Risposte - Dipartimento di Matematica, Tor Vergata

UNIVERSITÀ DI ROMA “TOR VERGATA”
Analisi Matematica II per Ingegneria — Prof. C. Sinestrari
Risposte (sintetiche) agli esercizi del 29.XI.2015
1. Le curve hanno tutte parametrizzazioni di classe C ∞ . Per studiare la regolarità calcoliamo φ0 (t)
e verifichiamo se si può annullare.
(a) φ0 (t) = (−R sen t, R cos t), non nullo per ogni t, curva regolare.
(b) φ0 (t) = ( −3 cos2 t sen t , 3 sen 2 t cos t ), si annulla per t = 0, π/2, π, (3/2)π, 2π, curva regolare
a tratti.
(c) φ0 (t) = ( et (cos t − sen t) , et ( sen t + cos t) ), non nullo per ogni t, curva regolare. (Nota:
piuttosto che studiare l’annullamento simultaneo
di x0 (t) e y 0 (t), conviene in questo caso
√ t
0
0
calcolare ||φ (t)||; si trova che ||φ (t)|| = 2e e quindi φ0 (t) 6= 0 per ogni t.)
(d) φ0 (t) = ( 3t2 , 2t ), si annulla per t = 0, curva regolare a tratti.
(e) φ0 (t) = ( − sen t , cos t, 1 ), non nullo per ogni t, curva regolare.
2. (a) L(φ) = 2πR
√
(e) L(φ) = 2 2π.
(b) L(φ) = 6
(c) L(φ) =
√
2(e2π − 1)
(d) L(φ) =
2 3
13 2 − 8
27
3. Nota: esistono diversi modi equivalenti di parametrizzare la retta tangente alla curva. Noi
prendiamo come equazioni parametriche quelle date da
x = x0 + x0 (t0 )t,
y = y0 + y 0 (t0 )t.
L’equazione cartesiana della retta tangente invece si ricava dalla formula
y 0 (t0 )(x − x0 ) = x0 (t0 )(y − y0 ).
(a) P1 corrisponde a t = 0, la retta tangente ha equazione parametrica x = 0, y = 2t ed
equazione cartesiana x = 0 (coincide con l’asse y).
P2 non appartiene alla curva,
√
√
√
√
P3 = φ(π/4),
√ la retta tangente ha eq. par. x = −2 + 2 − 2t, y = 2 + 2t ed eq. cart.
x + y = 2 2 − 2.
(b) P1 non appartiene alla curva,
√
√
3 − t, y = 1 + 2 3t ed eq. cart.
P√
2 = φ(π/6), la retta tangente ha equaz. param. x =
2 3x + y = 7,
P3 non appartiene alla curva.
(c) P1 = φ(1), la retta tangente ha eq. par. x = 4t, y = t ed eq. cart. x − 4y = 0,
P2 non appartiene alla curva,
P3 = φ(−1), la retta tangente ha eq. par. x = −4t, y = −2 + t ed eq. cart. x + 4y = −8.
4. Al variare di t ∈ [0, 2π], le uguaglianze cos t = 0, sen 2t = 0 sono soddisfatte simultaneamente
per t = π/2 o t = 3π/2. Quindi la curva passa due volte per l’origine. I vettori velocità
corrispondenti sono φ0 (π/2) = (−1, −2) e φ0 (3π/2) = (1, −2); essi non sono paralleli, quindi
le rette tangenti non coincidono. Le equazioni (ad es. cartesiane) delle rette tangenti sono
rispettivamente y = 2x e y = −2x.
Z
5. (a)
(x2 y + y 3 ) ds =
π
Z
16 sen t dt = 32.
0
φ
Z
2
2π
Z
2
e
(x + y ) ds =
(b)
√
π/2
Z
Z
xy ds =
0
φ
Z
2
Z
4
t5
0
φ
Z
Z
2
(xy − 2y + z ) ds =
(e)
0
φ
Z (f)
φ
Z
2
x + 4z
3
2
1
Z
ds =
10 6π
(e − 1).
3
p
1
16t6 + 1 dt = −
(10253/2 − 1).
144
2π
√
32 √
(9 cos t sen t − 6 sen t + 4t2 ) 13 dt =
13π 3 .
3
p
√
(2t + 4t3 )3 1 + t2 + t4 dt = 2(3 3 − 1).
