esercizi da esami6

ESERCIZI DA ESAMI (1996-2003)
Compressibilità edometrica e consolidazione dei terreni
Esercizio 1
Una fondazione rettangolare flessibile di dimensioni B x L trasmette una pressione verticale
uniforme di intensità p alla profondità D dal piano campagna.
Il terreno di fondazione è costituito, dall'alto verso il basso, da uno strato di sabbia fine di spessore
H1, da uno strato di argilla di spessore H2, quindi da sabbia e ghiaia fino a grande profondità.
La falda freatica è alla profondità Zw da piano campagna. Il terreno è saturo anche sopra falda.
La sabbia ha un indice dei vuoti medio e1, e gravità specifica dei costituenti solidi Gs,1.
L'argilla ha gravità specifica dei costituenti solidi Gs,2, indice di compressione Cc e
indice di ricompressione Cr.
Stimare il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del
centro della fondazione, nei casi in cui:
a) l'argilla sia normalmente consolidata (OCR = 1) ed abbia un contenuto in acqua medio wa.
b) l'argilla sia debolmente sovraconsolidata
(OCR =
1.5 )
c) l'argilla sia fortemente sovraconsolidata
(OCR =
5)
Dati:
H1 =
B=
10 m
10 m
e1 =
L=
20 m
0.76
D=
4m
Gs,1 =
p=
Zw =
200 kPa
H2 =
2.5 m
3m
3
9.8 kN/m
Gs,2 =
2.7
γw =
2.65
Cc =
0.300
Cr =
0.040
wa =
43 %
Soluzione:
Il peso di volume saturo della sabbia del primo strato è:
γ1,sat = γw (Gs,1 + e1) / (1 + e1) =
18.99 kN/m3
La tensione litostatica verticale efficace alla profondità D è:
σ'v0,D = γ1,sat Zw + (γ1,sat - γw) (D - Zw) =
66.15 kPa
La tensione verticale netta trasmessa dalla fondazione alla profondità D è:
∆p = p - σ'v0,D =
133.85 kPa
Nel caso a) di argilla N.C.
l'indice dei vuoti medio dell'argilla è:
ea = (wa / 100) Gs,2 =
1.161
ed il peso di volume saturo dell'argilla è:
γ2a,sat = γw (Gs,2 + ea) / (1 + ea) =
17.51 kN/m3
La profondità del punto medio dello strato di argilla dal piano campagna è:
Za = H1 + H2 / 2 =
11.25 m
La tensione litostatica verticale efficace alla profondità Za è:
σ'v0,a = γ1,sat Zw + (γ1,sat - γw) (H1 - Zw) + (γ2a,sat - γw) H2 / 2 =
130.91 kPa
L'incremento di tensione verticale, alla profondità del punto medio dello strato di argilla in
corrispondenza del centro dell'area caricata, prodotto dalla pressione trasmessa dalla fondazione,
si ottiene, nell'ipotesi di semispazio elastico omogeneo e isotropo, con l'equazione:
∆σ'v,a = (2∆p/π) [arctan(ab/zR3) + (abz/R3) (1/R12 + 1/R22)]
in cui:
a=B/2=
b=L/2=
z = Za - D =
5m
10 m
7.25 m
R1 = (a2 + z2 )0,5 =
2
2 0,5
=
2
2
2 0,5
R2 = (b + z )
R3 = (a + b + z )
8.81 m
12.35 m
=
13.33 m
∆σ'v,a =
85.78 kPa
La riduzione dell'indice dei vuoti per compressione edometrica dello strato di argilla N.C. è:
∆ea = Cc log[(σ'v0,a + ∆σ'v,a) / σ'v0,a] =
0.066
Il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del
centro della fondazione, nei caso a) di terreno normalmente consolidato (OCR = 1) vale:
∆H2,a = H2 ∆ea / (1 + ea) =
7.60 cm
Nel caso b) di argilla debolmente sovraconsolidata con OCR =
1.5
la pressione di consolidazione è:
σ'c,b = OCR σ'v0,a =
196.37 kPa
l'indice dei vuoti in corrispondenza della pressione di consolidazione è:
ec,b = ea - Cc log(σ'c,b / σ'v0,a) =
1.108
e l'indice dei vuoti medio iniziale è:
eb = ec,b + Cr log(σ'c,b / σ'v0,a) =
1.115
N.B. In realtà si è commesso un piccolo errore di approssimazione, poiché all'indice dei vuoti e b
corrisponde un peso di volume saturo dell'argilla:
3
γ 2b,sat = γ w (G s,2 + e b ) / (1 + e b ) =
17.68 kN/m
e quindi la tensione litostatica verticale efficace, alla profondità Z a è:
σ ' v0,b = γ 1,sat Z w + ( γ 1,sat - γ w ) (H 1 - Z w ) + ( γ 2b,sat - γ w ) H 2 / 2 =
lievemente maggiore di σ ' v0,a =
130.91 kPa
131.12 kPa
La riduzione dell'indice dei vuoti per compressione edometrica dello strato di argilla debolmente
sovraconsolidato
OCR =
1.5
è
∆eb = (eb - ec,b) + Cc log[(σ'v0,b + ∆σ'v,a) / σ'c,b] =
0.020
Il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del
centro della fondazione, nei caso b) di terreno debolmente sovraconsolidato (OCR = 1,5) vale:
∆H2,b = H2 ∆eb / (1 + eb) =
2.35 cm
Nel caso c) di argilla fortemente sovraconsolidata con OCR =
5
la pressione di consolidazione è:
σ'c,c = OCR σ'v0,a =
654.56 kPa
l'indice dei vuoti in corrispondenza della pressione di consolidazione è:
ec,c = ea - Cc log(σ'c,c / σ'v0,a) =
0.951
e l'indice dei vuoti medio iniziale è:
ec = ec,c + Cr log(σ'c,c / σ'v0,a) =
0.979
N.B. In questo caso l'errore di approssimazione è un po’ maggiore. Infatti all'indice dei vuoti e c
corrisponde un peso di volume saturo dell'argilla:
3
γ 2c,sat = γ w (G s,2 + e c ) / (1 + e c ) =
18.22 kN/m
e quindi la tensione litostatica verticale efficace, alla profondità Z a è:
σ ' v0,c = γ 1,sat Z w + ( γ 1,sat - γ w ) (H 1 - Z w ) + ( γ 2c,sat - γ w ) H 2 / 2 =
poco maggiore di σ ' v0,a =
130.91 kPa
131.80 kPa
La riduzione dell'indice dei vuoti per compressione edometrica dello strato di argilla fortemente
sovraconsolidato
OCR =
5
è
∆ec = Cr log[(σ'v0,c + ∆σ'v,a) / σ'v0,c] =
0.009
Il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del
centro della fondazione, nei caso c) di terreno fortemente sovraconsolidato (OCR = 5) vale:
∆H2,c = H2 ∆ec / (1 + ec) =
1.11 cm
grafico edometrico:
linea OCR = 1,5
linea OCR = 5
e
130.91
654.56
130.91
196.37
130.91
654.56
1.161
0.951
1.115
1.108
0.979
0.951
1.2
1.1
e
linea NC:
σ'v (kPa)
punti
σ'v (kPa)
e
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
130.91
216.69
216.69
130.91
196.37
216.69
216.69
216.69
216.69
130.91
216.69
216.69
1.161
1.161
1.115
1.115
1.108
1.108
1.115
1.095
0.979
0.979
0.979
0.971
1.0
0.9
100
1000
σ'v (kPa)
Esercizio 2
Con riferimento alle condizioni stratigrafiche e geotecniche nel seguito descritte stimare il
cedimento di compressione edometrica, il cedimento per compressione secondaria al tempo t e
il cedimento totale al tempo t dello strato di argilla.
q
Dati:
q=
50 kPa
zw =
2.5 m
zw
HS =
7m
HA =
HS
Sabbia
HA
Argilla
Sabbia
γw =
t=
Sabbia
sopra falda
sotto falda
Argilla
γsat =
5m
3
9.81 kN/m
10 anni
γ=
γsat =
3
19.24 kN/m
e0 =
0.9
wL =
50 %
σ'p =
125 kPa
C s = Cc / 6
t100 =
Cα =
Soluzione:
a metà dello strato di argilla:
σ'v0 = γ zw + (γsat, sabbia - γw) (HS - zw) + (γsat, arg. - γw) HA / 2 =
3.5 anni
0.0118
105.3 kPa
OCR = σ'p / σ'v0 =
1.19
si stima l'indice di compressione con la correlazione di Terzaghi e Peck (1967):
Cc = 0,009 (wL - 10) =
0.36
3
16.5 kN/m
3
18.81 kN/m
C s = Cc / 6 =
0.06
cedimento di compressione edometrica:
∆Hed = HA /(1 + e0) (Cs log(σ'p / σ'c0) + Cc log [(σ'v0 + q) / σ'p]) =
cedimento di compressione secondaria:
∆Hs = HA Cα log(t / t100) =
2.7 cm
cedimento totale:
∆H = ∆Hed + ∆Hs =
12.8 cm
10.1 cm
Esercizio 3
Sono eseguite prove edometriche su due provini di argilla, A e B.
L'indice dei vuoti dell'argilla A si riduce da 0.572 a 0.505 per un incremento di pressione da 120 kPa
a 180 kPa. L'indice dei vuoti dell'argilla B si riduce da 0.612 a 0.597 per lo stesso incremento di
pressione. Lo spessore del provino A è 1.5 volte quello del provino B. Ciononostante il tempo necessario per ottenere il 50% della consolidazione è 3 volte maggiore per il provino B che per il provino A.
Quale è il rapporto fra i coefficienti di permeabilità dei provini A e B?
Dati:
A
B
e0 =
0.572
0.612
e1 =
0.505
0.597
σ'0 (kPa) =
120
120
σ'1 (kPa) =
180
180
HA =
1.5 HB
0.3333333 t50(B)
t50(A) =
Soluzione:
av = ∆e/∆σ' =
1.12E-03
mv = av/(1+e0) =
7.10E-04
M = 1/mv =
1408
cv(A) = (t50(B)/t50(A)) (HA/HB) cv(B) =
2
2.50E-04 m /kN
2
1.55E-04 m /kN
6448 kPa
2
6.75 cv(B)
k = cv mv γw
kA/kB = (cv(A)/cv(B)) (mv(A)/mv(B)) =
31
Esercizio 4
Durante la prova edometrica un campione di argilla satura ha subito una riduzione di altezza da
19.913 mm a
19.720 mm a causa di un incremento della pressione verticale da
150 kPa a
300 kPa. Determinare gli indici dei vuoti corrispondenti alle due pres3
γs =
H0 =
sioni, essendo:
26.68 kN/m
20 mm
3
kN/m
γd =
13.58
Dati:
3
H1 (mm) =
σ'v1 =
γs =
19.913
150 kPa
26.68 kN/m
3
H2 (mm) =
σ'v2 =
γd =
19.72
300 kPa
13.58 kN/m
H0 (mm) =
Soluzione:
e0 =
20
0.965
e1 =
0.956
e2 =
0.937
Esercizio 5
Un rilevato a sezione trapezia, di peso di volume γ(ril.) =
kN/m3, ha la seguente
20
geometria:
base maggiore 2a =
24 m
base minore 2a' =
16 m
altezza
h=
2m
ed è fondato su uno strato di argilla omogenea satura N.C. avente le seguenti caratteristiche:
H=
γ=
e0 =
14 m (a profondità maggiori il terreno è pressoché incompressibile)
3
19 kN/m
0,8 - 0.01 z(m)
Cc =
0.332
(valore medio di calcolo)
2
cv =
3.40E-07 m /s
(valore medio di calcolo)
la falda freatica è alla quota del p.c.
Calcolare:
1) il cedimento edometrico in corrispondenza della mezzeria (suddividere in 10 sottostrati)
2) i tempi necessari affinché si realizzino il 20%, il 50% e il 70% del cedimento edometrico calcolato.
