rs(1 + i0(0, ts))–ts
(t1 = 0)
i tassi forward
Investimento in senso stretto
Investimento in senso lato
C = C’ (1 + i)–n
∂xs
∂W
∂ts
4° requisito
REA (risultato economico
attualizzato)
TIR
Criterio del montante
Tempo di recupero
Ripasso sugli integrali
x
1
x di* = – D (t, i*) x
1
x di*
(1 + i*)
(1 + i*)
Duration→D(0) = ∑ns=1 ts * Rs (1 + i0(0,t1))–ts
∑ns=1 Rs (1 + i0(0,t1))–ts
Intensità = δ0(0,t) = loge (1 + i0(0,t))
Duration→D(0) = ∑ns=1 ts * Rs (e–δ(0,ts)ts)
ts
∑ns=1 Rs e–δ(0,ts)
i0(0, ts) = (C/C’)–1/t – 1
V(0) = ∑ns=1 Rs * e –δ(0,t1)ts
(1 + i0 (0, t))t = (1 + i0 (0,t1))t1 (1 + i0 (t1,t))t–t1
i0(t1,t)= (1 + i0(0,t))t 1/(t – t1)
(1 + i0(0,t1))t1 – 1
l’ultima scadenza dei costi precede la prima scadenza dei ricavi.
Is = ctm < rt1
ž = ∑ns=0 xs ts < rt1
la scadenza media aritmetica dei costi precede la prima
∑ns=0 xs
scadenza dei ricavi: [costi(anno costi)]/costi < anno 1° incasso
La scadenza media finanziaria dei costi precede quella dei ricavi.
Ig = zc(i) < rt1(i)
Investimento generale
Un criterio di scelta deve rispettare 4 requisiti minimi:
2 postulati di preferenza assoluta
W: ∂W > 0
3° requisito
– (ts – t)
se la posta è positiva < 0
se la posta è negativa > 0
p’ > p” → Wp’ (ax’T’)>Wp”(ax”T”)
→ Wp’ (x’T’) > Wp”(x”T”)
Wp’ (x’T’) > Wp” (x” T”) se cambio
il tempo Wp’(x’aT’) > Wp”(x”aT”)
a>0
Wp = Vp(i) = ∑ns=0 xs (1 + i)–ts
con i > 0
∑ns=0 x0(1 + TIR)–ts = 0
Costi in t0 (1 + i0) + Ricavi in t0 = M0
M0 (1 + i1) + Ricavi in t1 = M1
M1 (1 + i2) + Ricavi in t2 = M2 etc.
Valutare dopo quanto si torna in attivo
∫n = nx
∫nx = n x2 / 2
Tra due poste disponibili alla stessa scadenza scelgo
quella di importo più alto (somma algebrica poste).
Tra due poste positive di stesso importo sceglierò
quella che è disponibile prima, mentre se le poste sono
negative sceglierò quella che è disponibile dopo.
Deriva dall’utilizzo di una determinata unità di misura
della moneta, se si cambia unità di misura della moneta
Unità di misura del tempo
(struttura piatta): cash flow attualizzato: somma algebrica
dei valori attuali di costi e ricavi in t0
Pongo la formula del REA=0 e il tasso come incognita.
Es.: - 1000 + 500 + 600: dopo 2 anni.
∫x = x2 / 2
2