Il Termostato da forno - NonSoloFisica.altervista.org

Il termometro da forno
Alessandro Veca IIIH 2015-16
Un termometro da forno è costituito da una lamina
bimetallica Fe-Cu avvolta a spirale. Al suo estremo libero,
perpendicolarmente alla lamina, è applicato un indice,
lungo 4,7 cm, come mostra il disegno.
L’indice, che si può spostare lungo un quadrante fisso su
cui è disegnata una scala circolare che fornisce il valore
della temperatura, percorre un arco di 5,5 cm.
A forno spento, alla temperatura di 23°C, le due lamine
hanno uguale lunghezza di 23,0 cm.
La temperatura massima raggiunta dal forno è 250°C. La
spirale è avvolta in senso orario e si vuole che l’indice ruoti
in senso orario al crescere della temperatura.
Qual è la differenza di allungamento massimo dei due
metalli?
Occorre porre all’esterno della spirale il ferro o il
rame?
Di quanti gradi ruoterà al massimo l’indice?
DATI
L indice=4,7 cm
∆l scala graduata= 5,5 cm
Ti= 23°C
Tf= 250°C
lFe=lCu= 23,0 cm
RICHIESTE
∆(∆l)=?
Quale tra ferro e rame va posto all’esterno?
° rotazione indice =?
SVOLGIMENTO
Osserviamo innanzitutto che, per rispondere alla
prima richiesta, è necessario conoscere alcuni dati
impliciti, ovvero il coefficiente di dilatazione lineare (in
quanto le due lamine di ferro e rame sono così sottili
da poter essere schematizzate in due linee, quindi
monodimensionali) dei due materiali.
λFe = 12 ∗ 10
λCu = 17 ∗ 10
Adesso ci è possibile calcolare quanto le due lamine si
dilatano al variare della temperatura ∆T mediante la
formula:
∆l = li ∗ λ ∗ ∆T
∆T= Tf-Ti= (250-23)°C=227°C
∆lFe = lFe ∗ λ ∗ ∆T = 23,0cm ∗ 12 ∗ 10
= 0,062
= 6,2 ∗ 10
∗ 227°
∆lCu = lCu ∗ λ ∗ ∆T = 23,0cm ∗ 17 ∗ 10
= 0,088
= 8,8 ∗ 10
∗ 227°
La differenza di allungamento tra le due lamine sarà uguale
a:
∆all = ∆lCu − ∆lFe = "0,088 − 0,062#
2,6 ∗ 10
= 0,026
=
Per rispondere alla seconda domanda ci è opportuno
schematizzare la forma delle lamine in quella di due
circonferenze concentriche, come in figura.
Osserviamo che, prendendo in considerazione i due
archi evidenziati in rosso e verde, rappresentanti la
dilatazione subita dalle due lamine, entrambi, affinchè
l’indice si mantenga perpendicolare alle lamine,
devono essere della stessa ampiezza in gradi.
Ma allora, essendo vero quanto detto, giacchè l’arco
più esterno apparterrà ad una circonferenza di raggio
maggiore a quella interna, allora anche l’arco della
circonferenza esterna sarà di lunghezza maggiore di
quello della circonferenza interna, in formule:
$% > $'; )% = * ∗ $%; )' = * ∗ $' => )% > )'
Se l’arco esterno è maggiore in lunghezza di quello
interno, allora deve essersi la lamina esterna si è
dilatata di più di quella interna, e questo è vero se il
rame (Cu), che si è allungato maggiormente per via del
suo coefficiente di dilatazione lineare λ maggiore , è
posto all’esterno.
La risposta alla domanda 3 si ottiene attraverso alcuni
calcoli prettamente geometrici: il nostro obbiettivo è
calcolare il diametro della circonferenza immaginaria
su cui l’indice ruota al variare della temperatura.
Per ottenerlo dobbiamo calcolare innanzitutto il
raggio, dato dalla somma della lunghezza dell’indice
4,7 cm, più il segmento “x”, come mostrato in figura.
Sfruttando la similitudine presente tra raggi di
circonferenze concentriche (in rosso) e archi di uguale
ampiezza (in verde), otteniamo la formula:
+: 0,088 = "+ + 4,7#: 5,5
In cui il primo ed il terzo termine rappresentano le
misure dei raggi, mentre secondo e quarto sono le
misure degli archi delle due circonferenze; a sx vi sono
le misure relative alla circonferenza interna, a dx
quelle della circonferenza esterna.
Dalla formula otteniamo
x=0,076
Sommando il segmento “x” alla misura dell’indice
otteniamo dunque il valore del raggio che cercavamo:
+ + 0'12' % = "0,076 + 4,7#
= 4,776
Ottenuto il raggio, ricaviamo la misura della
circonferenza mediante la formula
= 2$3 = 2 ∗ 4,776
∗ 3,14 = 30
Una volta nota la misura dell’arco esterno (5,5 cm) e
della circonferenza (30 cm), mediante la seguente
proporzione possiamo ottenere la massima ampiezza
in gradi dell’angolo formato dall’indice rispetto alla
sua posizione iniziale.
5,5: 30 = 4: 360
Da cui ricaviamo α=67°C, dove “α” è l’ampiezza in gradi cercata.
Abbiamo così terminato la risoluzione del problema.
Alessandro Veca IIIH 2015-16
Liceo Scientifico Statale G. Galilei, Palermo