Soluzione
pressione trasmessa dal rilevato in superficie: p = γ(ril.) h =
40 kPa
∆z = H / 10 =
spessore del sottostrato:
1.4 m
σ'v = (γ - γw) z
pressione litostatica verticale efficace:
incremento di pressione verticale in asse:
s-strato i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
zi (m)
0.7
2.1
3.5
4.9
6.3
7.7
9.1
10.5
11.9
13.3
e0, i
0.793
0.779
0.765
0.751
0.737
0.723
0.709
0.695
0.681
0.667
altezza di drenaggio:
tempo di consolidazione:
Um (%)
Tv
t (sec)
20
0.0314
4.53E+06
50
0.196
2.82E+07
70
0.403
5.81E+07
∆σ'v = 2p / [(a - a') π] [a arctan(a/z) - a' arctan(a'/z)]
σ'v, i (kPa) ∆σ'v, i (kPa) ∆Hi (cm)
6.4
39.99
22.25
19.3
39.84
12.70
32.2
39.32
9.13
45.0
38.37
7.10
57.9
37.04
5.75
70.8
35.44
4.76
83.7
33.71
4.00
96.5
31.93
3.40
109.4
30.18
2.93
122.3
28.50
2.54
∆H =
74.55 cm
Hdr = H/2 =
7m
2
t = Tv Hdr / cv
t (gg)
52
327
672
t (anni)
0.143
0.896
1.842
Esercizio 6
Sono eseguite prove edometriche su due provini di argilla, A e B.
L'indice dei vuoti dell'argilla A si riduce da e0 = 0.572
a
e1 =
per un incremento di pressione da
σ'0 =
a
σ'1 =
120
0.505
180
L'indice dei vuoti dell'argilla B si riduce da e0 = 0.612
a
e1 =
0.597
per lo stesso incremento di pressione.
Lo spessore del provino A è
1.5
volte quello del provino B.
Ciononostante il tempo necessario per ottenere il 50% della consolidazione è
maggiore per il provino B che per il provino A.
Quale è il rapporto fra i coefficienti di permeabilità dei provini A e B?
Soluzione:
k = cv mv γw
kA / kB = (cv mv)A / (cv mv)B
cv = Tv H2 / t
av = ∆e / ∆σ'
mv = av / (1 + e0)
ed essendo:
Tv (A) = Tv (B)
e
∆σ' (A) = ∆σ' (B)
risulta:
kPa.
3
volte
kA / kB = (cv mv)A / (cv mv)B = (HA/HB)2 (tB/tA) (∆eA/∆eB) (1+e0)B/(1+e0)A
HA/HB =
1.5
tB/tA =
3
∆eA =
0.067
∆eB =
0.015
(1+e0)A =
1.572
(1+e0)B =
1.612
kA / kB =
30.9
Esercizio 7
In un sito avente le condizioni stratigrafiche e geotecniche indicate in figura è posto un riporto di
grande estensione e di spessore costante. Calcolare e rappresentare in grafico il decorso dei cedimenti edometrici nel tempo del piano campagna originario.
dati:
profondità della falda da p.c. originario
HR
Riporto
zw =
1.2
m
kN/m3
γ
=
9.81
w
Sabbia sciolta
H1
Strato di riporto
HR =
3.2
m
z
Argilla limosa
H2
kN/m3
γR =
18
H3
Sabbia sciolta
H4
Limo argilloso
Sabbia e ghiaia
addensate
Strato 4: limo argilloso NC
H4 =
6.2
m
kN/m3
γ4 =
19.2
Strato 1: sabbia sciolta
H1 =
4.3
m
kN/m3 sopra falda
γ1 =
17.8
γ1 =
18.1
DR =
40
kN/m3 sotto falda
%
Cc/(1+e0) = 0.007
Strato 2: argilla limosa N.C.
H2 =
4.5
m
kN/m3
γ2 =
19.5
w=
36.5
%
wL =
40.4
%
wP =
25.2
%
Cc =
0.33
e0 =
0.96
2
3.52E-07 m /s
w=
wL =
25
%
cv =
31.2
%
%
Strato 3: sabbia sciolta
H3 =
3.8
m
kN/m3
γ3 =
18.5
wP =
17.5
Cc =
0.216
e0 =
0.74
2
2.50E-06 m /s
cv =
DR =
Cc/(1+e0) =
60
%
0.005
Soluzione
∆H = H0 Cc/(1+e0) log[(σ'v0 + ∆σ'v)/σ'v0]
Calcolo dei cedimenti di consolidazione
La pressione verticale efficace iniziale σ'v0 è calcolata a metà di ciascuno strato:
Strato
σ'v0,1 = γ1 zw + γ'1 (H1/2 - zw) =
1
29.24 kPa
σ'v0,2 = σ'v0,1 + γ'1 H1/2 + γ'2 H2/2 =
2
68.86 kPa
3
σ'v0,3 = σ'v0,2 + γ'2 H2/2 + γ'3 H3/2 =
107.18
kPa
σ'v0,4 = σ'v0,3 + γ'3 H3/2 + γ'4 H4/2 =
4
152.80 kPa
L'incremento di pressione verticale efficace è eguale per tutti gli strati e vale:
∆σ'v = γR HR =
57.6
kPa
I cedimenti per consolidazione edometrica valgono dunque:
∆H (cm)
H0 (cm)
Cc/(1+e0)
∆σ'v
σ'v0
Strato
1
2
3
4
430
450
380
620
0.007
0.168
0.005
0.124
57.6
57.6
57.6
57.6
29.24
1.42
68.86
20.00
107.18
0.35
152.80
10.69
Totale =
32.47 cm
La consolidazione edometrica degli strati 1 e 3, incoerenti e molto permeabili, è immediata.
Il decorso dei cedimenti nel tempo per gli strati 2 e 4 è calcolato nel modo seguente:
per un assegnato valore del tempo t si calcola il fattore tempo Tv = t cv / H2 essendo H l'altezza di
drenaggio, pari a metà dello spessore dello strato, quindi il grado di consolidazione medio Um = f(Tv)
infine il cedimento occorso al tempo t, ∆H(t) = Um ∆H.
Utilizzando come unità di misura del tempo il giorno: 1 giorno = 24 x 3600 = 86400 sec
2
2
-1
cv/H2 = 6.01E-03 g
strato 2: cv =
3.52E-07 m /s =
3.04E-02 m /giorno
2
2
-1
cv/H2 = 2.25E-02 g
strato 4: cv =
2.50E-06 m /s =
2.16E-01 m /giorno
Per il calcolo del grado di consolidazione medio si utilizza l'equazione approssimata
Um = (4Tv/π)0.5 / [1+(4Tv/π)2.8]0.179
di Sivaram e Swamee (1977):
Strato 2
Strato 4
Strato 1
Strato 3
∆H1 (cm) ∆H3 (cm)
Tv
Um (%)
∆H2 (cm)
Tv
Um (%)
∆H2 (cm)
t (giorni)
0.1
1.42
0.35
0.0006
2.8
0.55
0.0022
5.3
0.57
0.2
1.42
0.35
0.0012
3.9
0.78
0.0045
7.6
0.81
0.5
1.42
0.35
0.0030
6.2
1.24
0.0112
12.0
1.28
1
1.42
0.35
0.0060
8.7
1.75
0.0225
16.9
1.81
2
1.42
0.35
0.0120
12.4
2.47
0.0450
23.9
2.56
5
1.42
0.35
0.0300
19.6
3.91
0.1124
37.8
4.04
10
1.42
0.35
0.0601
27.7
5.53
0.2248
53.2
5.69
20
1.42
0.35
0.1201
39.1
7.82
0.4495
73.1
7.82
50
1.42
0.35
0.3004
61.1
12.22
1.1238
94.5
10.11
100
1.42
0.35
0.6007
81.6
16.32
2.2477
99.0
10.58
200
1.42
0.35
1.2015
95.3
19.06
4.4953
99.7
10.66
0.1
1
10
0
-10
∆H (cm)
e quindi complessivamente:
∆H (cm)
t (giorni)
0.1
-2.90
0.2
-3.37
0.5
-4.29
1
-5.34
2
-6.81
5
-9.73
10
-13.00
20
-17.41
50
-24.11
100
-28.68
200
-31.50
-20
-30
-40
t (giorni)
100
1000
0
50
100
150
200
0
∆H (cm)
-10
-20
-30
-40
t (giorni)
Esercizio 8
La platea di un fabbricato industriale di grande estensione trasmette una pressione uniforme sul
terreno di fondazione, costituito da uno strato di argilla satura di spessore H, sovrastante uno strato
rigido di sabbia e ghiaia di grande spessore.
Lo strato di argilla, prima della costruzione del fabbricato, aveva mediamente peso di volume γ1 e
contenuto naturale in acqua w1.
Al termine del processo di consolidazione i valori medi del peso di
volume e del contenuto naturale in acqua dello strato di argilla risultarono rispettivamente γ2 e w2.
Stimare il cedimento finale della fondazione nell'ipotesi che le deformazioni trasversali siano
trascurabili. Tracciare la curva dei cedimenti nel tempo nell'ipotesi di drenaggio da entrambi i lati.
Dati:
3
3
γ1 =
γ2 =
19.5 kN/m
19.9 kN/m
w1 =
w2 =
29.2 %
H=
2.5 m
2
cv =
5.0E-07 m /sec
Soluzione:
Ps =
1 kN
posto:
Pw1 = w1 Ps / 100 =
0.292 kN
P1 = Ps + Pw1 =
1.292 kN
3
V1 = P1 / γ1 =
0.0663 m
γw =
Vw1 = Pw1 / γw =
Vw2 = Pw2 / γw =
∆V = V1 - V2 =
3
0.0298 m
3
0.0026 m
εv = (∆V/V1) 100 =
3.982 %
εa = εv =
3.982 %
∆H = (εa/100) H1 =
∆H (t) / ∆H = U
U (%)
20
40
60
80
90
95
Tv
0.0314
0.126
0.286
0.567
0.848
1.129
0.100 m =
Tv = f(U)
∆H (t) [cm]
t (gg)
1.99
1.14
3.98
4.56
5.97
10.34
7.96
20.51
8.96
30.67
9.46
40.83
26.6 %
3
9.81 kN/m
e1 =
0.815699
Pw2 = w2 Ps / 100 =
P2 = Ps + Pw2 =
V2 = P2 / γ2 =
0.266 kN
1.266 kN
3
0.0636 m
3
0.0271 m
ipotesi edometrica
10.0 cm
t = Tv (H/2)2 / cv
cedimento finale
t (gg)
0
10
20
30
40
50
0
∆H (cm)
2
4
6
8
10
Esercizio 9
Deve essere realizzato un rilevato autostradale di grande larghezza su un deposito di argilla molle.
Si ipotizzi che lo strato di argilla sia drenato da entrambi i lati e che il carico sia applicato
istantaneamente. Si trascuri la consolidazione secondaria.
In esercizio, l'estradosso del rilevato (pavimentazione esclusa), dovrà essere alla quota H dal p.c.
iniziale. La pavimentazione stradale può tollerare un assegnato cedimento massimo.
Stimare:
1. dopo quanto tempo dall'applicazione del carico può essere messa in opera la pavimentazione,
2. Il cedimento atteso dopo un assegnato tempo t dall'applicazione del carico.
Per la messa in opera del rilevato occorre un tempo tR. Si ipotizzi che il carico sia applicato per intero
e istantaneamente al tempo tR / 2.
Stimare:
3. dopo quanto tempo dall'inizio della costruzione del rilevato può essere messa in opera la
pavimentazione,
4. dopo quanto tempo dall'inizio della costruzione si avrà il cedimento il cedimento calcolato al punto 2.
Per mettere in opera la pavimentazione dopo un tempo tP dall'inizio della costruzione, minore del tempo
calcolato al punto 3, si applica un sovraccarico addizionale elevando temporaneamente il rilevato.
5. Stimare l'incremento temporaneo di altezza del rilevato.
Dati:
quota dell'estradosso del rilevato dal p.c. iniziale:
peso di volume del terreno del rilevato:
H=
γR =
spessore dello strato di argilla molle:
HA =
coefficiente di compressibilità medio dell'argilla:
mv =
coefficiente di consolidazione medio dell'argilla:
cedimento massimo ammissibile per la posa in opera
della pavimentazione:
tempo al quale è richiesta la stima del cedimento:
tempo di costruzione del rilevato:
tempo dall'inizio costruzione per la messa in opera la
pavimentazione:
Soluzione:
Sussistono le condizioni di carico edometrico.
cv =
2
10 m /anno
S=
t=
tR =
50 mm
5 mesi
3 mesi
tP =
15 mesi
5m
3
21.6 kN/m
8m
2
0.5 m /MN
Affinché al termine della consolidazione edometrica la quota di estradosso del rilevato dal p.c. iniziale
sia H occorre mettere in opera un rilevato di altezza HR = H + Sed, avendo indicato con Sed il
cedimento finale (edometrico).
