Lenti sottili: Definizione

Lenti sottili: Definizione
La lente è un sistema ottico costituito da un pezzo di materiale trasparente
omogeneo (vetro, policarbonato, quarzo, fluorite,...) limitato da due calotte
sferiche (o, più generalmente, da due superfici non piane, e.g., cilindriche o
gaussiane). A differenza dei sistemi diottrici piani, essa può formare immagini
reali.
Nel seguito, considereremo solo lenti sferiche.
Biconvessa
Piano−
convessa
Menisco
convergente
Lenti convergenti
Menisco
Piano−
divergente concava
Biconcava
Lenti divergenti
Una lente sottile è definita come una lente il cui spessore è considerato piccolo
rispetto alle distanze generalmente associate alle sue proprietà ottiche (raggi di
curvatura delle calotte, distanze focali, distanze degli oggetti e delle immagini).
Dal punto di vista geometrico, la lente sottile è assimilata ad un piano.
G. Costabile
Lenti sottili: Fuochi
d
d
f’
f
F’
Asse
fuoco
secondario
r1
r2
F
Asse
fuoco
primario
Lente positiva (convergente)
d
d
f
f’
F’
Asse
Asse
F
r2
r1
Lente negativa (divergente)
Il fuoco primario F è un punto assiale tale che ogni raggio proveniente da esso o
diretto in esso si propaga parallelamente all’asse a seguito della rifrazione.
Il fuoco secondario F’ è un punto assiale tale che ogni raggio propagantesi
parallelamente all’asse è diretto in esso o appare provenire da esso a seguito
della rifrazione.
G. Costabile
Lenti sottili: Costruzione grafica dell’immagine
Indicando con f ed f 0 rispettivamente le distanze di F ed F 0 dalla lente, dal
principio di reversibilità segue:
f = f0
(a differenza di quanto si verifica nel diottro sferico).
Costruzione dell’immagine
s
s’
f
y
f’
f’
T
Q
raggio
T
Q
princip
ale
Asse
F’
M
S
f
Q’
M’ Asse
A
F
S
M’
F
F’
A
M
ra
gg
y’
io
pr
in
c
Q’
ip
a
le
s
s’
Nell’approssimazione parassiale il raggio passante per il centro della lente A è
indeviato perché attraversa superfici parallele con piccolo angolo di incidenza.
Applicando il principio di reversibilità, il ruolo dell’oggetto e dell’immagine si
invertono. Come per il diottro sferico, M ed M 0 sono coniugati, e cosı̀ pure i
piani per essi perpendicolari all’asse.
G. Costabile
Lenti sottili: Formula di Gauss
T
Q
y
M’
F
M
A
F’
y’
S
x
Q’
f
x’
f’
s’
s
0 T S ed Fd
0 T A e fra i triangoli QT
dS ed
Dalla proporzionalità fra i triangoli Qd
Fd
AS seguono, rispettivamente:
y
y − y0
=
s0
f0
e
y − y0
−y 0
=
s
f
Sommando membro a membro e ponendo f = f 0 , si ottiene nella forma
gaussiana la formula dei punti coniugati:
1
1
1
+ 0 =
s s
f
G. Costabile
Lenti sottili: Formula di Newton
dF ed Fd
Dalla proporzionalità fra i triangoli QM
AS e fra i triangoli Td
AF 0 ed
F 0d
M 0 Q0 , rispettivamente (f = f 0 ):
−y 0
y
=
x
f
e
−y 0
y
=
x0
f
Moltiplicando membro a membro si ricava la forma newtoniana della formula
dei punti coniugati:
xx0 = f 2
Nella forma gaussiana le distanze sono misurate rispetto alla lente, in
quella newtoniana esse sono misurate rispetto ai fuochi.
La formula di Newton viene generalizzata semplicemente quando i mezzi ai lati
della lente hanno indice di rifrazione diverso:
xx0 = f f 0
G. Costabile
Lenti sottili: Ingrandimento lineare
Forma gaussiana
dA e Q0d
Poiché i triangoli rettangoli QM
M 0 A sono simili, sostituendo y = M Q e
y 0 = −M 0 Q0
M 0 Q0
AM 0
y0
s0
=
⇒ m≡
=−
MQ
AM
y
s
Quando s ed s0 sono entrambe positive, il segno negativo indica che l’immagine
è capovolta.
Forma newtoniana
L’ingrandimento lineare m nella forma newtoniana si ricava direttamente dalla
dF ed Fd
proporzionalità fra i triangoli QM
AS e fra i triangoli Td
AF 0 ed F 0d
M 0 Q0 :
y0
f
x0
m≡
=− =−
y
x
f
G. Costabile
Lenti sottili: Formula del costruttore di lenti
Formula del costruttore di lenti
Generalmente le tavole dei manuali riportano l’indice di rifrazione n0 dei
materiali per luce monocromatica gialla (riga D della lampada al sodio).
