Programma svolto - Università degli Studi della Basilicata

Università degli Studi della Basilicata
Dipartimento di Scienze
CdS in Biotecnologie
Programma di ISTITUZIONI DI MATEMATICA
A.A. 2015/16
titolare del corso: Angelica Malaspina
Richiami.
Teoria degli insiemi. Goniometria.
Insiemi numerici.
Numeri naturali, interi, razionali e reali. Rappresentazione decimale e geometrica dei numeri reali. Proposizione: non esiste alcun numero razionale
il cui quadrato sia due. Il principio di induzione. Elevamento a potenza con
esponente naturale, intero e razionale. Elevamento a potenza di base un numero reale positivo ed esponente reale. Proprietà delle potenze. Radice n-ma
di un numero reale non-negativo. Logaritmi e loro proprietà. Disequazioni
trascendenti. I numeri complessi: forma algebrica, piano complesso, somma
e prodotto, inverso di un numero complesso non nullo, quoziente, coniugato,
modulo e argomento. Soluzioni complesse di equazioni algebriche.
Cenni di calcolo combinatorio: disposizioni semplici e con ripetizione, combinazioni semplici. Numero di disposizioni semplici di n oggetti e di classe k
(con k ≤ n). Le permutazioni. Numero di combinazioni semplici di n oggetti
e di classe k (con k ≤ n). Il coefficiente binomiale. Applicazioni: il triangolo
di Tartaglia, la formula del binomio di Newton.
Funzioni.
Funzioni: definizione, dominio, codominio, grafico. Funzioni (strettamente) decrescenti, (strettamente) crescenti, monotòne. Funzioni simmetriche: pari, dispari, periodiche. Funzioni composte. Funzioni elementari:
lineare, valore assoluto, potenza, eponenziale, logaritmo, seno, coseno, tangente. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzione inversa. Grafico
della funzione inversa. Funzioni trigonometriche inverse. Teorema di relazione tra funzioni monotòne e invertibili. Funzioni (non) positive, (non)
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negative. Massimo e minimo relativi ed assoluti. Funzioni limitate inferiormente, limitate superiormente e limitate.
Limiti di funzioni reali di una variabile reale. Continuità.
Intorni. Definizione di punto di accumulazione e di punto isolato per un
insieme. Limite di una funzione: definizione per intorni. Funzioni convergenti e divergenti. Definizione di limite con epsilon e delta. Limite destro e
sinistro. Teorema di unicità del limite, teorema della permanenza del segno,
operazioni tra limiti, limiti notevoli. Teorema del limite della composizione
di funzioni. Forme indeterminate. Asintoti orizzontali e obliqui. Limiti di
polinomi.
Definizione di continuità. Operazioni tra funzioni continue, composizione di
funzioni continue. Classificazione dei punti di discontinuità. Asintoti verticali. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di Weierstrass e sue conseguenze: teorema dei valori intermedi, teorema della limitatezza delle funzioni C 0 ([a, b]). Criterio di regolarità delle funzioni monotòne. Discontinuità
delle funzioni monotòne. Funzioni inverse di funzioni continue. Infinitesimi
e confronto tra essi; infinitesimi equivalenti; tavola degli infinitesimi fondamentali equivalenti; principio di sostituzione di infinitesimi, principio di
esclusione degli infinitesimi di ordine superiore. Infiniti: confronto tra essi,
principio di esclusione degli infiniti di ordine inferiore.
Successioni numeriche e loro limiti.
Successioni di numeri reali e loro limiti. Successioni convergenti, divergenti e indeterminate. Successioni regolari, limitate, infinitesime ed infinite. Teorema di unicità del limite per successioni regolari. Teoremi di
confronto: teorema della permanenza del segno; teorema della limitatezza
di una successione limitata. Operazioni sui limiti: addizione, sottrazione,
prodotto, quoziente di successioni convergenti. Combinazioni lineari di successioni. Operazioni sulle successioni divergenti. Aritmetizzazione di infinito.
Forme indeterminate. Limitatezza delle successioni convergenti. Successioni
monotòne. Teorema di regolarità delle successioni monotòne. Teorema ponte
e sue applicazioni. Il numero di Nepero e sue applicazioni. Limiti notevoli.
