lo sforzo (stress) - Università di Cagliari

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CORSO DI LAUREA IN SCIENZE GEOLOGICHE
A.A. 2012-2013
Corso di
GEOLOGIA STRUTTURALE
Docente: Antonio Funedda
Cenni di Meccanica delle rocce:
LO SFORZO
(STRESS)
Dipartimento di Scienze chimiche e geologiche - Cagliari
Geologia Strutturale
STRESS = SFORZO
Lo Stress è la causa della deformazione che viene indotta in una roccia
Motivi per studiare lo stress:
•Terremoti
•movimento delle placche litosferiche
•movimento delle frane
1
LO SFORZO
Nelle rocce agiscono due tipi diversi di forze:
Forze di campo (o di volume) che agiscono all'interno del volume della roccia e dipendono
anche dalla distanza e dalla quantità di materia interessata (in pratica dalla sua massa).
In geologia la forza di campo più importante è la gravità F=mg (dove m = massa e g =
accelerazione di gravità). Ad esempio una colonna di roccia di area A ed altezza h, con
peso di volume  è soggetta ad una Forza di gravità Fg = A h  g.
Anche la Forza di Archimede è una forza di campo, che però in questo caso agisce verso
l'alto, in direzione opposta alla Forza di gravità.
Forze di superficie che agiscono sulle superfici che delimitano i volumi di roccia che
consideriamo, sia reali che virtuali.
Esiste una stretta relazione tra forze di campo e forze di superficie.
Immaginiamo che la colonna sopra detta sia un
cubo con volume di 1 m3.
Pa = 9.700 kg
h=1m
A = 1m2
 = 2,7 kg/cm3
h=1m
g = 9,8 m/s2
Pl = 12.400 kg
Pa = pressione atmosferica
Pl = pressione litostatica
LO SFORZO
Lo stress  va quindi considerato come una Forza di superficie, ma non va confuso con la Forza (F = ma) o con la Pressione (F/s).
Stress (= Sforzo) è dato dal
 = F/ss = F/A
rapporto tra una forza e la sua
superficie di applicazione,
ss1=A cos
entrambi considerati come
grandezze vettoriali
 = F/A cos
2
STRESS = SFORZO
Se la forza è uniformemente distribuita su un'area lo sforzo sulla superficie sarà:

F
A
Vettori Forza (F) che agiscono su vari piccoli segmenti (A) del piano P disegnato attraverso un affioramento. F varia da punto a punto a causa del diverso spessore della roccia sulle diverse parti del piano P.
Una vista più generalizzata di forze non uniformi che agiscono su un piano mette in evidenza che sia il modulo che la direzione del vettore forza possono variare da un punto all'altro del piano. Se la forza F non è distribuita in maniera uniforme sull'area, ma cambia direzione e/o intensità da punto a punto, anche 
lo sforzo  sarà variabile da punto a punto e può essere definita come:
STRESS = SFORZO
F
 0 A
 lim
ovv.

dF
dA
L'unità di misura dello SFORZO è il Pascal
m
kg  2 
ma
N
s
  2   2  Pa

A
m
m
3
STRESS = SFORZO
Componenti dello sforzo
Convenzioni di rappresentazione dello sforzo
Analisi bidimensionale dello sforzo: sforzo uniassiale
Lo sforzo e la sua distribuzione in un corpo è ovviamente un problema in tre dimensioni. Per semplicità spesso questo viene affrontato analizzando solo due dimensioni, questo è in particolare il caso di quanto avviene in geologia, dove molti problemi possono essere risolti in due dimensioni.
Quindi partendo dalle considerazioni in 3 dimensioni (ad esempio un cubo di dimensioni infinitesime e con spigoli paralleli ai tre assi del sistema di riferimento) analizziamo la distribuzione delle componenti dello sforzo su un piano in esso contenuto.
s' s' 

