Filtri - LAR-DEIS - Università di Bologna

INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI
DI CONTROLLO
Progetto di filtri digitali
Prof. Carlo Rossi
DEIS - Università di Bologna
Tel: 051 2093020
email: [email protected]
Filtri digitali
Introduzione
•
•
Due tipi di filtri digitali
Filtri IIR
– simili ai filtri analogici
•
Filtri FIR
– non esiste il corrispondente filtro analogico
– brutte caratteristiche di attenuazione (pendenza in banda di
transizione)
– con alcuni accorgimenti presentano un ritardo di fase lineare
– utilizzati soprattutto quando si vuole ottenere un segnale filtrato che
preservi la forma del segnale utile (componenti in banda passante)
2
Filtri digitali
I filtri IIR
•
Sono a tutti gli effetti dei sistemi LSI con risposta impulsiva con
un numero infinito di termini diversi da zero. Si rappresentano
tramite FdT o equazioni alle differenze
+∞
y (n ) =
∑ h(n − k ) x (k )
Y (z ) = H (z ) X (z )
k = −∞
M
H (z ) =
∑ bk z − k
k =0
N
1+
∑ ah z − h
N
y (n ) = − ∑ ah y ( N − h ) +
h =1
M
∑ bk x(M − k )
k =0
h =1
•
Il progetto consiste nel definire una funzione di trasferimento
discreta che abbia caratteristiche frequenziali assegnate (del
tutto simile al caso dei filtri analogici)
3
Filtri digitali
Progetto di filtri IIR
•
Si sfruttano le procedure di progetto per i filtri tempo-continui
– Butterworth
– Chebyshev
•
Si trasformano i coefficienti del filtro analogico nei coefficienti di
una FdT discreta secondo alcune regole
– tali regole non sono univoche
– la risposta frequenziale di una FdT continua è una funzione
razionale di jω
– la risposta frequenziale di una FdT continua è una funzione
razionale di ejωT
– non è possibile avere una corrispondenza perfetta nel range di
interesse -π/T < ω < π/T
– stessa cosa nel dominio del tempo: integrale di convoluzione vs.
somma di convoluzione
4
Filtri digitali
Progetto di filtri IIR
•
Ci si basa su meccanismi di approssimazione
– diventano esatti quando il tempo di campionamento tende a zero
– vedremo che utilizzare tempi di campionamento molto piccoli non è
desiderabile per altre ragioni
•
Nel seguito si presentano meccanismi di progetto basati su
approssimazioni nel dominio del tempo e della frequenza
5
Filtri digitali
Relazione tra convoluzione LTI e LSI
•
Un sistema LTI è descritto dall’integrale di convoluzione
ya (t ) =
•
+∞
∫ xa (t ) ha (t − τ ) dτ
−∞
Assumendo un segnale a banda limitata che soddisfa la
condizione di Shannon, si può ricavare una espressione del
segnale analogico negli istanti di campionamento
Ya ( j ω ) = X a ( j ω ) H a ( j ω )
+π T
1
j ω nT
(
)
(
)
y a (n ) =
X
j
ω
H
j
ω
e
dω
a
a
∫
2π
−π T
+π T
+∞
1
j ω nT
− jω k T
(
)
(
)
=
T
x
k
e
H
j
ω
e
dω
∑
a
a
∫
2π
−π T k = −∞
6
Filtri digitali
Relazione tra convoluzione LTI e LSI
•
Si ottiene
+∞
1
y a ( n ) = T ∑ xa ( k )
2π
k = −∞
•
+π T
∫
−π T
H a ( j ω ) e j ω T (n − k ) dω
Il termine integrale rappresenta il campione della risposta
all’impulso del filtro analogico. Dato che l’integrale è limitato in
frequenza, in realtà si considerano solamente le componenti
spettrali fino alla metà della frequenza di campionamento. Si
deve quindi considerare la risposta all’impulso limitata secondo
una caratteristica passa basso
y a (n ) = T
+∞
+∞
k = −∞
k = −∞
∑ xa (k ) haLP (n − k ) = ∑ xa (k )T haLP (n − k )
7
Filtri digitali
Relazione tra convoluzione LTI e LSI
•
Si conclude che è possibile ottenere i valori campionati
dell’uscita a partire dai valori campionati dell’ingresso se
– lo spettro del segnale di ingresso è limitato alla frequenza di
Nyquist
– lo spettro della risposta all’impulso del filtro analogico è a sua volta
limitata alla frequenza di Nyquist prima del suo campionamento
•
Per ottenere un equivalente LSI del filtro continuo è sufficiente
in principio realizzare un filtro discreto con risposta all’impulso
corrisponsdente ai campioni della risposta impulsiva limitata in
frequenza del filtro analogico di riferimento
h(n ) = T haLP (n T )
8
Filtri digitali
Relazione tra convoluzione LTI e LSI
•
Il metodo precedente non è applicabile in genere
– la risposta frequenziale del filtro di riferimento deve avere una alta
attenuazione alla frequenza fs/2 affinchè non ci siano fenomeni di
