secondo - Matematica e Applicazioni

II Appello di Analisi Stocastica
Laurea Magistrale in Matematica
31 marzo 2009
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Nella risoluzione degli esercizi è possibile utilizzare tutti i risultati enunciati a lezione, anche
quelli non dimostrati.
Esercizio 1. Sia {Bt }t∈[0,∞) un moto browniano reale, definito su uno spazio di probabilità
(Ω, F, P). Introduciamo il processo C = {Ct }t∈[0,1] definito da
C0 := 0 ,
Ct := t B1/t − B1 + a ,
dove a ∈ R è un parametro fissato.
(a) Si spieghi perché C è un processo gaussiano. Si mostri quindi che le funzioni media e
covarianza valgono µ(t) := E(Ct ) = a t e Γ(s, t) := Cov(Cs , Ct ) = s ∧ t − s t.
(b) Si mostri che le variabili aleatorie X := C1/2 −C0 e Y := C1 −C1/2 non sono indipendenti.
(c) Si mostri che il processo D = {Dt }t∈[0,1] , definito da Dt := a − C1−t , ha le stesse leggi
finito-dimensionali di C.
(d) Si mostri che q.c. la funzione t 7→ Ct (ω) è continua in [0, 1] (estremi inclusi).
(e) (*) Si mostri che, ∀t0 ∈ (0, 1) fissato, q.c. la funzione t 7→ Ct non è derivabile in t0 .
Soluzione 1. (a) Il processo C è gaussiano perché le sue componenti sono funzioni affini
delle componenti del moto browniano B, che è un processo gaussiano.
Per linearità µ(t) = E(Ct ) = a t, perché E(Bs ) = 0. Passiamo alla covarianza, ricordando che Cov(Bs , Bt ) = s ∧ t e che Cov(a, X) = 0 per ogni variabile aleatoria
X ∈ L1 . Possiamo supporre senza perdita di generalità che s ≤ t: usando la bilinearità,
per 0 < s ≤ t ≤ 1 si ha
Γ(s, t) = Cov(Cs , Ct ) = Cov s(B1/s − B1 + a), t(B1/t − B1 + a)
= s t Cov(B1/s , B1/t ) − Cov(B1 , B1/t ) − Cov(B1/s , B1 ) + Cov(B1 , B1 )
1
1
= st
− 1 − 1 + 1 = st
− 1 = s − st = s ∧ t − st.
t
t
Resta da considerare il caso s = 0: dato che C0 = 0, si ha Cov(C0 , Ct ) = 0, quindi la
formula Γ(s, t) = s ∧ t − s t vale per ogni s, t ∈ [0, 1].
(b) Per definizione si ha X = 21 (a + Z) e Y = 12 (a − Z), dove Z := B2 − B1 ∼ N (0, 1). Si
ottiene quindi
a
a
1
a2 − 1
, E(Y ) = , E(XY ) = E(a2 − Z 2 ) =
6= E(X) E(Y ) ,
2
2
4
4
che mostra che X e Y non sono scorrelate, quindi non sono indipendenti.
E(X) =
(c) Si ha E(Dt ) = a − E(C1−t ) = a − µ(1 − t) = a − a(1 − t) = a t = µ(t), e analogamente
per la covarianza, se s ≤ t si ha
Cov(Ds , Dt ) = Cov(a, a) − Cov(a, C1−t ) − Cov(C1−s , a) + Cov(C1−s , C1−t )
= Cov(C1−s , C1−t ) = Γ(1 − s, 1 − t) = (1 − s) ∧ (1 − t) − (1 − s)(1 − t)
= (1 − t) − (1 − s)(1 − t) = s − s t = s ∧ t − s t = Γ(s, t) .
Chiaramente D è un processo gaussiano, perché le sue componenti sono funzioni affini
delle componenti del processo gaussiano C. Avendo appena mostrato che le funzioni media
e covarianza sono le stesse di C, i processi C e D hanno le stesse leggi finito-dimensionali.
(d) Per definizione Ct = t B1/t −t (B1 +a) per t > 0 mentre C0 = 0. È chiaro che t 7→ t (B1 +a)
è q.c. continua. Inoltre, sappiamo che il processo βt := t B1/t per t > 0 e β0 := 0 è un moto
browniano, quindi è q.c. continuo. Dato che l’intersezione di due eventi di probabilità uno
ha probabilità uno, la continuità q.c. di C segue.
(e) Per definizione Ct = t B1/t − t (B1 + a) = βt − γt , dove abbiamo posto βt := t B1/t e
γt := t (B1 + a). Intuitivamente, sappiamo che γ è derivabile (è lineare!) mentre β non lo
è (è un moto browniano), per cui C non lo è.
Più precisamente, per ogni ω ∈ Ω la funzione t 7→ γt (ω) è lineare e dunque derivabile
in t0 , con γt00 (ω) = B1 (ω) + a. Se ω ∈ Ω è tale che t 7→ Ct (ω) sia derivabile in t0 , allora
anche t 7→ βt (ω) sarebbe derivabile in t0 , come somma delle funzioni derivabili t 7→ γt (ω)
e t 7→ Ct (ω). In altre parole, abbiamo mostrato che
t 7→ Ct è derivabile in t0 ⊆ t 7→ βt è derivabile in t0 .
Ma il processo β è un moto browniano: l’evento a destra ha dunque probabilità nulla e
quindi anche l’evento a sinistra.
Esercizio 2. Si consideri la seguente equazione differenziale stocastica:

1
Xt
dX =
dt
dBt −
t
2
2 + Xt
(2 + Xt2 )3
.

X0 = 0
(a) Si mostri che per l’equazione c’è esistenza di soluzioni forti e unicità per traiettorie.
Supporremo d’ora in avanti di avere fissato uno spazio filtrato standard (Ω, F, {Ft }t∈[0,∞) , P),
su cui sono definiti un {Ft }t∈[0,∞) -moto browniano reale B = {Bt }t∈[0,∞) e un processo continuo
e adattato X = {Xt }t∈[0,∞) che risolve l’equazione data.
(b) Si determini il valore di β ∈ (0, ∞) per cui il processo Y = {Yt }t∈[0,∞) definito da
Yt := Xt + βXt3
(1)
è una {Ft }t∈[0,∞) -martingala locale.
(c) Si mostri che, per il valore di β determinato al punto precedente, si ha in effetti Yt = σ Bt ,
per un opportuno σ ∈ (0, ∞) che è richiesto di determinare.
(d) (*) Si mostri che, per il valore di β determinato al punto (b), si ha q.c. lim supt→∞ Xt =
+∞ e lim inf t→∞ Xt = −∞.
Sugg.: Si sfrutti la relazione (1) e il punto (c). Può essere utile studiare la funzione
x 7→ F (x) := x + βx3 .
Soluzione 2. (a) Entrambe le funzioni ϕ(x) := 1/(2 + x2 ) e ψ(x) := x/(2 + x2 )3 sono
continue e tendono a zero per x → ±∞. Segue dunque che esse sono limitate: esiste cioè
M ∈ (0, ∞) tale che
|ϕ(x)| ≤ M ,
|ψ(x)| ≤ M ,
∀x ∈ R .
Le derivate prime sono date da
2x
(2 + x2 )3 − x · 3(2 + x2 )2 · 2x
2 − 5x2
0
,
ψ
(x)
=
=
,
(2 + x2 )2
(2 + x2 )6
(2 + x2 )4
quindi anch’esse sono continue e tendono a zero per x → ±∞, in particolare sono limitate:
esiste cioè L ∈ (0, ∞) tale che
ϕ0 (x) = −
|ϕ0 (x)| ≤ L ,
|ψ 0 (x)| ≤ L ,
∀x ∈ R .
Per il teorema di Lagrange segue dunque che, per y ≥ x,
Z y
Z
Z y
0 0
ϕ (z) dz ≤
ϕ (z) dz ≤
|ϕ(y) − ϕ(x)| = x
x
y
L dz = L |y − x| ,
x
e analogamente per y ≤ x. Lo stesso vale per ψ, quindi entrambe le funzioni ϕ, ψ sono
globalmente lipschitziane. Sono dunque soddisfatte le condizioni del teorema di esistenza
di soluzioni forti e di unicità per traiettorie.
(b) Applicando la formula di Itô si ottiene
1
dYt = (1 + 3 β Xt2 ) dXt + 6 β Xt dhXit
2
2
1 + 3 β Xt
−Xt (1 + 3 β Xt2 )
3 β Xt
dB
+
+
dt
=
t
2 + Xt2
(2 + Xt2 )3
(2 + Xt2 )2
1 + 3 β Xt2
(6 β − 1)Xt
dBt +
dt .
=
2
2 + Xt
(2 + Xt2 )3
Il processo Y è una {Ft }t∈[0,∞) -martingala locale se e soltanto se il termine a variazione
finita è nullo, cioè per β = 16 .
(c) Per β =
1
6
si ha dYt =
1+ 12 Xt2
2+Xt2
dBt =
1
2
dBt , cioè Yt =
1
2
Bt . Il valore di σ è dunque 21 .
(d) Per la relazione (1) si ha Yt = F (Xt ) con F (x) := x + βx3 . Dato che la funzione F
è strettamente crescente, è invertibile e possiamo scrivere Xt = F −1 (Yt ) = F −1 ( 21 Bt ),
grazie al punto (c). Dato che limx→+∞ F (x) = +∞, segue che limx→+∞ F −1 (x) = +∞.
Dato che q.c. lim supt→∞ Bt = +∞, per q.o. ω ∈ Ω esiste una successione (aleatoria) di
tempi {tn = tn (ω)}n∈N tali che Btn → +∞; di conseguenza Xtn = F −1 ( 21 Btn ) → +∞, e
questo mostra che lim supt→∞ Xt = +∞ q.c..
Con argomenti del tutto analoghi si mostra che lim inf t→∞ Xt = −∞ q.c..