Variabili e parametri nell`approccio alla rappresentazione di funzioni

Variabili e parametri
nell’approccio alla rappresentazione di funzioni
Maria Reggiani
Università di Pavia
I.
Introduzione
L’approccio all’analisi matematica richiede di aver maturato una solida competenza nell’uso della
manipolazione algebrica così da poter spostare l’attenzione dalla gestione dei simboli e dalle regole per la loro
manipolazione alla loro interpretazione in un contesto diverso. E’ noto peraltro che molti alunni arrivano ad
affrontare lo studio dell’analisi senza aver fatto proprio il linguaggio algebrico e si trovano di fronte, senza
saperli controllare, a nomi e simboli che assumono nel nuovo contesto significati differenti. Infatti il passaggio
dall’algebra all’analisi è caratterizzato tra l’altro da una trasformazione dei nomi che si utilizzano per indicare le
lettere, nomi evocativi di un particolare valore semantico, non sempre però adeguatamente differenziato e
comprensibile. Basti pensare all’uso dei termini costante, incognita, variabile, indeterminata, parametro… e così
via, che solitamente si utilizzano con un significato spesso legato ad un contesto specifico ma non sempre ben
definito o definibile. Ci sono poi più o meno esplicite convenzioni sulla scelta delle lettere da utilizzare di volta
in volta con significati e in contesti diversi, ad es. a,b,c,…x,y,z,…h,k, assumono in alcuni ambienti un significato
convenzionalmente codificato (cfr. Chiarugi, Fracassina, Furinghetti & Paola 1995).
Fra i termini che spesso risultano di difficile comprensione per molti alunni c’è certamente quello di parametro.
In questo intervento si intende proporre una riflessione, a partire dal significato del termine parametro in vari
contesti, sul possibile uso didattico di un software per la manipolazione simbolica e il tracciamento di grafici per
favorire la comprensione del ruolo del parametro nello studio dei sistemi di curve dipendenti da parametri.
II.
Che cos’è un parametro?
Il problema didattico relativo alla padronanza dell’uso dei parametri richiede in primo luogo di chiarire che cosa
si intende con il termine parametro e quale è la differenza tra variabile e parametro. Il tema della padronanza
dell’uso dei parametri è trattato in letteratura da vari autori (cfr. ad esempio Ursini & Trigueros 1997 e 1999,
Furinghetti & Paola 1994). In particolare per questo studio è risultato utile il già citato Chiarugi et alii 1995 per
l’ampiezza con cui affronta il problema in riferimento alla prassi didattica e ai libri di testo italiani.
Il termine parametro viene incontrato dagli alunni in vari contesti:
Ø equazioni e loro discussione
Ø sistemi lineari
Ø equazioni parametriche di curve o superficie
Ø sistemi di curve
Ø …..
In ognuno di questi casi il significato con cui il termine è usato non è identico: per renderci conto dell’ambiguità
della terminologia e della difficoltà che questa può comportare per gli alunni basta pensare al caso dei sistemi
lineari. E’ noto che quando si affronta la soluzione dei sistemi lineari il termine parametro può avere almeno due
diversi significati. Il termine infatti può indicare una lettera che compare fra i coefficienti e in questo caso il suo
ruolo è del tutto analogo a quello che assume nel caso delle equazioni e della discussione relativa alla loro
soluzione: le condizioni di risolubilità sono in generale espresse in funzione del parametro stesso. Il termine
parametro compare però nello studio della soluzione dei sistemi lineari anche quando si considerano sistemi con
infinite soluzioni dipendenti da parametri il cui numero come è noto dipende dal rango del sistema e dal numero
di incognite. Si tratta di significati diversi per uno stesso termine nello stesso contesto e questo non può che
generare difficoltà per gli alunni.
Questo secondo significato con cui il termine è usato nel caso dei sistemi ci conduce alla rappresentazione
parametrica di curve o di superficie, anche se non sempre il collegamento fra questi due differenti usi del termine
risulta chiaro agli alunni.
Osserviamo inoltre che lo studio dei sistemi di curve dipendenti da parametro pone ulteriori problemi dal punto
di vista della comprensione del significato e del ruolo del parametro in quanto il fatto che ad ogni valore del
parametro corrisponda una diversa curva del sistema richiede di capire come la variazione del parametro si
rifletta all’interno del sistema, apre cioè l’indagine su “che cosa” dipende/non dipende dal parametro stesso.
