a) f(x

Esercitazioni 26 e 27 ottobre 2009
Esercizio 1 Calcolare, in base alla definizione, il tasso di variazione istantaneo di:
√
a) f (x) = x − 4 nel punto x0 = 13;
b) f (x) = x3 nel punto x0 = 2.
Esercizio 2 Calcolare l’elasticità puntuale di:
√
a) f (x) = x − 4 nel punto x0 = 13;
b) f (x) = x3 nel punto x0 = 2.
Esercizio 3 Determinare l’elasticità puntuale delle seguenti funzioni rispetto ad un generico punto p0 :
a) D(p) = 3 − 2p
b) D(p) = p1
Esercizio 4 Considerare l’Esercizio 3 svolto durante l’esercitazione del 5 ottobre 2009.
La funzione di costo totale di un’impresa per produrre la quantità q di prodotto è data
dalla legge C(q) = 90 + 1.2q + 0.01q 2 . La funzione di domanda è q = 350 − 10p dove
p è il prezzo unitario. Ricavare le funzioni di costo medio, ricavo totale, profitto totale.
Calcolare le variazioni relative del prezzo, del costo totale e del profitto totale quando la
domanda del bene passa da q0 = 150 a q1 = 200.
Aggiungere la seguente domanda:
Calcolare l’elasticità della funzione di costo totale e della funzione di profitto totale rispetto
al prezzo quando la domanda del bene passa da q0 = 150 a q1 = 200.
Esercizio 5 Data la funzione f (x) = (2k−1)x3 −5x2 +(7+k)x−4, stabilire per quali valori
del parametro reale k, la funzione f (x) verifica le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo
[1, 2] e, per tali valori, determinare i punti che ne verificano la tesi.
x2 − 7x − 4 + x|x|
, stabilire se f verifica le ipotesi
x+2
del Teorema di Lagrange nell’intervallo [−1, 0] e, in caso affermativo, determinare i punti
che ne verificano la tesi.
Esercizio 6 Data la funzione f (x) =
Esercizio 7 Stabilire per quali valori del parametro α le seguenti funzioni sono invertibili
sull’insieme S = {x ∈ ℜ : x > 0}.
1 + αx
1) f (x) = x3 + αx2 ;
2) f (x) =
3) f (x) = (α2 − 9)e7x − 6.
1+x
Esercizio 8 a) Determinare, al variare del parametro k, il valore massimo della funzione
f (x) = kx + 3 sull’insieme chiuso e limitato [1, 2].
b) Determinare la funzione valore ottimo di f sull’insieme 1 ≤ x ≤ 2 e rappresentarla
graficamente.
Esercizio 9 Un editore offre all’autore di un libro il 15% sul ricavo ottenuto dalle sue
vendite. La quantità di domanda q in funzione del prezzo p è q = 200 − 5p, mentre il costo
di produzione è C(q) = 10 + 2q + 0.03q 2 . Determinare:
a) il numero di copie che realizza il massimo profitto per l’autore;
b) il numero di copie che realizza il massimo profitto per l’editore.
c) verificare che nel punto di ottimo della funzione di profitto per l’editore vale l’uguaglianza
tra costo marginale e ricavo marginale.
Esercizio 10 Studiare la convessità e la concavità della seguente funzione di costo totale,
al variare del parametro a: C(x) = 40 + 2x − 2x2 + ax3 , con x ≥ 0.
Esercizio 11 Si consideri la funzione di costo totale C(x) = 12 + 3x + 0.5x2 , con x ≥ 0.
Studiare la convessità e la concavità del costo medio.
Esercizio 12 Sia data la funzione f (x) = |x2 − 1|. Determinare per quali valori del
parametro reale k è possibile applicare il Teorema di Lagrange sull’intervallo [k, 1]. Per
ciascuno di tali valori di k, determinare il punto che ne verifica la tesi.
Esercizio 13 Data la funzione:
f (x) =
(
x3 + 4x2 + 4x + 12 , x ≤ 0
−x2 + 4x + 12
, x>0
a) Stabilire se f (x) è continua e derivabile nel punto x = 0.
b) Stabilire se f (x) verifica le ipotesi del Teorema di Rolle rispetto all’intervallo [−2, 4] e
in caso affermativo determinare i punti che verificano la tesi.
Esercizio 14 Determinare per quali valori del parametro reale k il determinante delle
seguenti matrici risulta nullo:



1 0 −k
−1 1 − k −2
k−6
4




A=
, B = k 2k −3, C =  6
3k
1 − k
−3 7 + k
2 −1 1
2 k−6
1
"
#

Esercizio 15 Date le seguenti matrici:






−1 3
0
11 −3 1
1 0 4






A = −2 1
1 , B =  2 −1 5, C = 5 9 0
16 10 −2
0
0 4
2 3 6
a) Calcolare det(A), det(B), det(C).
b) Risolvere le seguenti equazioni determinando la matrice X:
b.1) 3A + 2X = B − C;
b.2) AX + B = C.
Esercizio 16 Siano
 

2
1 k−2
0
 


A = −2
0
k − 1, b = 0 .
2
4
1
−k

a) Discutere al variare del parametro k le soluzioni del sistema lineare Ax = b.
b) Posto k = 1 risolvere il sistema con il metodo di Cramer.
c) Posto k = 2 risolvere il sistema con il metodo dell’inversa.