F
s' s'
poiché
ss  A
ss
cos
s' s' 
A
cos

F cos
A
4
Analisi bidimensionale dello sforzo:stress uniassiale
Considerando le componenti dello sforzo, come indicato nei diagrammi, avremo che:
Ft  Fsen
F
cos2 
A
FN  F cos  FN 
Valori della componente di taglio dello sforzo:
= 0° e 90° t = 0,
= 45° t =max
 N   cos   N 
F
cos2 
A
 t    sen   t 
F
cos  sen
A
Analisi bidimensionale dello sforzo:
sforzo uniassiale
1. Non si può confondere F e 
2. E' la t che provoca la fratturazione con scorrimento
3. FN e Ft variano in maniera diversa da N e t
4. In realtà un t massimo a 45° è un caso teorico, in genere
avviene per angoli più vicini a 30°, in quanto non si hanno in natura
materiali ideali.
5
Le componenti dello Sforzo in un punto
Per definire lo sforzo su un singolo punto partiamo considerando lo sforzo agente su un piano qualsiasi:
"Il carico su una superficie qualunque causato da una forza applicata è funzione della forza e dell'area e dell'inclinazione della superficie". Lo sforzo qualunque si risolve sulla superficie come due vettori con una componente normale n ed una componente che si distribuisce sul piano t.
stress normale
stress di taglio
stress di taglio
Per considerare lo sforzo su un punto immaginiamo di ridurlo a dimensione infinitesima, ad un punto, perché per un punto passano infiniti piani.
Rappresentazione geometrica dello Sforzo in un punto
Lo stato dello sforzo in un punto può essere rappresentato geometricamente disegnando i vettori che rappresentano gli sforzi che agiscono su ogni punto passante per il punto dato. Le estremità di questi vettori disegnano un ellissoide (od una ellisse nel caso di analisi bidimensionale).
 1 ,  2 e  3 : sforzi principali
piani ortogonali : piani principali
In un corpo sottoposto a sforzo le sole tre superfici su cui le componenti di taglio dello sforzo sono nulle sono le superfici rispettivamente ortogonali e parallele agli assi dell'ellisse dello sforzo, cioè i piani principali.
Ellissoide dello sforzo, dove l'asse maggiore dell'ellissoide corrisponde a 1, l'asse intermedio a 2 e l'asse minore a 3.
1 2 3
6
Le componenti dello Stress in un punto
Consideriamo ora il punto come se fosse un cubo. Invece di infiniti piani consideriamo solo i tre principali.
Come già visto per descrivere lo sforzo in 3 dimensioni abbiamo bisogno di almeno 9 vettori di cui 3 sono forze normali al piano e 6 sono forze di taglio che si dispongono parallelamente agli spigoli del cubo.
Nella notazioni a pedice il primo termine identifica il piano indicandone il suo normale ed il secondo termine mostra a quale asse è parallelo il vettore. Perciò i termine con i due pedici uguali identificano le componenti perpendicolari alla faccia (sforzo normale) mentre le altre indicano le componenti parallele (sforzo di taglio) Le componenti di taglio dello sforzo con pedici opposti tendono a far ruotare il cubo attorno ad uno degli assi del sistema, ammettendo che il cubo sia in equilibrio e quindi non stia ruotando (ad es.: 12 = 21)., cosicché le componenti indipendenti dello sforzo sono 6 e non 9. Geologia Strutturale
Le componenti dello Stress in un punto
Ridefinendo le coordinate cartesiane del nostro sistema parallele agli sforzo normali in modo che le componenti di taglio dello sforzo siano nulle posso riscrivere la matrice così:
In questo modo ho definito il campo di stress con solo 3 vettori individuando 3 piani perpendicolari tra loro dove le componenti di taglio sono nulle.
In pratica ne derivano le seguenti condizioni:
•In ogni campo di sforzo esistono 3 piani su cui non si hanno sforzi di taglio
•Questi 3 piani sono i Piani principali dello sforzo
•Le loro normali e le loro intersezioni sono gli Assi principali dello sforzo
•Gli stress ad essi paralleli sono gli Sforzi principali 1, 2 e 3
•Per convenzione gli sforzi compressivi sono positivi e quelli tensili sono negativi (in ingegneria è il contrario) e inoltre 1 > 2 > 3.
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TENSORE
Da un punto di vista matematico lo stress va definito come un Tensore.
(Tensore = una grandezza matematica utilizzabile per descrivere lo stato o le proprietà fisiche di un materiale. Esistono diversi gradi di un tensore, il grado indica quanti componenti scalari sono necessari per descriverlo. Il numero di tali componenti (c) è uguale alle dimensioni fisiche (d) elevato la potenza (r) => c=d r . Per esempio in uno spazio tridimensionale (d=3) uno scalare è un tensore di grado 0 (r=0) e quindi ha solo un componente per definirlo (30=1). E' il caso della temperatura, del volume ecc. Sono quantità invarianti al variare delle coordinate e definite dalla loro stessa grandezza.
Un vettore è invece un tensore di 1°grado, che perciò sono definiti da 3 componenti (31=3). E' il caso di forza, velocità, accelerazione. Il loro valore cambia al cambiare delle coordinate.
Un tensore di 2° grado in uno spazio tridimensionale ha 32=9 componenti, in geologia ad es. stress e strain. Sono usati per descrivere quantità fisiche che sono associate con due direzioni. Nel caso dello stress le due direzioni associate con ciascun componente sono l'orientazione della retta normale al piano su cui agisce la componente dello stress e l'orientazione della componente dello stress agente su quel piano.)
Definizioni dello Sforzo
Sforzo medio

si intende la media dei tre stress principali:


 
2
 
3
3
può essere considerato come un s. idrostatico e che quindi può originare solo variazioni di volume.
Sforzo deviatorico
si intende la differenza tra stress generico e stress medio:
   
 
 


 
2
 
3
3
In pratica quella parte di sforzo indotto che non si distribuisce uniformemente e che invece produce distorsioni all'interno del corpo sul quale agisce. E' molto inferiore al carico litostatico
Casi particolari dello sforzo
Sforzo uniassiale 1 > 0; 3 = 3  0
Sforzo biassiale con uno degli sforzi principali = 0 (es. 1 > 0 > 3)
Sforzo triassiale 1 > 2 > 3  0
Pressione idrostatica uguale sia allo sforzo medio che al peso della colonna di fluidi nei pori
della roccia e quando tutti gli sforzi principali sono uguali
Pressione litostatica data dal peso della colonna di roccia
sovrastante: Pl =  g h. ad es: 2700 kg/m3 x 9,8m/s2 x 3000 m
=> 2700x9,8x3000 = 79,4 106 Pa (80 MPa = 0,8 kbar).
Questi possono essere graficamente rappresentati tramite
l'ellissoide dello sforzo, dove l'asse maggiore dell'ellissoide
corrisponde a 1, l'asse intermedio a 2 e l'asse minore a 3.
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Elementi che influenzano lo stato dello stress
Orientazione del campo delgi
sforzi in un fiordo. La variazione è dovuta alla diversa orientazione della superficie topografica
da Fossen, 2010
Deviazione dell'orientazione del campo degli sforzi a causa della presenza di una struttura (una faglia) che ha prodotto una zona di debolezza rispetto alle rocce circostanti. L'effetto è simile a quello di una superficie libera
da Fossen, 2010
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