Segnali ed onde - Dipartimento di Fisica

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Capitolo 6
Segnali ed onde
6.1 Analisi di un segnale
I sistemi materiali da quelli più semplici a quelli più complicati comunicano
attraverso segnali. Un esempio di segnale è la variazione nel tempo di una
grandezza fisica, nel caso più semplice una grandezza fisica scalare come una
differenza di potenziale. Si può chiamare segnale anche la risposta di uno
strumento di misura alla variazione della grandezza fisica alla quale esso è
sensibile. Ad esempio il dinamometro a strain gauge di cui abbiamo parlato trattando di elasticità dei materiali, genera una tensione che dipende
linearmente dalla forza ad esso applicata. Se questa è variabile nel tempo
si dice che il dinamometro genera un segnale V (t) suscettibile di essere misurato, registrato ed elaborato. Più in generale la risposta di un apparato o
di un sistema materiale ad una perturbazione esterna è un tipo di segnale,
anche se l’apparato non è necessariamente realizzato come uno strumento
di misura. L’oscillazione di un edificio sotto l’azione di una scossa sismica è
un segnale le cui propriet,̀ ad esempio l’ampiezza delle oscillazioni verticali,
dipendono dal sistema stesso e dalla causa che le ha provocate, i movimenti
della crosta terrestre. Le oscillazioni dell’edificio segnalano queste proprietà
e dallo studio dell’andamento di quelle oscillazioni è possibile, almeno in
1
2
linea di principio, acquisire conoscenza del fenomeno che le ha provocate.
Per fissare le idee, nel seguito conviene immaginare un particolare tipo
di segnale, ad esempio quello legato alla ricezione di un suono. Questo,
come vedremo, consiste in una variazione della pressione dell’aria e l’orecchio
genera in ultima analisi un segnale nervoso che corrisponde alla sensazione
auditiva. Identificheremo spesso il segnale col suono stesso, ossia l’effetto
con la causa, per semplificare l’esposizione.
Ci proponiamo nella prima parte di questo capitolo di introdurre dei
metodi molto generali per descrivere un segnale ossia per compierne una
analisi. Per semplicità, supponiamo che il segnale sia rappresentabile da
una grandezza scalare dipendente solo dal tempo. Il segnale è dunque
rappresentato da una funzione s(t) che ha una certa durata T .
6.1.1 Principio di sovrapposizione
Nel seguito supporremo sempre segnali che godono delle seguenti proprietà: siano dati due segnali (suoni) che provocano separatamente le risposte
(auditive)
s1 (t) , s2 (t)
allora, se i suoni vengono percepiti contemporaneamente il segnale risultante
è
s(t) = s1 (t) + s2 (t)
Chiameremo questa proprietà principio di sovrapposizione. Essa è sicuramente valida per segnali che consistono in piccoli spostamenti da una
posizione di equilibrio. Inoltre consideriamo che un segnale possa essere
moltiplicato per una costante c e che il risultato cs(t) sia ancora un segnale
valido.
6.1.2 La schematizzazione di un segnale
Un segnale, ad esempio un suono, è dunque una perturbazione che viene
osservata per una durata T . Prima e dopo il segnale può esserci stato o
esserci ancora, ma se non viene osservato non rientra nella descrizione che
vogliamo fare. Anzi nulla vieta di fissare il segnale arbitrariamente al di fuori
dell’intervallo T . Si potrebbe ad esempio assumere che il segnale sia nullo
quando non lo abbiamo osservato. Risulta però più conveniente assumere
che il segnale sia periodico di periodo T , ossia si ripeta uguale alla
porzione di segnale effettivamente osservato, per tutti gli intervalli di durata
T precedenti e seguenti l’intervallo di misura. In figura il segnale vero è
rappresentato con la linea continua e le copie negli intervalli adiacenti sono
tratteggiate.
F.Maccarrone, G.Paffuti - Fisica per Biotecnologie - 2010/011
3
6.1.3 Decomposizione di un segnale
Caratterizzare un segnale equivale quindi a descrivere una qualunque funzione periodica. In ogni ambito, in particolare in quello che ci interessa di
piú ossia nello studio dei fenomeni fisici e/o biologici, esistono concetti e
grandezze che possono essere studiate con questo metodo. Per svilupparlo abbiamo bisogno di un vocabolario che sia in qualche modo tratto dal
contesto delle funzioni periodiche. Tra le funzioni periodiche che hanno periodo T sono particolarmente facili il seno ed il coseno, di periodo T che
conosciamo dal nostro studio dell’oscillatore armonico. Il periodo è ovviamente legato al numero di oscillazioni che capitano in un secondo, cioè alla
frequenza tramite f = 1/T :
2π
2π
t) cos( t)
T
T
Anche la funzione costante uguale ad 1 è ovviamente periodica di periodo
T . In base al principio di sovrapposizione la somma di queste tre funzioni
(eventualmente ciascuna moltiplicata per un numero):
sin(
2π
2π
t) + b1 sin( t)
(1.1)
T
T
è un suono, anche se ancora non è chiaro come questo fatto si adatti alla sensazione fisiologica del fenomeno. Conviene pensare alle tre funzioni
distinte, la funzione costante 1, e le funzioni Seno e Coseno come le prime
tre “parole” del nostro vocabolario. Lasciamo perdere per il momento la
funzione costante e concentriamoci sulle altre due. Se facciamo un grafico con l’asse dei tempi normalizzato a T , ossia riportando sull’asse orizzontale la grandezza x = t/T , troviamo due figure, nell’intervallo [0, 1],
s(t) = a0 + a1 cos(
4
che rappresentano rispettivamente una oscillazione completa del seno e del
coseno:
Ma allora è semplice “arricchire” il nostro vocabolario di funzioni periodiche,
basta considerare lo stesso tipo di funzioni, seni e coseni, ma fargli compiere
più di un’ oscillazione. Le funzioni precedenti avevano una frequenza
f1 =
1
T
Se consideriamo frequenze multiple di questa, la funzione trigonometrica
seno o coseno, di frequenza
fk = kf1 = k
1
T
compie nell’intervallo (0, T ) k oscillazioni. Nella figura si mostrano in alto
ed in basso i grafici del seno e del coseno delle prime quattro frequenze.
Seguendo la procedura di prima ed il principio di sovrapposizione avremo
allora che una qualunque somma del tipo
s(t) = a0 +
X
k=1
ak cos(k
X
2π
2π
t) +
bk sin(k t)
T
T
k=1
(1.2)
5
è ancora un suono, anche estendendo le somme ad un numero infinito di elementi. Con il vocabolario delle funzioni armoniche nell’intervallo (0, T ) possiamo allora sintetizzare una grande varietà di suoni (segnali) caratterizzati
da una durata T .
Qui interviene un importante risultato matematico: il teorema di Fourier:
Una qualunque funzione periodica di periodo T si può esprimere tramite una somma del tipo (1.2).
La somma si chiama serie di Fourier della funzione. Se conosciamo la
funzione s(t) è relativamente facile, anche se a noi non servirà mai, trovare
analiticamente i coefficienti ak , bk :
Z
1 T
a0 =
s(t)dt
T 0
Z
2 T
2π
ak =
s(t) cos(k t)dt
T 0
T
Z T
2π
2
s(t) sin(k t)dt
b0 =
T 0
T
Per il momento, notiamo solo che a0 è la media del segnale ed è quindi
nulla per segnali che nel periodo sono tanto positivi che negativi. Possiamo
allora interpretare la (1.2) dicendo che ogni segnale osservato per un tempo
T è la somma di coppie seno/coseno, ognuna con frequenza fk = k/T . (k = 0
corrisponde alla costante). Dalla esperienza fatta con l’oscillatore armonico
sappiamo che la somma sovrapposizione di seno e coseno rappresenta la legge
oraria generale del moto di un oscillatore armonico per cui possiamo dire
che la somma realizza la decomposizione (analisi) del segnale in oscillatori
armonici elementari di frequenze multiple della frequenza più bassa f = 1/T .
Torneremo più avanti su questo punto.
Spettro in frequenza di un segnale
La (1.2) ha una proprietà molto importante dal punto di vista fisico. Sappiamo che in un’oscillazione armonica l’energia è proporzionale al quadrato
dell’ampiezza. L’energia media contenuta nel segnale è allora proporzionale
a
Z
1 T
E=
s(t)2 dt
T 0
Calcolando il quadrato s(t)2 dalla (1.2) si vede facilmente che nell’integrale
precedente danno contributo non nullo solo i termini in quadratura ossia
risultanti dal prodotto della stessa funzione armonica con la stessa frequenza
come ad esempio:
2π
2π
cos(k t) · cos(k t)
T
T
6
e tutti gli altri hanno integrale nullo. D’altra parte il valor medio sul periodo
del quadrato di una funzione seno o coseno è 1/2 per cui l’energia risulta:
E = a20 +
1X 2
(ak + b2k )
2
(1.3)
k
Es.1
Verificare, applicando la definizione di valore medio di una funzione nell’intervallo (0, T ):
f =
1
T
T
Z
f (t)dt
0
che il valor medio sul proprio periodo del coseno quadrato o del seno quadrato è 1/2. Fare anche
il grafico di una oscillazione completa del seno quadrato e del coseno quadrato. Calcolare anche
il valor medio sul periodo T della funzione
f (t) = sin(
2π
2π
t) cos( t)
T
T
Ricordando che per ogni oscillatore x = a cos(ωt) + b sin(ωt), il quadrato
dell’ ampiezza è proprio a2 + b2 vediamo che la relazione precedente dice che
l’energia è immagazzinata in ognuno degli oscillatori e che l’energia totale è
la somma delle energie di ogni singolo oscillatore. La formula precedente è la
decomposizione dell’energia nelle componenti armoniche. Si dice anche che
ogni termine esprime una componente spettrale e l’insieme dei termini
si dice spettro energetico del segnale.
Veniamo finalmente al significato delle frequenze che compongono un
segnale sonoro: fisiologicamente ogni frequenza corrisponde a quello che in
musica si chiama una nota pura. La (1.2) significa quindi che ogni suono si
può considerare come una somma di note. La 1.3) dice invece che l’intensità
totale E è la somma delle intensità di ogni singola nota.
6.1.4 Campionamento e discretizzazione
Dal punto di vista pratico non è possibile conoscere un segnale per tutti i
tempi 0 < t < T e, reciprocamente, non è possibile determinare gli infiniti
coefficienti ak e bk . Occorre quindi adattare la teoria precedente al calcolo
che si fa in concreto quando si registra un segnale.
Dire che il teorema di Fourier “funziona” equivale a verificare che, all’aumentare del numero di frequenze usate, l’approssimazione della somma
trigonometrica (1.2) migliora sempre di più. Per essere precisi se facciamo
la differenza fra un segnale teoricamente noto s(t) e la somma di Fourier
fino alla frequenza fN = N/T , l’energia immagazzinata nei rimanenti oscillatori, con frequenze maggiori, può essere resa piccola quanto si vuole,
pur di scegliere N abbastanza grande. Questo significa che se ci accontentiamo di approssimare il segnale con una certa precisione possiamo limitarci
ad un numero finito di termini. Naturalmente, se vogliamo una precisione
maggiore il numero di termini deve aumentare.
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Generalmente nelle scienze sperimentali l’osservazione dei sistemi materiali comporta la misura di grandezze che definiscono lo stato del sistema, ad
esempio il livello di glicemia nell’arco di una giornata quando si è interessati
al ciclo quotidiano del metabolismo degli zuccheri. Detta g(t) la funzione
che rappresenta il livello di glicemia, comunemente espresso in milligrammi
di glucosio per decilitro di sangue venoso, si può collegare ad un vaso periferico un apparecchio che ad intervalli regolari di tempo (ad esempio ogni
minuto) misura, tipicamente con metodi colorimetrici la grandezza in questione e la registra. Si dice che viene effettuato un campionamento regolare
della grandezza di interesse ed il risultato che si ottiene è un insieme finito
di valori del segnale, ad esempio uniformemente intervallati fra loro.