∆σ = γR HR
L'incremento di pressione verticale vale:
Il cedimento finale (edometrico)
Sed = mv HA ∆σ = mv HA γR (H + Sed) =
vale:
= (mv HA γR H) / (1 - mv HA γR) =
HR = H + Sed =
Altezza di rilevato da mettere in opera:
0.473 m
5.473 m
∆σ = γR HR =
Incremento di pressione verticale:
118.21 kPa
Il grado di consolidazione medio al quale può essere messa in opera la pavimentazione vale:
Um = 100 (Sed - S) / Sed =
89.4 %
T
=
1,781
0,933
log
(100-U
)
=
cui corrisponde un fattore di tempo:
0.825
v
m
e quindi il tempo dall'applicazione del carico al quale può mettersi in opera la pavimentazione vale:
tp = Tv (HA / 2)2 / cv =
1)
1.321 anni =
15.85 mesi
Il fattore di tempo per:
t=
5 mesi
Tv = cv t / (HA / 2)2 =
vale:
0.260
0,5
Um = 100 (4Tv/π) =
cui corrisponde un grado di consolidazione medio:
57.6 %
2) pertanto il cedimento al tempo t vale:
S(t) = Um Sed / 100 =
0.272 m
il tempo dall'inizio della costruzione al quale può mettersi in opera la pavimentazione vale:
tp1 = tp + tR / 2 =
3)
17.3 mesi
il cedimento calcolato al punto 2 si avrà dopo un tempo dall'inizio della costruzione:
4)
t1 = t + tR / 2 =
6.5 mesi
Il tempo dall'applicazione virtuale istantanea del carico al quale si vuole mettere in opera
tPV = tP - tR / 2 =
la pavimentazione è:
13.5 mesi
2
Il fattore di tempo per t = tPV vale:
Tv = cv tPV / (HA / 2) =
0.703
Um =
cui corrisponde un grado di consolidazione medio:
85.7 %
al tempo t = tPV il cedimento deve essere quello ammissibile per la messa in opera della pavimentazione,
pertanto il cedimento edometrico finale in presenza del sovraccarico risulta Sed1 = (Sed-S) / (U /100),
da cui:
Sed1 =
che verrebbe prodotto da una pressione:
∆σ1 = Sed1 / (mv HA) =
HR1 = ∆σ1 / γR =
ovvero da un'altezza di rilevato:
dunque l'incremento temporaneo di altezza del rilevato è:
5)
∆HR = HR1 - HR =
0.493 m
123.35 kPa
5.71 m
0.238 m
Esercizio 10
Sulla superficie del deposito di terreno indicato in figura è applicato istantaneamente un carico
uniforme ed infinitamente esteso di intensità q. Nel punto A vi è una cella piezometrica.
1. Prima dell'applicazione del carico q il piezometro in A segnala il valore di pressione idrostatica
u0,A. Quanto vale u0,A?
2. Quale pressione neutra sarà segnalata dal piezometro immediatamente dopo l'applicazione
del carico?
3. Dopo un tempo t1 dall'applicazione del carico il piezometro segnala una pressione neutra uA1
Quanto vale il grado di consolidazione in A al tempo t1 dall'applicazione del carico, UA(t1)?
4. Quale pressione neutra segnalerà il piezometro quando il grado di consolidazione nel punto A
sarà UA(t2)?
5. Quale sarà, approssimativamente, il cedimento finale per consolidazione edometrica dello strato
di argilla?
6. Quanto tempo sarà necessario per avere un grado di consolidazione medio Um (%) =
80
7. Quale incremento di carico ∆q si dovrebbe applicare in superficie affinché il cedimento
calcolato al punto 5 si verifichi nel tempo t?
q
zw
H1
sabbia
zA
6.5 m
H2 =
4m
zw =
1.5 m
zA =
8.7 m
sabbia:
γ1 =
A
sabbia
cv =
190.63 kPa
64.37 kPa
60 %
90 gg.
70.63 kPa
UA (t1) = 1 - (∆uA1/∆uA0) =
0.4636 =
∆uA2 = [1 - UA (t2)] ∆uA0 =
46.36 %
48 kPa
uA2 = u0,A + ∆uA2 =
118.63 kPa
pressione litostatica verticale efficace a metà dello strato di argilla:
σ'v0 = γ1 zw + (γ1sat - γw) (H1 - zw) + (γ2 - γw) H2 / 2 =
94.73 kPa
indice dei vuoti iniziale:
e0 = w Gs =
0.9612
stima dell'indice di compressione con la correlazione di Terzaghi e Peck:
Cc = 0,009 (wL - 10) =
0.27
∆H2 = H2 /(1 + e0) Cc log[(σ'v0 + q) / σ'v0] =
19.57 cm
Um =
Hdr = H2 / 2 =
80 %
Tv =
2m
0.567
t80 = Tv Hdr2 / cv =
7.
UA (t2) =
t=
2
1.40E-07 m / s
∆uA1 = uA1 - u0,A =
6.
135 kPa
2.7
Soluzione:
u0,A = γw (zA - zw) =
1.
u
2.
A0 = u0,A + ∆uA0 = u0,A + q =
5.
120 kPa
15 %
Gs = γ s / γ w =
4.
q=
uA1 =
3
20.2 kN/m
35.6 %
40 %
IP =
3.
3
9.81 kN/m
γw =
3
17 kN/m (sopra falda)
3
19.5 kN/m (sotto falda)
γ1sat =
argilla N.C.:
γ2 =
w=
wL =
argilla N.C.
H2
Dati:
H1 =
2
Tv (t) = t cv / Hdr =
1.62E+07 s =
188 gg
0.272
Um (t) =
58.34 %
il cedimento finale sotto il carico incrementato (q* = q + ∆q) sarà dunque:
∆H2* = ∆H2 / Um(t) =
33.55 cm
q* = σ'v0 10^[(∆H2* (1 + e0) / (Cc H2)] - σ'v0 =
∆q = q* - q =
170 kPa
290 kPa
Esercizio 11
Durante una prova edometrica un provino di argilla satura, di altezza iniziale H0, ha subito una
riduzione di altezza da H1 a H2 a causa di un incremento di pressione verticale da σ'v1 a σ'v2.
Determinare l'indice dei vuoti corrispondente alle tensioni σ'v1 e σ'v2.
Dati:
H0 =
20 mm
H1 =
19.913 mm
σ'v1 =
150 kPa
H2 =
19.720 mm
3
26.675 kN/m
σ'v2 =
300 kPa
γs =
γd =
Soluzione:
e0 = γs/γd - 1 =
3
13.58 kN/m
0.964
∆H/H0 = -∆e/(1+e0)
e1 =
0.956
e2 =
0.937
da cui:
Esercizio 12
Nei grafici sono rappresentate le curve di consolidazione edometrica in funzione del logaritmo del
tempo e della radice quadrata del tempo di uno stesso provino di argilla di spessore
H=
2.5 cm per un assegnato gradino di carico
Determinare:
a) il coefficiente di consolidazione cv con i metodi di Casagrande e di Taylor
b) il tempo necessario per il 60% della consolidazione se lo spessore fosse Hs (m) =
1.5
utilizzando un valore medio di cv
Dati:
H=
t900.5 =
2.5 cm
0.5
7.6 min
Soluzione:
a)
cv90 = 0.848 (H/2)2/t90=
2
cv50 = 0.197 (H/2) /t50=
b)
2
cv(med.) = 3.19E-04 cm /sec
U=
60 %
Tv (60%)=
0.286
Hs =
1.5 m =
5.04E+06 sec =
t60 =
Esercizio 13
t (min)
lett. (mm)
0
5.00
0.25
4.67
0.5
4.62
1
4.53
2.25
4.41
4
4.28
9
4.01
16
3.75
25
3.49
36
3.28
49
3.15
64
3.06
81
3.00
100
2.96
200
2.84
400
2.76
1440
2.61
t90 =
57.76 min. =
3465.6 sec.
t50 =
20 min. =
1200 sec.
2
3.82E-04 cm /sec
2
2.57E-04 cm /sec
Taylor
Casagrande
150 cm
58 giorni
Durante una prova di compressione edometrica su un provino di
argilla satura (Gs = γs/γw =
2.73 ), per l'incremento di
pressione verticale applicata da
214
a
429
kPa, sono state eseguite le letture (L) al comparatore centesimale
indicate in tabella.
Dopo il tempo t =
1440 min
H1 =
lo spessore del provino era
13.60 mm
e il contenuto in acqua
w=
35.9 %.
Determinare con le costruzioni grafiche di Casagrande e di Taylor
il coefficiente di consolidazione verticale, ed il coefficiente di
permeabilità.
Soluzione:
La variazione totale di altezza per l'incremento di carico è:
Lo spessore iniziale del provino è:
Lo spessore medio del provino è:
La lunghezza del percorso di drenaggio è:
∆H = L0 - L1 =
2.39 mm
H0 = H1 + ∆H =
15.99 mm
Hm = H1 + ∆H / 2 =
14.795 mm
d = Hm / 2 =
7.3975 mm
H (mm)
15.99
15.66
15.61
15.52
15.40
15.27
15.00
14.74
14.48
14.27
14.14
14.05
13.99
13.95
13.83
13.75
13.60
assumo:
t0,5
0.000
0.500
0.707
1.000
1.500
2.000
3.000
4.000
5.000
6.000
7.000
8.000
9.000
10.000
14.142
20.000
37.947
t1 =
16
15.5
15
H (mm)
t (min)
0
0.25
0.5
1
2.25
4
9
16
25
36
49
64
81
100
200
400
1440
14.5
14
13.5
13
0.1
1
10
100
1000
10000
t (min)
1 min
t1/4 =
0.25 min
la variazione di altezza tra t1 e t1/4 è a =
0.14 mm
il grado di consolidazione U = 0% corrisponde
all'altezza H (U=0%) = H(t1) + 2a =
15.8 mm
Osservando il grafico:
La retta tangente alla parte finale della curva è la
retta congiungente gli ultimi due punti.
Essa ha equazione:
y1 =
-0.269637 log(t) +
14.45161
La retta tangente al punto di inflessione corrisponde
alla retta congingente i punti a
25 min e a
36 min. Essa ha equazione:
y2 =
-1.326072 log(t) +
16.33377
Il punto di intersezione fra le rette y1 e y2 ha
coordinate:
y (mm) =
13.97
log(t) =
1.781612
t (min) =
60.48
il grado di consolidazione U=100% corrisponde all'altezza H (U=100%) = y =
13.97 mm
il grado di consolidazione U=50% corrisponde all'altezza H (U=50%) =
14.89 mm
il tempo t50 vale:
11.59 min
2
cv = 0.197 d2/t50 =
Il coefficiente di consolidazione risulta:
0.930 mm /min
2
cv = 0.197 d2/t50 =
1.55E-08 m /s
a=
-1.04051
b=
15.9929
logt50 =
1.064177
Linee di costruzione per il grafico di Casagrande
x
y
x
0.1
15.8
0.25
3
15.8
3
x
y
x
10
14.18198
5
3000
13.51405
90
y
15.66
15.66
y
0
0
x
1
3
x
0.1
60.48
60.48
y
15.52
15.52
y
13.97
13.97
13
x
y
0.1
14.89
11.59
14.89
11.59
13
Linee di costruzione per il grafico di Taylor:
0.5
y1 =
-0.2625 t +
15.791
a=
-0.090
0.5
y2 =
-0.228261 t +
15.791
b=
14.77
x
y1
x
y2
x
y
0
0
0
0
7.000
14.140
10
0
11.5
0
8.000
14.050
x=
7.385
x
y
x
y
y=
14.105
0
14.105
0
13.918
7.385
14.105
11.000
13.918
7.385
13
x
y
0.500
15.66
i coefficienti della regressione nella caselle K138 e M138
0.707
15.61
2
cv = 0.848 d2/t90 =
1.000
15.52
1.42E-08 m /s
1.500
15.40
2.000
15.27
3.000
15.00
4.000
14.74
5.000
14.48
dalla costruzione di Casagrande si ottiene:
Hiniz =
per U =
0%
H100 =
per U =
100 %
per U =
50 %
15.80 mm
13.97 mm
H50 =
t50 =
Il coefficiente di consolidazione risulta:
14.89 mm
11.59 min
cv = 0.197 d2/t50 =
k = cv mv γw
Il coefficiente di permeabilità si stima con l'equazione:
2
mv = (∆H/H0)/∆σ'v =
695 mm /kN
k=
1.06E-10 m/s
15.5
15
H (mm)
min
%
mm
2
0.851 mm /min
3
9.807 kN/m
γw =
16
dalla costruzione di Taylor si ottiene:
per U =
0%
Hiniz =
15.79 mm
per U =
90 %
H90 =
14.11 mm
t900.5=
7.385
t90 =
54.532
per U =
100
H100 =
13.92
da cui:
cv = 0.848 d2/t90 =
k=
9.67E-11
2
0.930 mm /min
14.5
14
m/s
13.5
13
0
5
10
0.5
t
15
t
Esercizio 14
Con una prova di compressione edometrica su un provino di argilla satura sono ottenuti i seguenti
risultati:
σ'v (kPa)
27
54
107
214
429
214
107
54
e (-)
1.243
1.217
1.144
1.068
0.994
1.001
1.012
1.024
Uno strato di quest'argilla, di spessore H, giace sotto uno strato di sabbia di spessore HS.
