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Università degli Studi di Milano
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni
Anno accademico 2010/11, Laurea Triennale, Edizione diurna
FISICA
Lezione n. 11 (4 ore)
Gianluca Colò
Carlo Pagani
Dipartimento di Fisica – sede
Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA
Via Celoria 16, 20133 Milano
Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)
web page: http://www.mi.infn.it/~colo
e-mail: [email protected]
web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani
e-mail: [email protected]
Trasformazioni Termodinamiche
Limitandoci a considerare un sistema gassoso, in cui tipo e quantità di
gas non cambiano (sistema chiuso), notiamo che:
lo stato del sistema è determinato dalla conoscenza delle grandezze
pressione, volume e temperatura.
Queste grandezze: p,
V e T sono dette variabili di stato.
Una trasformazione termodinamica rappresenta l’evoluzione del
sistema da uno stato iniziale ad uno stato finale, attraverso il passaggio
da infiniti stati intermedi contigui. Vari sono i modi di passare da uno
stato iniziale ad uno stato finale
Come in meccanica abbiamo definito il Diagramma Orario per mettere
in forma di grafico le caratteristiche principali del moto di un corpo,
così in termodinamica si usa generalmente il Diagramma pV - con il
volume del sistema, V, in ascisse (asse delle x) e la pressione, p, in ordinate (asse
delle y) - per mettere in forma grafica una trasformazione termodinamica,
cioè l’evoluzione degli stati da cui passa un sistema da uno stato iniziale a
uno stato finale
Gianluca Colò & Carlo Pagani
2
Fisica x Informatica - Lez 11 - a.a. 2010/11
Esempi di trasformazioni
Alcuni esempi di trasformazioni sono riportati qui sotto sul diagramma pV,
con l’indicazione del lavoro compiuto dal sistema.
r r
Vf
dL = F ⋅ ds = ( pA)(ds) = (p)(Ads) = p dV → L = ∫ dL = ∫ p dV
V
i
Nota: si suppone che le trasformazioni avvengano molto lentamente,
passando per stati di equilibrio.
3
Trasformazioni particolari
Trasformazione adiabatica: il sistema è completamente isolato e non
si verifica nessun trasferimento di calore con l’ambiente esterno.
ΔEint = − L
Trasformazione a volume costante o isocora: durante la
trasformazione il volume del sistema non cambia.
ΔEint = Q
Trasformazione isoterma: durante la trasformazione la temperatura
del sistema non cambia. Per trattarla non basta il 1° Principio.
Trasformazione ciclica: sono trasformazioni nelle quali, dopo alcuni
scambi di calore e lavoro si ripristina lo stato iniziale del sistema.
Q=L
Trasformazione di espansione libera: è l’espansione di un gas da un recipiente a un
ambiente in cui ci sia il vuoto. E’ anomala perché non passa da stati di equilibrio però
possiamo scrivere.
Q=L=0
⇒
ΔEint = 0 ⇒ ΔT = 0
4
Espansione libera
L’espansione libera è un processo irreversibile, che non passa per stati di
equilibrio. Risulta anche molto difficile da realizzare perché come il gas
entra nella seconda camera la condizione di vuoto non è più rispettata.
Questo processo ideale risulta però molto utile concettualmente perché,
non cambiando la temperatura, le variabili termodinamiche che
definiscono il sistema nel suo stato finale sono facilmente calcolabili.
5
Legge dei gas perfetti (ideali)
In tutti i gas, monoatomici o molecolari, le variabili di stato sono legate
tra di loro da una legge fondamentale che, nel caso dei gas ideali, è:
pV = nRT [J].
Questa legge, Legge dei gas perfetti, vale in ottima approssimazione se
le densità non sono troppo elevate e si è lontani dalla transizione di fase.
