Formulario sui Prodotti Hermitiani Marcello Mamino — Pisa, 24·v

Fo r m u l a r i o sui P ro d o t t i H e r m i t i a n i
Marcello Mamino — Pisa, 24·v·2010
In quetsa dispensa: V è uno spazio vettoriale di dimensione d sul campo complesso C generato dai vettori v1 , . . . , vd . Le variabili m, n, i, j, . . . rappresentano
elementi di N, le variabili x, y, . . . rappresentano elementi di C, le variabili v, w, . . . rappresentano elementi di V. Il simbolo M(m × n; C) rappresenta lo
def
spazio delle matrici complesse con m righe ed n colonne, Cm = M(m × 1; C) è
lo spazio dei vettori colonna complessi con m componenti. Se M è una matrice,
allora con Mi,j si intende l’entrata di M nella i-esima riga e j-esima colonna.
Definizione 1. Sia M = {Mi,j }i,j una matrice in M(d × d; C). M si dice:
t
t
i. unitaria se MM = Idd ——ossia M = M−1
t
ii. hermitiana se M = M——ossia Mi,j = Mj,i per ogni i, j
t
t
iii. normale se M M = MM .
def
Definizione 2. Una forma sesquilineare su V è una mappa φ : V × V → C
tale che
φ(v1 + v2 , w1 + w2 ) = φ(v1 , w1 ) + φ(v1 , w2 ) + φ(v2 , w1 ) + φ(v2 , w2 )
φ(xv, yw) = xyφ(v, w)
per ogni v1 , v2 , w1 , w2 , v, w ∈ V ed ogni x, y ∈ C. Inoltre, se
φ(v, w) = φ(w, v)
per ogni coppia di vettori v e w di V, allora la forma sesquilineare φ è detta forma hermitiana o prodotto hermitiano. Se per ogni v 6= 0 esiste un w tale
che φ(v, w) 6= 0 allora la forma φ è detta non degenere, altrimenti è degenere.
Fissata una forma hermitiana φ su V, due vettori v e w tali che φ(v, w) = 0
si dicono ortogonali rispetto a φ. Chiaramente la condizione φ(v, w) = 0
equivale a φ(w, v) = 0. Un vettore ortogonale a se stesso è detto isotropo.
Fissata una base B = {vi }i di V, si dice che una forma sesquilineare φ è
rappresentata dalla matrice quadrata M ∈ M(d × d; C) in detta base se
def
Mi,j = φ(vi , vj )
in questo modo avremo che se v e w sono i vettori colonna che rappresentano
nella base B i vettori v e w allora
φ(v, w) = vt Mw
La forma φ è degenere se e solo se la matrice M è singolare (ossia se e solo se
Det (M) = 0). La forma φ è hermitiana se e solo se la matrice M è hermitiana.
La forma hermitiana
h(v, w) = vt w
definita sullo spazio Cd dei vettori colonna complessi con d componenti è
detta prodotto unitario o prodotto hermitiano standard.
1
Definizione 3. Dato un endomorfismo lineare f : V → V, l’aggiunto di f, rispetto ad una forma sesquilineare φ non degenere, è l’unico endomorfismo
lineare f∗ di V che soddisfa
φ (f(v), w) = φ (v, f∗ (w))
Un automorfismo lineare di V si rappresenta nel modo usuale nella badef
se B = {vi }i mediante la matrice F ∈ M(d × d; C) tale che per ogni j si abbia
X
f(vj ) =
Fi,j vi
i
F∗
in questo modo la matrice
che rappresenta l’automorfismo aggiunto f∗ di f
rispetto a φ è determinata da
F∗ = M−1 Ft M
ove M è la matrice associata a φ nella stessa base.
Se φ è una forma hermitiana, allora φ(v, v) = φ(v, v), quindi per ogni vettore v
abbiamo che φ(v, v) ∈ R.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Definizione 4. Una forma hermitiana φ su V è detta:
definita positiva se per ogni v ∈ V non nullo φ(v, v) > 0
definita negativa se per ogni v ∈ V non nullo φ(v, v) < 0
semidefinita positiva se non è definita e per ogni v ∈ V si ha φ(v, v) > 0
semidefinita negativa se non è definita e per ogni v ∈ V si ha φ(v, v) 6 0