La falda freatica è al piano campagna. Il peso di volume di entrambi i terreni vale γ. Al piano campagna,
ovvero sulla sabbia, e per una grande estensione, è posto uno strato di terreno di riporto di spessore
HR e peso di volume γR.
1) Determinare il cedimento finale per consolidazione dell'argilla
(dividere in 4 sottostrati di eguale spessore).
2) Se il terreno di riporto fosse rimosso dopo la fine della consolidazione, quale sollevamento potrebbe
verificarsi per rigonfiamento dell'argilla?
3) Se il terreno di riporto fosse messo in opera molto rapidamente, quale sarebbe la sovrapressione
neutra al centro dello strato di argilla dopo un periodo di tempo t dall'applicazione del carico,
nell'ipotesi di drenaggio sia superiore che inferiore, essendo cv il coefficiente di consolidazione
verticale dell'argilla.
Dati:
HR =
H=
8
m
4
m
kN/m3
HS =
γR =
4
m
21
γ=
cv =
19
2.4
kN/m3
m2/anno
t=
γw =
1.2
9.807
anni
kN/m3
Soluzione
1.25
Cc =
0.245
1.20
Cs =
0.023
1.15
γR HR =
84
kPa
e
1.10
1.05
rette di compressione e di scarico
x
y
1
50
1.223
2
429
0.994
3
70
1.012
1.00
0.95
10
100
σ'v (kPa)
1000
Calcolo del cedimento edometrico:
zi (m)
Hi (m)
σ'0,i (kPa) σ'fin,i (kPa)
i
1
2
3
4
5
7
9
11
2
2
2
2
46.0
64.4
82.7
101.1
130.0
148.4
166.7
185.1
e0
efin
∆Hi (cm)
1.232
1.196
1.169
1.148
1.121
1.107
1.095
1.083
s = Σ∆Hi =
9.91
8.09
6.87
5.99
30.87
1
cm
Calcolo del sollevamento per scarico:
Hi (m)
σ'0i (kPa)
zi (m)
i
1
2
3
4
5
7
9
11
2
2
2
2
3
d = H/2 =
up = γw (Hs + d) =
4
78.5
Tv = cv t / d2 =
0.18
U(Tv) = 2 (Tv/π)
0.5
=
u0 = γR HR =
ue(t) = (1 - U) u0 =
130.0
148.4
166.7
185.1
σ'fin,i (kPa)
e0
efin
∆Hi (cm)
46.0
64.4
82.7
101.1
1.121
1.107
1.095
1.083
1.132
1.115
1.102
1.090
s = Σ∆Hi =
-0.99
-0.80
-0.67
-0.58
-3.04
2
cm
m
kPa
0.479
84
kPa
43.8
kPa
Esercizio 15
Con i risultati di una prova di compressione edometrica su un provino di argilla sottoriportati:
1. Disegnare la curva e - σ'v nel piano semi logaritmico e determinare l'indice di compressione, Cc,
2. stimare l'indice dei vuoti per la pressione di:
1000 kPa.
σ'v (kPa)
H (mm)
Dati:
diametro del provino:
altezza del provino a inizio prova:
D=
H0 =
63 mm
25.4 mm
0
50
25.40
25.19
peso del provino secco:
Wd =
100
25.00
peso specifico dei costituenti solidi:
γs =
1.1674 N
3
27.2 kN/m
200
400
800
24.29
23.22
22.06
Soluzione:
Immaginando di separare la parte solida dai vuoti, all'inizio della prova, (e tenuto conto delle
unità di misura), si calcola:
altezza della parte solida, Hs = 4 Wd /(π D2 γs) =
13.77 mm
costante
altezza della parte occupata da vuoti: Hv0 = H0 - Hs =
11.63 mm
indice dei vuoti iniziale, e0 = Vv0/Vs = Hv0/Hs =
Hv (mm)
e = Hv/Hs
σ'v (kPa)
H (mm)
0.845
con riferimento al tratto finale della curva e - σ'v (log)
0
25.40
11.63
0.845
50
25.19
11.42
0.830
σ'1 =
400
e1 =
0.686
100
25.00
11.23
0.816
σ'2 =
800
e2 =
0.602
200
24.29
10.52
0.764
σ'3 =
400
23.22
9.45
0.686
800
22.06
8.29
0.602
1000
Cc = (e1 - e2)/log(σ'2/σ'1) =
e3 = e2 - Cc log(σ'3/σ'2) =
0.280
0.575
0.9
e
0.8
0.7
0.6
10
100
1000
σ'v (kPa)
Esercizio 16
Un deposito di terreno a stratificazione orizzontale è costituito, dall'alto verso il basso, da:
H1 =
- uno strato di sabbia di spessore
8m
H2 =
- uno strato di argilla N.C. di spessore
6m
- un substrato roccioso impermeabile.
zw =
Il livello della falda freatica è alla profondità:
2 m da p.c.
3
γ1 =
Il peso di volume della sabbia sopra falda è:
17 kN/m
3
γ1sat =
e sotto falda:
19 kN/m
Il peso di volume dell'argilla è:
3
20 kN/m
3
9.807 kN/m
γ2sat =
γw =
Il peso specifico dell'acqua è:
La relazione fra indice dei vuoti e pressione verticale efficace per l'argilla è la seguente:
con σ'v espresso in kPa
e=
0.88
-0.32 log (σ'v / 100)
2
cv =
Il coefficiente di consolidazione verticale dell'argilla è:
1.26 m /anno
Uno strato di terreno di riporto di spessore:
HR =
3m
3
20 kN/m
γR =
e avente peso di volume:
è posto in opera su un'area molto estesa.
a) Calcolare il cedimento di consolidazione edometrica finale e dopo un tempo
t=
2.5 anni
dall'applicazionedel carico.
b) Calcolare il cedimento di consolidazione edometrica finale e dopo 2,5 anni dall'applicazione
del carico, nell'ipotesi che lo strato di argilla sia interrotto da un sottile strato drenante di sabbia
alla distanza a =
1.5 m dal substrato roccioso di base.
Soluzione
Poiché il terreno di riporto copre un'area molto estesa il problema è monodimensionale.
a)
Considerando un unico strato per l'argilla il cedimento edometrico finale risulta:
∆H = H0/(1 + e0) Cc log (σ'vfin / σ'v0)
in cui:
H 0 = H2 =
600 cm
Cc =
0.32
σ'v0 e σ'vfin sono le tensioni efficaci verticali iniziale e finale a metà dello strato di argilla.
σ'v0 = γ1 zw + (γ1sat - γw) (H1 - zw) + (γ2sat - γw) H2 / 2 =
∆σ'v = γR HR =
60 kPa
σ'vfin = σ'v0 + ∆σ'v =
e0 =
sfin = ∆H =
119.74 kPa
0.88
18.26 cm
179.74 kPa
-0.32 log (σ'v0 / 100) =
0.855
Se invece, per maggiore precisione, si suddivide lo strato di argilla in 4 sottostrati si calcola:
∆H (cm)
zm (m)
σ'v0 (kPa) σ'vfin (kPa)
e0
sottostrato H0 (cm)
1
150
8.75
96.80
156.80
0.885
5.34
2
150
10.25
112.09
172.09
0.864
4.79
3
150
11.75
127.38
187.38
0.846
4.36
4
150
13.25
142.67
202.67
0.831
4.00
Σ∆H =
sfin =
18.48 cm
Lo strato di argilla è drenato da un solo lato, dunque il massimo percorso di filtrazione è d = H2.
Il fattore di tempo dopo
2.5 anni dall'applicazione del carico vale:
Tv = cv t / d2 =
0.0875
cui corrisponde un grado di consolidazione medio pari a circa:
Um =
0.334
(stimato con la formula di Sivaram & Swamee)
Pertanto il cedimento dopo
2.5 anni dall'applicazione del carico vale:
s (t) = Um sfin =
6.17 cm
b)
Il cedimento finale, trascurando lo spessore del sottile strato drenante, sarà lo stesso, ovvero:
sfin =
18.48 cm
Lo strato di argilla è suddiviso in due sottostrati:
H2 - a =
Il sottostrato superiore, 2a, di spessore
4.5 m drenato da entrambi i lati
e quindi con massimo percorso di filtrazione pari a dsup = (H2 - a)/2 =
2.25 m e
il sottostrato inferiore, 2b, di spessore
a=
1.5 m drenato da un solo lato
e quindi con massimo percorso di filtrazione pari a dinf = a =
1.5 m
Il fattore di tempo dopo
2.5 anni dall'applicazione del carico vale:
per il sottostrato 2a: Tv = cv t / dsup2 =
0.622
Umsup =
cui corrisponde:
0.826 (dalla formula di Sivaram & Swamee)
per il sottostrato 2b: Tv = cv t / dinf2 =
1.400
Uminf =
cui corrisponde:
0.967 (dalla formula di Sivaram & Swamee)
Il sottostrato superiore avrà un cedimento finale sfin,2a =
14.49 cm
Il sottostrato inferiore avrà un cedimento finale sfin,2b =
4.00 cm
Dunque dopo
2.5 anni dall'applicazione del carico essi saranno rispettivamente:
s2a (t) = Um,sup sfin,2a =
11.96 cm
s2b (t) = Um,inf sfin,2b =
3.87 cm
complessivamente
corrispondente al
s (t) =
15.83 cm
85.6 % del cedimento finale.
Esercizio 17
E' costruito un rilevato di grande lunghezza avente le dimensioni indicate in figura. Il terreno di fondazione è costituito da uno strato di argilla limosa con tracce di torba normalconsolidata di spessore
H, sovrastante un deposito di sabbia e ghiaia. La falda freatica è al livello del piano campagna.
Su un campione indisturbato del terreno di fondazione sono state eseguite prove di laboratorio i cui
risultati sono riportati nel seguito.
a) disegnare il grafico e - σ'v in scala semilogaritmica e determinare l'indice di compressione CC,
b) disegnare la curva di consolidazione edometrica e determinare il coefficiente di consolidazione
verticale cv con il metodo di Casagrande,
c) determinare e disegnare i profili della pressione litostatica e dell'incremento di pressione verticale
in asse al rilevato,
d) calcolare il cedimento edometrico atteso in asse al rilevato e il tempo necessario affinché si realizzi
la metà del cedimento edometrico atteso.
