Forme differenziali e campi vettoriali Forma differenziale Campo

Matematica B
Chimica
Forme differenziali e campi vettoriali
Forma differenziale
Campo vettoriale
Esempi: lavoro elementare
calore elementare
differenziale esatto
gradiente di una funzione
Matematica B
Differenziali esatti
La forma differenziale
è esatta se è il differenziale
di una funzione f
Chimica
Campi conservativi
Il campo
è conservativo se
è il gradiente di una funzione f
la funzione f è detto POTENZIALE (dato a meno di costante)
U è una funzione di stato
è un campo conservativo
Matematica B
Forme chiuse
Campi irrotazionali
Dall’uguaglianza delle derivate deconde miste
In 3 variabili
Chimica
Matematica B
Forma esatta
chiusa
U conservativo
Chimica
irrotazionale
Vale il viceversa purchè il dominio della forma o del campo
sia “fatto di un pezzo solo” (connesso) e
“non abbia buchi”(semplicemente connesso)
Matematica B
Schema riassuntivo
Chimica
Matematica B
Chimica
Integrali di campi vettoriali
In fisica: integrale di un campo lungo un cammmino = lavoro
Potenza:
Lavoro:
Matematica B
Chimica
Integrali di forme differenziali
Una forma differenziale può essere integrata lungo un cammino
Esempio: trasformazione adiabatica
3 diversi cammini
A, B+C, D+E
per condurre un
gas ideale da
Matematica B
Integrali di forme differenziali
e la curva
Data
Def. Integrale di linea di
Note:
lungo
Chimica
Matematica B
Integrale di forme differenziali lungo curve chiuse =
circuitazione
Esempi: 1)
si trova = 8
2)
=0
Chimica
Matematica B
Chimica
Circuitazione e forme esatte
Qual è la differenza tra i due esempi?
In 1)
non è chiusa e non è quindi esatta
In 2)
è chiusa ed è esatta perchè definita in tutto il piano
Vale il seguente Teorema fondamentale del calcolo integrale in 2 dim:
Quindi l’integrale non dipende dal cammino ma solo da punto
finale ed iniziale. In particolare
Matematica B
Riassunto:
Chimica
Sono equivalenti:
Per un campo conservativo il lavoro lungo un percorso chiuso è 0
o equivalentemente il lavoro non dipende dal cammino
Matematica B
Determinazione di un potenziale
Chimica
Matematica B
Chimica
Esempio di determinazione di un potenziale - 1. metodo
La forma
piano, quindi esatta
Integro sul cammino
è chiusa e definita su tutto il
Matematica B
Chimica
Esempio di determinazione di un potenziale - 2. metodo
La forma
piano, quindi esatta
è chiusa e definita su tutto il
Matematica B
Chimica
Altro esempio di determinazione di un potenziale - 2. metodo