0
1
Z
2
2t
(e + e
(x + y ) ds =
(g)
10 dt =
Z
p
3 4√
38
6 cos t sen t 4 sen 2 t + 9 cos2 t dt = −
u du = .
5 9
5
y(x − 2y ) ds = −
(d)
√
0
φ
(c)
3t
−2t
Z 1
p
2t
−2t
) e +e
+ 2 dt =
(e2t + e−2t )(et + e−t ) dt
0
φ
0
e3
1
1
=
+ e − − 3.
3
e 3e
6. Si ha da un lato
dall’altro
d
d
||v(t)||2 = hv(t), v(t)i = 2hv0 (t), v(t)i,
dt
dt
d
2
dt ||v(t)||
= 0 perché l’espressione è costante. Ne segue che hv0 (t), v(t)i = 0.
1
0
7. La
p parametrizzazione è di classe C per ipotesi; inoltre un calcolo diretto mostra che ||φ (t)|| =
2
0
2
ρ(t) + ρ (t) , che è strettamente positivo per l’ipotesi ρ(t) > 0.
8. Un ellisse di semiassi a, b è parametrizzato da γ(t) = (a cos t, b sen t), con t ∈ [0, 2π]. Consideriamo il caso a > b (l’altro è analogo). Allora
2π
Z
L(φ) =
0
Z
2π
Z
p
2
2
2
2
a sen t + b cos t dt <
0
2π
Z
p
a2 sen 2 t + b2 cos2 t dt >
L(φ) =
0
0
Z
p
2
2
2
2
a sen t + a cos t dt =
2π
a dt = 2πa,
0
2π
Z
p
b2 sen 2 t + b2 cos2 t dt =
2π
b dt = 2πb,
0
quindi 2πb < L(φ) < 2πa.
9. Il cambio di parametro tra (a) e (b) è dato da h(t) = −t/4,
√ mentre quello tra (a) e (c) è
h(t) = arcsin(t/4). Nelle tre parametrizzazioni il punto ( 3, 2) corrisponde rispettivamente
√
al valore
del
parametro
t
=
π/6,
t
=
−2π/3,
t
=
2
e
i
vettori
velocità
sono
(−1,
2
3),
0
0
0
√
√
(1/4, − 3/2), (−1/2 3, 1) che sono paralleli.
10. (a)
R
(b)
R
γ
γ
F · dr =
52
3
,
F · dr =
R
F · dr = 0;
γ̃
R
γ̃
F · dr = 16;
(c)
R
γ
F · dr = 2π + 83 π 3 ,
R
γ̃
F · dr = 83 π 3 .
Nei casi (a) e (c), otteniamo diversi valori dell’integrale su due curve con gli stessi estremi, quindi
i campi non possono essere conservativi (alla stessa conclusione si può arrivare, più rapidamente,
verificando che i campi non sono irrotazionali). Nel caso (b) si ottiene lo stesso valore, e quindi
non si può dedurre nulla sulla conservatività del campo, cioè il calcolo dei due integrali non
permette di trarre conclusioni. D’altra parte, si può osservare che il campo non è irrazionale
e quindi sicuramente non è conservativo. Questo esempio mostra che anche un campo non
conservativo può avere lo stesso integrale su particolari coppie di curve con gli stessi estremi.
11. (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
F è conservativo e un suo potenziale è U (x, y) = x2 sin y.
F non è conservativo.
F è conservativo e un suo potenziale è U (x, y) = xe−y + y 2 .
F non è conservativo.
F non è conservativo.
F è conservativo e un suo potenziale è U (x, y, z) = − cos(x − y) − y 2 z + 3z. (NB il testo
originario era sbagliato, adesso è stato corretto; col testo originario il campo non era conservativo).
12. (a) a = − 21 , U (x, y) = − x2 cos(y 2 ), l’integrale vale − 12 .
(b) a = 2, U (x, y) = y arctg(x2 ), l’integrale vale 0.
(c) F non è conservativo per nessun valore di a.
(d) a = 21 , U (x, y) = 12 e2x
2 +y
2
+ x2 ey , l’integrale vale
2
e2 +1
2 .