Dati:
γril (kN/m3) 21
2a (m) = 18
h (m) =
4
C1
Campione indisturbato
2a' (m) = 6
H (m) =
6
prof. di estrazione (m)
3
b (m) =
γsat (kN/m3)
6
b
2a'
26.6
46.8
69
wP (%) =
30
qu (kPa) =
61
γs (kN/m ) =
w (%) =
wL (%) =
2a
b
17.1
3
f.f.
h
argilla limosa e
torbosa N.C.
prova edometrica
dimensioni del provino:
alt. iniziale h0 (mm) =
diametro d (mm) =
e0 =
1.244
H
∆h/h0 = ∆e/(1+e0)
Cc =
sabbia e ghiaia
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
10
curva tempo cedimenti per σ'v da 100 a 200 kPa
∆h (mm)
t
t (sec)
h (mm)
1 = 15 s
15
0.59
24.41
2 = 30 s
30
0.6
24.4
3 = 1'
60
0.61
24.39
4 = 2''
120
0.63
24.37
5 = 4"
240
0.66
24.34
6 = 8"
480
0.705
24.295
7 = 16"
960
0.76
24.24
8 = 32"
1920
0.83
24.17
9 = 1h
3600
0.92
24.08
10 = 2h
7200
1.01
23.99
11 = 4h
14400
1.07
23.93
100
1000
10000
σ'v (kPa)
24.5
24.4
24.3
h (mm)
e
Soluzione:
curva pressione - cedimenti
σ'v (kPa) ∆h (mm)
e
25
0.06
1.239
50
0.19
1.227
100
0.48
1.201
50
0.46
1.203
25
0.43
1.205
50
0.45
1.204
100
0.55
1.195
200
1.15
1.141
400
2.27
1.040
800
3.67
0.915
1600
5.16
0.781
3200
6.83
0.631
1600
6.55
0.656
800
6.24
0.684
400
5.87
0.717
200
5.39
0.760
100
4.97
0.798
50
4.43
0.846
25
3.93
0.891
0.497954
24.2
24.1
24.0
23.9
23.8
1.E+01
1.E+02
1.E+03
1.E+04
1.E+05
25
70
h
12 = 8
28800
1.11
h
13 = 16
57600
1.14
14 = 24h
86400
1.15
costruzione di Casagrande
t1 (sec) = 60
h (t1) =
23.89
23.86
23.85
23.8
1.E+01
1.E+02
1.E+03
1.E+04
1.E+05
tempo (sec.)
24.39
a (mm) =
0.02
t1/4 (sec) = 15
h (t1/4) =
24.41
h (U=0%) = 24.43
punto di intersezione fra la retta A fra i punti 13 e 14 e la retta B fra i punti 8 e 9:
h = a log(t) + b
a
b
retta A
-0.056789 24.130338
h (A-B) =
23.87
retta B
-0.232535 24.933482
t (A-B) =
37146
h (U=50%) 24.15
x
t50 (sec) =
2331
10
2331
Tv (50%) = 0.197
cv (cm2/s) = 1.23E-04
100000
y
24.43
24.15
23.87
Tensioni verticali efficaci e calcolo del cedimento edometrico
p' (kPa) =
84
a (m) =
9
a' (m) =
3
−σ'v (kPa) ∆σ'v (kPa)
e0i
∆Hi (cm)
-z (m)
strato iesimo
0.0
0.0
84.0
i=1
-0.5
-3.6
84.0
2.097
22.2
2
-1.5
-10.9
83.1
1.859
16.3
3
-2.5
-18.2
80.8
1.749
13.3
4
-3.5
-25.5
77.3
1.676
11.3
5
-4.5
-32.8
73.1
1.621
9.7
6
-5.5
-40.1
68.6
1.578
8.4
-6.0
-43.8
66.4
s = Σ∆Hi =
81.1
cm
-50
-25
0
25
50
75
100
0
tempo di consolidazione 50%
-1
t50 = Tv (H/2)2 / cv
Tv =
0.197
H (m) =
6
2
cv (cm /s) = 1.23E-04
-z (m)
-2
-3
-4
t50 (sec) = 1.44E+08
-5
-6
t50 (anni)=
4.559
s50 (cm) =
40.5
−σ'v e ∆σ'v (kPa)
Esercizio 18
Sia t50 il tempo necessario per ottenere il 50% della consolidazione edometrica di un provino di
terreno di diametro D0 e altezza H0, rappresentativo di uno strato di argilla di spessore S.
Determinare il tempo necessario per ottenere il 50% e il 90% della consolidazione edometrica dello
strato di argilla in sito nelle ipotesi:
a) di drenaggio da entrambi i lati e
b) di drenaggio da un solo lato.
Dati:
t50 =
10 min.
D0 =
80 mm
H0 =
Soluzione
Tv(50) =
20 mm
S=
12 m
0.197
Tv(90) =
0.848
t90 = t50 Tv(90) / Tv(50) =
4.30 t50
(Hdr)lab = H0/2 =
L'altezza di drenaggio in prova edometrica è:
a) nell'ipotesi di drenaggio da entrambi i lati, l'altezza di drenaggio in sito è:
(Hdr)sito = S/2 =
2
2
t50,sito = t50 (Hdr)sito / (Hdr)lab =
3.60E+06 min =
2
6m
6.849 anni
t90,sito = 4,30 t50,sito =
1.55E+07 min =
29.48 anni
b) nell'ipotesi di drenaggio da un solo lato, l'altezza di drenaggio in sito è:
(Hdr)sito = S =
2
10 mm
t50,sito = t50 (Hdr)sito / (Hdr)lab =
1.44E+07 min =
27.40 anni
t90,sito = 4,30 t50,sito =
6.20E+07 min =
117.93 anni
12 m
Esercizio 20
Si considerino le condizioni stratigrafiche e geotecniche di figura. Si assuma γw = 10 kN/m3.
L'argilla è satura e normalmente consolidata.
a) Calcolare le tensioni verticali efficaci nei punti A, B e C prima dell'inizio dei lavori.
b) Rappresentare su un grafico edometrico (σ' (log) - e) il punto (O) che indica lo stato del terreno in
B e le linee di compressione vergine e di scarico-ricarico supposte coincidenti.
c) Allo scopo di costruire un edificio di N piani si realizza uno scavo di profondità d. La falda è
abbattuta simultaneamente nei due strati di sabbia a 1 m sotto il fondo dello scavo mediante un
pozzo che attraversa i due strati.
c1. calcolare il rigonfiamento dell'argilla nell'ipotesi che vi sia il tempo necessario alla completa
deconsolidazione, (eseguire il calcolo con riferimento al punto B senza dividere in sottostrati);
c2. rappresentare nel grafico edometrico il punto (1) che indica lo stato del terreno in B dopo
l'esecuzione dello scavo;
c3. calcolare il tempo necessario per avere la completa deconsolidazione, nell'ipotesi che ciò
corrisponda a Tv = 1.
d) Ogni piano da costruire corrisponda ad un incremento ∆p di pressione verticale sul terreno.
L'edificio sia interamente costruito senza fare variare il livello di falda. Determinare il cedimento
a fine consolidazione dell'edificio nell'ipotesi che non vari il livello di falda. Rappresentare sul grafico edometrico il punto (2) che indica lo stato del terreno in B a cedimento avvenuto.
e) A cedimento avvenuto la falda è fatta risalire al suo livello naturale. Calcolare il rigonfiamento dell'argilla e rappresentare sul grafico edometrico il punto (3) che indica lo stato del terreno in B.
f) Invece di costruire interamente l'edificio senza modificare il livello di falda, essa viene fatta risalire
di 1 m dopo la costruzione del primo piano. Calcolare il cedimento finale dell'edificio a consolidazione avvenuta e rappresentare sul grafico edometrico il punto (4) che indica lo stato del terreno
in B.
g) Confrontare i due metodi di costruzione, dire quale dei due è preferibile e perché, e se gli stati
(3) e (4) corrispondono a terreno normalmente consolidato o sovraconsolidato.
piano campagna
d
a
piano di scavo
a (m) =
b (m) =
c (m) =
d (m) =
N=
∆p (kPa) =
7
4
6
5
12
10
sabbia:
γ (kN/m3) =
20
argilla:
γ (kN/m3) =
γs (kN/m3) =
18
27
Cc =
0.2
sabbia
A
b
B
argilla
C
Cs =
c
0.04
2
cv (m /s) =
1.00E-06
sabbia
Dati:
a (m) =
b (m) =
c (m) =
d (m) =
N=
∆p (kPa) =
3
γw (kN/m ) =
7
4
6
5
12
10
10
sabbia:
γ (kN/m3) =
20
argilla:
γ (kN/m3) =
γs (kN/m3) =
18
27
Cc =
0.2
Cs =
0.04
2
cv (m /s) =
1.00E-06
soluzione:
a)
σ'v (A) =
70 kPa
tabella per grafico
σ'v
σ'v (B) =
86 kPa
21.5
1.149 scarico - ricarico
σ'v (C) =
102 kPa
46
56
86
106
1.136
1.132
1.125
1.107
166
106
166
344
1.068
B2
1.076
B3
1.068
B2
1.005 compressione vergine
b)
σ'v (BO) =
e0 =
86 kPa
1.125
e
B1
B2'
B0
B4
c)
σv (B1) =
u (B1) =
σ'v (B1) =
76 kPa
30 kPa
46 kPa
1.20
∆ho (0-1) =
-2.05 cm
∆e (0-1) =
0.011
e(B1) =
1.136
t=
4.00E+06 sec.
t=
46.3 gg.
1.15
1 2
0
4
1.10
e
3
d)
σv (B2) =
u (B2) =
σ'v (B2) =
∆ho (1-2) =
∆e (1-2) =
e(B2) =
2
1.05
196 kPa
30 kPa
166 kPa
12.80 cm
-0.068
1.068
1.00
0.95
10
100
1000
σ'v (kPa)
e)
σv (B3) =
u (B3) =
σ'v (B3) =
196 kPa
90 kPa
106 kPa
∆σ'v (2-3) =
-60 kPa
∆ho (2-3) =
∆e (2-3) =
e(B3) =
-1.47 cm
0.008
1.076
f)
dopo la costruzione del primo piano prima di fare risalire la falda:
σv (B2') =
86 kPa
u (B2') =
30 kPa
σ'v (B2') =
56 kPa
∆ho (1-2') =
0.64 cm
∆e (1-2') =
-0.003
e(B2') =
1.132
a edificio costruito e consolidazione avvenuta:
σv (B4) =
196 kPa
u (B4) =
90 kPa
σ'v (B4) =
106 kPa
∆ho (2'-4) =
4.82 cm
∆e (2'-4) =
-0.026
e(B4) =
1.107
g)
con il primo metodo (percorso 1-2-3) il cedimento dell'edificio risulta di cm
e il terreno di fondazione nello stato finale è sovraconsolidato
con il secondo metodo (percorso 1-2'-4) il cedimento dell'edificio risulta di cm
11.33
5.46
e il terreno di fondazione nello stato finale è normalmente consolidato
E' preferibile il secondo metodo.
Esercizio 21
Sul terreno naturale è messo in opera uno strato di riporto di terreno costipato di grande estensione.
A consolidazione terminata, sul terreno di riporto è costruito un serbatoio circolare per acqua.
In figura è rappresentato lo schema stratigrafico e geotecnico di progetto. Determinare il cedimento di
consolidazione dovuto al peso dello strato di riporto e al peso del serbatoio pieno in corrispondenza
del centro dell'area circolare caricata.
Dati:
Strato di riporto costipato:
Serbatoio: (pareti e fondo di spessore trascurabile)
HR =
3m
H=
10 m
Cr / (1+ e0) =
0.002
D=
20 m (diametro)
3
γR =
W=
2900 kN (peso serbatoio vuoto)
19.2 kN/m
Hw =
γw =
Sabbia limosa N.C.:
H1 =
3.5 m
Cc / (1+ e0) =
0.008
sopra falda:
H1A =
1.5 m
3
γ1A =
18.5 kN/m
sotto falda:
H1B =
γ1B =
2m
3
19.5 kN/m
Argilla N.C.
H2 =
Cc / (1+ e0) =
γ2 =
9.5 m
3
9.81 kN/m
10 m
0.19
3
16.5 kN/m
D
Hw
H
HR
Riporto costipato
H1A
Sabbia limosa N.C.
Argilla N.C.
Sabbia densa e ghiaia
H1B
H1
H2
Soluzione:
1) Cedimento dovuto al peso dello strato di riporto.