Per formalizzare matematicamente la situazione, supponiamo che il nostro sistema di campionamento ci permetta di registrare N misure in un
tempo T , l’intervallo fra loro, detto intervallo di campionamento sia
∆t =
T
T
'
N −1
N
L’ultima approssimazione sfrutta il fatto che normalmente N 1 e l’inverso
dell’intervallo di campionamento si chiama frequenza di campionamento
fc :
1
N
fc =
=
∆t
T
Essa rappresenta quante misure al secondo vengono effettuate.
Es.2
Un sistema di acquisizione dati registra per T = 2 s, un segnale, usando una frequenza
di campionamento costante di 20 kHz. Quante misure vengono effettuate in tutto? Quanto vale
l’intervallo di tempo tra una misura e l’altra?. Se il segnale è periodico con una frequenza di 60
Hz, quanti campioni vengono acquisiti per ogni periodo del segnale?
In corrispondenza di ogni osservazione del segnale, di durata T , avremo
N valori del segnale s1 , s2 , s3 ...sN che sono, rispettivamente le registrazioni
ai tempi t1 , t2 = t1 + ∆t, ....tN = T . Ad esempio, per l’holter glicemico1 da
cui siamo partiti il periodo di osservazione T è un giorno e alla frequenza
ipotizzata si ottengono alla fine 1440 misure.
Se ora usiamo le misure si per calcolare i coefficienti della somma di
Fourier, quanti coefficienti ak e bk riusciamo ad ottenere? La risposta è
semplice: se abbiamo N numeri possiamo al massimo determinare N coefficienti. In effetti, se scriviamo la serie di Fourier per i valori di t in cui
abbiamo fatto le misure otteniamo un grande (per N grande) sistema di
equazioni lineari in cui i termini noti sono le misure, i coefficienti sono i
1
Il termine holter indica uno strumento che misura una certa grandezza fisiologica
nell’arco delle ventiquattro ore. Il nome deriva da quello del fisico americano Jeff Holter
che costruı̀ per primo un apparecchio in grado di registrare l’elettrocardiogramma di un
soggetto durante l’attività di una intera giornata. Oggi viene usato moltissimo in ambito
clinico per fini diaqnostici e prognostici.
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valori di seno e coseno nei tempi ti e le incognite sono i coefficienti ak e
bk . Esistono degli algoritmi di calcolo numerico estremamente efficienti per
risolvere questo tipo di sistemi (algoritmi FFT Fast Fourier Transform) che
forniscono il risultato.
Immaginiamo per semplicità che N sia dispari, del tipo N = 2n + 1.
Contiamo le frequenze che in questo modo possiamo analizzare: per ogni frequenza abbiamo i due coefficienti ak e bk (e poi abbiamo il termine
costante a0 ). Quindi se effettuiamo N = 2n + 1 misure al massimo riusciamo ad ottenere le frequenze fino ad n = (N − 1)/2 ' N/2. Scrivendo
esplicitamente le frequenze:
fk = kf1 = k
1
T
fmax =
N
1N
fc
f1 =
=
2
2T
2
ossia la massima frequenza analizzata è pari alla metà della frequenza di
campionamento. Consideriamo ad esempio un suono udibile. La massima
frequenza udibile è di circa 20 kHz. Quindi se voglio conoscere le componenti
di un segnale sonoro nell’intervallo di udibilità devo campionare almeno al
doppio di questa frequenza.
La massima frequenza ottenibile (significativa) è la metà della
frequenza di campionamento (teorema di Nyquist).
Inoltre, la più piccola frequenza analizzata è 1/T per cui se sono interessato a segnali che hanno interessanti componenti a frequenze basse devo
registrare per un tempo T pari almeno all’inverso della più bassa frequenza
interessante. Un esempio tratto dalla fisiologia umana è l’influenza della
frequenza respiratoria che è di qualche decimo di Hz sul ritmo cardiaco. La
presenza di questa influenza si ritrova nel segnale che rappresenta il ritmo
cardiaco in funzione del tempo. Se voglio analizzare una frequenza di un
decimo di Hz devo almeno registrare il segnale per 10 secondi. La durata
del campionamento fissa anche la spaziatura tra le frequenze analizzate che
è ancora 1/T . Infatti le frequenze analizate sono multipli della frquenza più
bassa e, quindi la differenza tra due frequenze vicine è proprio uguale alla
frequenza f = 1/T . Se sono interessato ad uno spettro che varia in un intervallo ristretto ∆f occorre che il tempo di osservazione sia grande rispetto
all’inverso di questa struttura dello spettro:
T 1
∆f
Sommario
Ripercorriamo questa parte sulla analisi di segnale sintetizzando i punti
essenziali.
9
• Nell’analisi di un segnale siamo spessissimo interessati a sapere come
l’energia del segnale è distribuita fra le varie frequenze (dette spesso
modi, per ricordare i modi di vibrazione degli oscillatori). Ogni oscillatore ha un’energia proporzionale a EK = a2k + b2k Se riportiamo in
un grafico (per punti o unendo i punti con delle linee) le quantità En
in funzione di n/T (le frequenze) otteniamo quello che si chiama lo
spettro del segnale. L’analisi che stiamo conducendo si chiama anche
analisi spettrale.
• Se dobbiamo misurare un segnale che ha componenti importanti a
grandi frequenze, che cioè può variare molto rapidamente, dobbiamo
aumentare la frequenza di campionamento. Se, ad esempio, vogliamo
registrare un suono a 10000 Hz dobbiamo usare una frequenza di
campionamento di almeno 20000 Hz.
• La differenza fra una frequenza e la successiva è
df =
1
T
e non possiamo sperare di determinare una frequenza con precisione
maggiore: quindi se vogliamo una misura con maggiore precisione dobbiamo aumentare il tempo di misura T . Inoltre, se vogliamo misurare
un suono bassa frequenza (suono tipico per animali di grosse dimensioni), ad esempio 10 Hz, dobbiamo usare delle registrazioni che durino
più di un decimo di secondo.
6.2 Onde progressive
Vogliamo adesso introdurre il problema della propagazione di un segnale,
vale a dire della situazione in cui il segnale s(t) presente in un certo punto
dello spazio influenza i punti vicini e dopo un certo tempo si ritrova in punti
diversi più o meno esattamente riprodotto.
A questo scopo consideriamo una situazione molto generale in cui il
segnale si propaga in un mezzo macroscopico che occupa una certa regione
dello spazio e che presenta una condizione di equilibrio ossia uno stato che
si mantiene costante se non viene perturbato. Ad esempio, la superficie
di uno specchio d’acqua ha una posizione di equilibrio in cui il liquido è
orizzontale, oppure l’aria in una stanza ha uno stato di equilibrio in cui la
densità o la pressione sono uniformi. In questo contesto un segnale è una
perturbazione in questo stato di equilibrio e, come osserviamo se gettiamo
un sasso in un punto dello stagno o battiamo le mani in un punto della
stanza la perturbazione, ossia l’onda sulla superficie dell’acqua o il suono
nell’aria della stanza, si propaga ai punti vicini del mezzo e da quelli a quelli
loro vicini e cosı́ via.
10
Individuiamo dunque ogni punto del mezzo in cui si ha la propagazione
del segnale con un sistema di coordinate. Per semplicità ci occuperemo del
caso unidimensionale e quindi i punti del mezzo sono individuati da una
sola coordinata x. A seconda del sistema fisico effettivo, uno scostamento
dall’equilibrio è descritto da una qualche grandezza s. Descrivere la presenza di una perturbazione nel mezzo equivale a considerare lo scostamento
dall’equilibrio s(x) nel punto individuato dalla coordinata x. s(x) = 0 corrisponde alla condizione di equilibrio in cui o la perturbazione non è arrivata
nel punto considerato o è già passata e il sistema è tornato all’equilibrio. La
grandezza s può essere, a seconda del sistema sotto esame, uno spostamento, come nel caso della altezza dell’acqua rispetto al piano di equilibrio, una
variazione di pressione, come per l’aria, etc.
Se si fa una fotografia istantanea dello scostamento dall’equilibrio la funzione s(x) dà il profilo della variazione lungo
tutto il corpo. Ad esempio la superficie dell’acqua potrebbe essere
spostata in un certo istante dalla posizione di
equilibrio s = 0 nel modo
rappresentato in figura.
Se la fotografia viene ripetuta ad un istante successivo la perturbazione può
essere cambiata. In questo caso se consideriamo un certo punto di coordinata x lo scostamento osservato è diverso dall’istante precedente. In altre
parole la grandezza s(x) dipende dal tempo. Questa possibilità è espressa
dicendo che s è una funzione sia della posizione sia del tempo e si scrive
simbolicamente come:
s = s(x, t)
Un caso particolarmente importante, perché molto generale, si ha quando la perturbazione, che in questo caso si chiama onda progressiva, si
sposta mantenendo invariata la sua forma, ad esempio viaggiando progressivamente2 nel verso positivo delle x. Ciascun punto della perturbazione
viaggia con la stessa velocità v e la funzione risulta traslata dopo un tempo
t della distanza vt.
Vediamo ora che un modo semplice per scrivere l’onda viaggiante è di
usare una funzione dell’argomento x − vt:
2
Animazioni di questo genere di movimento nel caso 1-Dimensionale e in casi più
complicati si trovano in rete. Ad esempio la PennState University ha un sito dedicato alle animazioni di sistemi fisici ed esempi di propagazione di onde si trovano a
http://rt210.sl.psu.edu/phys anim/waves/indexer waves.html.
11
s(x, t) = f (x − vt)
(2.4)
Consideriamo in effetti un dato valore del segnale, ad esempio il massimo.
All’istante t = 0 questo corrisponde ad un certo punto del mezzo, cioè ad
una coordinata x = x, ad esempio a x = 1 m. Ora, una funzione assume
il valore massimo per un certo valore del suo argomento, comunque questo
sia scritto, quindi nella (2.4) il massimo si ha per tempi t 6= 0 quando
l’argomento è x − vt = x. Quindi, trascorso un tempo t il massimo si è
spostato nella posizione x = x + vt. Il ragionamento è valido per tutti i
punti della perturbazione che dunque si sposta nel modo desiderato.
Se cambiamo segno alla velocità otteniamo un’onda regressiva che si
sposta nella direzione negativa delle x:
s(x, t) = g(x + vt)
Ripetiamo che le onde che stiamo descrivendo sono abbastanza generali ma
hanno una particolarità: come è chiaro dalla presentazione la funzione f (x)
che stiamo considerando è sempre la stessa, quindi al passare del tempo
l’onda (il segnale) ha sempre la stessa forma, semplicemente trasla e come
si usa dire non si ha “dispersione”. Si potrebbe, più in generale, avere una
situazione, del resto più realistica, in cui, ad esempio, il segnale si attenua.
Tuttavia, come ormai abbiamo appreso in Fisica si iniziano a studiare sistemi
particolarmente semplici che descrivono le proprietà essenziali degli oggetti
reali e si aggiungono dettagli alla descrizione solo quando è strettamente
necessario.
Riassumendo questa parte, diciamo che noi considereremo nel seguito
solo il caso di segnali che descrivono piccoli spostamenti dall’equilibrio, per i
quali, come più volte riscontrato, si ha una struttura lineare, cioè la somma
di due segnali è ancora un segnale dello stesso tipo etc. Quindi possiamo dire
che la generica propagazione di un segnale (senza dispersione) è scrivibile
nella somma di un’onda progressiva e di una regressiva
s(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt)
(2.5)
Siccome le funzioni f e g sono completamente arbitrarie stiamo descrivendo
un’amplissima classe di segnali. Consideriamo nel prossimo paragrafo una
particolare classe di questi segnali strettamente legati ai moti armonici.