aliasing
– può essere verificato per filtri passa-basso o passa-banda di ordine
elevato
– se ciò non è verificato risulta necessario inserire un ulteriore filtro
passa basso con transizione molto ripida
•
•
•
•
•
realizzato in discreto
ordine elevato, quindi filtro complessivo complesso
introduce comunque un ritardo di fase quasi sempre inaccettabile
banda di transizione non più utilizzabile come banda utile
filtri passa-alto e elimina banda richiedono bassa attenuazione alla
frequenza di Nyquist
– Si ricorre a metodi di approssimazione per il rpogetto del filtro
9
Filtri digitali
Approssimazioni nel dominio del tempo
•
•
Tali metodi violano entrambe le condizioni stabilite dalla
corrispondenza della convoluzione, ma preservano l’ordine del
filtro di riferimento
L’idea è quella di mantenere l’equivalenza tra la risposta dei filtri
analogico e continuo solo per segnali di ingresso particolari
– impulso x(t) = T δ(t)
– gradino x(t) = u(t)
– rampa x(t) = t/T u(t)
•
•
Valida anche per segnali che sono combinazione lineare del
segnale utilizzato
Sono approssimazioni comunque non molto utilizzate
nell’ambito dei sistemi real-time, valide soprattutto per la
simulazione di filtri analogici su calolatore
10
Filtri digitali
Progetto tramite risposta al gradino
•
Si impone la corrispondenza dei campioni della risposta al
gradino
a (n ) = a a (n T )
•
Ricordando che
t
h(n ) = a(n ) − a(n − 1)
aa (t ) = ∫ ha (τ ) dτ
0
si ottiene la condizione sulla risposta impulsiva del filtro discreto
1
h(n ) = T
T
nT
∫ ha (τ ) dτ
(n −1)T
Si vede che i campioni sono ottenuti come media nel periodo di
campionamento della risposta impulsiva del filtro analogico
11
Filtri digitali
Progetto tramite risposta al gradino
•
Per derivare la FdT del filtro discreto a partire dalla FdT
continua si procede nel seguente modo
H (s ) = K +
N
Ck
∑ s−s
∞k
k =1
ha (t ) = K δ (t ) +
N
∑ Ck e s∞k t u (t )
k =1
N C
(
)
k e s∞k t − 1 u (t )
k =1 s∞k
N C 
z
z
z 
z
 = H ( z )U ( z ) = H ( z )
+ ∑ k 
−
A( z ) = K
z − 1 k =1 s∞k  z − e s∞k T z − 1 
z −1
aa (t ) = K u (t ) +
∑
12
Filtri digitali
Progetto tramite risposta al gradino
•
Si ottiene quindi
(
)
N C e s ∞k T − 1
1
H (z ) = K + ∑ k
s ∞k T
s
∞
k
z
−
e
k =1
•
Si noti che la stabilità è preservata, così come il guadagno in
continua
Esempio
0.79 s
H (s ) =
0.63 s 2 + 0.079 s + 1
⇓
H (z ) =
0.89 z − 0.89
z 2 − 0.58 z + 0.88
13
Filtri digitali
Esempio
Bode Diagrams
filtro discreto
20
10
Phase (deg); Magnitude (dB)
0
-10
-20
-30
riferimento analogico
200
0
-200
-400
-600
0
1
2
3
Frequency (rad/sec)
4
5
6
14
Filtri digitali
Approssimazioni nel dominio frequenziale
•
•
•
In questo caso si cerca di ottenere una relazione diretta nel
dominio delle frequenze fra le risposta frequenziali del filtro
continuo e di quello discreto. Le sostituzioni per ottenere la
risposta frequenziale a partire dalla FdT sono
1
s → jω
z → e jω T ⇒
s = ln z
T
A partire dalla FdT continua, secondo la sostituzione precedente
si otterrebbe una FdT discreta con la stessa risposta
frequenziale; tuttavia ciò porta ad una FdT discreta che non è
una funzione razionale fratta
L’idea delle tecniche di approssimazione è quella di ottenere
uno sviluppo in serie della funzione logaritmo, troncando poi lo
sviluppo per ottenere una sostituzione razionale fratta
15
Filtri digitali
Metodo alle difference
•
•
Si utilizza l’espansione in serie
2 ( z − 1)3
−1 ( z − 1) ( z − 1)
+
+
+…
ln z = − ln z =
2
3
z
2z
3z
che troncata al primo ordine fornisce l’approssimazione
1 z − 1 1 − z −1
z −1
ln z ≈
⇒
=
s=
T z
T
z
Tale approssimazione ha una interpretazione diretta nel dominio
temporale. La derivata di un segnale è approssimata con la retta
passante per due campioni successivi
x(t ) t = n T ≈
x(t ) − x(t − T )
x(n ) − x(n − 1)
=
T
T
t =nT
16
Filtri digitali
Metodo alle differenze
•
•
La trasformata di Laplace dell’espressione precedente da
X (s ) − e − s T X (s )
s X (s ) ≈
T
1 − e− s T
s≈
T
1
s = ln z
T
1 − z −1
s≈
T
Ovviamente l’approssimazione migliora al diminuire di T
Per verificare se la trasformazione presentata preserva la
stabilità, si consideri che ad un polo in s corrisponde uno in z
−1
1 − z∞
Re s∞ = Re
<0
T
2
1 2