indefinita se esiste un v ∈ V non nullo tale che φ(v, v) = 0 (ossia esiste un
vettore isotropo non nullo).
Si noti che le forme hermitiane semidefinite (positive o negative), in particolare,
sono indefinite. Tutte le forme hermitiane degeneri sono indefinite. Le forme
non degeneri possono essere definite o indefinite.
Definizione 5. Fissiamo una forma hermitiana φ su V. Sia A un sottospazio
vettoriale di V. Il sottospazio ortogonale ad A rispetto a φ è il seguente
sottospazio vettoriale di V:
A⊥ = {v ∈ V | ∀w ∈ A φ(v, w) = 0}
Se v è un vettore di V, con v⊥ si intende lo spazio ortogonale al sottospazio di V
generato da v: in particolare si tratta dell’insieme dei w ∈ V tali che φ(v, w) = 0.
def
Il sottospazio Rad (φ) = V ⊥ di V è detto spazio radicale di φ.
Se M rappresenta φ in una certa base, ed il vettore colonna v rappresenta v ∈ V
in quella stessa base, allora v⊥ è rappresentato dall’insieme di quei vettori
colonna w tali che vt Mw = 0, ossia dal nucleo di vt M (vista come applicazione
lineare da Cd a C). Vale l’identità
(A + B)⊥ = A⊥ ∩ B⊥
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quindi è possibile calcolare l’ortogonale ad un sottospazio A di V intersecando i sottospazi ortogonali ad un insieme di generatori di A. Altrimenti, se
v1 , . . . , vm sono vettori colonna che rappresentano un insieme di generatori
di A, allora il sottospazio ortogonale ad A è rappresentato dal nucleo di Nt M,
ove N ∈ M(d × m; C) è definita da Ni,j = (vj )i . Applicando quest’ultimo procedimento a V ⊥ si ottiene che lo spazio radicale è rappresentato dai vettori
colonna appartenenti al nucleo di Mt = M (infatti N può essere presa uguale
all’identità).
Proposizione 6. Data una forma hermitiana φ su V, esiste una base di V costituita
da vettori fra loro ortogonali rispetto a φ. Una base dotata di questa proprietà è
detta base ortogonale rispetto a φ. Se, inoltre, φ è definita positiva, allora esiste
una base B di V tale che per ogni v ∈ B si abbia φ(v, v) = 1: una base dotata di questa
proprietà è detta base ortonormale.
Chiaramente, una base è ortogonale rispetto a φ se e solo se la matrice che
rappresenta φ in quella base è una matrice diagonale.
Definizione 7. Sia φ una forma hermitiana, sia B = {vi }i una base ortogonale
per φ, e sia M la matrice diagonale che rappresenta φ nella base B. Allora si
dice segnatura di φ la terna di numeri interi positivi (p+ , p− , n) ove
i. p+ è il numero di entrate positive della diagonale di M
ii. p− è il numero di entrate negative della diagonale di M
iii. n è il numero di entrate nulle della diagonale di M (che coincide con la
dimensione di Rad (φ)).
I numeri p+ , p− , ed n sono detti rispettivamente indice di inerzia positivo,
indice di inerzia negativo, e nullità di φ. Tale terna dipende unicamente
da φ e non dalla base B.
def
Proposizione 8. La segnatura identifica una forma hermitiana a meno di automorfismi
lineari di V. Due forme hermitiane φ e φ 0 su V hanno, quindi, la medesima segnatura
se e solo se esiste un automorfismo f di V tale che φ(v, w) = φ 0 (f(v), f(w)) per ogni
coppia di vettori v e w.
Sia (p+ , p− , n) la segnatura di φ. Allora la classificazione di φ come degenere/non-degenere, e (semi-)definita (positiva o negativa)/indefinita è determinata
dallo schema seguete.