2
13. (a) Poniamo F = G + H, dove G = ( 2xyex y , x2 ex y ) e H = ( y , 2x + y ). In questo modo G
2
è conservativo e ha come potenziale U (x, y) = ex y . Otteniamo
Z
Z
Z
17
11
F · dr = G · dr + H · dr = (1 − e) +
=
− e,
6
6
γ
γ
γ
dove il primo termine è calcolato usando il potenziale e il secondo con la definizione. (NB è
2
2
possibile definire i campi G e H anche in altri modi, ad es. G = ( 2xyex y +y , x2 ex y +x+y )
e H = (0, x); i conti sono simili).
(b) Posto F = G + H, dove G = ( 2x cos[π(x2 − y 2 )] , −2y cos[π(x2 − y 2 )] ) e H = ( 0 , x2 ), si
ha che G = ∇U dove U (x, y) = π1 sin[π(x2 − y 2 )] e pertanto
Z
Z
Z
8
8
F · dr = G · dr + H · dr = 0 +
= .
15
15
γ
γ
γ
14. La forma è esatta per a = 2 e in questo caso un suo potenziale è
1
U (x, y) = e2x sen (4πy) + y 2 (x + 1)
2
e l’integrale su φ vale U (−1, 0)−U (0, 1) = −1. Per rispondere a (c) conviene utilizzare un metodo
simile a quello dell’esercizio precedente. Indichiamo con ω̄ la forma corrispondente al caso a = 2
appena studiato; allora, per un a generico, si ha ω = ω̄ + (a − 2)y(x + 1)dy. Essendo ω̄ esatta,
il suo integrale su ζ coincide con quello su φ appena calcolato. Usando la parametrizzazione
ζ(t) = (−t, 1 − t), con t ∈ [0, 1], troviamo quindi
Z
Z
Z
Z 1
1+a
ω = ω̄ + (a − 2)y(x + 1)dy = −1 + (a − 2)
−(1 − t)2 = −
.
3
ζ
ζ
ζ
0
15. Entrambi i campi sono irrotazionali, ma sono definiti in R2 \ {(0, 0)} che non è un insieme
semplicemente connesso. Pertanto i criteri generali non danno informazioni ed entrambi i casi
sono dubbi. Per giungere alla risposta ricorriamo a ulteriori considerazioni. Nel caso del campo
(a), se calcoliamo l’integrale lungo una circonferenza centrata in (0, 0) usando la definizione,
troviamo facilmente che il risultato è 2π. Il campo quindi non è conservativo, perché altrimenti
il suo integrale su ogni curva chiusa sarebbe nullo. Nel caso del campo (b), se si applica uno dei
metodi noti per il calcolo del potenziale, si trova come candidato la funzione U = 21 ln(x2 + y 2 ).
Si verifica che U è definita nello stesso insieme di F e che ha come derivate parziali le componenti
di F (tale verifica è necessaria perché non sappiamo a priori che il campo è conservativo). Quindi
U è un potenziale di F, e F è conservativo.
16. (a) FALSO Ad esempio, una qualunque curva γ1 (diversa da un segmento) ha una lunghezza
strettamente maggiore del segmento γ2 che unisce gli stessi estremi. (NB questa proprietà,
come le successive (c), (e) e (g), può richiamare a prima vista proprietà valide per integrali
di seconda specie, ma non bisogna confondere le due situazioni).
(b) VERO E’ stato dimostrato a lezione.
(c) FALSO La lunghezza resta invariata (caso particolare di (b) con f = 1).
(d) FALSO Ad esempio, se f è una funzione negativa ovunque, il suo integrale è negativo su
qualunque curva.
(e) FALSO Ad esempio, se f = 1 l’integrale coincide con la lunghezza della curva, che è
strettamente positiva.
(f) VERO Per simmetria, il contributo della parte destra della circonferenza si cancella con
quello della parte sinistra che ha segno opposto.
(g) FALSO Anche in questo caso, la funzione f = 1 verifica banalmente l’ipotesi ma non la
tesi.
17. (a) VERO E’ stato dimostrato a lezione
(b) VERO E’ stato dimostrato a lezione
(c) FALSO Un controesempio è quello dell’esercizio 5 (a)
(d) VERO E’ stato dimostrato a lezione
(e) FALSO Un controesempio è stato visto nella risposta all’esercizio 5 (a). La proprietà
sarebbe vera se si aggiungesse l’ipotesi che γ sia omotopa a un punto, o che l’insieme di
definizione di F sia semplicemnte connesso.