Di fronte a questa varietà di situazioni fra loro apparentemente o realmente diverse, viene allora spontaneo
all’alunno chiedersi: che cos’è un parametro, che differenza c’è fra variabile e parametro?
Il già citato articolo Chiarugi et alii 1995 analizza numerose possibili risposte a questa domanda e ad esso
rimandiamo. Qui ci limitiamo a mettere in rilievo ancora una volta il fatto che dovrebbe essere chiaro agli
studenti che il nome dipende dal ruolo assegnato alle lettere in una particolare situazione e che, dal punto di vista
formale, sarebbe ovviamente possibile scambiare i ruoli di variabili e parametri passando ad un diverso
problema: basta pensare all’espressione ax+by+c che ci suggerisce interpretazioni diverse se pensiamo x,y come
variabili e a, b, c come coefficienti, o se ne scambiamo i ruoli o ancora se ad esempio pensiamo di dare a tutte le
lettere lo stesso ruolo di variabili (Prodi, 1984).
In sintesi possiamo dire che nell’operare con variabili e parametri nei diversi contesti sopra ricordati ci si trova
di fronte sostanzialmente a due differenti problemi:
§
distinzione di ruolo
§
distinzione di significato.
Molte difficoltà di impostazione e di risoluzione del calcolo algebrico quando in un problema intervengono
lettere che svolgono funzioni diverse sono legate alla difficoltà di individuazione del ruolo svolto dalle lettere e
di interpretazione del significato.
In questo intervento ci si limita a considerare il caso in cui uno o più parametri compaiono nella
rappresentazione di una funzione polinomiale di secondo grado. Ci si pone allora il problema di capire quale sia
il ruolo del parametro nella rappresentazione di quella curva cioè come cambia la curva al variare del parametro,
quali proprietà dipendono, non dipendono dai valori da esso assunti. Si tratta di un lavoro importante che può
costituire una utile premessa per lo studio dell’andamento delle funzioni e per capire il ruolo dei parametri in
famiglie di curve (pensiamo ad esempio alla possibile applicazione nello studio della famiglia delle primitive di
una funzione o delle soluzioni di una equazione differenziale)
III.
Funzioni dipendenti da parametri
Con queste premesse e a partire dall’analisi a posteriori di una attività didattica su sistemi di curve dipendenti da
parametro, focalizzata in particolare su fasci di parabole, svolta con l'obiettivo di studiarne gli aspetti geometrici
(Reggiani, 2000b), ci si pongono i seguenti problemi:
– Può l'interpretazione geometrica favorire un corretto uso dei parametri?
– Quale può essere il ruolo di un software C.A.S.?
Consideriamo la funzione
y=ax2+bx+c
e proponiamo agli alunni di esaminare l’influenza sui parametri dell’imporre condizioni geometriche alla
generica curva del sistema, in particolare ad esempio le condizioni di passaggio per 1 punto, per 2 punti, per 3
punti. Si tratta di esercizi usualmente svolti nella scuola superiore quando si affronta lo studio della geometria
analitica, solitamente affrontati privilegiandone la componente algebrica. Gli alunni osservano facilmente che
nel primo caso si ottiene un sistema dipendente da due parametri, nel secondo in generale un sistema dipendente
da un parametro, nell’ultimo in generale una sola parabola. Il collegamento con la soluzione dipendente da
parametri nei sistemi lineari è spontaneo e consente di stabilire un confronto tra i due significati del termine.
Meno frequente è invece, almeno nella scuola superiore italiana, chiedersi come si rappresenta graficamente
l'insieme di tutte le parabole passanti per uno, due , tre punti.
Vediamo qualche esempio:
imponendo alla generica funzione sopra considerata il passaggio per l’origine si ottiene il sistema di curve:
y=ax2+bx
Un C.A.S. permette di visualizzare alcune parabole del sistema.
Ad esempio con DERIVE, utilizzando l’istruzione:
(vector(vector ax^2+bx,a,-5,5,1), b,-5,5,1)
si ottiene il seguente grafico che però, pur fornendo qualche idea sul sistema che stiamo esaminando, non
permette di visualizzare il ruolo dei parametri in quanto le parabole rappresentate sono troppe per essere
percepibili in modo distinto.