– p [Pa] è la pressione – [Pa] = [N m-2] = [kg m s-2] [m-2] = [kg m-1 s-2] = [J m-3]
– V [m3] è il suo volume
– n [mol] è il numero di moli di cui è composto
– R [J mol-1 K-1] è la costante dei gas – R = 8.31 [J mol-1 K-1]
– T [K] è la temperatura di equilibrio del sistema
p [J m-3] ·V [m3] = n [mol] ·R [J mol-1 K-1] ·T [K]
La costante dei gas R deriva da due costanti molto importanti nella fisica:
R = k NA
NA = numero di Avogadro = 6.02 · 1023 [mol-1]
k = costante di Boltzmann = 1.38 · 10-23 [J/K]
6
Note sulla legge dei gas perfetti
Si può esprimere utilizzando k e N= n·NA (N è quindi il numero di
molecole di cui è composto il sistema termodinamico in oggetto) e si ottiene
pV=NkT
In una trasformazione isoterma (T = costante) si ha, quindi:
p V = n R T = cost ⇒ p V = cost
Notiamo che in una trasformazione isoterma
è necessario uno scambio di energia con l’ambiente
esterno. Infatti se il sistema si espande da Vi a
Vf > Vi , esso compie un lavoro che, a T = cost,
deve essere compensato da un apporto
esterno di energia: ΔEint = 0 = Q – ΔL
In una trasformazione isocora (V = costante) si ha
V = (n R T)/p = cost ⇒ (n R T)/p = cost
In una trasformazione isobara (p = costante) si ha
p = (n R T)/V = cost ⇒ (n R T)/V = cost
7
Esercizio: Lavoro isoterma
Una mole di ossigeno O2 (supposto gas ideale) si espande a temperatura
ambiente di 310 K da un volume Vi di 12 litri a un volume Vf di 19 litri. Determinare
il lavoro svolto dal gas e la quantità di energia termica che l’ambiente deve fornire
al sistema perché la trasformazione risulti isoterma. Ricordiamo che la trasformazione
deve essere sufficientemente lenta !
Il lavoro si ottiene integrando la pressione rispetto
al volume del gas:
Vf
L = ∫ p dV ma
Vi
p V = n R T = costante ⇒
1
1
= costante
⇒
V
V
Vf
V f dV
1
⇒
L = ∫ (nRT ) dV = nRT ∫
Vi
Vi V
V
⎛Vf ⎞
V
L = nRT [ln V ] Vif = nRT ln ⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ Vi ⎠
p = n RT
[
]
⎛ 19 ⎞
= 1[mol ] 8.31 J mol −1 K −1 310[K ] ln⎜ ⎟ = 1180 J
⎝ 12 ⎠
Nella Figura la linea verde rappresenta nel diagramma pV
la trasformazione isoterma. Il lavoro compiuto dal gas
durante l’espansione è rappresentato dall’area colorata
sottesa dall’isoterma tra i punti Vi e Vf:
Il calore apportato dal mondo esterno al sistema durante
la trasformazione deve compensare il lavoro svolto.
ΔEint = 0 = Q – L ⇒ Q = L = 1180 J = 0.28 Cal
8
Teoria cinetica dei gas - I
Supponiamo che un gas ideale sia confinato entro un
recipiente cubico di lato L.
Dato il gran numero di molecole possiamo supporre che il loro
comportamento sia puramente statistico: 1/3 si muovono
lungo x, 1/3 lungo y e 1/3 lungo z. Inoltre la loro velocità media
sarà la stessa nelle tre direzioni: vx = vy = vz = v
Consideriamo una molecola in moto lungo l’asse x con velocità media v.
Se la molecola parte a t=0 da una parete, urta quella opposta dopo un tempo
L/v e ritorna alla partenza dopo Δt = 2L/v.
Supponiamo l’urto elastico. L’impulso ceduto è Δp = (-mv)+(-mv) = - 2mv.
La forza esercitata dalla parete sulla molecola è
Δp −2mv
mv
F=
=
=−
L
Δt 2L / v
2
Quella della molecola sulla parete è uguale e
opposta !
9
Teoria cinetica dei gas - II
La forza che ogni molecola esercita sulla parete è quindi:
mv
F=
L
2
Velocità quadratica media
Mentre la forza esercitata dalle N/3 molecole in
moto lungo l’asse x, è data da:
Passando alla pressione si ha:
N m〈 v 〉
Fx =
3 L
2
1 m〈 v 2 〉
F N m〈 v 〉 2
2N
2
p= 2 =
= N
=
〈K〉
3
L
3V
3 L
3
V
2
•
Usando la legge dei gas
PV = nRT =
Energia cinetica
media
N
kN AT = NkT si trova:
NA
2
3
p V = n R T = N k T = N 〈 K 〉 dove 〈 K 〉 = k T
3
2
10
P e T dalla teoria cinetica
Abbiamo quindi visto che la temperatura è una variabile termodinamica
(statistica) legata all’energia cinetica media delle molecole del sistema, cioè in
ultima analisi alla loro velocità quadratica media.
Anche la pressione di un gas è una variabile termodinamica conseguenza della
velocità media delle molecole in quanto è determinata dalle forze impulsive sulle
pareti.
Abbiamo infine capito il significato dell’importantissima costante di Boltzmann, k
[J/K] che rappresenta proprio un’unità elementare di energia per grado di
temperatura dato che l’energia cinetica media delle molecole è:
3
〈K 〉 = kT
2
Questa è, nel caso del gas ideale, l’energia interna per
molecola !