I raggi di curvatura delle calotte sferiche che delimitano la lente possono essere
direttamente misurate mediante uno strumento apposito, lo sferometro.
Noti n0 del materiale della lente ed i raggi di curvatura delle superfici di una
lente sottile, se ne può calcolare la distanza focale per una lente sottile;
viceversa, in fase di progettazione, si possono calcolare i raggi di curvatura per
ottenere una specifica distanza focale f a :
µ
¶
1
1
1
−
= (n − 1)
f
r1 r2
Per applicare la formula, occorre tener presente le convenzioni adoperate:
• la propagazione dei raggi è da sinistra a destra
• le superfici attraversate in questo verso sono considerate aventi
– raggio positivo se convesse
– raggio negativo se concave.
a
Per la dimostrazione, cfr. F.A. Jenkins, H.E. White, Fundamentals of Optics, McGraw-Hill,
1976, par. 4.9
G. Costabile
Lenti sottili: Combinazione
La formazione delle immagini si calcola applicando la formula dei punti
coniugati ad ogni lente e considerando come oggetto per ogni lente l’immagine
formata dalla lente precedente, prendendo cura di rispettare le convenzioni sui
segni (notando, cioè, se gli oggetti considerati sono reali o virtuali).
Consideriamo, per esempio due lenti sottili coassiali convergenti A1 ed A2 poste
alla distanza relativa d = 2 cm, aventi, rispettivamente, f1 = +3 cm ed
f2 = +4 cm.
Posto un oggetto a distanza s1 = 4 cm dalla prima lente, calcoliamo la
posizione s01 dell’immagine da essa formata; dalla formula dei punti coniugati
risulta: s01 = +12 cm. Quindi questa immagine è reale, situata 12 cm a destra di
A1 e 10 cm a destra di A2 .
Pertanto il calcolo rispetto ad A2 va eseguito considerando un oggetto posto
alla distanza s2 = −10 cm. Riapplicando la formula dei punti coniugati, si trova
s02 = +2.86 cm.
L’immagine finale è reale, ed è posta a 2, 86 cm a destra di A2 , a 4, 86 cm a
destra di A1 .
G. Costabile
Lenti sottili: Potere
Il potere di una lente sottile è misurato in diottrie posto che la distanza focale f
sia misurata in metri, ed è definito come
P =
1
f
Sostituendo f dalla formula del costruttore di lenti, si ottiene la forma
alternativa
µ
¶
1
1
P = (n − 1)
−
r1 r2
Il valore del potere è positivo per le lenti convergenti, negativo per le lenti
divergenti.
Es., P = −2 D è il potere diottrico di una lente divergente avente f = −50 cm.
Le lenti per occhiali da vista sono fabbricate normalmente in passi di 0.25
diottrie. La superficie rivolta verso l’occhio è concava per consentire il
movimento libero delle ciglia, pur tenendo la lente vicina all’occhio.
G. Costabile
Lenti sottili: Lenti addossate
Si considerino due lenti sottili coassiali L1 ed L2 poste a contatto ed un oggetto
posto a distanza molto grande (s → ∞). Si procede come nel caso della
combinazione di lenti, tenendo conto che ora d = 0.
I raggi paralleli incidenti sulla prima lente L1 convergerebbero nel fuoco
secondario F10 posto alla distanza f10 . Esso costituisce l’oggetto (virtuale) per la
seconda lente L2 , caratterizzata dalla distanza focale secondaria f20 .
Il punto in cui si forma l’immagine finale è (per definizione) il fuoco secondario
del sistema F 0 , e la sua distanza dalle lenti, f 0 , si calcola applicando la formula
dei punti coniugati alla lente L2 :
1
1
1
1
1
1
=
=
+
⇒
+
.
−f10
f0
f20
f0
f10
f20
Se le lenti sono in aria, le distanze focali primarie e secondarie sono uguali, gli
apici possono essere soppressi, e si ricava
P = P1 + P2
Il potere diottrico di lenti sottili a contatto è dato dalla somma dei poteri
diottrici delle singole lenti.
G. Costabile
Lenti spesse
Se lo spessore di una lente d (distanza tra i vertici delle superfici) non è
trascurabile rispetto alle lunghezze caratteristiche (ed in particolare alla distanza
focale), essa si dice spessa. In questa categoria si può far rientrare, più in
generale, ogni sistema ottico centrato, considerandolo come tutt’uno. Nel
seguito questo è implicitamente assunto, anche se, per semplicità ci si riferisce
ad una singola lente spessa.
