Lezione cap5

Nicola GigliettoA.A. 2013/14
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5.1-MOTI RELATIVI
Parte I
5.1-Moti relativi-cap5
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5.1-Moti relativi
Teorema delle velocità relative
Riprendiamo l’impostazione tracciata nel paragrafo 2.6 (moti relativi 2-D)
e consideriamo un sistema fisso O ed uno mobile O’
P
rP
r’ P
O’
O
r O’
~ ′ +O~′ P = r~o′ +r~′ Dimostriamo il teorema
~ =~
abbiamo che OP
r p = OO
p
che afferma che per le velocità si ha:
~
v = v~ ′ + v~O′ + ω
~ ×r~ ′
(1)
Con ω la velocità angolare con cui ruotano gli assi di O’ rispetto ad O. Il
termine che definisce la differenza di velocità tra i due sistemi è detta
velocità di trascinamento ed è v~t = ~
v − v~ ′ = v~O′ + ω
~ ×r~ ′
Due casi sono fondamentali (gli altri si possono pensare una sovrapposizione di questi due:
• il sistema mobile non ruota rispetto a quello fisso ω = 0 In questo caso
si parla di moto di trascinamento traslatorio e ~
vt = ~
v O′
• il sistema mobile ruota ma non trasla vO′ = 0 In questo caso si parla
vt = ω
~ × r~′
di moto di trascinamento rotatorio e avremo che ~
Dimostrazione per la rotazione tra i due assi
Cap.5-Moti relativi
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ACCELERAZIONI RELATIVE
Dimostrazione per la rotazione tra i due assi
Consideriamo il sistema O fisso O’ in rotazione rispetto ad O con velocità
angolare ω Possiamo indicare i raggi vettori ~
r = xî + y ĵ + z k̂ e analogamente
r~′ = x′ iˆ′ + y ′ jˆ′ + z ′ k̂ ′ con ~
r = r~′ dato che l’origine dei due sistemi e’ comune
~ =~
e quindi il vettore OP
r = r~′ Ricordiamo che abbiamo detto che nei moti
r
circolari si ha ~
v=ω
~ ×~
re~
v = d~
dt applichiamo queste due formule ad ognuno
ˆ′
i′ ecc. Deriviamo i vettori r ed r’:
dei versori degli assi ottenendo di = ω × ~
v=
d~
r
dt
dt
e
dr~′
d(x′ iˆ′ + y ′ jˆ′ + z ′ k̂ ′ )
=
dt
dt
′
′
′
ˆ
dx ˆ′
di
dx ˆ′
=
i + x′
i + x′ ω
~ × i′ + . . .
+ ... =
dt
dt
dt
dx′ ˆ′ dy ′ ˆ′ dz ′ ′
i +
j +
k̂ + ω × (x′ iˆ′ + y ′ jˆ′ + z ′ k̂ ′ )
=
dt
dt
dt
dx′ ˆ′ dy ′ ˆ′ dz ′ ′
=
i +
j +
k̂ + ω × r~′
dt
dt
dt
=~
v′ + ω
~ ×~
r
Avendo usato la condizione ~
r = r~′ in quanto i due vettori sono identici ma
sono gli assi a cambiare
Teorema delle accelerazione relative
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accelerazioni relative
Teorema delle accelerazioni relative
se ~
a è l’accelerazione del punto P rispetto al sistema fisso, ~
a′ quella del
punto rispetto al sistema mobile O’, e a~O′ l’accelerazione del sistema mobile
rispetto ad O si ha che:
~′ + ~
~
a=a
aO ′ + ω
~ × (~
ω × r~′ ) + 2~
ω × v~′
(2)
Quindi in generale le accelerazioni tra i due sistemi sono diverse e differiscono
~′ + a~t + a~c con il termine ~
~
a=a
at = ~
aO ′ + ω
~ × (~
ω × r~′ ) detta accelerazione
di trascinamento e l’ultimo termine della (2) a~c = 2~
ω × v~′ viene detta
accelerazione di Coriolis e dipende dal moto del punto relativamente al
sistema mobile
Cap.5-Moti relativi
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ACCELERAZIONI RELATIVE
Dim.acc.relative
Dim.acc.relative
La dimostrazione completa la trovate a parte. Comunque partendo da
~
v = ~
v′ + ω
~ ×~
r e derivando rispetto al tempo e tenendo conto dei passaggi precedenti relativamente alle derivate dei versori si ottiene in pochi
passaggi la dimostrazione nel caso di moto relativo rotatorio.