1
2
⇒  Re z∞ −  + (Im z∞ ) <  
2

2
17
Filtri digitali
Metodo alle differenze
•
•
Poli stabili in s vengono trasformati in poli stabili in z
appartenenti al cerchio con centro sull’asse Re z di raggio 0.5
tutto contenuto nel cerchio unitario, quindi stabili
La trasformazione copre solamente
Im z
una porzione ristretta del cerchio
– Non è possibile avere poli nel semipiano
sinistro del cerchio, quindi alle frequenze
fs/4 - fs/2
– La possibilità di avere poli vicini al cerchio
unitario è molto limitata; poli con un
fattore di qualità Q elevato corrispondente
a transizioni ripide sono realizzabili solamente
con tempi di campionamento molto bassi
Re z
18
Filtri digitali
Esempio
•
Si consideri il filtro di secondo ordine passa basso con
frequenza di cut-off pari a 3 decimi della frequenza di
campionamento e fattore Q=10
H (S ) =
S=
s
ωc
H (z ) =
1
f c = 0.3 T
S 2 + 0. 1 S + 1
=
s
2π f c
=
s
0.6 π / T
1
=
0.75
2
1 − 0.46 z −1 + 0.21 z − 2
 1 − z −1 
 1 − z −1 

 + 0.1
 +1
 0.6 π 
 0.6 π 




19
Filtri digitali
Esempio
Bode Diagrams
20
10
Phase (deg); Magnitude (dB)
0
-10
-20
-30
50
0
-50
-100
-150
-200
0
1
2
3
Frequency (rad/sec)
4
5
6
20
Filtri digitali
Esempio
•
Si consideri il filtro di secondo ordine passa basso con
frequenza di cut-off pari a 5 centesimi della frequenza di
campionamento e fattore Q=10
H (S ) =
S=
s
ωc
H (z ) =
1
f c = 0.05 T
S 2 + 0.1 S + 1
=
s
2π f c
=
s
0.1π / T
1
=
0.087
2
1 − 1.798 z −1 + 0.885 z − 2
 1 − z −1 
 1 − z −1 