Carico infinitamente esteso e uniformemente distribuito di intensità:
qR = γR HR =
57.6 kPa
si divide:
lo strato di sabbia limosa sopra falda in due sottostrati di eguale spessore H1A / 2,
lo strato di sabbia limosa sotto falda in due sottostrati di eguale spessore H1B / 2,
lo strato di argilla in cinque sottostrati di eguale spessore H2 / 5.
strato
1A
1A
1B
1B
2
2
2
2
2
Hi (m)
0.75
0.75
1
1
2
2
2
2
2
zmi (m)
0.375
1.125
2
3
4.5
6.5
8.5
10.5
12.5
σv0 (kPa)
u0 (kPa) σ'v0 (kPa) ∆σv = qR Cc/(1+ e0)
6.94
0.00
6.94
57.6
0.008
20.81
0.00
20.81
57.6
0.008
37.50
4.91
32.60
57.6
0.008
57.00
14.72
42.29
57.6
0.008
83.25
29.43
53.82
57.6
0.19
116.25
49.05
67.20
57.6
0.19
149.25
68.67
80.58
57.6
0.19
182.25
88.29
93.96
57.6
0.19
215.25
107.91
107.34
57.6
0.19
cedimento dovuto al peso dello strato di riporto s (cm) =
∆Hi (cm)
0.58
0.35
0.35
0.30
12.01
10.22
8.90
7.89
7.09
47.68
2) Cedimento dovuto al peso del serbatoio pieno
Raggio:
R=
10 m
2
Area di impronta:
A=
314.16 m
Peso del serbatoio:
W=
2900 kN
Ww =
Peso dell'acqua:
29278 kN
Pressione media:
q=
102.42599 kPa
Per il calcolo dei cedimenti di consolidazione divido lo strato di riporto in due sottostrati di eguale
spessore, e gli strati 1 e 2 come per il calcolo del cedimento dovuto al peso del riporto.
strato
Riporto
Riporto
1A
1A
1B
1B
2
2
2
2
2
Hi (m)
1.5
1.5
0.75
0.75
1
1
2
2
2
2
2
zmi (m)
0.75
2.25
3.375
4.125
5
6
7.5
9.5
11.5
13.5
15.5
σv0 (kPa)
u0 (kPa) σ'v0 (kPa) ∆σv (kPa) Cc/(1+ e0)
14.40
0.00
14.40
102.38
0.002
43.20
0.00
43.20
101.34
0.002
64.54
0.00
64.54
99.08
0.008
78.41
0.00
78.41
96.75
0.008
93.10
4.91
88.20
93.26
0.008
112.60
14.72
97.89
88.48
0.008
140.85
29.43
111.42
80.30
0.19
173.85
49.05
124.80
68.96
0.19
206.85
68.67
138.18
58.41
0.19
239.85
88.29
151.56
49.28
0.19
272.85
107.91
164.94
41.65
0.19
cedimento dovuto al peso del serbatoio pieno s (cm) =
∆Hi (cm)
0.27
0.16
0.24
0.21
0.25
0.22
8.96
7.26
5.82
4.65
3.72
31.75
Esercizio 22
Un plinto a base quadrata di lato B trasmette al terreno di fondazione un carico verticale centrato
di risultante P. Si faccia l'ipotesi di diffusione della tensione verticale media con pendenza 2:1.
Il plinto è posto su uno strato di argilla limosa satura normalmente consolidata di spessore H,
sovrastante uno strato di sabbia e ghiaia molto rigido e di grande spessore.
Il livello della falda è alla quota del piano di fondazione. Al di sopra del piano di fondazione è messo in
opera un riporto di spessore HR e peso di volume γR. Stimare:
1) il cedimento edometrico,
2) il tempo occorrente per la metà della consolidazione.
Dati:
plinto:
strato di argilla limosa:
B (m) =
1.5
H (m) =
2.4
3
γ (kN/m ) =
P (kN) =
250
18.3
w (%) =
35
wL (%) =
riporto:
40
HR (m) =
IP (%) =
1.2
15
γR (kN/m3)
Cc =
21.2
0.32
Cs =
0.02
cv (cm2/s) = 3.50E-03
Soluzione:
e = w γ / [γw - w (γ - γw)] =
- indice dei vuoti dell'argilla limosa in sito:
- pressione litostatica verticale a metà dello strato di argilla limosa:
p = γ H/2 =
21.96 kPa
totale
p' = γ' H/2 =
10.19 kPa
efficace
- incremento di pressione uniforme dovuto al riporto:
∆pR = γR HR =
25.44 kPa
- incremento addizionale di pressione sotto il plinto a quota fondazione:
∆pP = P/B2 - ∆pR =
85.67 kPa
- incremento di pressione verticale a metà dello strato di argilla limosa:
∆p = ∆pR + ∆pP B2/(B+H/2)2 =
51.88 kPa
- cedimento edometrico atteso:
s = [H / (1+ e)] Cc log[(p' + ∆p) / p'] =
31.1 cm
- tempo occorrente per metà consolidazione (Um = 50%, Tv = 0.197)
t = (Tv / cv) (H / 2)2 =
810514 s =
0.937
9.4 giorni
Esercizio 23
Nella tabella sottostante sono riportate le misure eseguite al termine della consolidazione durante
una prova di compressione edometrica su un provino di argilla.
punto n.
1
2
3
4
5
6
7
σ'v (kPa)
50
100
150
200
250
200
150
h (mm)
20.23
19.89
19.70
19.35
19.07
19.18
19.32
h0 (mm) =
L'altezza iniziale del provino era:
20
Gs = ρ s / ρ w =
La massa specifica relativa dei grani è:
2.75
I dati per il calcolo del contenuto in acqua al termine della prova sono:
mc =
massa del contenitore vuoto:
4.97 g
massa del contenitore + provino umi mc + m =
23.85 g
massa del contenitore + provino sec mc + ms =
20.52 g
Calcolare in contenuto in acqua e l'indice dei vuoti a fine prova, assumendo che il provino sia
saturo. Si faccia riferimento alla teoria dello stato critico e al modello Cam clay.
Disegnare il grafico volume specifico v - logaritmo naturale della pressione verticale efficace σ'v
Calcolare la pressione di consolidazione e le pendenze delle linee di compressione edometrica
vergine e di scarico-ricarico.
Soluzione:
massa del provino umido a fine prova:
massa del provino secco a fine prova:
massa dell'acqua nel provino a fine prova:
m=
ms =
18.88 g
15.55 g
mw = m - ms =
3.33 g
w = 100 mw / ms =
contenuto in acqua a fine prova:
21.415 %
efin = Vw / Vs = (w/100) Gs =
0.589
volume specifico a fine prova:
vfin = 1 + efin =
1.589
indice dei vuoti a inizio prova:
e0 = (efin + 1) h0/hfin - 1 =
0.645
v0 = 1 + e0 =
1.645
v0/h0 =
0.0822
5
1.568
5.521
6
1.577
5.298
indice dei vuoti a fine prova:
volume specifico a inizio prova:
In generale: v = (v0/h0) h
1
1.664
3.912
2
1.636
4.605
3
1.620
5.011
4
1.591
5.298
1.68
1.68
1.66
1.66
1.64
1.64
1.62
1.62
v
v
punto n.
v
ln(σ'v)
1.6
1.6
1.58
1.58
7
1.589
5.011
1.56
1.56
3.5
4
4.5
5
5.5
6
10
100
1000
σ'v (kPa)
ln (σ'v)
linea di ricarico (tra i punti 1 e 2)
x
y
1
3.912
1.664
pendenza κ =
-0.0403
1.822
2
4.605
1.636
intercetta vκ =
linea di carico vergine (tra i punti 4 e 5)
x
y
-0.1032
4
5.298
1.591
pendenza λ =
5
5.521
1.568
intercetta N =
2.138
linea di scarico (tra i punti 6 e 7)
x
y
1
5.298
1.577
pendenza κ =
-0.0400
1.789
2
5.011
1.589
intercetta vκ =
ascissa del punto di intersezione tra le linee di ricarico e di carico vergine:
ln (σ'vc) =
5.037
pressione di consolidazione σ'vc =
154 kPa
Esercizio 24
Due serbatoi cilindrici eguali trasmettono al terreno una pressione verticale uniforme.
Le condizioni geometrichee geotecniche sono indicate in figura.
1) Stimare i cedimenti di consolidazione edometrica dei punti A, B, C e D, situati in superficie,
sulla retta congiungente i centri dei due serbatoi, nelle posizioni indicate in figura.
2) Stimare i cedimenti dopo il tempo t dall'applicazione del carico nell'ipotesi che vi siano sottili e
continui strati drenanti di sabbia alle profondità: 0.3R, 0.5R, 0.7R, R, 1.5R, 2R, 2.5R, 3R, 5R, 7R
e 10R.
In tabella sono riportati i coefficienti Iz per il calcolo della tensione verticale σz indotta da una superficie
circolare di raggio R, flessibile e uniformemente caricata con pressione p, su semispazio elastico
(σz = p Iz). r è la distanza in orizzontale del punto considerato dal centro della superficie circolare
caricata, z è la profondità.
r/R=
0
0.5
1
1.5
2
3
5
z/R
0
1.000
1.000
0.500
0.000
0.000
0.000
0.000
0.3
0.977
0.943
0.452
0.022
0.002
0.000
0.000
0.5
0.911
0.832
0.418
0.060
0.010
0.000
0.000
0.7
0.812
0.713
0.387
0.095
0.023
0.002
0.000
1
0.647
0.556
0.333
0.126
0.042
0.006
0.001
1.5
0.424
0.372
0.256
0.137
0.065
0.014
0.001
2
0.285
0.256
0.196
0.127
0.073
0.022
0.008
2.5
0.200
0.184
0.151
0.109
0.072
0.028
0.004
3
0.146
0.136
0.118
0.092
0.067
0.031
0.007
5
0.057
0.055
0.052
0.046
0.041
0.027
0.011
7
0.030
0.029
0.028
0.027
0.025
0.020
0.010
10
0.015
0.015
0.014
0.014
0.014
0.012
0.009
L = 4R
2R
A
B
C
H
Argilla N.C.
Dati:
2R =
12 m
H=
60 m
livello di falda
p=
67 kPa
proprietà
geotecniche
dell'argilla
N.C.:
D
wL =
47 %
wP =
18.8 %
Sabbia
IP =
w=
cu/σ'v0 =
28.2 %
42.3 %
0.24
γ=
γw =
3
17.8 kN/m
3
9.81 kN/m
e0 =
1.121
Cc =
0.340
Cs =
0.0238
cv =
t=
2
3.20E-03 cm /s
1 mesi
Soluzione:
Pressione verticale litostatica efficace σ'vo = (γ - γw) z =γ' z
Considero n. 11 strati con profondità del punto medio zm e spessore H0. Calcolo la pressione indotta
per sovrapposizione di effetti.
∆σ'v (A) = p [Iz(r/R=0) + Iz(r/R=4)]
A
B
∆σ'v (B) = p [Iz(r/R=1) + Iz(r/R=3)]
C
∆σ'v (C) = p [Iz(r/R=2) + Iz(r/R=2)]
D
∆σ'v (D) = p [Iz(r/R=1) + Iz(r/R=5)]
I coefficienti Iz non in tabella sono ottenuti per interpolazione lineare.
Strato n.