6.2.1 Onde semplici (frequenza e lunghezza d’onda)
Nella sezione precedente abbiamo descritto come un segnale “fotografato”
all’istante iniziale, si possa evolvere nel tempo. Possiamo considerare lo
stesso fenomeno da un altro punto di vista: se fissiamo la nostra attenzione
su un dato punto del mezzo, individuato dalla coordinata x, come varia
il segnale? Consideriamo per il momento solo le onde progressive. Dalla
12
(2.4) discende che in un dato punto, ossia a fisso x, si ha una “arbitraria” variazione nel tempo, determinata implicitamente dalla forma iniziale di
s(x, t = 0). Ad esempio, se consideriamo un’onda superficiale progressiva
nell’acqua e prendiamo un punto P sulla superficie, prima che la perturbazione inizi a interessare quel punto lo scostamento s(P ) è nullo. Poi, il
fronte dell’onda investe il punto la cui quota sul livello di equilibrio inizia a
salire, raggiunge il massimo, poi inizia a discendere e torna nella condizione
di equilibrio quando la perturbazione è passata. Quindi, lo spostamento nella posizione del punto P risulta una funzione s(t) del tempo il cui andamento
è fissato dalla forma f dell’onda progressiva.
D’altra parte sappiamo anche dell’inizio di questo capitolo che una qualunque
funzione f (t) può essere descritta da una somma (serie) di funzioni trigonometriche. Quindi, siamo indotti a studiare la propagazione di perturbazioni
derivanti da moti armonici semplici, ossia da onde descritte da seni e coseni.
Consideriamo dunque che, ad esempio nell’origine sia posta una sorgente che
genera una perturbazione armonica ad una pulsazione ω = 2π/T e che per
le proprietà del mezzo essa si sposti nella direzione dell’asse x positivo alla
velocità v. È evidente che in queste condizioni la perturbazione che rilevo
all’istante t nel punto di coordinate x è la stessa che avevo all’istante t − x/v
nella posizione x = 0. In formule:
s(x, t) = f (t −
x
)
v
la quale, come si capisce raccogliendo nell’argomento di f −v è dello stesso
tipo (f (x − vt)) che abbiamo scritto in (2.4).
La figura mostra in quattro istanti separati da un periodo T la propagazione
dell’onda progressiva che si muove con velocità v = 1 m/s generata dalla
sorgente posta in x = 0 e che produce una perturbazione sinusoidale.
13
Quantitativamente questo significa che in x = 0 ho una perturbazione
che al passare del tempo varia come:
s(0, t) = A sin(
2π
t)
T
e nello stesso istante t ho nel punto x la perturbazione che si trovava nella
sorgente (a x = 0) all’istante t − x/v e che si è spostata alla velocità v verso
destra, ossia:
2π
x
2π
2π
(t − )) = A sin( t −
x)
(2.6)
T
v
T
vT
Dal secondo membro risulta chiaro che se facciamo una fotografia del segnale a tempo fisso il termine contenente t diventa un numero, ossia una fase
e otteniamo una funzione sinusoidale periodica in x, con periodo spaziale
λ = vT (vedi figura). La lunghezza λ è manifestamente la distanza percorsa
dal segnale (esempio da un suo massimo che si muove con velocità v verso
destra) in un periodo T e prende il nome di lunghezza d’onda.
Possiamo anche, al posto del periodo, ossia il tempo necessario a compiere una oscillazione completa, fare intervenire la frequenza f = 1/T
dell’onda progressiva e scrivere la relazione ta lunghezza d’onda e frquenza
come:
s(x, t) = A sin(
λ=
v
f
(2.7)
Un modo alternativo per scrivere la onda progressiva sinusoidale consiste
nell’includere nei parametri il fattore 2π e scrivere:
A sin(2π(
t
x
− )) = A sin(ωt − kx)
T
λ
dove con ω = 2π/T si indica la frequenza angolare e con k = 2π/λ il
cosiddetto vettore d’onda.
Es.3
Si scriva l’espressione che descrive un onda sinusoidale di lunghezza d’onda λ = 40 cm e
ampiezza A = 15 cm che si sposta con velocità v = 3.2 m/s nella direzione delle x positive. Si
calcoli la frequenza f dell’onda.
14
Vediamo nel seguito alcune conseguenze della propagazione di un onda
progressiva.
6.2.2 Intensità
La propagazione del segnale può o meno essere associata ad uno spostamento
di materia. Ad esempio, in un onda sonora ossia una perturbazione della
densità/pressione di un mezzo (l’aria) che viene generata in una zona e
successivamente si propaga ai punti vicini, non si ha uno spostamento della
massa di aria da un punto all’altro. Ciò che viaggia è la perturbazione
delle grandezze che definiscono lo stato dell’aria. Si può definire l’energia
della perturbazione e il moto della perturbazione è sempre associato ad un
trasporto di energia. Quindi le onde trasportano energia ed è questo che
rende questo meccanismo di propagazione estremamente importante per la
trasmissione dei segnali.
Per concretezza consideriamo il caso di un’onda piana del tipo (2.6), in
cui s(x, t) rappresenta in effetti lo spostamento, con ampiezza A della massa
del mezzo in cui l’onda si propaga. Fissiamo l’attenzione su una sezione
dell’onda di superficie di base S ortogonale alla direzione di propagazione.
Mentre l’ onda si propaga con velocità v, la massa coinvolta nell’oscillazione
in un tempo dt è quella contenuta in un cilindro di area S, la sezione trasversale dell’onda, ed altezza vdt, cioè dm = ρSvdt, dove ρ è la densità del mezzo.
Come sappiamo un moto oscillatorio di una massa dm ha energia
1
1
dE = dmω 2 A2 = ρSvdtω 2 A2
2
2
quindi nel tempo dt viene trasferita una energia dE attraverso la superficie
S. Si chiama intensità dell’onda l’energia trasferita al secondo e per
metro-quadro la quale si ottiene dalla precedente dividendola per S e per
dt:
dE
1
I=
= ρvω 2 A2
(2.8)
Sdt
2
15
e si misura in Watt per metro quadrato (W/m2 ).Torneremo nel seguito
su questa relazione tra intensità e ampiezza A della perturbazione in alcuni
casi particolari di propagazione ondulatoria.
6.2.3 Effetto Doppler
Abbiamo visto che una sorgente posta in un punto dello spazio può dare
origine ad un’onda sinusoidale progressiva, ad esempio nella direzione delle
x positive, secondo la relazione:
s = A sin(ωt − kx)
Supponiamo che all’istante t = 0 un osservatore fermo in un punto x riveli il
massimo dell’onda, ossia in quell’istante il punto x sia attraversato dall’onda
al suo massimo valore. Ci si domanda dopo quanto tempo egli percepisce
il massimo successivo? Dato che l’onda viaggia con velocità costante v ci
aspettiamo che il tempo necessario sia quello che impiega l’onda a percorrere
il tratto λ (lunghezza d’onda) che separa i due massimi:
t=
λ
λ
1
=
= =T
v
λf
f
avendo usato la (2.7). Quindi l’osservatore percepisce una successione di
massimi separati dal periodo T , ossia con una frequenza f uguale a quella
emessa dalla sorgente.
La situazione cambia se l’osservatore si muove rispetto alla sorgente.
Consideriamo che l’osservatore che percepisce il massimo quando è nella
posizione x si stia muovendo verso la sorgente con velocità costante V .
Stavolta incontrerà il massimo successivo dopo un tempo t quando questo
avrà percorso la distanza λ−V t. Poiché la velocità di propagazione dell’onda
è v questo accade dopo un tempo:
t=
λ−Vt
v
e, risolvendo rispetto a t:
t=
1
v
1 1
λ
=
=
V +v
f (V + v)
f 1+ v
V
La frequenza percepita è l’inverso di t ossia:
v
f0 = f 1 +
c
ed è più alta di quella che percepisce l’osservatore fermo, come è intuitivo
considerando che muovendosi verso la sorgente egli intercetta un numero
maggiore di massimi in un dato tempo.
16
È facile anche vedere che anche se la sorgente si avvicina muovendosi,
con velocità V verso l’osservatore fermo questi misura una frequenza più
alta di quella emessa. In effetti se al tempo t = 0 la sorgente emette un
segnale massimo, il successivo massimo lo emetterà al tempo T = 1/f pari ad
un periodo di oscillazione e ciò avverrà in un punto più vicino all’osservatore
della quantità V T , quando il primo massimo avrà percorso la distanza vT
e cosı̀ via per il successivo. All’osservatore giungono in successione massimi
separati dalla distanza: λ0 = vT − V T e che si muovono a velocità v; il
tempo t che separa l’arrivo di un massimo dal successivo è:
t=
λ0
v−V
=T
v
v
ciò che corrisponde ad una frequenza:
f0 =
1
1
=
t
T
1
1−
V
v
=
f
1−
V
v
e anche in questo caso l’avvicinamento sorgente-osservatore si risolve in un
aumento della frequenza misurata f 0 . In tutti i casi la f è la frequenza
emessa dalla sorgente nel proprio sistema di riferimento.
Es.4
Mostrare, seguendo il ragionamento svolto sopra, che per un osservatore fermo una sorgente
in allontanamento che emette una frequenza f viene percepita come f 0 = f /(1 + v/c), ossia come
una frequenza più bassa. Mostrare anche che se la sorgente è ferma ed l’osservatore si allontana
la frequenza misurata è f 0 = f (1 − v/c)
Riassumendo tutti i casi in un unica formula si ha:
f0 = f
v + VO
v − VS
dove si è indicato con VO la velocità dell’osservatore rispetto all’onda presa
come positiva se esso va incontro all’onda e VS la velocità della sorgente
rispetto all’onda, presa come positiva se essa insegue l’onda.
Effetto Doppler ed astronomia
Christian Doppler propose nel 1842 l’effetto che poi ha preso il suo nome per
giustificare la variazione del colore della luce emessa da stelle binarie durante
il loro periodo di rotazione attorno al comune centro di massa. L’effetto non
ha un origine relativistica e presuppone solo che la velocità di propagazione
sia costante in un mezzo (all’epoca di Doppler non era accertato neppure
che la luce si propagasse per via ondulatoria anche nel vuoto) e non che sia
la stessa in tutti i sistemi di riferimento ad esempio se il mezzo in cui avviene
la propagazione si muove.
Consideriamo per semplicità di osservare sulla Terra una coppia di stelle
in orbita una rispetto all’altra nel piano di osservazione. Quando le stelle
17
sono in posizione diametralmente opposta rispetto alla direzione di osservazione una si muove verso l’osservatore e l’altra in allontanamento da esso.
La luce proveniente dalle due stelle appare spostata (shifted) verso frequenze
più alte (blue-shifted) per la stella che si avvicina o verso frequenze più basse
(red-shifted per la stella che si allontana. Periodicamente lo spostamento tra
le due stelle si inverte cosa che permette di valutare il periodo di rotazione
e, basandosi sulla forza di gravitazione, la massa delle stelle.
Dal punto di vista sperimentale ciò che si osserva è appunto lo shift delle
frequenze. Nel seguito si indicherà con c la velocità della luce e con V la
velocità della sorgente, cioè della stella. Considerando, ad esempio la stella
in allontanamento si ha f 0 = f /(1 + V /c) da cui si ricava:
V 0
f
c
e, la stella in avvicinamento mostra uno spostamento verso il blu della stessa
entità. Lo spostamento percentuale è dunque:
∆f = f 0 − f = −
∆f
V
'
f
c
che è abbastanza piccolo dato che la velocità delle stelle è in rapporto con
quella della luce. Tuttavia, la precisione delle misure spettroscopiche permette di vedere senza troppe difficoltà lo spostamento di una riga spettrale
intensa.
Es.5
Mostrare che, partendo dalla relazione λf = c per piccoli spostamenti Doppler vale:
∆λ
∆f
V
=
'
λ
f
c
Es.6
La prima riga Balmer Hα dell’idrogeno ha una lunghezza d’onda che,misurata da un
osservatore fermo rispetto alla sorgente, è pari a λ0 = 656.3 nm. La stessa riga, osservata nella
luce di una stella appare ad una lunghezza d’onda di 657.0 nm. La stella si sta avvicinando o
allontanando dall’osservatore? Calcolare la velocità della stella. In effetti, ciò che si misura è la
componente della velocità della stella nella direzione di osservazione, la cosiddetta velocità radiale.