Per capire qualcosa in più può essere opportuno suggerire agli alunni di modificare il passo in modo da ottenere
una figura più facile da interpretare: basterà ad esempio limitare la variazione di entrambe i parametri da –2 a 2 o
addirittura da –1 a 1, sempre con il medesimo passo per ottenere immagini forse meno attraenti ma certamente
più facili da capire e da ripercorrere “a ritroso” utilizzando la possibilità offerta dal software di cancellare un
grafico alla volta a partire dall’ultimo disegnato per comprendere la corrispondenza fra valori del parametro e
parabole del sistema.
Molto più immediato è invece interpretare il ruolo del parametro nel sistema di parabole che si ottiene
imponendo il passaggio per due punti. In figura è rappresentato il fascio
y=ax2+x-4a+3
(passaggio per (-2,1) e (2,5))
che è uno di quelli analizzati dagli alunni nell'esperienza didattica alla quale qui si fa riferimento.
In tale lavoro (cfr. Reggiani 2000b), si è seguito l'approccio inverso, non si è partiti cioè da una generica
equazione del tipo y=ax2+bx+c e si sono imposte condizioni, ma ci si è occupati di rappresentare graficamente,
con l’aiuto di DERIVE i sistemi dipendenti da un solo parametro. Infatti, come si è già ricordato, obiettivo
dell'attività didattica in questione era principalmente quello di esaminare le proprietà geometriche dei fasci di
parabole in relazione al fatto che il parametro comparisse come coefficiente del solo termine di secondo grado o
del solo termine di primo grado o del solo termine noto oppure comparisse nel coefficiente di più termini.
L'obiettivo era essenzialmente quello di sottolineare ed evidenziare tramite la rappresentazione grafica il legame
fra aspetti algebrici e aspetti geometrici ed arrivare ad una classificazione dei fasci di parabole in relazione ai
punti base.
L'analisi a posteriori dei risultati di tale lavoro ha messo in evidenza la possibilità di approfondire l'indagine sul
significato di parametro nel contesto in oggetto, sia attraverso l'approccio di cui si è detto sopra, sia proponendo,
con l'aiuto del C.A.S. il confronto fra l'imporre condizioni in una equazione dipendente da parametri e
l'esaminare sistemi dipendenti da parametri. Ad esempio si può confrontare il fatto che imponendo il passaggio
per due punti si è ottenuto un sistema dipendente da un parametro con le diverse situazioni geometriche che si
ottengono esaminando i differenti tipi di fasci cioè di sistemi dipendenti da un solo parametro che vi compare al
primo grado.
Il ruolo del C.A.S. in questo caso è quello di favorire l'analisi delle diverse situazioni attraverso la loro
rappresentazione. L'approfondimento della situazione dal punto di vista algebrico e geometrico richiede
ovviamente una riflessione teorica che ha nell'immagine soltanto il suo punto di partenza.
Riportiamo qui una parte delle figure che sono state esaminate con i ragazzi e che rappresentano, insieme a
quella già vista sopra, alcune differenti situazioni.
y=ax2
y=ax2-3x+1
y=-2x2+bx
y=3x2-2x+c
L'analisi dei diversi casi permette di osservare l'esistenza di fasci di parabole che hanno in comune due punti, un
punto, nessun punto. Un'analisi più approfondita può portare a studiare quali condizioni caratterizzano il fascio
nei vari casi o, in altri termini, quali condizioni devono essere imposte alla generica equazione per ottenere quel
particolare fascio.
IV.
Operare con i parametri
Lo studio dei fasci di curve e delle loro proprietà porta in genere, nell'usuale prassi didattica, a proporre agli
alunni almeno altri due problemi, che coinvolgono l'uso del parametro dal quale il fascio dipende e che
richiedono una buona padronanza del significato delle operazioni algebriche coinvolte: la ricerca dei punti base e
quella del luogo dei vertici (o dei fuochi). Tali problemi sono in genere risolti dal punto di vista algebrico senza
particolare attenzione all'interpretazione geometrica dei risultati.
Analizziamoli brevemente.
Si è già ampiamente parlato nel paragrafo precedente dei punti base di un fascio di parabole (cioè dei punti
comuni a tutte le parabole del fascio), limitandosi però all'esame di casi particolari.