Successioni definite per ricorrenza, tecnica per studiarne il comportamento; i
sistemi discreti, il modello di crescita di ina colonia batterica. La successione
di Fibonacci. Confronto tra le successioni infinite: {loga n}, {nb }, {cn }, {n!},
{nn }.
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Calcolo differenziale e applicazioni.
La derivata di una funzione reale di variabile reale. Significato geometrico
della derivata. Operazioni sulla derivata: derivata di combinazioni lineari di
funzioni, formula della derivata di un prodotto, formula della derivata di un
quoziente. Teorema sulla continuità delle funzioni derivabili. Punti a tangente verticale. Punti angolosi e cuspidi. Teorema di derivazione della funzione inversa. Teorema della derivazione di una funzione composta. Tavola
delle funzioni elementari. Derivate di ordine successivo. Teorema di De
l’Hôpital e sue applicazioni. Punti di estremo locale e punti critici. Condizione necessaria affinchè un punto sia un estremo locale (teorema di Fermat). Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Corollari del teorema di
Lagrange: criterio di monotonia, caratterizzazione delle funzioni costanti.
Funzioni concave e convesse. Criterio di convessità (concavità). Punti di
flesso. Studio qualitativo di una funzione: schema.
Introduzione all’algebra lineare.
Segmenti orientati. Modulo, direzione, verso. Vettori (riga e colonna). Lo
spazio n-dimensionale. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Somma
di vettori. Prodotto scalare. Rappresentazione del prodotto scalere. Caratterizzazione dei vettori ortogonali. Disuguaglianza di Cauchy-Scwartz. Disuguaglianza triangolare. Matrici: definizioni, somma, moltiplicazione per
uno scalare, combinazioni lineari, prodotto vettore riga per vettore colonna,
prodotto tra matrici. Matrice quadrata, trasposta, simmetrica, identità, inversa. Determinante di una matrice di ordine 2 e di ordine 3 (regola di
Sarrus).
Cenni sulle funzioni di più variabili.
Funzioni reali di più variabili reali: definizione, dominio, grafico, curve di livello. Definizione di derivata parziale di una funzione di due variabili rispetto
alla prima e alla seconda componente. Calcolo di derivate parziali. Gradiente. Derivata direzionale di una funzione di due variabili reali lungo una
direzione tramite il suo gradiente.
Calcolo integrale.
Problema dell’antiderivazione. La funzione area e la sua derivata. Costruzione
delle somme di Riemann. Definizione di integrale definito di una funzione
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continua. Proprietà: linearità, monotonia, additività rispetto all’intervallo
di integrazione. Area con segno. Teorema della media integrale. Problema
della primitiva. Caratterizzazione delle primitive. Teorema fondamentale
del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Integrale
indefinito. Integrali immediati. Proprietà distributiva. Formula di integrazione per parti. Metodo di sostituzione. Integrali di funzioni razionali
(caso denominatore lineare e quadratico). Integrali impropri.
Serie numeriche.
Somma parziale. Definizione di serie numerica. Carattere di una serie. Serie
regolari. Condizione necessaria affinchè una serie converga. Serie termini
di segno costante e loro regolarità. Criterio di non convergenza. La serie
di Mengoli e le serie telescopiche. La serie geometrica. La serie armonica.
Criterio del confronto. Criterio del rapporto. Criterio della radice.
Elementi di statistica e calcolo delle probabilità.
Elementi di statistica descrittiva: variabili statistiche, distribuzioni di frequenza e rappresentazioni grafiche. Indici di posizione: media aritmetica,
mediana, moda, quartili. Indici di variabilità: campo di variazione interquartile, varianza, coefficiente di variazione, il Box-Plot. Dati raggruppati in
classi.
Elementi di Teoria della Probabilità: postulati di Kolmogorov e teoremi, indipendenza di eventi. Esempi ed esercizi. Legge di disgiunzione di Mendel.
Legge dei grandi numeri. Probabilità condizionata, estrazioni da un’urna, con
e senza reimmissione. Teorema delle probabilità totali. Teorema di Bayes.
Variabili aleatorie discrete. Funzione di ripartizione, valore medio e varianza.
Indipendenza. Variabile casuale di Bernoulli. Distribuzione Binomiale.
N.B.: I teoremi scritti in corsivo non sono stati dimostrati durante il
corso.
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