L’effetto Doppler è stato impiegato in cosmologia anche per misurare
la velocità di allontanamento reciproco delle galassie, la cosiddetta velocità
di espansione dell’universo. La velocità di recessione risulta proporzionale
alla distanza delle galassie secondo quella che è nota come legge di Hubble. Questa dice che la velocità di recessione è approssimativamente proporzionale alla distanza della galassia.
vg = HD
H è la cosiddetta costante di Hubble e oggi vale, in unità (non standard ma
pratiche) circa 75(km/s)/M pc: una galassia che si trovi ad un M egaparsec
18
ossia ad una distanza di circa 3.26 milioni di anni luce recede ad una velocità
di 75 km/s. Le galassie conosciute più distanti sono a circa 10 miliardi di
anni luce ossia a distanze dell’ordine delle migliaia di megaparsec per le quali
la velocità di recessione è dell’ordine di centomila chilometri al secondo, ossia
un po’ più di un terzo della velocità della luce. La figura seguente mostra
lo spettro di galassie a distanza crescente. Nello spettro è indicata con una
lettera K la posizione della riga K del calcio ionizzato che ha una lunghezza
d’onda di circa 393.3 nm. Essa appare come la prima di una coppia di righe
più scura su un fondo chiaro (la seconda è probabilmente la riga H del calcio
ionizzato a 396.9 nm, ma nella fonte della figura non è precisato).
Gli ammassi di galassie mostrati sono a distanze3 di 15, 313, 347, 650 ed
831 Megaparsec e, come si vede lo shift delle linee è molto ben visibile.
6.3 Derivate parziali
Seguendo il programma che ci siamo dati dall’inizio di questo corso, ci proponiamo di descrivere il fenomeno delle onde progressive in forma matematica, identificando le espressioni che abbiamo scritto con soluzioni di certe
equazioni che coinvolgono la funzione incognita (lo scostamento s) ed eventualmente le sue derivate. Vorremmo in altre parole scrivere delle equazioni
3
Occorre dire che le incertezze su questi valori sono notevoli.
19
differenziali che abbiamo come soluzione le onde progressive (ed eventualmente anche altre soluzioni).
Nasce qui un problema. Come abbiamo visto le onde sono descritte da
funzioni di più variabili. Nel caso più semplice che abbiamo visto, quello
unidimensionale, la perturbazione dipende sia dalla posizione x lungo l’asse
di propagazione, sia dal tempo t. Volendo scrivere delle equazioni differenziali che coinvolgono le onde occorre dunque estendere la nozione di derivata
al caso di funzioni di più variabili. Lo facciamo trascurando di dimostrare le
regole pratiche che enunceremo e limitando le definizioni alla sfera dell’intuizione. Come abbiamo visto dall’inizio del corso la operazione di derivata ci
è servita per caratterizzare la variazione di una grandezza che dipende, ad
esempio dal tempo (velocità) o dallo spazio (gradiente). Se una grandezza
dipende da più variabili, ad esempio, come nel caso dell’onda, sia dal tempo
che dallo spazio, siamo interessati a descrivere le variazioni della grandezza
sia quando ci si sposta nel tempo che quando ci si muove nello spazio. Ad
esempio, siamo interessati a sapere in un fissato punto x dello spazio quanto
rapidamente varia la grandezza f (x, t) al passare del tempo. Questa informazione la si ottiene facendo la derivata rispetto al tempo della funzione f
considerando costante la posizione x. Questa operazione prende il nome
di derivata parziale rispetto a t e si indica con la scrittura:
∂f (x, t)
∂t
Consideriamo per esempio la funzione:
s(x, t) = at2 + bxt + x2
(3.9)
dove a e b sono dei parametri costanti. La derivata parziale rispetto a t si
calcola applicando le regole di derivazione note, considerando la variabile x
come fissa, ovvero costante. La derivata è la somma delle derivate dei tre
addendi. Nella primo addendo a è costante e si deriva t2 , nel secondo è
costante il prodotto bx perché si considera fissa la x. Quindi c’è da derivare
solo la t. Infine il terzo addendo ha derivata nulla perché dipende solo da x
che è considerata fissa:
∂s(x, t)
= 2at + bx
∂t
Allo stesso modo si definisce e si calcola la derivata parziale rispetto
ad x che dà informazione sulla variazione spaziale ad un tempo fissato. Essa
si indica con la scrittura:
∂f (x, t)
∂x
Es.7
Con la stessa funzione (3.9) si mostri che la derivata parziale rispetto ad x vale ∂s/∂x =
bt + 2x
20
È evidente che le derivate parziali di funzioni di più variabili dipendono
a loro volta dalle variabili di partenza. Come abbiamo visto nell’esempio la
derivata parziale rispetto al tempo della (3.9) è, a sua volta, funzione di x e t.
Quindi si può pensare di fare la derivata parziale sia rispetto a x che a t delle
due derivate parziali prime, ottenendo tre derivate parziali seconde. Due si
ottengono derivando due volte rispetto alla stessa variabile la funzione di
partenza e la terza derivando prima rispetto ad una e poi rispetto all’altra
(l’ordine con cui si procede per quest’ultimo caso è ininfluente e per questo
le derivate parziali seconde sono tre e non quattro). La notazione per le tre
derivate seconde è:
∂2f
∂x2
Es.8
∂2f
∂t2
∂2f
∂x∂t
Verificare che per la funzione data nella (3.9) valgono le seguenti uguaglianze: ∂ 2 f /∂x2 =
2, ∂ 2 f /∂t2 = 2a, ∂ 2 f /∂x∂t = b e che l’ultimo risultato non dipende dall’ordine di derivazione,
ovvero se si deriva prima rispetto a t e poi rispetto a x o viceversa.
Per le derivate parziali valgono le regole di calcolo per le derivate ordinarie. In particolare, se si ha una funzione composta f (g(x, t)), la derivata
parziale, ad esempio rispetto a t, si calcola facendo la derivata di f rispetto all’argomento g moltiplicato la derivata parziale di g rispetto alla sola t
(considerando la x costante):
∂
df ∂g
f (g(x, t)) =
∂t
dg ∂t
(3.10)
Prendiamo ad esempio la funzione f (x, t) = sin(ωt − kx) ossia con f ≡ sin
e g = ωt − kx. Applichiamo esplicitamente la regola (3.10):
∂
d
∂(ωt − kx)
sin(ωt − kx) = ( sin(g))
= cos(g)ω = ω cos(ωt − kx)
∂t
dg
∂t
Es.9
Mostrare che ∂/∂x sin(ωt − kx) = −k cos(ωt − kx)
6.4 Equazione delle onde
Dopo avere introdotto i parametri che descrivono la propagazione ondulatoria e la forma che hanno le onde progressive, dobbiamo capire se questo
fenomeno è lo stesso che osserviamo in natura e se è possibile prevedere una
propagazione di onde in un mezzo sulla base delle leggi fisiche che conosciamo (essenzialmente la meccanica Newtoniana). Come vedremo nel seguito
del corso la formazione di onde non è limitata ai soli sistemi meccanici.
Per capire quando un dato fenomeno produce dei segnali di tipo ondulatorio conviene scrivere le relazioni che descrivono le onde progressive,
21
sotto forma di equazioni differenziali, usando la nozione di derivata parziale
descritta sommariamente sopra. Dimostreremo poi che da equazioni come
quella di Newton si otterranno, per opportuni sistemi fisici, equazioni differenziali dello stesso tipo, che avranno come soluzione delle propagazioni
ondose.
La procedura per il primo obbiettivo è molto semplice. Consideriamo di
nuovo le onde progressive di tipo f (x − vt). Per fissare le idee pensiamo alla
f come alla funzione che descrive uno spostamento. Come funzione di x e t
la f si può vedere come una funzione composta f (ξ(x, t)) dove ξ = x − vt.
Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte si trova per la
derivata temporale di f :
∂f (ξ)
df ∂ξ
=
= −vf 0
∂t
dξ ∂t
ossia per le funzioni dell’argomento x − vt la derivata rispetto al tempo
equivale a moltiplicarne la derivata ordinaria f 0 per −v e la funzione risultante dipende ancora dall’argomento ξ. Allora la derivata seconda rispetto al
tempo (l’accelerazione del segnale) è semplicemente la derivata prima della
derivata prima e si ottiene moltiplicando la derivata ordinaria della derivata
prima (ossia la derivata seconda ordinaria) per −v:
d
df
∂2f
= −v (−v ) = v 2 f 00
2
∂t
dξ
dξ
Con la stessa procedura si mostra che:
∂2f
= f 00
∂x2
(4.11)
e dal confronto tra queste due si vede che la particolare dipendenza funzionale delle onde progressive da x e da t tramite l’argomento x−vt comporta
che le derivate seconde rispetto alle due variabili stiano nella relazione
2
∂2f
2∂ f
=
v
∂t2
∂x2
Es.10
(4.12)
Si verifichi, applicando la regola di derivazione la (4.11).
La equazione (4.12) è detta equazione delle onde o equazione di
d’Alambert. Ogni volta che una grandezza soddisfa l’equazione delle onde
si ha propagazione ondulatoria del fenomeno descritto da quella grandezza.
Inoltre, il parametro v 2 che compare nella equazione è il quadrato della
velocità di propagazione.
Es.11
Seguendo passo passo i calcoli fatti per l’onda progressiva f (x − vt), si dimostri che anche
l’onda regressiva g(x + vt) soddisfa la (4.12).
22
L’equazione di d’Alembert è una equazione lineare, vale a dire che se ho
due soluzioni f1 ed f2 anche la loro somma è una soluzione. Si potrebbe
dimostrare poi che una qualunque soluzione della equazione delle onde
può essere scritta come somma di un’onda progressiva (verso destra) e di
un’onda regressiva (verso sinistra). ossia che la soluzione generale della
equazione di d’Alembert è:
s(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt)
Onde piane
d’Alambert ha scritto l’equazione delle onde nella forma (4.12) in cui la
grandezza dipende solo dalla coordinata x lungo la quale avviene la propagazione.
Ciò significa che si descrivono perturbazioni in cui la grandezza non dipende
dalle altre due variabili spaziali y e z ossia è costante sul piano yz. Per
questo motivo questo particolare tipo di onde vengono chiamate onde piane. Visivamente si dovrebbe immaginare che su piani ortogonali all’asse
x la funzione assume ad un dato istante lo stesso valore. Questi piani si
chiamano fronti d’onda, un concetto che, con la stessa definizione, risulta
utile, come vedremo più avanti anche nel caso di onde non piane.In effetti
come è chiaro pensando al suono, sappiamo che la propagazione di un’onda
avviene in generale nello spazio a tre dimensioni. La descrizione del caso
generale è molto complicata dal punto di vista matematico. Come abbiamo
fatto finora e come faremo nel seguito ci serviremo di casi particolarmente
semplici per illustrare e studiare le proprietà di sistemi fisici che si realizzano
anche in modo più complesso. Qui è appunto il caso delle onde piane che
sono la realizzazione più semplice del fenomeno generale della propagazione
ondulatoria.
Resta ora da mostrare che esistono sistemi fisici per i quali l’equazione
delle onde è una conseguenza delle leggi fisiche fondamentali sotto ipotesi
che sono bene approssimate da casi realistici.
Il caso più semplice di onda si ha attraverso una piccola perturbazione
elastica di un mezzo macroscopico: lo spostamento dalla posizione di equilibrio è soggetto alle usuali forze di tipo elastico (modellizzate da molle). Si
possono avere due casi:
• Lo spostamento è lungo la direzione di propagazione, in questo caso si
ha un’onda di compressione (detta di tipo longitudinale).
• Lo spostamento dalla posizione di equilibrio è ortogonale alla direzione
dell’onda. In questo caso si parla di onda trasversale.