5.2 Sistemi riferimento inerziali
5.2 Sistemi riferimento inerziali
I sistemi di riferimento inerziali sono quelli per i quali vale rigorosamente
la legge d’inerzia. Se consideriamo un altro sistema di riferimento che si
muove rispetto ad uno inerziale con moto rettilineo uniforme si ha ω
~ =0
~′ per cui definito un sistema inerziale, tutti i
~
ao′ = 0 e otterremo ~
a=a
sistemi in moto rettilineo uniforme rispetto al primo sono anch’essi
inerziali
relatività galileiana
In conseguenza di questo risultato la legge di newton si esprime nella stessa
maniera in tutti i sistemi di riferimento inerziali, che comporta che non è
possibile a seguito di misure di meccanica, stabilire se un sistema è in moto
o in quiete (non ha senso cioè il concetto di moto assoluto)
Viceversa se la descrizione del moto è fatta in sistemi non inerziali avre~′ anzi se vogliamo specificare co~ = m~
mo che la forza vera F
a 6= ma
me appare la legge della dinamica nel sistema mobile rispetto alla legge
nel sistema inerziale si ottiene moltiplicando per m le precedenti equazioni:
~′ = m~
~ − m~
ma
a − m~
at − m~
ac = F
at − m~
ac Che implica che per mantenere valida la legge della dinamica dobbiamo aggiungere delle forze apparenti che sono proporzionali alla massa (per cui vengono anche dette
forze inerziali), queste non sono dovute ad interazioni fondamentali ma all’uso di un sistema non inerziale, e NON esistono o NON si
devono considerare nei sistemi inerziali
5.3 Trascinamento traslatorio rettilineo
Cap.5-Moti relativi
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MOTO RISPETTO ALLA TERRA
5.3 Trascinamento traslatorio rettilineo
Supponiamo di avere la situazione più semplice O’ in moto rettilineo rispetto
ad O per esempio sull’asse x. Se il moto è rettilineo uniforme allora i due
~′ ~
sistemi sono entrambi inerziali e si avrà ~
a = a
v = v~′ + v~O′ ed infine
~
r = r~′ + v~O′ t Queste relazioni costituiscono le cosidette trasformazioni
galileiane Nel caso in cui O’ sia in moto unif. accelerato si avrà : ~
a=
~ ′ che proiettate
~
a′ + a~O′ ⇒ ~
a′ = ~
a − a~O′ e v~′ = ~
v − v~O′ ed infine r~′ = ~
r − OO
sugli assi cartesiani (nel caso in cui ao′ è diretta lungo x) diventano: xo′ =
vin t + 12 at t2 , vo′ = vin + at t
1
x′ = x − vin t + at t2
2
′
vx = vx − vin − at t
y′ = y
z′ = z
vy′ = vy
vz′ = vz
a′x = ax − at a′ y = ay a′ z = az
5.4 Moto di trascinamento rotatorio uniforme
5.4 Moto di trascinamento rotatorio uniforme
Nel caso in cui O’ ruoti rispetto ad O con moto circolare uniforme allora
abbiamo v~O′ = 0 e a~O′ = 0 per cui si ottiene:
~
v = v~′ + ω
~ ×~
r
′
~
a=~
a +ω
~ × (~
ω×~
r ) + 2~
ω × v~′
~′ = m~
~ − m~
Ma abbiamo anche visto che ma
a − m~
at − m~
ac = F
at − m~
ac
′
~
~
~
~
per cui confrontando possiamo riscrivere come ma = F + F centrif + FCor
~
~ = −2m~
con Fcentrif
= −m~
ω × (~
ω×~
r ) e FCor
ω × v~′
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Moto rispetto alla Terra
Moto rispetto alla Terra
Un sistema di riferimento che si possa considerare inerziale è con origine
nel centro di massa del sistema solare e con assi orientati verso le stelle
lontane che si possono ragionevolmente ritenere fisse. Di norma però tutte le
descrizione dei moti vengono date rispetto la Terra, che non è un riferimento
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MOTO RISPETTO ALLA TERRA
inerziale. Vediamo cosa comporta la scelta di un sistema solidale alla Terra
nella descrizione dei moti.