 + 0.1
 +1
 0.1π 
 0.1π 




21
Filtri digitali
Esempio
Bode Diagrams
20
10
Phase (deg); Magnitude (dB)
0
-10
-20
-30
200
100
0
-100
-200
0
1
2
3
Frequency (rad/sec)
4
5
6
22
Filtri digitali
Metodo all’avanti
•
Il metodo proposto si definisce anche delle differenze all’indietro
– nell’approssimazione della derivata si utilizzano i valori corrente e
passato
•
Esiste anche un metodo delle differenze all’avanti
– nell’approssimazione della derivata si utilizzano i valori corrente e
futuro
x(t ) t = n T ≈
•
x(t + T ) − x(t ) x(n + 1) − x(n )
=
T
T
z −1
s→
T
Tale approssimazione presenta però dei problemi di stabilità
– poli stabili in s vengono trasformati in poli alla sinistra della retta
Re z = 1, e quindi possibilmente instabili
– per ovviare è necessario un tempo di campionamento molto basso
23
Filtri digitali
Metodo all’avanti
•
Nella pratica, è molto utilizzato per ricavare una equazione alle
differenze a partire da una equazione differenziale non lineare
x(n + 1) − x(n )
⇒
x(t ) = f ( x(t ), u (t ))
= f ( x(n ), u (n ))
T
x(n + 1) = x(n ) + T f ( x(n ), u (n ))
•
L’utilizzo del metodo all’indietro costringe a risolvere una
equazione non lineare
x(n ) − x(n − 1)
⇒
x(t ) = f ( x(t ), u (t ))
= f ( x(n ), u (n ))
T
Equazione implicita
x(n ) = x(n − 1) + T f ( x(n ), u (n ))
•
Quando possibile, conviene comunque utilizzare il metodo
all’indietro: permette l’utilizzo di un tempo di campionamento più
elevato
24
Filtri digitali
Trasformazione bilineare
•
Si utilizza lo sviluppo in serie
 2 
 2z 
 z + 1
 2z 
 2 z z + 1
ln z = ln

 − ln
 = ln
 + ln
 = ln
+
1
1
2
1
1
2
z
z
z
z
+
+
+










 z − 1  1  z − 1 3 1  z − 1 5

ln z = 2 
 + …
 + 
+ 
5  z + 1
 z + 1  3  z + 1 

che troncato al primo ordine fornisce l’approssimazione
2 z −1
z −1
⇒
s=
ln z ≈ 2
T z +1
z +1
25
Filtri digitali
Trasformazione bilineare
•
Anche questa approssimazione ha una interpretazione nel
dominio del tempo. Corrisponde ad considerare la retta per due
campioni approssimata dal valor medio della derivata nei
campioni
x(t ) + x(t − T )
x(t ) − x(t − T )
x(n ) + x(n − 1)
≈
=
2
T
T
t =nT
t =nT
•
Trasformando secondo Laplace si ottiene
s X (s ) + s X (s ) e − s T X (s ) − X (s ) e − s T
≈
2
T
1 + e− s T 1 − e− s T
≈
s
2
T
⇒
s→
2 z −1
T z +1
1 + z −1 1 − z −1
s
=
2
T
26
Filtri digitali
Trasformazione bilineare
•
In questo caso un polo stabile in s viene trasformato secondo
Re s∞ = Re
verificata se
•
•
2
T
z∞ − 1
<0
z∞ + 1
(Re z∞ )2 + (Im z∞ )2 < 1
La trasformazione bilineare preserva la stabilità, e mappa il
semipiano sinistro del piano s nel cerchio unitario del piano z
La trasformazione proposta tuttavia non porta ad una buona
corrispondenza delle risposte frequenziali
 2 z − 1
H (s ) → H 

T
z
1
+


 2 e jω T − 1
 2
ω T 


H( jω) → H
= H  j tan

 T e j ω T + 1
T
2





27
Filtri digitali
Compensazione in frequenza
•
La risposta frequenziale del filtro discreto può essere ricavata
da quello continuo tramite una distorione dell’asse delle
frequenze
2
ω T 
′
ω = tan