Le relazioni che abbiamo ottenuto permettono di stimare la velocità quadratica
media, nota la temperatura T
1
3
3RT
2
2
m vqm = k T → M vqm
= 3 R T → vqm =
2
2
M
11
vqm = velocità quadratica media
M = massa molare (massa di 1 mol)
Esempio
L’aria è una miscela di azoto (N2’ (M(N2) = 28.0 u)) ossigeno (O2, (M(O2) =
32.0 u)) ed argon (Ar, (M(Ar) = 39.9 u)). Alla temperatura di 20 °C (293 K)
la velocità quadratica media di ciascun gas sarà:
vqm =
3kT
m
3kT
3 *1.38 ⋅10−23 * 293
3kT
3 *1.38 ⋅10 −23 * 293
= 478 m / s
= 511 m / s ↔ vqm (O2 ) =
=
vqm ( N 2 ) =
=
m
32 *1.66 ⋅10− 27
m
28 *1.66 ⋅10− 27
3kT
3 *1.38 ⋅10−23 * 293
↔ vqm ( Ar ) =
=
= 428 m / s
m
39.9 *1.66 ⋅10 −27
Ci vogliono argomenti più sofisticati per mostrare che la distribuzione di
velocità è la cosiddetta distribuzione di Maxwell
12
Calori specifici molari dei gas - 1
Per quello che abbiamo visto risulta chiaro che, nel caso dei gas, il calore
specifico si definirà per mole invece che per unità di massa. Da cui il nome di
calore specifico molare.
Un’altra cosa che succede con i gas è che il calore specifico molare, cioè la
quantità di calore necessaria per far aumentare la temperatura di una mole di gas
di un grado kelvin, dipende dalle condizioni in cui facciamo variare la temperatura:
a volume costante o a pressione costante.
Ricordando che l’espressione dell’energia cinetica media delle molecole è
proporzionale alla temperatura e che l’energia interna è la somma delle
energie cinetiche medie delle molecole che lo compongono, possiamo scrivere:
K = 32 k T ⇒ Eint = (n N A ) K = (n N A )
(
3
2
)
k T = 32 n R T
Fornendo calore al sistema a volume costante, il sistema non compie lavoro:
ΔEint = Q − L ⇒ Q = ΔEint = n CV ΔT ⇒
ΔEint
Q
=
ma ΔEint = 32 n R ΔT ⇒ CV = 32 R = 12.5 [J/(mol K)]
n ΔT n ΔT
Il CV ottenuto è il calore specifico molare a volume costante di un gas
monoatomico. Nel caso dei gas biatomici (N2, O2, H2, aria. Ecc.) si ha:
CV =
ΔEint = 52 n R ΔT ⇒
CV = 52 R = 20.8 [J/(mol K)]
13
gas biatomico
Calori specifici molari dei gas - 2
In tabella sono riportati i calori
specifici molari a volume costante
di alcuni gas, monoatomici,
biatomici e poliatomici. Si noti come
per i gas monoatomici reali il valore
sia molto simile a quello ottenuto per i
gas ideali. Lo stesso vale per i
biatomici.
Per quanto riguarda il calore specifico molare a pressione costante, Cp,
notiamo che, se si mantiene la pressione costante al variare della temperatura, il
volume del sistema deve variare, poiché pV ∝ T e p = costante.
Ne consegue che il lavoro compiuto dal sistema è diverso da zero: L ≠ 0. In
sostanza, dalla solita formula si ha: Q= ΔEint +L. Dalle formule già ricavate:
Q = n C p ΔT
ΔEint = Q − L
ΔEint = 32 n R ΔT
CV = C p − R
⇒
CV = 32 R
L = p V = n R ΔT
gas mono- e poli-atomici
ΔEint = n CV ΔT
C p = CV + R
C p = CV + R
Nota: questa previsione teorica concorda molto bene con i dati sperimentali
14
Trasformazioni adiabatiche - I
Grazie alla legge del gas ideale possiamo rappresentare le principali
trasformazioni subite dal gas sul piano p-V:
• Trasformazione isoterma: pV = costante, iperbole
• Trasformazione isobara: p = costante, tratto orizzontale
• Trasformazione isocora: V = costante, tratto verticale
Possiamo rappresentare sul piano p-V anche le trasformazioni
adiabatiche, ovvero quelle caratterizzate da uno scambio nullo di energia
con l’esterno: ΔQ = 0. Questo è tipicamente verificato nel caso di
trasformazioni sufficientemente rapide (propagazione delle onde sonore)
oppure eseguite in un ambiente ben isolato.