(f) FALSO L’integrale è non nullo su almeno una curva chiusa, ma non necessariamente
su tutte le curve (si possono costruire controesempi,
ad es. se F = (xy, 0) e γ è una
R
circonferenza centrata nell’origine si trova che γ F · dr = 0 ma F non è irrotazionale).
(g) VERO Se un campo non è irrotazionale, allora non è conservativo e quindi (per un teorema
enunciato a lezione) non può avere lo stesso integrale su tutte le coppie di curve con gli
stessi estremi.
(h) FALSO Se si prende una qualunque funzione f definita in R2 \{(0, 0)} e si pone F = ∇f , si
ottiene un campo F definito in R2 \{(0, 0)} e conservativo. (cf. anche il campo dell’esercizio
5(b)).
(i) VERO L’insieme R3 \ {(0, 0, 0)} è semplicemente connesso e quindi, per un teorema enunciato a lezione, un campo irrotazionale definito in tale insieme è anche conservativo.
(j) VERO Le ipotesi dicono che F è irrotazionale e definito ovunque. Per i teoremi visti nel
corso, un tale campo è conservativo e il suo integrale su una qualunque curva chiusa è nullo.
18. Applicando il teorema di Stokes nel piano troviamo
Z
Z
Z 0
Z −2x
Z
(a)
F · dr =
rot F dxdy =
dx
(−6x + 2) dy =
γ
Z
F · dr =
(b)
γ
−x/2
2
rot F dxdy =
Z
Z
−π
Z π
3
(−16π)ρ dρ = −32π.
0
Z
3
(−6ρ cos θ + 2)ρ dθ =
2
π/2
2
Ω
2
Z
−8(2 + ρ cos θ)ρ dθ =
dρ
rot F dxdy =
(9x2 − 3x) dx = 30.
−2
0
dρ
0
Z
F · dr =
γ
Z
Ω
Z
(c)
−2
Ω
Z
0
5
(6ρ2 + πρ)dρ = 38 + π.
2
19. Dato R > 0, indichiamo con γR la circonferenza di centro (0, 0) e raggio R percorsa in senso
antiorario. Presi due raggi qualunque R2 > R1 > 0, indichiamo con Ω la corona circolare
/ Ω, F è definito su tutto Ω e possiamo applicare il
compresa tra γR1 e γR2 . Poiché (0, 0) ∈
teorema di Stokes. Per percorrere il bordo di Ω con orientazione positiva bisogna seguire la
circonferenza esterna in senso antiorario e quella interna in senso orario. Troviamo quindi
Z
Z
Z
ZZ
F · dr =
F · dr −
F · dr.
rot F dxdy =
γR2
∂Ω
Ω
γR1
R
Poiché per ipotesi il campo è irrotazionale, il primo membro è nullo e quindi γR F · dr =
2
R
γR1 F · dr. Questo vale per qualunque coppia di raggi R1 , R2 , e pertanto abbiamo mostrato che
l’integrale è lo stesso qualunque sia il raggio.
20. Sappiamo che i campi conservativi hanno integrale nullo sulle curve chiuse, ma questo non aiuta
perché un campo conservativo sarebbe anche irrotazionale, mentre l’esercizio chiede di trovarne
uno non irrotazionale. Ricordiamo allora il teorema di Stokes, che ci dice che, dato un campo F
e una curva chiusa γ, e indicata con Ω la regione racchiusa da γ, si ha
Z
Z
F · dr =
rot F dxdy
γ
Ω
(a patto che F sia definito in tutto Ω). Per risolvere l’esercizio, basta quindi
(i) trovare una funzione f (x, y) che non sia identicamente nulla, ma che abbia integrale nullo su
un opportuno insieme Ω
(ii) trovare un campo F che abbia per rotore la funzione f trovata in (i).
Questo si può fare in infiniti modi. Per il punto (i) ci si può aiutare con cosiderazioni di simmetria,
si può prendere ad esempio come Ω un cerchio centrato nell’origine e come funzione f (x, y) = x.
Per il punto (ii) si può scegliere ad esempio F = (−xy, 0). Tale campo quindi non è irrotazionale,
e ha integrale nullo su γ, dove γ è una qualunque circonferenza centrata nell’origine.