Un modo per affrontare il problema in generale può essere ricavato, riprendendo, ad esempio, il fascio
precedentemente esaminato
y=ax2+x-4a+3
ed osservando che, dopo averlo riscritto nella forma
y=a(x2-4)+x+3
si può facilmente notare che le ascisse dei punti base sono le soluzioni di
x2-4=0
Questa situazione, studiata anche graficamente con l'aiuto del software, può essere utilizzata come punto di
partenza per esaminare più in generale il fascio dipendente dal parametro k:
y=ax2+bx+c +k(a1x2+b1x+c1)
in cui le ascisse dei punti base sono le soluzioni dell’equazione:
a1x2+b1x+c1 = 0
Il passaggio dalla situazione particolare a quella generale presenta ovviamente grosse difficoltà dal punto di vista
della gestione dei significati delle lettere che vi compaiono con ruoli diversi. Il lavoro svolto sul caso particolare
con l'appoggio della visualizzazione fornita dal software può costituire un punto di partenza e soprattutto aiutare
gli alunni a capire, proprio riflettendo sul caso particolare, che cosa significa annullare l'espressione fra
parentesi, cioè il coefficiente del parametro: per i valori di x che annullano l'espressione tra parentesi l'ordinata
non dipende da k.
Consideriamo ora la ricerca del luogo dei vertici a partire dall'equazione:
y=-2x2+bx
 b b2 
 . Assegnando a b i valori da –5 a 5 si
Il vertice della generica parabola del fascio ha coordinate  ,
4 8 


ottengono i punti segnati in figura:
b

x = 4

E' possibile, utilizzando DERIVE tracciare la funzione di equazioni parametriche 
2
y = b

8
ed ottenere così il grafico del luogo dei vertici. E' poi ovviamente possibile, con carta e penna o ancora con
l'aiuto del software, scrivere l'equazione del luogo. Riteniamo che accompagnare questo procedimento con la
rappresentazione grafica consenta una migliore comprensione del procedimento e favorisca la riflessione sul
significato di b nei vari casi.
V.
Osservazioni conclusive
Gli esempi e le riflessioni proposte nei paragrafi precedenti si propongono di fornire un contributo alla
discussione sul ruolo assunto, nell'apprendimento dell'algebra, dalla tecnologia e in particolare dai software,
sempre più diffusi ed evoluti, per la manipolazione simbolica e il tracciamento di grafici.
Riteniamo che i software per il tracciamento dei grafici abbiano un ruolo centrale nello studio della curve e, per
quanto riguarda la situazione qui considerata, nello studio delle curve dipendenti da parametri in quanto
consentono di affiancare alla rappresentazione algebrica una rappresentazione grafica adeguata ottenibile senza
distogliere l'attenzione dal problema che si sta studiando.
Le riflessioni proposte, tratte come si è già detto dall'analisi di una attività didattica svolta con obiettivi
parzialmente diversi, richiedono di essere approfondite indirizzando la ricerca a chiarire i due seguenti punti tra
loro strettamente legati:
• il ruolo di mediazione del software
• il ruolo dell'insegnante
Quanto al primo punto notiamo prima di tutto che il software, nella situazione da noi proposta e studiata, viene
utilizzato direttamente dall'allievo seguendo però le indicazioni dell'insegnante, è strumento di congettura e di
verifica, ma non si propone come solutore di problemi: lo strumento finale di soluzione è sempre comunque la
riflessione, l'argomentazione, la generalizzazione. Strettamente legato al ruolo del software nel caso specifico è il
ruolo della rappresentazione grafica nelle situazioni studiate, problematica che, pur con le proprie specificità, si
inserisce in quella ben più ampia del ruolo dell'immagine nell'apprendimento in generale e nell'uso di tecnologie
in particolare.
Tenuto conto di quanto appena detto l'insegnante riveste un ruolo di grande importanza e difficile da gestire, in
quanto deve sollecitare un uso appropriato del software, stimolare la riflessione per l'interpretazione delle
immagini, l'elaborazione di congetture, la riflessioni a partire da esse, la discussione fra pari, la verifica, la
generalizzazione. Occorre inoltre tener presente che, anche quando l’attività didattica è strutturata e l’uso del
software è guidato, non è detto che l’alunno usi il computer con lo stesso ruolo e gli stessi obiettivi che
l’insegnante si propone: vi è infatti un rapporto diretto di ogni alunno con il computer le cui implicazioni devono
anche essere oggetto di studio.
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