6.4.1 Onde meccaniche trasversali: Corda vibrante
Storicamente il sistema che ha dato origine allo studio dell’equazione d’onda
da parte di d’Alambert è una corda tesa che può essere posta in vibrazione
23
se viene lasciata libera di muoversi dopo essere stata spostata dalla sua
posizione di equilibrio. Un esempio concreto di questo sistema si trova negli
strumenti musicali a corda.
Mostriamo che, applicando le leggi della Meccanica, ad una corda elastica
(trascurando la gravità che è una forza piccola rispetto alla tensione T ) si
trova l’equazione (4.12).
Consideriamo dunque una corda ideale (cioè con tensione T in modulo
costante) che si trova in equilibrio quando giace lungo l’asse x. Sappiamo
che se spostiamo la corda dalla sua posizione di equilibrio, ad esempio pizzicando la corda in un punto, le parti vicine della corda agiscono con forze
elastiche che tendono a riportare il sistema all’equilibrio. D’altra parte per
il terzo principio l’elemento di corda che ha subito la perturbazione iniziale
esercita una forza uguale e contraria su ciascuna delle parti vicine della corda
che, inizialmente ferme si mettono in moto causando la propagazione della
perturbazione.
Consideriamo in particolare un piccolo spostamento y in direzione trasversa rispetto all’asse di equilibrio della corda. Questo spostamento in generale
sarà diverso da punto a punto: se x denota l’ascissa (punto della corda) si
ha che lo spostamento è una funzione di x: y = y(x). Se poi lo spostamento varia col tempo, y è una funzione sia del punto x che del tempo t:
y = y(x, t).
Applichiamo le equazioni di Newton per un piccolo tratto di corda compreso fra x e x + ∆x. Se la corda è omogenea, la densità ρ è costante e nel
tratto ∆x, se la corda ha sezione S c’è la massa:
∆m = ρS∆x
Come si vede dalla figura la tensione della corda agisce agli estremi del
tratto di corda in direzione tangenziale rispetto alla corda stessa. Come è
noto, l’angolo che la tangente alla curva in un suo punto di ascissa x fa
con la verticale è legato alla derivata, calcolata in x, della funzione y(x)
che descrive la forma della curva. Indichiamo la derivata con la notazione
∂y/∂x = y 0 (x). Sempre con riferimento alla figura si ha:
tan(α) = y 0 (x)
tan(α0 ) = y 0 (x + ∆x)
24
Ora possiamo invocare le leggi fisiche e scrivere l’equazione fondamentale
della meccanica ma = F per il tratto di corda in questione e nella direzione
y:
∂2y
∆m 2 = Fy = T sin(α0 ) − T sin(α)
∂t
Sfruttiamo ora il fatto che ci siamo proposti di studiare piccoli spostamenti della posizione di equilibrio. In questa ipotesi gli angoli sono piccoli
e si possono sostituire i seni con le tangenti:
∂2y
= Fy = T tan(α0 ) − T tan(α) = T (y 0 (x + ∆x) − y 0 (x))
∂t2
Osserviamo ora che al secondo membro abbiamo l’incremento4 della funzione y 0 (x) quindi, vedi nota:
∆m
∂2y
∂2y
=
T
∆x
∂t2
∂x2
e isolando la derivata seconda al primo membro si riscrive:
ρS∆x
∂2y
T ∂2y
=
∂t2
ρS ∂x2
che è l’equazione di d’Alambert.
Sulla corda tesa si propagano quindi onde trasversali con velocità di
propagazione che cresce con la tensione e decresce con la densità e la sezione
della corda.:
s
T
v=
ρS
4
Ricordiamo che l’incremento di una funzione f (x) è la differenza tra i valori della
funzione in due punti separati dall’incremento ∆x della variabile indipendente. Ricordando la definizione di derivata come rapporto tra i due incrementi ∆f e ∆x vale, nel limite
di ∆x piccoli:
∆f = f (x + ∆x) − f (x) ' f 0 (x)∆x
25
Es.12
La velocità su una corda tesa si può anche scrivere come:
s
v=
T
µ
dove si è sostituito a ρS la densità µ per unità di lunghezza della corda che è una quantità
spesso più facilmente misurabile che non la densità di volume e lo spessore. Si calcoli la velocità
di un’onda su una corda di chitarra che ha una densità lineare di massa di 7 grammi per metro
ed una tensione di 80 N.
Energia trasportata da una corda elastica
Abbiamo già considerato sopra la propagazione di energia durante la propagazione
di un’onda armonica progressiva. Anche sulla corda vibrante non si ha un
trasporto nella direzione x della massa del mezzo (la corda) sulla quale si
propaga la perturbazione (lo spostamento trasversale). Quando la perturbazione è passata la corda torna, con la sua massa, nella posizione di equilibrio. Tuttavia in un punto della corda dove vi Ã¨ la perturbazione si ha
energia che in parte è energia cinetica, dovuta al fatto che la materia di cui è
fatta la corda si sta muovendo (ha velocità) ed in parte al fatto che per effetto dello spostamento dall’equilibrio vi è una certa energia potenziale (come
in una molla sotto trazione). La propagazione di queste grandezze (velocità
e spostamento) da una regione all’altra della corda comporta dunque un
trasferimento di energia da un punto all’altro.
Un modo alternativo è di considerare il trasferimento di energia dalla
sorgente al mezzo, analizzando la situazione di una corda tesa molto lunga
ad una delle cui estremità viene imposto, da un meccanismo, un movimento
trasversale di tipo oscillatorio armonico y(0, t) = A sin(ωt). La forza esercitata dalla corda sul motore nella direzione dello spostamento è uguale alla
proiezione trasversale della tensione T della corda. Quindi con le notazioni
del paragrafo precedente:
Ty = T0 sin α ' T0 tan α = T0
∂y
∂x
e la forza Fy esercitata dal motore è, per il terzo principio, uguale ed opposta.
La potenza trasferita dal motore alla corda è data dalla forza per la velocità
trasversale:
∂y ∂y
∂x ∂t
Ricordando la relazione vista sopra tra la derivata spaziale e quella
temporale per una qualunque onda progressiva s = f (x − vt):
W = Fy vy = −T0
∂s
= f0
∂x
∂s
= −vf 0
∂t
26
per cui nel nostro caso
∂y
1 ∂y
=−
∂x
v ∂t
e, con questa sostituzione si ha:
T0
W =
v
∂y
∂t
(4.13)
2
(4.14)
Ora, essendo per la corda elastica ρv 2 = T0 , si ottiene infine la potenza
istantanea trasferita alla corda:
W = ρvω 2 A2 cos2 (ωt)
Il valor medio del coseno quadrato è 1/2 per cui si ha che la energia che in
media fluisce per un punto della corda nell’unità di tempo vale, in accordo
con la (2.8) :
1
W = ρvω 2 A2
2
6.4.2 Onde meccaniche longitudinali: modello di solido
Trattando l’elasticità dei corpi abbiamo immaginato un modello di corpo
solido costituito da piani reticolari collegati da molle. I primi rappresentano
l’insieme regolare di atomi che costituiscono strato dopo strato il reticolo
cristallino e le molle rappresentano la parametrizzazione dei legami interatomici tra i diversi strati. Considerando un solido di sezione trasversale
S suddiviso in strati di spessore ∆x possiamo considerare ogni strato come
una massa collegata agli strati adiacenti da molle di costante elastica k (vedi
figura).
Il meccanismo di propagazione della perturbazione è evidente. Se una
delle masse viene spostata lungo l’asse del sistema, le molle ad essa collegate
si deformano, una si allunga e l’altra si accorcia, Questo fa nascere sia
delle forze sulla massa perturbata che tendono a riportarla nella posizione di
equilibrio ma anche sulle masse poste alle estremità opposte delle molle.
Queste masse, inizialmente ferme, sono soggette ad una forza che tende a
metterle in moto, spostandole dalla posizione di equilibrio e la perturbazione
inizia a propagarsi. È relativamente semplice descrivere quantitativamente
il fenomeno descrivendolo tramite lo spostamento s(x) della massa m che
27
si trova nella generica posizione individuata dalla coordinata x. La massa
è collegata dalle molle alle due masse di coordinate x − ∆x e x + ∆x i cui
spostamenti sono s(x − ∆x) e s(x + ∆x). Il campo di deformazione è quindi
in un dato istante descritto dalla funzione s(x). Questa a sua volta varia
con il tempo.
Consideriamo un corpo solido omogeneo di densità ρ e sezione trasversale
S. Nello strato che in condizioni di equilibrio si trova tra le coordinate x e
x + ∆x è contenuta la massa:
m = ρS∆x
sulla quel agiscono le forze dovute agli strati in contatto, che modellizziamo
appunto con molle di costante elastica k. In condizioni di equilibrio lo strato
a destra inizia nella posizione x+∆x e quello di sinistra inizia nella posizione
x − ∆x. Se indichiamo con s(x) lo spostamento del mezzo che si trova
all’equilibrio nel punto x, la deformazione del legame a destra della massa
m è s(x + ∆x) − s(x) e quello a sinistra è deformato della quantità s(x) −
s(x − ∆x). Quindi si può scrivere l’equazione del moto ma = F :
m
∂2s
∂t2
∂2s
= k(s(x + ∆x) − s(x)) − k(s(x) − s(x − ∆x)) =
∂t2
∂2s
= k(s(x + ∆x) − 2s(x) + s(x − ∆x)) ' k 2 (∆x)2
(4.15)
∂x
= ρS∆x
L’ultima eguaglianza approssimata merita una spiegazione. Consideriamo
i tre punti x, x + ∆x e x − ∆x Ricordiamo che per una funzione f (x) tra
l’incremento e la derivata sussiste la relazione:
f (x + ∆x) − f (x) ' f 0 (x)∆x
f (x) − f (x − ∆x) ' f 0 (x − ∆x)∆x (4.16)
e, facendo la differenza tra le due equazioni, si trova:
(f 0 (x) − f 0 (x − ∆x))∆x ' f 00 (x)(∆x)2 = f (x + ∆x) − 2f (x) + f (x − ∆x)
In conclusione, anche la perturbazione longitudinale nel solido soddisfa
l’equazione d’onda:
∂2s
k ∂2s
=
∆x
∂t2
ρS ∂x2
Applicando le relazioni tra le molle in serie ed in parallelo avevamo dimostrato che la costante elastica k è collegata al modulo di Young E, che è,
in principio, direttamente misurabile dalla deformazione che subisce il corpo
sottoposto ad uno sforzo di trazione, dalla relazione:
k=
ES
∆x
28
e, infine sostituendo nella precedente si trova
∂2s
E ∂2s
=
∂t2
ρ ∂x2
da cui si ricava la velocità di propagazione delle onde meccaniche longitudinali in un solido:
s
E
v=
ρ
Es.13
Il modulo di Young E del rame è circa 120 GPa. La densità del rame è 9g/cm3 . Calcolare
la velocità di propagazione dei onde meccaniche longitudinali nel rame e confrontare il valore
trovato con i dati reperibili in rete.
In modo analogo si può dimostrare che in un solido si hanno anche
oscillazioni trasversali con velocità
s
G
vT =
(4.17)
ρ
dove G è il secondo modulo di Young che descrive, come abbiamo visto in un
capitolo precedente, la deformazione di un corpo soggetto a uno sforzo(shear)
tangenziale (di taglio). In un solido E > G, quindi le onde trasversali hanno
velocità minore di quelle longitudinali, di compressione.
Es.14
Seguendo lo stesso procedimento usato per le onde longitudinali si dimostri che con il
modello di solido come un insieme di molle in serie si ricava che per una perturbazione trasversale
la velocità di propagazione è data dalla (4.17).