T
2


•
Quando ω varia da zero alla metà della frequenza di
campionamento, ω’ varia da 0 all’infinito
Il filtro discreto comprime la risposta frequenziale di quello
continuo all’interno della banda da zero alla frequenza di
Nyquist
Tale spettro compresso è poi periodicamente ripetuto per la
presenza della funzione tangente
•
•
28
Filtri digitali
Compensazione in frequenza
•
•
La compressione frequenziale ha alcune ricadute interessanti
Aliasing
– Dato che la risposta frequenziale viene distorta prima della
continuazione periodica, il fenomeno dell’aliasing non interferisce
più. Il ripple in banda passante e l’attenuazione nella stop band del
filtro analogico possono essere mantenute nel corrispettivo discreto
•
Ordine del filtro
– La pendenza in banda di transizione del filtro discreto è maggiore
della pendenza del filtro di riferimento analogico. Per mantenere un
dato schema di tolleranza, l’ordine necessario del filtro discreto può
essere inferiore
29
Filtri digitali
Compensazione in frequenza
•
•
•
•
Per ottenere un filtro discreto che soddisfi un dato schema di
tolleranza, così come le frequenze di cutoff, è sufficiente
modificare lo schema di tolleranza secondo la formula di
distorsione
Si progetta poi un filtro analogico di riferimento secondo lo
schema di tolleranza modificato
Si applica la trasformazione bilineare
Si ottiene un filtro discreto che soddisfa lo schema di tolleranza
originale (all’interno della banda di Nyquist)
30
Filtri digitali
Esempio
•
Si consideri il filtro di secondo ordine passa basso con
frequenza di cut-off pari a 3 decimi della frequenza di
campionamento e fattore Q=10
H (S ) =
S=
s
ωc
H (z ) =
1
f c = 0.3 T
S 2 + 0.1 S + 1
=
s
2π f c
=
s
0.6 π / T
1
2
 1 z − 1
 1 z − 1

 + 0.1
 + 1
 0.3π z + 1 
 0.3π z + 1 
=
0.45 + 0.9 z −1 + 0.45 z − 2
1 − 0.11 z −1 + 0.91 z − 2
31
Filtri digitali
Esempio
Bode Diagrams
filtro discreto
20
10
Phase (deg); Magnitude (dB)
0
-10
-20
-30
riferimento analogico
200
100
0
-100
-200
0
1
2
3
Frequency (rad/sec)
4
5
6
32
Filtri digitali
Esempio
Bode Diagrams
filtro discreto
20
10
Phase (deg); Magnitude (dB)
0
-10
-20
riferimento analogico
-30
riferimento analogico
modificato
200
100
0
-100
-200
0
1
2
3
Frequency (rad/sec)
4
5
6
33
Filtri digitali
Sistemi FIR (Finite Impulse Response)
•
Sono i sistemi LSI caratterizzati da una risposta all’impulso con
un numero finito di campioni diversi da zero
bn
h(n ) = 
0
y (n ) =
•
•
0≤n≤M
n≥M
M
∑ x(n − k )bk = b0 x(n ) + b1 x(n − 1) + … +b M x(n − M )
k =0
La sequenza di uscita è calcolata come combinazione lineare
del campione corrente e degli M campioni passati dell’ingresso
Gli equivalenti nel dominio tempo continuo continuo non sono
particolarmente usati
– sono realizzati dalle linee di ritardo, in cui il blocco base è un
elemento di ritardo puro
34
Filtri digitali
Filtri FIR
•
I sistemi FIR sono impiegati soprattutto come filtri di segnale
– la complessità può essere molto elevata, anche centinaia di
coefficienti
•
possiedono proprietà interessanti
– una struttura altamente regolare che semplifica l’implementazione
– sono filtri sempre stabili, dato che la norma l1 della risposta
all’impulso è per definizione finita
– anche in presenza di errori numerici e di quantizzazione, la risposta
a ingresso nullo è sempre nulla
– è possibile realizzare facilmente filtri FIR con risposta in fase
lineare e ritardo di gruppo costante nella banda passante e di
transizione: la stessa proprietà con filtri IIR richiede l’utilizzo di
elementi passa-tutto complessi che linearizzano la risposta di fase
solo approssimativamente e comunque con un costo elevato: nei
filtri FIR la linearità della risposta di fase è garantita dalla simmetria
35
della risposta all’impulso e quindi dei coefficienti del filtro,
condizione facilmente raggiungibile
Filtri digitali
FdT dei sistemi FIR
•
La funzione di trasferimento si ottiene Z-trasformando la
risposta all’impulso
H (z ) =
+∞
∑ h(k ) z
−k
=
k =0
M
−k
b
z
∑ k
k =0
a cui può essere data la forma alternativa
M
∑ bk z M − k
H ( z ) = k =0 M
z
•
La risposta frequenziale si ottiene facilmente come
(
He
jω T
) = ∑ bk e− j ω k T
M
k =0
36
Filtri digitali
Poli e zeri dei filtri FIR
•
•
•
Hanno M poli nell’origine
Zeri all’interno del cerchio unitario hanno una bassa
attenuazione: gli zeri in banda passante saranno all’interno del
cerchio
Zeri sul cerchio unitario hanno attenuazione maggiore: gli zeri in
banda di attenuazione saranno sul cerhio unitario
37
Filtri digitali
Esempio - Mappa poli/zeri
Pole-zero map
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
38
Filtri digitali
Esempio - Ampiezza risposta frequenziale
Magnitude
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
39
Filtri digitali
Filtri FIR a fase lineare
•
Si consideri la fase ed il ritardo di gruppo di uno zero
H (z ) = z − z = z − r e jϕ0
0
0
 r sen (ω T − ϕ 0 ) 