1
2
zm (m)
0.9
2.4
H0 (m)
1.8
1.2
σ'v0 (kPa)
7.19
19.18
∆σ'v (A)
66.23
63.25
∆σ'v (B)
31.89
29.15
∆σ'v (C)
0.13
0.80
∆σ'v (D)
31.89
29.15
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3.6
5.1
7.5
10.5
13.5
16.5
24
36
51
1.2
1.8
3
3
3
3
12
12
18
28.76
40.75
59.93
83.90
107.87
131.84
191.76
287.64
407.49
57.75
49.03
36.25
24.51
17.29
12.76
8.07
4.05
2.36
27.03
24.39
20.40
16.35
13.30
10.99
7.64
4.25
2.48
2.21
4.36
7.17
9.25
9.72
9.31
7.24
4.42
2.61
1) Il cedimento di consolidazione è stimato con l'equazione:
s = Σ∆H = Cc/(1+e0) Σ[H0 log((σ'v0+∆σ'v)/σ'v0)]
Cc/(1+e0) = cost. =
A
B
C
D
∆H (cm)
∆H (cm)
∆H (cm)
Strato n. ∆H (cm)
1
29.1
21.2
0.2
21.2
2
12.2
7.7
0.3
7.7
3
9.2
5.5
0.6
5.5
4
9.9
5.9
1.3
5.8
5
9.9
6.1
2.4
6.0
6
5.4
3.7
2.2
3.5
7
3.1
2.4
1.8
2.2
8
1.9
1.7
1.4
1.4
9
3.4
3.3
3.1
2.7
10
1.2
1.2
1.3
1.0
11
0.7
0.8
0.8
0.6
s = Σ∆H =
86.0
59.5
15.4
57.7
cm
26.97
24.15
19.80
15.44
12.03
9.38
6.30
3.38
2.04
0.1603
2) Il grado di consolidazione medio per ciascuno strato e quindi il cedimento avvenuto al tempo t
dall'applicazione del carico è calcolato con l'equazione approssimata di Sivaram e Swamee (1977):
2
Um = (4Tv/π)0.5/[1+(4Tv/π)2.8]0.179
con Tv = (cv t) / (H0i/2)2
cv t =
0.8294 m
Strato n.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
zm (m)
0.9
2.4
3.6
5.1
7.5
10.5
13.5
16.5
24
36
51
H0i (m)
1.8
1.2
1.2
1.8
3
3
3
3
12
12
18
Um (%)
Tv
1.024
0.932
2.304
0.990
2.304
0.990
1.024
0.932
0.369
0.671
0.369
0.671
0.369
0.671
0.369
0.671
0.023
0.171
0.023
0.171
0.010
0.114
s (t) = Σ∆H (t) =
A
∆H (t)
B
∆H (t)
C
∆H (t)
D
∆H (t)
27.1
12.1
9.1
9.2
6.6
3.6
2.1
1.3
0.6
0.2
0.1
72.0
19.8
7.6
5.5
5.5
4.1
2.5
1.6
1.1
0.6
0.2
0.1
48.6
0.2
0.3
0.6
1.2
1.6
1.5
1.2
1.0
0.5
0.2
0.1
8.4
19.8
7.6
5.5
5.4
4.0
2.4
1.5
1.0
0.5
0.2
0.1
47.9
(cm)
Esercizio 25
Il calcolo del cedimento di un'opera fondata su uno strato di argilla drenato superiormente e inferiormente
ha dato i seguenti risultati:
cedimento totale:
20 cm
cedimento dopo un tempo di
3
anni dall'applicazione del carico:
8
cm
a) nell'ipotesi che lo strato di argilla possa drenare da un solo lato, calcolare il cedimento totale e il tempo necessario ad ottenere un cedimento di
8
cm
b) un'indagine integrativa ha confermato l'esistenza di uno strato sabbioso drenante alla base dello strato di argilla, e mostrato la presenza di livelli sabbiosi continui a 1/3 e a 2/3 dello spessore dello strato di
argilla. Calcolare il cedimento totale e il tempo necessario ad ottenere un cedimento di cm
c) i risultati di prove di compressibilità su campioni prelevati nello strato di argilla sono leggermente differenti dai valori considerati nel calcolo preliminare:
l'indice di compressione misurato, Cc, è l'
80
% del valore inizialmente stimato,
il coefficiente di consolidazione, cv, è il
70
% del valore inizialmente stimato,
calcolare il cedimento totale ed il tempo necessario a ottenere un cedimento di cm
8
Dati:
cedimento totale:
20 cm
cedimento dopo un tempo di
3
anni dall'applicazione del carico:
8
cm
livelli drenanti a 1/3 e 2/3 dello spessore
l'indice di compressione misurato, Cc, è l'
80
% del valore inizialmente stimato,
il coefficiente di consolidazione, cv, è il
70
% del valore inizialmente stimato,
Soluzione:
a) il cedimento totale rimane invariato: stot =
20
cm
posto:
t1 = tempo relativo al drenaggio su un solo lato
t2 = tempo relativo al drenaggio da entrambi i lati =
3 anni
t1 = 4 t2 =
12 anni
(il tempo è proporzionale al quadrato dell'altezza di drenaggio)
b) il cedimento totale rimane invariato: stot =
20
cm
posto:
t3 = tempo relativo a strati di spessore 1/3 drenati da entrambi i lati
t3 = t2/9 =
0.33 anni =
4 mesi
c) il cedimento finale risulta:
16 cm
il cedimento s (cm) = 8
corrisponde:
1) nel caso di drenaggio superiore e inferiore dello strato di argilla (h(1) = H/2) e cedimento totale
stot (cm) =
20
a
U(%) =
40
e Tv (1) =
0.126
è inoltre t(1) = t2 =
3
anni =
36
mesi
2) nel caso di livelli drenanti supplementari a 1/3 e 2/3 di H (h(2) = H/6) e cedimento totale
stot (cm) =
16
a
U(%) =
50
e Tv (2) =
0.196
è inoltre cv(2)/cv(1) = 0.7
quindi t(2) = [Tv(2)/Tv(1)] x [(cv(1)/cv(2) x (2/6)^2 x t(1) =
8.93 mesi
Esercizio 26
Durante una prova edometrica un provino di argilla satura di spessore d1 raggiunge il 50% della
consolidazione in un tempo t1.
Quanto tempo occorre ad uno strato della stessa argilla di spessore d2 per raggiungere lo stesso grado di consolidazione nelle stesse condizioni di tensione e di
drenaggio? Quanto ne occorre per raggiungere il grado di consolidazione 30%?
dati:
d1 =
d2 =
19 mm
5m
t1 =
20 min
Soluzione
U = f (Tv) = f (4cv t / d2)
quindi se cv è costante:
(t1 / d12) = (t2 / d22)
da cui, per U = 50%:
t2 =
1385042 min =
per U < 60% con buona approssimazione si può porre:
2
dunque: t30% = t50% (30/50) =
0.949 anni
2.635 anni
Tv = (π/4) U2
Esercizio 27
Uno strato di argilla di spessore H è sottoposto ad un carico verticale uniforme infinitamente esteso
di intensità q. Dopo un tempo t dall'applicazione del carico la consolidazione media è del 50%.
a) Quanto vale il coefficiente di consolidazione verticale nell'ipotesi di drenaggio nelle due direzioni?
b) Se il coefficiente di permeabilità vale k, quale è il cedimento al tempo t?
dati:
γw (kN/m3) =
H (m) =
6
t (anni) =
1
10
q (kPa) = 60
Dati:
H (m) =
6
q (kPa) = 60
Soluzione:
cv = Tv (H/2)2 /t =
a)
mv = k/(cv γw) =
b)
k (m/anno) = 0.03
γw (kN/m3) =
t (anni) =
1
k (m/anno) = 0.03
2
1.773 m /anno
2
0.001692 m /kN
sfin = q H mv =
0.609 m
s50% = 0.5 sfin =
0.305 m
10
2
5.62E-08 m /s
Esercizio 28
Uno strato di terreno di riporto sabbioso (γ = 19 kN/m3) viene distribuito su un'area molto grande,
per uno spessore H = 3 m, su uno strato di argilla, di spessore H1 = 8 m e con il livello di falda
al piano di campagna. Il coefficiente di consolidazione verticale dell'argilla è cv = 8 m2/anno,
e il peso di volume saturo è γsat = 22 kN/m3.
Determinare la pressione neutra e la tensione efficace verticale al centro dello strato di argilla
3 mesi dopo la realizzazione del rilevato, nell'ipotesi che esso sia collocato istantaneamente e che
lo strato di argilla sia drenato inferiormente da uno strato di materiale permeabile.
Dati:
HR=
3 (m)
3
γR =
19 (kN/m )
H 1=
γsat =
Ζw =
cv =
8 (m)
3
22 (kN/m )
0 (m)
2
8 (m /anno)
3
9.81 (kN/m )
γw =
t=
3 (mesi)
Soluzione:
Si determina la pressione neutra e la tensione efficace verticale al centro dello strato di argilla
prima dell'applicazione del sovraccarico.
Quindi noto il sovraccarico,∆σ'v, applicato si determina la sovrappressione iniziale, ∆u0, al centro
dello strato di argilla
∆σ'v (kPa) ∆u0 (kPa)
Prof (m)* σ'vo (kPa) u0 (kPa)
* dal piano di campagna originale
4
48.76
39.24
57
57
Si ricava il fattore di tempo adimensionale, Tv, corrispondente a t = 3 mesi, dalla relazione:
Tv = (cv t)/H2
e il grado di consolidazione medio, Um = [u(z,0) - u(z,t)]/u(z,0)
dal diagramma di Taylor (1948):
Tv =
0.125
z/Hd =
1
Um =
0.1
Da cui si ricava l'eccesso di pressione neutra, ∆ut, dissipata e quindi la pressione neutra,ut, all'istante
considerato:
uf (kPa)
σvf (kPa) σ'vf (kPa)
Prof (m) ∆ut (kPa)
4
5.7
90.54
145
54.46
Esercizio 29
Una prova edometrica eseguita su un campione di argilla satura ha dato i seguenti risultati relativamente
all'incremento di pressione da 100 a 200 kPa.
Abbassamento, ∆H
(mm)
0.610
0.960
1.060
1.160
1.240
1.350
1.450
Tempo, t
(min)
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.50
2.25
Tempo, t
(min)
4.00
5.00
7.00
11.00
16.00
30.00
90.00
Abbassamento, ∆H
(mm)
1.600
1.660
1.730
1.790
1.820
1.860
1.920
Conoscendo l'altezza iniziale del provino H0 = 19 mm, determinare il coefficiente di compressibilità, mv,
il coefficiente di consolidazione verticale, cv, e il coefficiente di permeabilità, k, del terreno.
Dati:
H0 (mm) =
19
1/2
(t)
∆H
H
t
(mm)
(mm)
(min)
(min)1/2
0.610
18.390
0.00
0.000
0.960
18.040
0.25
0.500
1.060
17.940
0.50
0.707
1.160
17.840
0.75
0.866
1.240
17.760
1.00
1.000
1.350
17.650
1.50
1.225
1.450
17.550
2.25
1.500
1.600
17.400
4.00
2.000
1.660
17.340
5.00
2.236
1.730
17.270
7.00
2.646
1.790
17.210
11.00
3.317
1.820
17.180
16.00
4.000
1.860
17.140
30.00
5.477
1.920
17.080
90.00
9.487
Pressione di consolidazione iniziale, σ'i (kPa)=
100
Pressione di consolidazione finale, σ'f (kPa) =
200
3
γw (kN/m ) =
9.81
Soluzione:
a) Si applica il metodo di Taylor per determinare il t90
19.00
y = -0.5644x + 18.349
R2 = 0.9875
H (mm)
18.60
18.20
17.80
H90
17.40
(t90)1/2
17.00
0
1
2
3
4
5
6
(t)1/2 (min)1/2
7
8
9
10
Retta con
ascisse incrementate
(t)1/2
H
(mm)
(min)1/2
18.349
0.000
18.10361
0.500
18.00196
0.707
17.92397
0.866
17.85822
1.000
17.74792
1.225
17.61283
1.500
17.36743
2.000
17.25158
2.236
17.05051
2.646
16.72126
3.317
16.38587
4.000
15.66087
5.477
Equazione della retta interpolatrice:
m=
-0.5644
q=
18.349
Equazione della retta con ascisse incrementate di 1.15:
m'
-0.490783 = m/1.15 q'
18.349 =q
Da cui (t90)1/2 =
1.85
y=mx+q
y=m'x+q'
(min)1/2
e quindi (t90)=
3.42
(min)
L'altezza corrispondente è:
H90 =
17.45
(mm)
L'altezza iniziale corretta è data dall'interecetta della retta interpolatrice:
Hi =
18.349 (mm)
L'altezza del provino alla fine del processo di consolidazione è:
Hf = Hi-(10/9) (Hi-H90) =
17.350 (mm)
L'altezza media del provino durante l'incremento di carico è:
Hm=
17.850 (mm)
Da cui si ricava l'altezza di drenaggio:
H = Hm/2 =
8.925 (mm)
Il fattore di tempo adimensionale corrispondente a Um = 90% è:
TV =
0.848
da cui si ricava il coefficiente di consolidazione verticale:
2
cv= (H2 Tv)/t90=
19.7 (mm /min)
2
3.3E-07 (m /s)
cv=
Si determina il coefficiente di compressibilità,
Si ottiene così il coefficiente di permeabilità medio,
mv = ∆εv/∆σ'v =
k = cv γw mv =
2
0.57 (m /MN)
1.83E-09 (m/s)
Esercizio 30
Un deposito di terreno, delimitato inferiormente da un basamento roccioso, è costitutito a partire dal
piano di campagna da uno strato sabbioso di spessore 5 m e peso di volume saturo γsat = 19 kN/m3,
seguito da uno strato argilloso, caratterizzato da una permeabilità k = 1.2x10-7 m/s e un modulo
edometrico M = 1.57 MN/m2, e avente uno spessore 6 m e peso di volume saturo, γsat = 20 kN/m3.
