Variabili casuali Soluzione Es.1. Sappiamo che X ∼ N(µ = 7,σ 2

Variabili casuali
Soluzione Es.1. Sappiamo che X ∼ N (µ = 7, σ 2 = 142 ).
a) Si deve calcolare P (X < 32) riccoriamo alla standardizzazione
32 − µ
X −µ
P (X > 32) = P
>
σ
σ
32 − 7
=P Z>
= 1 − P (Z < 1, 79)
14
= 1 − 0, 96 = 0, 04
b) P (X = k) = 0 qualsiasi sia k se X è una variabile casuale continua come il caso
della Normale.
c) Si deve calcolare P (|X| > 30). Dunque
P (|X| > 30) = P (X > 30 ∪ X < −30) = P (X > 30) + P (X < −30)
dove
P (X > 30) = 1 − P (X < 30) = 1 − P
30 − µ
Z<
σ
= 1 − P (Z < 1, 64) = 1 − 0, 95 = 0, 05P (X < −30) = P
−30 − µ
Z<
σ
= P (Z < −2, 64) = 0, 004
Cioè P (|X| > 30) = 0, 05 + 0, 004 = 0, 054. Il risultato si poteva ottenere anche
passando all’evento complementare, cioè
P (|X| > 30) = 1 − P (−30 < X < 30) = 1 − (P (X < 30) − P (x < −30))
si sarebbe ottenuto lo stesso risultato.
d) Si deve calcolare P (0 < X < 10) cioè
3
7
−P Z <−
P (0 < X < 10) = P (X < 10) − P (X < 0) = P Z <
14
14
= P (Z < 0, 21) − P (Z < −0, 5) = 0, 58 − 0, 31 = 0, 27
c
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Soluzione Es.2. Per la variabile casuale X media moda e mediana coincidono, quindi
non è possibile che la media e/o la mediana assumano valore 5,1. Il grafico di Y sarà
più schiacciato attorno alla media con l’ordinata della media più elevata. Vediamo cosa
accade allae code delle distribuzioni valutando la risposta alla terza domanda.
10 − 5
P (X < 10) = Z <
= P (Z < 2, 5)
2
mentre
P (Y < 10) =
10 − 5
Z<
1
= P (Z < 5)
quindi è chiaro che P (X < 10) < P (Y < 10), ciò vuol dire che le code della distribuzione
di Y vanno a zero più velocemente di quelle di X.
Soluzione Es.3. L’informazione che abbiamo è che X ∼ N (µ = 30, σ 2 =?) e P (X ≤
29, 4) = 0, 4522. Ma
a)
X −µ
29, 4 − µ
<
0, 4522 = P (X ≤ 29.4) = P
σ
σ
29, 4 − 30
0, 6
=P Z<
=P Z<−
σ
σ
Se indichiamo con z = − 0,6
per trovare σ dobbiamo risolvere l’equazione 0, 4522 =
σ
P (Z < z) cioè dobbiamo cercare quel valore di z che ci fornisce P (Z < z) = 0, 4522.
Sulla tavola troviamo che P (Z < 0, 12) = 0, 5478 = 1 − 0, 4522 cioè 1 − P (Z <
0, 12) = 0, 4522. Ma allora P (Z > 0, 12) = 0, 4522 e quest’ultima probabilità, per
la simmetria della variabile casuale normale, è pari a P (Z < −0, 12) In conclusione
0, 4522 = P (Z < −0, 12) cioè lo z che stiamo cercando è proprio z = −0, 12, allora
−0, 12 = −
0, 6
σ
per cui σ = 5.
b) Ora sappiamo quindi che X ∼ N (µ = 30, σ 2 = 25). Dobbiamo calcolare
28 − 30
P (X < 28) = P Z <
= P (Z < −0, 4) = 0, 3446
5
c) Mentre P (25 < X < 32) si ottiene nel seguente modo
P (25 < X < 32) = P (X < 32) − P (X < 25) = P (Z < 0, 4) − P (Z < −1)
c
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dove
P (Z < 0, 4) = 1 − P (Z > 0, 4) = 1 − P (Z < −0, 4)
e
P (Z < −1) = 1 − P (Z > −1) = 1 − P (Z < 1)
e quindi
P (25 < X < 32) = 1 − P (Z < −0, 4) − (1 − P (Z < 1))
= P (Z < 1) − P (Z < −0, 4) = 0, 8413 − 0, 3446
= 0, 4967
Soluzione Es.4. Si deve ricordare che la funzione di ripartizione di una variabile casule
è sempre non decrescente. Nel caso della Normale essa è anche strettamente crescente,
quindi
a) Φ(1.2) > Φ(2.1) è impossibile;
b) Φ(0.8) > Φ(−0.5) è compatibile.
Soluzione Es.5. L’esercizio è analogo al precedente, quindi
3−1
2
0, 3 = P (X < 3) = P Z <
=P Z<
σ
σ
Prima di procedere osserviamo che P (Z < z) ≥ 0, 5 quando z ≥ 0 mentre P (Z < z) < 0
se z < 0. Quindi poiché stiamo cercando quel valore di z tale che P (Z < z)0, 3 < 0, 5
dovrà essere necessariamente z < 0 e cioè
z=
2
<0
σ
il che implicherebbe σ < 0 ! Il problema non ha quindi soluzione ! Completiamo comunque
i passaggi: cerchiamo z sulla tavola della normale tale che P (Z < z) = 0, 3, Risulta
z = −0, 52 e dunque
2
−0, 52 =
σ
risulterebbe σ = −3, 84 !
c
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