b(ω ) = −ω T − arc tan 0
 1 − r0 cos(ω T − ϕ 0 ) 
τ g (ω ) = −T + T
•
r02 − r0 cos(ω T − ϕ 0 )
1 + r02 − 2r0 cos(ω T − ϕ 0 )
Per uno zero sul cerchio unitario si ha
1 − cos(ω T − ϕ 0 )
T
(
)
τ g ω = −T + T
=−
1 + 1 − 2 cos(ω T − ϕ 0 )
2
b(ω ) = − ω T 2
e quindi la variazione di fase è lineare
40
Filtri digitali
Filtri FIR a fase lineare
•
•
Si consideri ora il contributo di uno zero reciproco rispetto al
precedente. Si ha


1
H ( z ) = ( z − z0rec ) =  z − e j ϕ 0 
r0


 sen (ω T − ϕ 0 ) 

brec (ω ) = −ω T − arc tan
 r0 − cos(ω T − ϕ 0 ) 
1 − r0 cos(ω T − ϕ 0 )
τ grec (ω ) = −T + T
1 + r02 − 2r0 cos(ω T − ϕ 0 )
La somma dei due ritardi di gruppo da
τ g (ω ) + τ grec (ω ) = −T
b(ω ) + brec (ω ) = −ω T
e quindi la variazione di fase è ancora lineare
41
Filtri digitali
Filtri a fase lineare
•
Se ne deduce che un filtro FIR con zeri sul cerchio unitario e/o
zeri reciproci rispetto al cerhio unitario ha un andamento di fase
lineare con la frequenza ed un ritardo di gruppo costante
Ovviamente gli zeri devono essere reali o a coppie complesse
coniugate
Pole-zero map
1.5
1
0.5
Imag Axis
•
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Real Axis
0.5
1
1.5
2
42
Filtri digitali
Filtri a fase lineare
•
•
La condizione di andamento di fase lineare si traduce anche in
una condizione nel domino temporale
Risposta impulsiva simmetrica
(
He
jω T
)= e
− jω M T / 2
M
∑ bk e − j ω T (k − M / 2 )
k =0
bk = bM − k
(
He
(
jω T
)= e
)
− jω M T / 2
H e j ω T = e− j ω M T / 2
M
− j ω T (k − M / 2 )
b
e
∑ M −k
k =0
M
∑ bk cos[ω T (k − M / 2 )]
k =0
Fase zero, ampiezza somma di coseni
43
Filtri digitali
Filtri a fase lineare
•
La sommatoria ammette una rappresentazione con un numero
inferiore di termini data la simmetria
H 0 (ω ) =
M pari
H 0 (ω ) =
M
∑ bk cos[ω T (k − M / 2 )]
k =0
M dispari
M /2
∑ Bk cos[ω k T ]
k =0
B0 = bM / 2
Bk = 2bM / 2 − k
H 0 (ω ) =
(M +1 / 2 )
∑ Bk cos[ω T (k − 1 / 2 )]
k =0
Bk = 2b( M +1) / 2 − k
44
Filtri digitali
Filtri a fase lineare
•
Risposta impulsiva antisimmetrica
(
He
jω T
)= e
− jω M T / 2
M
∑ bk e − j ω T (k − M / 2 )
k =0
bk = −bM − k
(
He
(
jω T
)= e
)
− jω M T / 2
M
− j [ω T (k − M / 2 )+π ]
b
e
∑ M −k
k =0
M
H e j ω T = e− j ω M T / 2 j
∑ bk sen[ω T (k − M / 2 )]
k =0
Anticipo di fase
Fase zero, ampiezza somma di seni
di 90°
Si utilizza per realizzare derivatori
45
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI
DI CONTROLLO
Progetto di filtri digitali - fine
Prof. Carlo Rossi
DEIS - Università di Bologna
Tel: 051 2093020
email: [email protected]