Si considerino due superfici sferiche coassiali di raggio r1 ed r2 delimitanti un
mezzo con indice n0 posto tra due mezzi aventi indice n ed n0 , rispettivamente,
e sia M un punto immagine sull’asse ottico posto nel mezzo 1 a distanza s1 dal
primo vertice A1 . Riapplicando il procedimento già adoperato in precedenza:
• si calcola la distanza s01 da A1 dell’immagine M 0 formata dal primo diottro;
• rispetto al secondo diottro, si considera M 0 come un oggetto posto a
distanza s02 = s01 − d dal secondo vertice A2 ;
• si calcola la distanza s002 dell’immagine M 00 da A2 .
Nell’approssimazione di raggi parassiali, M ed M 00 sono punti coniugati.
Le formule da adoperare (rispettando le convenzioni) sono:
n
n0
n0 − n
+
=
s1 s01
r1
G. Costabile
n0
n00
n00 − n0
+ 00 =
s02
s2
r2
Lenti spesse: Punti principali
È possibile costruire direttamente l’immagine se sono noti i punti cardinali del
sistema, che sono i fuochi ed i punti principali.
Piano principale
primario
n
n’
Piano principale
secondario
n’’
n
n’’
n’
F’’
F
A1
f
H
A2
A1
H’’
A2
f’’
La figura mostra il fuochi di una lente spessa. I piani passanti per le intersezioni
dei prolungamenti dei raggi incidenti e dei raggi rifratti costituiscono il piano
principale primario π ed il piano principale secondario π 0 , e le loro intersezioni H
ed H 00 con l’asse sono dette punti principali. I due piani principali sono piani
coniugati e tra essi c’è corrispondenza punto a punto:
I piani principali sono due piani con ingrandimento lineare unitario positivo.
Le distanze focali sono misurate dai fuochi F ed F 00 ai rispettivi punti principali
H ed H 00 (e non dai fuochi ai vertici A1 ed A2 ).
Se n = n00 , allora f = f 00 . Se n 6= n00 , allora n00 /n = f 00 /f .
G. Costabile
Lenti spesse: Costruzione grafica
La conoscenza dei fuochi e dei punti principali consente di costruire graficamente
le immagini con le stesse procedure adoperata per diottro e lente sottile.
π
Q
π’
A
A’
F’’
M
B
s
G. Costabile
H’’
H
F
M’
B’
Q’
s’
Lenti spesse: Formula dei punti coniugati
È anche possibile applicare, nell’approssimazione di raggi parassiali, le formule
dei punti coniugati, se anche le distanze s, s0 sono misurate rispetto ai
punti principali:
n
n00
n n00
+ 00 = = 00 (se n 6= n00 )
s
s
f
f
1
1
1
1
+ 00 = = 00 (se n = n00 )
s s
f
f
Dalla geometria è possibile ricavare una serie di relazioni tra le distanze
caratteristiche del sistema:
n
n0
n00
dn00
n00
= 0 + 00 − 0 00 = 00
f
f1 f2
f1 f2
f
µ
¶
d
d
A1 F = −f 1 − 0
A1 H = f 0
f2
f2
µ
¶
d
d
A2 F 00 = +f 1 − 0
A2 H 00 = −f 00 0
f1
f1
G. Costabile
Lenti spesse: Punti nodali
Dato un punto oggetto fuori asse, si consideri quello tra i raggi incidenti che
emerge dalla lente parallelo a sé stesso. I due punti di intersezione, N ed N 00 ,
dei suoi prolungamenti con l’asse sono detti punti nodali.
Fuochi, punti principali e punti nodali costituiscono i punti cardinali.
Se n = n00 , allora i punti nodali coincidono con i punti principali. Comunque, in
generale, vale la proprietà
N N 00 = HH 00
L’interesse per i punti nodali sta nel fatto che la loro posizione può essere
determinata sperimentalmentea , e dalle relazioni
N 00 F 00 = F H ≡ f
N F = H 00 F 00 ≡ f 00
avendo pure individuato sperimentalmente la posizione dei fuochi primario e
secondario, si ricava la posizione dei punti principali.
La distanza HN può anche essere calcolata dalla formula HN = f 00 (1 − n/n00 );
essa è utile per calcolare l’ingrandimento lineare:
y 00
s00 − HN
m=
=−
y
s + HN
a
G. Costabile
F.A. Jenkins, H.E. White, op. cit.
Aberrazioni
Cosa accade quando l’approssimazione parassiale non è sufficiente?
Aberrazione di sfericità
Crown
Flint
Doppietto acromatico
Aberrazione cromatica
G. Costabile