Consideriamo la Terra che ruota intorno al
−5
proprio asse con T = 24h = 86400s da cui ω = 2π
T = 7.29 · 10 rad/s.
Trascuriamo il moto della Terra intorno al Sole che ha una ω più piccola.
L’accelerazione di un corpo vicino la Terra utilizzando le trasformazioni
relative diventa ~
g0 = ~
g′ + ω
~ × (~
ω×~
r ) + 2~
ω × v~′ con ~
g 0 l’accelerazione di
gravità nel sistema inerziale Per cui l’accelerazione riscontrata sulla Terra
è ~
g′ = ~
g0 − ω
~ × (~
ω×~
r ) − 2~
ω × v~′ il cui effetto è una diminuzione di g con
la latitudine dovuto al termine centrifugo e uno scostamento dalla verticale
(dell’ordine di 0.1◦ )
N
y
Fcentrif
θL
x
Vediamo in dettaglio:
nel caso v ′ = 0 vogliamo determinare la direzione di g’ rispetto alla verticale e facciamo il
prodotto vettoriale dell’accelerazione centrifuga indicando la latitudine θL
l’angolo tra equatore e zenith: ω
~ ×~
r = ωr cos(θL ) ed è uscente rispetto al
piano e di conseguenza ω
~ × (~
ω ×~
r ) = ω 2 RT cos θL = 0.024m/s2 diretta centrifuga cioe’ a est della figura (il valore calcolato per θL = 45◦ ) scomponiamo
rispetto ad un sistema di coordinare polari (y radiale x tangenziale):
gx′ = +ω 2 RT cos θL sin θL
gy′ = −g0 + ω 2 RT cos2 θL
tan φ =
gx′
−ω 2 RT sin θL cos θL
=
⇒
gy′
g0 − ω 2 RT cos2 θL
φ = 0.099◦
Problema 5.7
Un corpo puntiforme di massa mA = 2kg è posto su un carrello che scorre
su un piano orizzontale. Inizialmente il corpo è fermo ed è ad una distanza
di d=1 m dal bordo del carrello, la cui massa è mB = 8 kg. Tra carrello e
corpo il coefficiente di attrito dinamico è µd = 0.2. Il carrello viene mosso da
una forza F=30 N e anche il corpo A inizia a scivolare sul carrello. Quanto
tempo occorre ad A per raggiungere il bordo?
Cap.5-Moti relativi
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Fatt
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MOTO RISPETTO ALLA TERRA
A
F
B
R
Il diagramma delle forze lo ricostruiamo
pensando a come avviene il moto: l’attrito tra A e B si tramette in B e lo
valutiamo col principio di azione e reazione Scriveremo allora:
B : −F + R = MB aB
A : −µd N = −µd mA g = mA aA
e |R| = µd N
da cui si ottiene che −F +µd mA g = mB aB ⇒ aB = − F −µmdBmA g = −3.26m/s2
e aA = −µd g = −1.96m/s2
Per i moti relativi si at = a − aO = aA − aB = −1.96 − (−3.26) =
+1.3m/s2 Dalla cinematica abbiamo che d = 12 at2 ⇒ t2 = 2d
a ⇒ t = 1.24s
Problema 5.8 Mazzoldi
Un pendolo semplice di lunghezza l=0.4 m è appeso ad un supporto che
avanza con accelerazione a=5 m/s2 (orizzontale). Calcolare l’angolo di equilibrio rispetto la verticale e il periodo delle piccole oscillazioni rispetto la
posizione di equilibrio.
Le forze agenti sono T della fune, P e nel sistema modile la forze apparente Fa orizzontale.
x:
−Fap + T cos θ = 0
y : T sin θ − M g = 0 e Fap = M a ⇒
cotgθ =
a
⇒ θ = 27◦
g
θ
M\a = T cos θ = M\g cos
sin θ ⇒
Periodo di oscillazioni: nel sistema in moto appare p
come una diversa accelerazione di gravità : g~′ = ~
g +~
a il modulo√|g~′ | = g 2 + a2 perchè sono
tra loroqperpendicolari il cui valore è a = 9.82 + 52 = 11m/s2 e poichè
T = 2π
L
g′
si ottiene T=1.25 s
Cap.5-Moti relativi
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