Terremoti
Un caso macroscopico di propagazione di onde meccaniche in un solido si ha
nei terremoti. Il terremoto è una perturbazione meccanica che si propaga
nella crosta terrestre e che può essere assimilata ad onde elastiche progressive legate a spostamenti trasversali e longitudinali. All’inizio del secolo
scorso i geofisici impararono a distinguere nei tracciati sismografici due fasi:
una fase primaria di attività del sismografo seguita a qualche decina di secondi di distanza da una fase secondaria. Ciò induceva a considerare che le
due perturbazioni, che si erano originate nell’epicentro del sisma allo stesso
istante, avessero viaggiato nella materia solida con velocità differenti. In
effetti la prima fase è causata dalle onde longitudinali, dette P (primarie) e
la seconda da onde trasversali, dette S (secondarie). Una proprietà molto
interessante della Terra è che essa ha un nucleo liquido. In un liquido non
sono possibili sforzi di taglio e quindi le onde secondarie non attraversano
il nucleo della Terra e vengono riflesse. Dallo studio dei segnali generati da
queste onde è stato possibile ricavare informazione sulle zone centrali del
pianeta.
29
6.5 Onde sonore
Il suono è l’esempio più importante di onde meccaniche (longitudinali) che
si propagano in un fluido. Il fluido, ad esempio l’aria in una stanza, ha uno
stato di equilibrio in cui esso è fermo e la densità e la pressione sono le stesse
in tutto il volume. Ci proponiamo di descrivere ancora il caso semplice di
onda piana e, pertanto, consideriamo una direzione x di propagazione delle
perturbazioni e consideriamo che lo stato del fluido possa dipendere solo
dalla coordinata x. Per fissare le idee consideriamo uno strato del fluido
compreso tra la cooordinata x e la coordinata x + h (vedi le linee continue
verticali in figura):
Una perturbazione dello strato di fluido consiste in uno spostamento s(x)
del fluido diverso nei diversi punti (inomogeneo). Se il fluido che si trova nella posizione x si sposta della
quantità s(x) e il fluido che si trova in
x+h si sposta della quantità s(x+h),
le nuove posizioni sono indicate dalle
linee tratteggiate nella figura.
La variazione di volume conseguente al diverso spostamento delle due
zone del fluido comporta una variazione della densità e, quindi della pressione. Nasce un gradiente di pressione che tende a ripristinare la situazione
di equilibrio, ma che agisce anche sugli strati vicini del fluido mettendoli in
movimento e inducendo la propagazione della perturbazione.
Per mostrare che anche in questo caso sussiste una equazione d’onda
d’Alambertiana, consideriamo una sezione S del fluido mostrato in figura.
La massa contenuta nel cilindro di fluido nella condizione di equilibrio in cui
la densità è ρ0 vale:
m = ρ0 Sh
Nella situazione in cui il fluido si è spostato la densità è cambiata perché
la massa è la stessa e il volume è cambiato. Se gli spostamenti sono piccoli
possiamo considerare che la nuova densità sia quella vecchia più un incremento dρ (negativo se la densità diminuisce). Dato che la massa del fluido
è sempre la stessa deve valere (vedi figura):
ρ0 Sh = (ρ0 + dρ)S(h + s(x + h) − s(x))
e, semplificando e trascurando i termini che contengono il prodotto di dρ × s
con le quantità piccole s si trova:
hdρ = −ρ0 (s(x + h) − s(x)) = −ρ0
∂s
h
∂x
e, semplificando h:
dρ = −ρ0
∂s
∂x
30
col che si è calcolato la variazione di densità dovuta allo spostamento che è
il primo passo per la formazione dell’onda sonora.
Il secondo passo è l’applicazione della legge di Newton F = ma all’accelerazione del centro di massa dello strato di fluido. A meno di termini di
ordine superiore l’accelerazione è:
a=
∂2s
∂t2
Le forze esterne sono dovute alla pressione dell’aria in contatto con le superfici di separazione nella posizione x e x + h. Quindi l’equazione di Newton
si scrive:
∂2s
∂p
= S(p(x) − p(x + h)) ' −Sh
(5.18)
∂t2
∂x
Ricorriamo ancora una volta alle proprietà delle derivate. La pressione
dipende dalla densità, ovvero è una funzione, per il momento imprecisata,
p = f (ρ). Considerando la derivata spaziale della pressione come quella
di una funzione composta della densità che a sua volta, in accordo con la
discussione precedente dipende da x:
ρ0 Sh
∂p
∂p ∂ρ
∂2s
=
= −ρ0 f 0 (ρ) 2
∂x
∂ρ ∂x
∂x
(5.19)
Sostituendo quest’ultima relazione nella (5.18)e semplificando ρ0 Sh ai
due membri si trova alla fine l’equazione di d’Alembert:
∂2s
∂2s
0
=
−f
(ρ)
∂t2
∂x2
e dunque la conferma che, in queste apporssimazioni, il suono si propaga
come un’onda prograssiva con velocità che dipende, per un dato fluido, dalla
rapidità con cui dipende la pressione dalla densità:
s
1
v=
0
f (ρ)
Dipendenza di p da ρ per l’aria
Studiando la termodinamica dei gas ritroveremo un risultato che probabilmente lo studente ha incontrato negli studi precedenti. Se in un gas faccio
variare il volume (e quindi la densità) la variazione di pressione dipende dalle
condizioni in cui è stata fatta la trasformazione. Ad esempio per una trasformazione a temperatura costante sappiamo che la pressione è inversamente
proporzionale al volume (legge di Boyle: P V = cost) e quindi direttamente
proporzionale alla densità p = aρ.
31
Come sappiamo però l’aria è un pessimo conduttore di calore. Quindi
possiamo assumere che la variazione di volume e, quindi, di densità avvenga
senza scambio di calore, ossia, come vedremo studiando la Termodinamica,
con una trasformazione adiabatica. Per questo genere di trasformazioni
si mantiene costante il prodotto pV γ dove
γ=
Cp
Cv
è il rapporto tra il calore molare a pressione costante e a volume costante
per il gas in questione. Scritta in termini della densità questa relazione vale:
p = f (ρ) = Dργ
(5.20)
Sostituendo questa ultima nella (5.19) ed il risultato nella equazione del
moto troviamo infine:
∂2s
∂2s
= Dγργ−1 2
2
∂t
∂x
Infine, la costante D può essere espressa in termini dei valori all’equilibrio
di pressione e densità usando la (5.20):
D=
p0
ργ0
(5.21)
e infine considerando piccola la differenza di densità si calcola il rapporto
ργ−1 /ργ0 trattando ρ ' ρ0 e si trova, infine:
∂2s
γp0 ∂ 2 s
=
∂t2
ρ0 ∂x2
(5.22)
che è l’equazione d’onda cercata con:
v2 =
γp0
ρ0
(5.23)
Possiamo anche sfruttare la legge di stato dei gas per esprimere il rapporto pressione-densità all’equilibrio. Ricordiamo che per una massa M di
gas di peso molecolare µ il numero di moli è n = M/µ per cui la legge dei
gas:
M 1
RT
n
T =ρ
p = RT =
V
V µR
µ
da cui all’equilibrio:
p0
T
=
ρ0
µR
e la velocità del suono nel gas dipende dalla temperatura e dal peso molecolare secondo:
s
γRT
v=
µ
32
Siamo giunti al punto in cui le ipotesi e le assunzioni fatte, il modello
adottato e le approssimazioni accettate devono essere messe alla prova dei
fatti sperimentali. L’aria è una miscela di gas biatomici e γaria = 7/5 = 1.4.
La misura della velocità del suono nell’aria è possibile ed il risultato viene
generalmente dichiarato a una temperatura di 20 gradi centigradi. L’aria
è una miscela per il 78% di Azoto e per il 22% di ossigeno. Il suo peso
molecolare (medio) è di circa 29 g/mole. Con il valore tabulato della costante
dei gas si trova:
s
1.4 · 8.314 J/(mol K) · 293.17 K
v=
= 343 m/s
29 10−3 kg/mol
in ottimo accordo con il valore sperimentale tabulato.
Es.15
Assumendo che l’aria sia una miscela del 78% di N2 e per il 22% di ossigeno si mostri
che il peso molecolare medio è 28.9 g.
Es.16
Assumendo una dipendenza p = aρ della pressione dalla densità in un gas, quanto vale la
velocità di propagazione del suono? Per un gas perfetto la costante a dipende dal peso molecolare e
dalla temperatura. Trovare la costante a per l’aria, considerando il peso molecolare di una miscela
80/20 di azoto ed ossigeno. Quanto vale la velocitá del suono se consideriamo la propagazione
isoterma? È in accordo con la velocità del suono sperimentalmente osservata?
6.6 Intensità del suono
Una quantità molto importante dal punto di vista pratico è l’intensità di
un’onda sonora. Questa è la causa della sensazione auditiva cui è soggetto l’orecchio umano. Naturalmente l’effettiva sensazione è una quantità
soggettiva che varia da individuo ad individuo. La intensità invece esprime
l’energia trasportata dall’onda attraverso una superficie unitaria ogni secondo. La sua unità di misura è il W/m2 (Watt su metro quadrato), come visto
sopra mostrando da due punti di vista che l’intensità può essere associata
alla ampiezza dell’oscillazione meccanica e alla sua frequenza da:
1
I = ρω 2 A2 v
2
dove, come al solito, ω = 2πf , ρ è la densità di equilibrio del mezzo, ad
esempio quella dell’aria che vale in condizioni ordinarie ρaria = 1.225 kg/m3
e v è la velocità dell’onda sonora.
Mettiamo in relazione l’intensità con l’ampiezza della oscillazione di
pressione Ap , considerando un’onda piana armonica in cui lo spostamento
spaziale ha ampiezza s descritta da:
s = A cos 2π(f t −
x
)
λ
33
Riscriviamo la (5.19), tenendo conto della (5.20) e (5.21):
∂2s
∂p
= −γp0 2
∂x
∂x
Trattando grandezze armoniche la derivazione rispetto a x equivale alla
moltiplicazionedell’am piezza per −k e la derivazione seconda alla moltiplicazione per −k 2 per cui, ignorando lo sfasamento tra oscillazione spaziale e di
pressione5 , l’ampiezza Ap della oscillazione di pressione è proporzionale alla
ampiezza della derivata della oscillazione spaziale (moltiplicata per kγp0 ).
Ricordando la relazione λ = v/f si trova:
Ap = −γp0
∂s
γAp0
ωγp0 A
= 2π
=
∂x
λ
v
e, invertendo rispetto ad ωA:
ωA =
Ap
vAp
=
γp0
vρ0
(6.24)
dove, per l’ultima uguaglianza si è sfruttato la (5.23). Sostituendo infine
nella espressione della intensità:
A2p
1
ρ0
I = v 3 A2p 2 2 =
2
2vρ0
γ p0
Si noti che la intensità dell’onda è proporzionale al quadrato della
grandezza che oscilla, ossia in questo caso del campo di pressione. Questa
relazione secondo cui la grandezza energetica (la potenza) è proporzionale
al quadrato della grandezza di campo è tipica.
In termini energetici la soglia di udibilità dell’orecchio-tipo è I0 = 10−12 W/m2 .
In termini di oscillazione della pressione intorno al valore medio (1 atm '
105 P a) è:
p
p
Ap = 2vρ0 I0 ' 2 · 343 m/s · 1.225 kg/m3 · 10−12 W/m2 = 2.9 10−5 P a
ovvero una variazione di meno di un decimo di miliardo di volte la pressione
media.
Es.17
Mostrare che la ampiezza dell’onda di pressione quando si ha un’intensità sonora prossima
alla soglia del dolore (1 W/m2 ) è 29 Pa. A che profondità nell’acqua si ha un aumento di pressione
di questa entità?
È interessante anche calcolare, secondo la (6.24), il valore della oscillazione spaziale per una oscillazione di pressione data:
A=
Ap
ωvρ0
5
È ovvio che se la oscillazione spaziale è positiva e il volume è massimo, la variazione
(derivata) della pressione è nulla.
34
e dunque, per la soglia di udibilità l’entità dello spostamento spaziale per
un suono di frequenza f = 1000 Hz, è:
A=
2.9 10− 5 P a
= 0.011nm
2π 1000 s−1 · 343 m/s · 1.225kg/m3
una quantità davvero piccola (confrontarla con le dimensioni di una piccola
molecola).