Uno strato di terreno di riporto di spessore 4 m e peso di volume γ = 20 kN/m3 viene posizionato
sulla superficie del deposito lungo un'area molto estesa. Il livello di falda è al piano di campagna
Determinare:
a) il tempo necessario per raggiungere un grado di consolidazione del 70%
b) l'andamento con la profondità della tensione efficace verticale nello strato di argilla: subito dopo la
realizzazione del terrapieno (nell'ipotesi venga realizzato rapidamente), al 70% della consolidazione
e alla fine del processo di consolidazione.
Dati:
HA =
5 (m)
HB =
6 (m)
3
γsatA =
19 (kN/m )
γsatB =
kB =
M=
HR =
γR =
Uz =
γw =
Soluzione:
3
20 (kN/m )
1.2E-08 (m/s)
2
1.57 (MN/m )
4 (m)
3
20 (kN/m )
70 (%)
(kN/m3)
9.81
a) Noto il modulo edometrico si può ricavare il coefficiente di compressibilità di volume:
2
mv = 1/M =
0.637 (m /MN)
e quindi il coefficiente di consolidazione verticale:
2
cV = k/(γW mV) =
1.92E-06 (m /s)
Da cui per un grado di consolidazione medio Um = 70%, si ottiene:
Tv = cV t /H2 =
0.403
Essendo l'altezza di drenaggio:
H=
6 (m)
Si puoò ricavare il tempo necessario alla consolidazione:
t=
87.4 (giorni)
a) All'inizio del processo di consolidazione la sovrappressione, nell'ipotesi di carico uniforme ed
infinitamente esteso, è costante con la profondità e pari al sovraccarico apllicato, cioè:
(kN/m2)
∆u(z,t) = u0 = γR HR =
80
(al variare della profondità)
mentre alla fine del processo di consolidazione si suppone sia completamente dissipata:
2
∆u(z,t) =
(al variare della profondità)
0 (kN/m )
Quindi con riferimento alle profondità, misurate a partire dal tetto dello strato di argilla:z/H (z = 1,2,…,H)
si determina l'andamento della tensione efficace verticale σ'v(z/H,t) = σv(z/H,t) - u(z/H,t)
dove u(z/H,t)= u0 + ∆u(z/H,t)
Immediatamente dopo l'applicazione del carico (t = 0):
σv
u0
∆u(z,t)
z
z/H
2
(m)
2
(kN/m )
80
80
80
80
80
80
80
(kN/m )
49.05
58.86
68.67
78.48
88.29
98.10
107.91
Alla fine del processo di consolidazione:
σv
∆u(z,t)
z
z/H
(m)
(kN/m2)
(kN/m2)
0
0.00 175.00
0
1
0.17 195.00
0
2
0.33 215.00
0
3
0.50 235.00
0
4
0.67 255.00
0
5
0.83 275.00
0
6
1.00 295.00
0
(kN/m2)
49.05
58.86
68.67
78.48
88.29
98.10
107.91
0
1
2
3
4
5
6
0.00
0.17
0.33
0.50
0.67
0.83
1.00
(kN/m )
175.00
195.00
215.00
235.00
255.00
275.00
295.00
2
u0
σ'v
u
(kN/m2)
129.05
138.86
148.67
158.48
168.29
178.10
187.91
(kN/m2)
45.95
56.14
66.33
76.52
86.71
96.90
107.09
u
(kN/m2)
49.05
58.86
68.67
78.48
88.29
98.10
107.91
(kN/m2)
125.95
136.14
146.33
156.52
166.71
176.90
187.09
σ'v
Per determinare il profilo delle tensioni al 70% della consolidazione, si fa riferimento al diagramma di
Taylor (1948), dove si possono determinare per le profondità z/H considerate e per il valore di di TV
calcolato, i valori del grado di consolidazione Uz(z/H,TV) = (u0 - ∆u(z/H,Tv))/u0: e quindi della
sovrappressione interstiziale:
z
(m)
σv
z/H
u0
1
(kN/m )
49.05
∆u(z,t)
(kN/m2)
0.00
u
(kN/m2)
49.05
Uz
(-)
2
2
0
0.00
(kN/m )
175.00
1
0.17
195.00
0.88
58.86
7.06
65.92
2
3
4
5
6
0.33
0.50
0.67
0.83
1.00
215.00
235.00
255.00
275.00
295.00
0.76
0.66
0.6
0.54
0.52
68.67
78.48
88.29
98.10
107.91
16.48
26.68
35.32
45.13
51.80
85.15
105.16
123.61
143.23
159.71
0
σ'v (kN/m2)
100
50
σ'v
(kN/m2)
125.95 Um = 0 %
129.08 Um = 70 %
129.85 Um = 100 %
129.84
131.39
131.77
135.29
150
200
0.00
Um = 0 %
Um = 100 %
Um = 70 %
0.10
0.20
0.30
z/H
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
Esercizio 31
Un rilevato di grande estensione trasmette una pressione verticale uniforme di intensità p ad uno
strato di argilla torbosa NC di spessore H sovrastante un substrato rigido.
La falda freatica coincide con il piano campagna.
Sono noti i valori medi del peso di volume, γ, dell'indice dei vuoti iniziale, e0, e dell'indice di
compressione, Cc, dell'argilla torbosa.
Confrontare le stime del cedimento edometrico che si ottengono:
a) dividendo lo strato H in 2 sottostrati di eguale spessore,
b) dividendo lo strato H in 4 sottostrati di eguale spessore,
c) per integrazione.
N.B. Si ricorda che:
1
Dati:
p=
H=
γw =
Soluzione:
Cc / (1 + e0 ) =
(az + b )
∫ log(az + b ) ⋅ dz = a (az + b ) ⋅ log(az + b ) − ln(10) 


18 kPa
12 m
3
9.8 kN/m
γ=
e0 =
3
16 kN/m
1.8
Cc =
0.7
0.25
γ' = γ - γw =
6.2 kN/m
a) suddivisione di H in 2 sottostrati
Hi = H/2 =
6m
3
σ'v0i = γ' Zi
∆σ'v = p
∆H = Σ∆Hi = Cc/(1+e0) Hi Σ log [(σ'v0i + ∆σ'vo)/σ'v0i]
i
Zi
σ'v0i
∆σ'v
∆Hi
1
2
(m)
3
9
(kPa)
18.6
55.8
(kPa)
18
18
∆H =
(cm)
44.1
18.2
62.3
∆σ'v
∆Hi
(kPa)
18
18
18
18
∆H =
(cm)
35.1
16.2
10.7
8.0
69.9
b) suddivisione di H in 4 sottostrati
Hi = H/4 =
3m
σ'v0i
i
Zi
1
2
3
4
(m)
1.5
4.5
7.5
10.5
(kPa)
9.3
27.9
46.5
65.1
cm
cm
c) per integrazione
H
Cc
(γ ' z + p ) ⋅dz =
∆H =
⋅ ∫ log
(1 + e0 ) 0
γ ' ⋅z
=
Cc

 (γ ' ⋅H + p )
p
⋅
⋅ log (γ ' ⋅H + p ) − ⋅ log ( p ) − H ⋅ log (γ ' ⋅H )
(1 + e0 )  γ '
γ'

γ' H =
∆H =
74.4 kPa
79.8 cm
Esercizio 32
Un serbatoio cilindrico di raggio r = 10 m trasmette al terreno sottostante una pressione uniforme di
intensità p = 100 kPa.
Il deposito sottostante è costitutito da uno strato di sabbia (γ = 18 kN/m3;γsat = 19.4 kN/m3)
di spessore H1 = 3 m, seguito da uno strato di argille e limi (w = 62%;GS = 2.7) di spessore H2 = 4 m
e poggia su un basamento roccioso. Il livello di falda è a 2 m dal piano di campagna.
Al centro dello strato di terreno coesivo è stato prelevato un campione su cui è stata effettuata
una prova edometrica. I risultati in termini di indice dei vuoti, e, in funzione dell'incremento di tensione
verticale applicata, σ'v, e di abbassamento,∆H, in funzione del tempo,t, (per una tensione verticale di
200 kPa) sono di seguito riportati. L'altezza iniziale del provino è 20 mm
σ'v (kPa)
e (−)
25
1.66
50
1.65
100
1.55
200
1.42
400
1.28
800
1.15
t (min)
∆H (mm)
t (min)
∆H (mm)
0
0
100
0.93
0.25
0.22
1
0.42
4
0.6
9
0.71
16
0.79
36
0.86
64
0.91
Determinare:
a) il grado di sovraconsolidazione dell'argilla;
b) il diagramma ∆H t e il cedimento di consolidazione verticale cv;
c) il cedimento di consolidazione primaria dello strato di terreno coesivo assumendo che l'incremento
della tensione verticale indotto dal serbatoio sia uniforme a parità di profondità e pari a quello
calcolato in corrispondenza dell'asse.
1.75
1.65
e
1.55
1.45
1.35
1.25
1.15
10
100
1000
σ'v (log) [kPa]
Dati:
r (m) =
10
p (kPa) = 100
γ (kN/m3) = 18
γsat (kN/m3) 19.4
H1 (m) = 3
w (%) =
62
GS (-) =
2.7
H2 (m) = 4
2
Ζw (m) =
3
γw (kN/m ) 9.81
H0 (mm) = 20
Soluzione:
a)
Calcolo della pressione di preconsolidazione σ'p
col metodo di Casagrande
σ'p (kPa) =
62
Calcolo dell'indice dei vuoti iniziale e0 dell'argilla satura
e0 (-) =
1.674
Calcolo del peso di volume saturo dell'argilla γsat
γsat (kN/m3)
16.0
Calcolo della tensione efficace verticale al centro dello strato di argilla σ'v0
σ'v0 (kPa) =
58.06
Calcolo del grado di sovraconsolidazione OCR
OCR (-) =
1.1
L'argilla è normalconsolidata
b)
t (min)
∆H (mm)
t (min)
∆H (mm)
0
0
10
0.93
0.5
0.22
1
0.42
2
0.6
3
0.71
4
0.79
6
0.86
8
0.91
t90 2
0
∆H [mm]
t [min1/2]
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tA
4
6
8
10
12
tB
t A (min1/2) =
tB (min1/2) =
t (min1/2) =
2
2.3
1.1
1.2
90
t90 (min) =
Si calcola l'altezza finale del provino allo step 200 kPa di consolidazione, Hf
∆e =
-0.254
∆H (mm) =
1.900
Hf (mm) =
18.100
Si calcola l'altezza iniziale del provino allo step 200 kPa di consolidazione, Hi
∆e =
-0.124
∆H (mm) =
0.93
Hi (mm) =
19.07
Si calcola l'altezza media del provino allo step 200 kPa di consolidazione, Hm
Hm (mm) =
18.586
Si calcola il percorso di drenaggio Hdr
Hdr (mm) =
9.293
Si calcola il coefficiente di consolidazione verticale, cv (TV = 0.848 per Um = 90%)
cv (m2/s) =
1.01E-06
c)
L'argilla è NC per cui si applica la formula:
cc (-) =
∆H = H 0 ⋅
cc
σ ' + ∆σ v
⋅ log v0
1 + e0
σ 'v0
0.45
∆hi (m) =
Lo strato di argilla viene suddiviso in 4 sottostrati di di spessore 1 m
1
Per il calcolo dell'incremento della tensione verticael sotto l'asse della fondazione si adotta la formula:
z
(m)
σ'v0
(kPa)
∆σ'v
(kPa)
Strato
1
3.5
48.71
96.39
2
4.5
54.95
93.09
3
5.5
61.18
88.81
4
6.5
67.42
83.81
∆H (mm) =
Si calcola il cedimento totale
∆Η
(mm)
79.51
72.19
65.31
58.84




1


∆σ 'v = p ⋅ 1 −

3
/
2
   r0  2 

 1 +   

   z  

275.85