Per le trasformazioni adiabatiche vale che:
pV γ = costante
γ
γ
piVi = p f V f
; γ=
Cp
CV
15
Trasformazioni adiabatiche - II
Il fatto che nelle trasformazioni adiabatiche valga la relazione:
γ
pV = costante
γ=
Cp
CV
=
5/3 = 1.67 per gas mono-atomico
7/5 = 1.40 per gas bi-atomico
si dimostra facilmente dalla proprietà dQ = 0 e dall’espressione che
abbiamo ricavato per la variazione dell’Energia interna. Infatti si ha:
dV
V
3
5
gas mono - atomico (He, Ar...) dEint = dEint = n R dT ⇒ γ = = 1.67
2
3
5
7
gas bi - atomico (H 2 , O2 , N 2 , aria...) dEint = dEint = n R dT ⇒ γ = = 1.40
2
5
dT
2 dV
5 dV
dV
dT
2 dV
7 dV
dV
=−
= (1 − )
= (1 − γ )
ovvero
=−
= (1 − )
= (1 − γ )
T
3 V
3 V
V
T
5 V
5 V
V
quindi in entrambi i casi abbiamo :
dQ = 0
⇒
dEint = − dL = − p dV = − n R T
ln T = (1 − γ ) ln V + cost. ⇒
T V γ −1 = cost. ⇒
16
p V γ = costante
Esercizi Lezione 11
Un bollitore viene riempito con un litro d’acqua a 20 °C. Supponendo che non ci sia
scambio termico con l’ambiente esterno, sapendo che la resistenza R che riscalda
l’acqua consuma 1200 W e che la tensione fornita dalla rete elettrica è 220 V,
determinare: a) il valore della resistenza R, b) il tempo necessario per portare l’acqua alla
temperatura di ebollizione, c) il tempo che sarebbe necessario per far evaporare tutta
l’acqua contenuta nel bollitore, una volta raggiunta la temperatura di ebollizione,
lasciando accesa la resistenza riscaldante. LV = 2256 kJ/kg. [ a) R = 40.3 Ω, b) tebol. = 279 s, c)
tevap. = 1880 s ]
In un bicchiere viene versata una lattina di CocaCola (330 cc) alla temperatura ambiente
di 27 °C. Determinare la temperatura alla quale si porta la bibita se vengono versati nel
bicchiere 100 g di cubetti di giaccio a 0° C. [ Tfin = 2.0 °C ]
Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W.
Jewett Jr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).
17-8: Un sistema formato da una mole di gas idrogeno è riscaldato a pressione costante
da 300 K a 420 K. Calcolare: a) l’energia trasferita al gas come calore, b) l’incremento
dell’energia interna del gas, c) il lavoro svolto sul gas. [a) Q = n Cp ΔT = 3.46 kJ, b) ΔEint = n CV
ΔT = 2.45 kJ, c) Lsul gas = - Ldal gas = ΔEint – Q = - 1.01 kJ ]
17
Esercizi Lezione 11 - segue
17-7: Due moli di elio gassoso, inizialmente alla temperatura di 300 K e alla pressione di
0.400 atm, subiscono una compressione isoterma fino alla pressione di 1.2 atm.
Assumendo che il gas si comporti come un gas ideale, determinare: a) il volume finale del
gas, b) il lavoro compiuto dal gas, c) la variazione dell’energia interna del gas, d) il calore
che il gas riceve dall’ambiente. 1 atm = 1.013 x 105 Pa. [ a) 0.0410 m3, b) L = -5.48 kJ, c) ΔEint = 0,
d) Q = -5.58 kJ ]
17-4: Un gas ideale si espande al doppio del suo volume iniziale di 1.00 m3, seguendo
una trasformazione quasi-statica data dalla relazione p = α V2, dove α = 5.00 atm/m6.
Determinare il lavoro che il gas compie durante la trasformazione. [ L = 1.18 x 106 J ]
16-8: Dato un sistema termodinamico formato dal gas elio contenuto in un pallone del
diametro di 30.0 cm, alla temperatura di 20 °C e alla pressione di 1 atm, determinare: a)
da quante moli di gas elio è composto il sistema, b) da quanti atomi, c) la massa dell’elio,
d) la massa di un atomo di elio, e) il valore dell’energia cinetica media degli atomi. f) il
valore della velocità quadratica media degli atomi. Il valore della massa atomica dell’elio è
M = 4.00 g/mol. [ V = 1.41 x 10-2 m3, a) n = 0.588 mol, b) N = 3.54 x 1023, c) 2.35 g, d) 6.65 x 10-27 kg, e) 6.07 x
10-21 J, f) 1.35 x 103 m/s ]
18

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