Es.18
Mostrare che la ampiezza dell’oscillazione dell’aria quando si ha un’intensità sonora
prossima alla soglia del dolore è 11 µ m.
Es.19
Una nota di frequenza f = 300 Hz ha una intensità I = 1.0 µW/m2 . Quale è la ampiezza
delle oscillazioni dell’aria per questo suono?
6.6.1 Intensità sonora e decibel
Ci sono due ragioni per non usare una scala lineare per indicare le intensità
sonore. La prima è, come abbiamo visto, l’amplissimo intervallo entro cui
può variare l’intensità dei suoni udibili. Si tratta di 12 ordini di grandezza
(da 10−12 per la soglia di udubilità a 1 W/m2 per la soglia del danno).
Usando questa unità di misura, in una scala lineare si dovrebbero esprimere
l’intensità dei suoni più deboli con numeri che iniziano undici cifre dopo la
virgola. Viceversa se prendessimo come unità il suono più debole i suoni
più intensi sarebbero espressi con numeri dell’ordine di cento miliardi. La
seconda ragione è legata alla fisiologia dell’orecchio e nasce dal fatto che la
risposta dell’udito al segnale sonoro non è lineare (un suono di intensità mille
volte più grande non produce una sensazione mille volte più intensa), ma
logaritmica. L’origine di questa dipendenza non è esclusivamente meccanica,
ma coinvolge anche la percezione cerebrale del suono. Per questo motivo si
parla di psicoacustica quando ci si riferisce allo studio della percezione del
suono.
Per questi motivi in acustica, come capita anche in elettronica, ottica
ed in molti altri campi, si è trovato conveniente usare una scala logaritmica
per confrontare due grandezze, definendo il Bel ed il suo sottomultiplo il
deciBel (dB), che ne ha ormai preso il posto. Il deciBel è definito nel modo
seguente:
Due grandezze differiscono per un decibel quando il loro rapporto è G1 /G2 = 100.1 (l’esponente di 10 è un decimo). Quindi
due grandezze differiscono per x decibel quando il loro rapporto
è G1 /G2 = 10x·0.1 .
La definizione dà anche una ricetta per calcolare i decibel di cui differiscono
due grandezza. Prendiamo, per esempio, due intensità sonore I1 e I2 . Di
35
quanti decibel differiscono? Se si fa il logaritmo in base 10 del loro rapporto,
espresso secondo la definizione come potenza di 10, si trova:
log10
Es.20
I1
= x · 0.1
I2
⇒
x = 10 log10
I1
I2
Mostrare che se una grandezza è il doppio di un altra, essa differisce da questa di 3 dB.
Poiché il decibel è un numero che esprime un rapporto tra grandezze
omogenee esso non è una unità di misura. Ad esempio non contiene alcuna
informazione sul valore di ciascuna delle grandezze di cui si fa il rapporto. Se
si parla di 20 dB in riferimento a due grandezze questo ci dice solo che una
è 100 volte l’altra. Per utilizzare il decibel come unità di misura occorre in
un determinato sistema prendere una grandezza come livello di riferimento,
attribuire a questa grandezza il valore di 0dB(G)6 e esprimere le altre in base
ai decibel di cui differiscono da essa. Per l’intensità sonora si conviene spesso
di prendere come livello di riferimento la soglia di udibilità I0 e indicare con
dB (LP S) i decibel di Livello di Potenza Sonora (nella documentazione
in italiano è detto anche livello sonoro Lp ), relativi ad essa:
Lp = 10 log
I
I0
Quando, nel linguaggio comune si dice che il livello sonoro di una strada
trafficata è di 70 dB, si intende che l’intensità sonora (media) è 107 = 1070· 0.1
volte la soglia di udibilità. Fortunatamente la sensazione uditiva non è dieci
milioni di volte maggiore.
Un grafico interessante a questo proposito è la curva di eguale intensità sonora nella quale viene confrontato il livello sonoro che alle varie frequenze dà una sensazione auditiva uguale a quella di un suono preso come
riferimento a 1000 Hz.
6
Si noti che si è preferito indicare esplicitamente che il valore in dB è riferito ad una
particolare grandezza G. Nella pratica comune spesso questo viene omesso, generando
una certa confusione nei principianti.
36
Nella figura la scala in decibel è riferita al segnale di riferimento a 1000
Hz e si legge che intorno a 60 Hz occorre un segnale che differisce da quello
di riferimento di circa 30 dB per avere la stessa sensazione uditiva.
Es.21
Esaminando la figura qualè la frequenza a cui la sensazione auditiva di riferimento è
realizzata con la minima intensità sonora? Approssimativamente, quante volte è più piccola
l’intensità sonora trovata rispetto a quella scelta come riferimento?
6.7 Complementi
Quui di seguito alcuni argomenti specifici relativi alle onde.Essi richiederebbero un trattazione ampia per la quale non vi è spazio in questo corso.
Tuttavia sono nozioni importanti delle quali diamo solo alcuni cenni.
6.7.1 Sorgente puntiforme
Le onde piane in cui la grandezza ondulatoria dipende da una sola coordinata
spaziale, sono evidentemente delle approssimazioni ideali. Un’onda piana in
senso stretto ha un fronte d’onda che è appunto un piano. Se l’onda ha un
massimo ad un dato istante di tempo in un punto, in tutti i punti del piano
ortogonale alla velocità di propagazione la grandezza ha lo stesso valore.
Questo è apÃ¨punto il fronte d’onda. Ad esempio la pressione in un onda
sonora piana è la stessa in tutti i punti del fronte ossia su una superficie
infinita. Questo non è realistico dato che l’onda trasporterebbe, tra l’altro,
una energia infinita.
Più vicino alla intuizione pratica è il caso di una piccola sorgente S, ad
esempio di onde sonore. L’energia viene prodotta nella sorgente e si propaga
nello spazio circostante in modo vario. Il caso più semplice, anche se ideale,
37
è quello di una sorgente puntiforme che, per ragioni di simmetria emette
l’energia in modo isotropo, ossia in modo uguale in tutte le direzioni.
Assumiamo che essa emetta una potenza
P = 1 W ossia ceda energia al mezzo circostante al tasso di un Joule al secondo.
Il fronte d’onda che rappresenta i punti
dello spazio raggiunti dall’onda generata
in S ad uno stesso istante di tempo, ha
una forma sferica (alcuni fronti d’onda
sono rappresentati nella figura accanto)
e l’energia che raggiunge la sfera concentrica di raggio r è la stessa emessa dalla
sorgente. Quindi, la energia che nell’unità di tempo attraversa la sfera è ancora
1 Watt.
Porzioni uguali della superficie sferica vengono attraversate da energia uguale
per cui la energia che passa, nell’unità di tempo, attraverso un metro quadrato è il rapporto della potenza totale per l’area della sfera. Questa quantità
è proprio la intensità I e alla distanza di un metro dalla sorgente vale:
P
= 7.96 10−2 W/m2 ' 80 mW/m2
4πr2
La distanza di udibilità rmax dalla sorgente si trova imponendo che il raggio della sfera sia tale che l’intensità su di essa sia pari a I0 = 10−12 W/m2 :
r
P
P
I0 =
⇒ rmax =
' 8 × 104 m
2
4πrmax
4πI0
I=
ovvero, risulta dell’ordine delle decine di km, il che è un ulteriore indizio
della estrema sensibilità dell’orecchio umano. Occorre d’altra parte osservare
che quello trovato è un valore evidentemente poco realistico. Questo lascia
intendere che l’ipotesi di assenza di perdite di energia non è ammissibile.
Si osservi che quando si è a distanza grande dalla sorgente puntiforme
i fronti d’onda sono poco curvi e possono essere assimilati a delle porzioni
piane. Un modo per ottenere una onda piana, che è un sistema ideale è appunto di osservare i fenomeni ondulatori su un sistema investito da un’onda
sferica proveniente da una sorgente puntiforme sufficientemente lontana.
6.7.2 Generazione delle onde sonore
Il problema di come delle onde, ad esempio sonore, vengono generate è
semplice di principio ma piuttosto complesso da trattare matematicamente.
Qui ci limitiamo ad uno dei problemi fondamentali: come accade che alcuni
strumenti, quali la chitarra, il pianoforte o l’apparato vocale, riescono ad
emettere, prevalentemente, solo alcune “note”? (frequenze).
38
Il meccanismo è il seguente: in un sistema oscillante (finito) il bordo del
sistema è a contatto con altri corpi (l’ “esterno”). In questo caso l’oscillazione al bordo deve raccordarsi con l’esterno e questo è possibile solo per
particolari lunghezze d’onda (e frequenze). Le oscillazioni possibili sono
quindi determinate da condizioni geometriche e fisiche di raccordo.
6.7.3 Onde stazioanrie su una corda elastica
Per capire il problema trattiamo il caso più semplice, quello delle vibrazioni
di una corda elastica, accennando solamente alle generalizzazioni in casi
analoghi. Consideriamo, in particolare le vibrazioni trasversali possibili di
una corda elastica con gli estremi fissati, come è, ad esempio, una corda
di chitarra. Per semplicità consideriamo il caso di una oscillazione armonica
di lunghezza d’onda λ (e frequenza f = v/λ). Come sappiamo, la soluzione
generale di questo sistema sono due onde armoniche che si propagano in
direzioni opposte. Indicando ancora con s(x, t) lo spostamento della corda
dalla posizione di equilibrio si ha:
s(x, t) = A sin(kx − ωt + φ1 ) + B sin(kx + ωt + φ2 )
Se la corda è lunga L e gli estremi sono tenuti fissi lo spostamento agli
estremi deve sempre nullo a tutti gli istanti, quindi le condizioni di raccordo
(condizioni al contorno) sono:
s(0, t) = 0 s(L, T ) = 0
Imponendo alla soluzione queste condizioni si trova per la prima:
A sin(ωt + φ1 ) = B sin(ωt + φ2 )
che è soddisfatta per ogni t solo se A = B e φ1 = φ2 = φ. Con questo
risultato la soluzione diventa:
s(x, t) = A(sin(kx − ωt + φ) + sin(ωt + kx + φ)
che per x = L risulta
s(x, t) = A(sin(kL + ωt + kL + φ) − sin(kL − ωt − φ)
Usando le formule di somma dei seni:
sin(α ± β) = sin α cos β ± sin β cos α
con α = ωt + phi e β = kL:
s(x, t) = 2A sin(ωt + φ) sin(kL)
39
che si annulla a tutti i tempi solo se:
kL =
2π
nπ
λ
da cui si ricava che le condizioni al contorno impongono che le sole lunghezze
d’onda che possono sussistere sulla corda sono la successione :
λn =
2L
n
ovvero la lunghezza L = (n/2)λ deve contenere un numero intero di mezze
lunghezze d’onda, come è mostrato in figura per le quattro maggiori lunghezze
d’onda che possono essere generate su una corda di lunghezza unitaria.
La successione delle frequenze si trova immediatamente dalla relazione f =
v/λ che mostra che sulla corda vengono generate una successione di armoniche:
v
v
fn =
=n
λn
2L
a partire dalla frequenza fondamentale f1 = v/2L che in genere ha l’ampiezza
maggiore e fissa la nota suonata. In una chitarra si può variare la frequenza
fondamentale cambiando la lunghezza della corda, ad esempio bloccando la
corda con il polpastrello sulla tastiera in un punto diverso dal capotasto. Oppure si cambia la velocità di propagazione, ad esempio variando la tensione
della corda agendo sulle chiavette. Si osservi che nel primo caso cambia la
lunghezza d’onda, nel secondo no.
Le frequenze proprie di vibrazione, come quelle di una corda elastica,
sono la generalizzazione per un sistema macroscopico della frequenza propria
di un oscillatore: l’analisi spettrale, cioè la determinazione delle frequenze
proprie, “scompone” il corpo in oscillatori elementari. Come nel caso di un
40
singolo oscillatore, ogni frequenza propria è in grado di “risuonare, quindi
di fornire una risposta particolarmente amplificata ad uno stimolo esterno.