p+ = 0 =⇒ definita negativa


n = 0 =⇒ non-degenere p− = 0 =⇒ definita positiva






p+ > 0 & p− > 0 =⇒ indefinita




p+ = 0 =⇒ semidefinita negativa
n > 0 =⇒ degenere
(indefinita) p− = 0 =⇒ semidefinita positiva
def
Il polinomio caratteristico p(λ) = Det (M − λ Idd ) della matrice M associata
ad una forma hermitiana φ in una qualunque base di V ha necessariamente
d radici reali, contate con secondo la loro molteplicità. Il polinomio p dipende
3
dalla base, tuttavia la segnatura (p+ , p− , n) di φ – indipendente dalla base –
può essere determinata a partire dal polinomio caratteristico:
i. p+ è il numero delle radici positive di p(λ), contate con la loro molteplicità
ii. p− è il numero delle radici negative di p(λ), contate con la loro molteplicità
iii. n è la massima potenza di λ che divide p(λ), ossia la molteplicità di 0.
La somma p+ + p− + n eguaglia la dimensione dello spazio d. In particolare,
il numero delle radici positive (risp. negative) è il numero delle variazioni
(risp. permanenze) nella sequenza dei segni dei coefficienti di p(λ)/λn —gli
zeri contano come positivi (ma, in realtà, con qualunque segno li si conti il
risultato non cambia).
È possibile determinare una base ortogonale rispetto ad una data forma hermitiana mediante il procedimento di Gram-Schmidt. Supponiamo, innanzitutto,
che φ sia una forma hermitiana definita e v1 , . . . , vd generino V. Una base
ortogonale v10 , . . . , vd0 di V rispetto a φ è data da:
v10 = v1
v20 = v2 −
φ(v2 , v10 ) 0
v
φ(v10 , v10 ) 1
v30 = v3 −
φ(v3 , v10 ) 0 φ(v3 , v20 ) 0
v −
v
φ(v10 , v10 ) 1 φ(v20 , v20 ) 2
..
.
vd0 = vd −
0
φ(vd , vd−1
) 0
φ(vd , v10 ) 0 φ(vd , v20 ) 0
v
v
v
−
−
·
·
·
−
1
2
0
0
0
0
0
0
φ(v1 , v1 )
φ(v2 , v2 )
φ(vd−1 , vd−1 ) d−1
L’ipotesi che φ sia definita assicura che i denominatori delle frazioni non siano
nulli. Se φ è definita positiva, allora una base ortonormale è data dai vettori
vi0 normalizzati:
v0
def
vi00 = p i0 0
φ(vi , vi )
pa s s o i .
pa s s o i i .
pa s s o i i i .
caso sfav o r e v o l e .
caso fav o r e v o l e .
Se, tuttavia, φ è semidefinita o indefinita, allora uno dei denominatori nel
procedimento di Gram-Schmidt potrebbe annullarsi. Manualmente, un metodo
comodo è:
calcolare una base qualunque Brad di Rad (φ)
scegliere d − n vettori vn+1 , . . . , vd (ove n è la nullità di φ) che completano la
base Brad ad una base di V
applicare Gram-Schmidt ai vettori vn+1 , . . . , vd
se uno dei denominatori si annulla ripetere il passo ii scegliendo un’altra base
0
0
altrimenti Brad ∪ {vn+1
, . . . , vd0 }, ove vn+1
, . . . , vd0 sono i vettori ottenuti da
Gram-Schmidt, è una base ortogonale.
Chi non intendesse affrontare l’alea del passo ii potrà applicare il metodo
di Lagrange, che generalizza il procedimanto di Gram-Schmidt, cosı̀ come
è descritto a pagina 396 e seguenti del libro di testo (C. Ciliberto, Algebra
Lineare).
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Proposizione 9. Una matrice quadrata M ∈ M(d × d; C) è normale se e solo se può
essere espressa nella forma M = UDU−1 ove D ∈ M(d × d; R) è una matrice diagot
nale reale ed U ∈ M(d × d; C) è unitaria—quindi, in particolare, si ha M = UDU .
In questo caso si dice che la matrice U diagonalizza M.
Per trovare le matrici U e D della proposizione precedente si procede in questo
modo.
pa s s o i . Si calcolano gli autovalori λi e i relativi autospazi Vi di M.
pa s s o i i . Per ogni autospazio Vi si trova una base ortonormale rispetto al prodotto
hermitiano standard (se l’autospazio ha dimensione 1 basta normalizzare
l’autovettore, altrimenti si applica il procedimento di Gram-Schmidt—si noti
che il prodotto hermitiano standard è definito positivo).
pa s s o i i i . Al passo ii si sono trovati, in totale, d autovettori: v10 , . . . , vd0 . Siano λ10 , . . . , λd0 ,
nel giusto ordine, gli autovalori corrispondenti a v10 , . . . , vd0 . Allora la matrice U
è ottenuta giustapponendo le colonne v10 , . . . , vd0 —più precisamente Ui,j = (vj0 )i .
D è la matrice diagonale
λ10
0

D= .
 ..

0
λ20
···
..
0
.
λd0
0





M rappresenta un endomorfismo lineare di Cd nella base canonica e1 , . . . , ed :
il medesimo automorfismo è rappresentato nella base v10 , . . . , vd0 dalla matrice
diagonale D. Più in generale, se M rappresenta un endomorfismo di V nella
base v1 , . . . , vd , allora il medesimo endomorfismo è rappresentato da D nella
P
base v10 , . . . , vd0 , ove vi0 = j (vi0 )j vj .
f i n i s d i s p e n sæ
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