Un esempio tipico di questo fenomeno è fornito dalle casse armoniche degli
strumenti musicali, che per effetto di risonanza sono in grado di amplificare
il suono emesso, ad esempio, da una corda. Un secondo esempio è l’apparato vocale: quando parliamo modelliamo la nostra cavità orale in modo tale
che entrino in risonanza le frequenze corrispondenti al suono che vogliamo
emettere. Un esempio è riportato nella figura seguente che mostra le diverse
configurazioni del sistema vocale in corrispondenza dell’emissione di tre vocali. Le frequenze più importanti in ciascuna di esse si chiamano formanti
e sono quelle che sono in risonanza con la cavità orale. Poiché l’anatomia
di questa varia da individuo ad individuo e ciascuno controlla in modo personale gli organi di fonazione l’impronta vocale caratterizza in modo molto
preciso ogni persona. Gli esempi in figura sono dunque solo indicativi.
6.7.4 Battimenti
Un fenomeno che è direttamente legato al principio di sovrapposizione dei
segnali, ad esempio dei segnali sonori si ha quando in un punto dello spazio
arrivano due perturbazioni armoniche con frequenze f1 ed f2 differenti, ma
vicine. Supponiamo per semplicità che esse abbiano la stessa ampiezza A
e siano nel punto considerato in fase all’istante t = 0. Come sappiamo,
ciascuna di esse trasporta una energia proporzionale ad A2 . Se sono presenti
41
entrambi il segnale complessivo, per il principio di sovrapposizione vale:
s = A sin(2πf1 t) + A sin(2πf2 t)
Ricordiamo le formule di somma dei seni:
sin(α) + sin(β) = 2 cos(
α−β
α+β
) sin(
)
2
2
che, applicata alla precedente con α = 2πf1 t e β = 2πf2 t:
f1 + f2
f1 − f2
t) sin(2π
t)
(7.25)
2
2
Se ora consideriamo che le due frequenze sono vicine e f1 = f2 + ∆f con
∆f fi si vede che il segnale dato dalla sovrapposizione oscilla ad una
frequenza paria alla media (f1 + f2 )/2 e quindi ad una frequenza vicina alle
due frequenze pure e l’ampiezza di questo segnale oscillante varia armonicamente ad una frequenza molto bassa pari a metà della differenza. Si dice
che le due frequenza fanno battimento alla frequenza lenta. Se, ad esempio
le due frequenze sono la nota La a 110 Hz e il Sol diesis a 104 Hz il grafico
del primo mezzo secondo delle singole note e della loro somma è mostrato
in figura.
s = 2A cos(2π
Es.22
Si stimi dalla figura la frequenza della oscillazione lenta dell’ampiezza e la si confronti
con il valore atteso ∆f /2.
Come si nota dalla (7.25) (e dalla figura) l’ampiezza del battimento è
il doppio della ampiezza delle singole note. Dato che però l’energia è proporzionale al quadrato dell’ampiezza di oscillazione le due note pure avevano
energia pari al quadrato A2 mentre il valore massimo dell’energia nel battimento (beat) è (2A)2 = 4A2 . Il fatto è che il battimento ha provocato
42
una redistribuzione dell’energia nel tempo. Mentre per le due note separate
l’energia media era costante nel battimento ci sono istanti in cui è massima
e istanti in cui è minima (nulla).
È interessante notare che le stesse considerazioni che abbiamo fatto per
due segnali che si sovrappongono ad un fissato istante dello spazio al passare
del tempo, si potrebbero fare per la sovrapposizione ad un istante fissato
(fotografia) al variare della posizione. Anche in questo caso si avrebbe un
battimento, che in questo caso si chiama interferenza e che consiste in una
variazione della ampiezza dell’onda sonora con una lunghezza d’onda:
λbeat =
2
(7.26)
1
1
−
λ1 λ2
Es.23 Seguendo lo stesso ragionamento usato per ricavare la (7.25) si mostri che se ad un istante
fissato si ha la sovrapposizione di due segnali armonici nello spazio:
s = A sin(2π
x
x
) + A sin(2π )
λ1
λ2
il segnale risultante risulta avere una ampiezza lentamente variabile nello spazio con una lunghezza
d’onda λbeat data dalla(7.26).
6.7.5 Impedenza del mezzo
Torniamo al trasporto di energia nel mezzo e riprendiamo l’esempio della
corda vibrante. Possiamo riscrivere la (4.14):
T0
W =
v
∂s
∂t
2
=Z
∂s
∂t
2
introducendo la quantità Z che è detta impedenza del mezzo in cui avviene
la propagazione e che per la corda elastica vale:
Z=
T0
v
Un artificio per memorizzare il significato di impedenza si basa sul fatto che
il termine impedenza è una generalizzazione della nozione di resistenza. Per
un conduttore di resistenza R la relazione tra potenza e corrente è data dalla
legge di Joule:
W = RI 2
Si può allora considerare l’impedenza caratteristica per vari tipi di onde e di
mezzi considerando che per un onda progressiva generica l’impedenza Z è il
coefficiente di proporzionalità fra il quadrato della velocità dello spostamento
e la potenza per unità di superficie irraggiata dalla sorgente.
43
Ad esempio, per un onda sonora vale, dalla relazione che lega la perturbazione della pressione p allo spostamento s per la propagazione adiabatica:
p ∼ γp0
∂s
∂x
e, d’altra parte per l’onda progressiva f (x − vt) vale
∂f
1 ∂f
=−
∂x
v ∂t
per cui
γp0 ∂s
v ∂t
e, d’altra parte con la stessa considerazione fatta per la corda elastica la
potenza è W = F (∂s/∂t) e la potenza per unità di superficie, essendo F =
pS si scrive:
2
∂s
γp0 ∂s 2
∂s
W =p
=
=Z
∂t
v
∂t
∂t
p∼−
Per l’onda sonora l’impedenza risulta:
Z=
γp0
v
e, essendo γp0 = v 2 ρ si trova che per il suono l’impedenza vale
Z = ρv
L’impedenza acustica per l’aria è dell’ordine di ρv ' 1.2Kg/m3 ×340m/sec '
400P a · s/m.
Riflessione e trasmissione
Consideriamo ora il caso di un’onda che durante la sua propagazione incontra una superficie di separazione fra due mezzi di impedenza diversa. Per
concretezza lo studente pensi sempre ad un’onda sonora, ma le osservazioni
che facciamo sono generali per qualunque tipo di onda progressiva. Dunque,
in questa situazione l’onda incidente si sdoppia, una parte prosegue il suo
cammino dal primo al secondo mezzo (questa onda viene chiamata onda
trasmessa), l’altra viene riflessa (onda riflessa). Nel caso semplice unidimensionale illustrato in figura, l’onda trasmessa prosegue nella stessa direzione
dell’onda incidente, quella riflessa si propaga in direzione opposta. Nella
figura le due onde sono disegnate spostate rispetto a quella incidente per
chiarezza.
44
La quantità di energia trasmessa e riflessa dipende dalle impedenze dei
due mezzi (ad, esempio, se le impedenze sono uguali ossia i due mezzi sono
lo stesso mezzo, la parte trasmessa è il 100 % di quella incidente e non
si ha parte riflessa). Senza entrare nei dettagli si ha che il coefficiente di
riflessione R, ovvero il rapporto tra l’energia riflessa e quella incidente vale:
R=
Z1 − Z2
Z1 + Z2
2
essendo Zi l’impedenza caratteristica del mezzo i. Analogamente si definisce
il coefficiente di trasmissione T come il rapporto tra l’energia trasmessa e
quella incidente. In assenza di perdite deve ovviamente valere T + R = 1.
Es.24 Si mostri che, assumendo l’espressione scritta sopra peril coefficiente di riflessione e la
condizione di assenza di perdite T + R = 1 il coefficiente di trasmissione vale:
T =
4Z1 Z2
(Z1 + Z2 )2
Ecografia
Utilizziamo la nozione di riflessione all’interfaccia di due mezzi con impedenza diversa per descrivere qualitativamente la base fisica dell’ecografia
ossia dell’insieme di tecniche che permettono di ottenere un immagine (dal
greco gràphein = scrivere disegnare) analizzando il suono (echos = suono,
voce) che ritorna indietro (eco) dopo la riflessione. In pratica nella tecnica
più semplice, si ha una sorgente di ultrasuoni (onde acustiche di frequenze più alte della regione di udibilità umana) che emette frequenze dell’ordine di qualche MHz. Queste corrispondono in acqua, dove la velocità di
propagazione è circa 1 km/s a lunghezze d’onda dell’ordine del millimetro o
meno. Le frequenze acustiche che rientrano nell’intervallo di udibilità sono
dell’ordine di 1 m e sono inadatte a dare informazioni su oggetti più piccoli
della lunghezza d’onda.
La formazione dell’immagine nell’ecografo avviene con tecniche diverse
il cui esame va al di là dei limiti di questo corso. Una modalità di funzionamento che è semplice descrivere a questo punto del corso consiste nell’inviare
un corto impulso ultrasonico (durata minore di 1 µs) e di registrare, con lo
45
stesso strumento che serve ad inviare il segnale l’energia riflessa ai tempi
successivi. Se si ha una variazione di intensità riflessa dopo un tempo τ
vuol dire che a distanza x = vτ /2 dalla sorgente si ha una variazione di
impedenza acustica e dunque una variazione dei tessuti esaminati.
L’operatore ottiene una immagine bi-dimensionale muovendo la sorgente
in modo da irraggiare con una successione di impulsi una zona del corpo come
fa la luce di un faro. Contemporaneamente viene registrata la radiazione di
ritorno che rielaborata produce una immagine sullo schermo, la cui intensità
corrisponde alla quantità di radiazione riflessa e, quindi, secondo l’espressione del coefficiente di riflessione, alla entità della variazione di impedenza.
Un tessuto omogeneo produce un’immagine di illuminazione uniforme. Se
c’è una modificazione istologica essa appare come una più o meno brusca variazione di intensità. La profondità della modificazione (pensate ad
esempio ad una cisti in un tessuto omogeneo di impedenza diversa) si deduce dal ritardo con cui arriva l’eco e l’informazione sulla natura dei tessuti
che provocano l’eco dalla intensità dell’onda riflezza. In effetti, l’impedenza
dipende, ad esempio, dalla densità del mezzo per cui una cisti formata da
un tessuto di densità molto più grande di quello circostante presenta una
impedenza acustica molto diversa e quindi il coefficiente di riflessione è più
grande che non quando la variazione di densità è piccola. Naturalmente,
questa tecnica topografica può essere accoppiata anche ad un analisi della
frequenza dell’onda riflessa e, come abbiamo fatto notare discutendo l’effetto
Doppler, ciò permette di determinare lo stato di moto del mezzo da cui si
ha la riflessione (ecografia Doppler).
Es.25 Un impulso di ultrasuoni estremamente breve viene inviato in direzione x e si registrano
tre echi dopo t1 = 30 µs, t2 = 70 µs e t3 = 90 µs. La velocità di propagazione nel corpo sia costante
in tutti i tessuti e valga v = 1500 m/s. Si tracci un asse x e su una scala in mm si segnino con tre
punti la posizione delle superfici di separazione tra i tre mezzi. Successivamente, viene spostata la
sorgente di 10 mm a destra e a sinistra della direzione iniziale e ripetuto l’esperimento. Si trova
la seguente tabella per i tempi di eco, espressi in µs:
y
t1
t2
t3
10 mm
35
65
91
- 10 mm
31
a curva
50
91
Sul disegno precedente si traccino due rette parallele all’asse x e si segnino i punti di separazione tra i mezzi, ricavati con i dati della tabella. Spiegare come questa tecnica permette di
ottenere una immagine ecografica bidimensionale.

Segnali ed onde - Dipartimento di Fisica

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