Esercizi di matematica finanziaria 1 Titoli con cedola

Esercizi di matematica finanziaria
1
Titoli con cedola
Esercizio 1.1. Un tesoriere d’impresa considera la possibilità d’impiego della somma C = 1000 nell’acquisto d’un titolo, rimborsato alla pari, con cedola annua (tasso
cedolare i = 5%) che scade tra m = 3 mesi ed ha attualmente rendimento effettivo
composto lordo x = 7%.
• Calcolare il montante M offerto dopo m mesi dall’impiego.
• Calcolare il valore nominale N acquistato del titolo.
• Calcolarne il valore secco S al momento dell’acquistato.
Soluzione:
• Il montante offerto dall’impiego è:
M = C(1 + x)m/12 = 1000(1 + 0.07)3/12 = 1017.1
• Il valore nominale acquistato è:
N=
M
1017.1
=
= 968.67
1+i
1.05
• Il valore secco al momento dell’acquisto è:
S = C − Ni
12 − 3
12 − m
= 1000 − 968.67 × 0.05 ×
= 963.67
12
12
Esercizio 1.2. (Duration)
Un titolo paga c1 = c2 = 70 tra 1 e 2 anni rispettivamente e poi c3 = 1070 tra tre
anni. Il tasso di mercato corrente è i = 7%.
• Calcolare il prezzo corrente P del titolo.
• Calcolare la duration D del titolo.
• Stimare attraverso D la variazione assoluta ∆P del prezzo corrente indotta da
una variazione ∆i = 1% del tasso di mercato.
Soluzione:
• Si ha:
P =
70
70
1070
+
+
= 1000
2
1.07 1.07
1.073
1
• Si ha:
D=
70
1.07
1×
70
+ 2 × 1.07
2 + 3 ×
1000
1070
1.073
= 2.808
• Si ha:
∆P ∼ −
2.808
× (−0.01) × 1000 = 26.243
1.07
Esercizio 1.3. Un titolo ha valore nominale 1000, cedole annue con tasso cedolare
12%, scade tra 2 anni e mezzo e sarà rimborsato alla pari. Il suo attuale rendimento
annuo è:
x∗ = 13%
1. Calcolare il prezzo tel quel attuale A del titolo.
2. Dedurne il corso secco corrispondente A0 .
3. Calcolare il rendimento immediato r del titolo.
Soluzione:
1. I flussi di cassa che il titolo origina sono:
Scadenza
Flusso
1/2 = 0.5
120
3/2 = 1.5
120
5/2 = 2.5
1120
il suo prezzo tel quel è dunque:
A=
120
120
1120
+
+
= 1037.9152
1/2
3/2
1.13
1.13
1.135/2
2. Il suo corso secco è:
A0 = A −
1
· 120 = 1037.9152 − 60 = 977.9152
2
3. Il rendimento immediato è:
r=
120
= 12.271%
977.9
2
Esercizio 1.4. Un titolo con cedole ha valore nominale (e di rimborso) N = 1000.
Il tasso cedolare dello stesso è g = 8% debbono ancora scadere tre cedole semestrali.
La prima scadenza tra m = 2 mesi. Il saggio di rendimento annuo (composto) del
titolo è 9%.
1. Determinare i flussi che il titolo genera alle varie scadenze e P , il valore tel
quel corrente del titolo.
2. Determinare P 0 , il valore secco corrente del titolo.
3. Calcolare la duration D della sequenza d’entrate che il titolo genera.
Soluzione:
1. Il flusso che il titolo genera sono i seguenti:
Scadenza (anni)
2/12
8/12
14/12
Movimento di cassa
40
40
1040
e, per conseguenza, il prezzo tel quel del titolo è:
P =
40
1040
40
+
+
= 1017.7
2/12
8/12
1.09
1.09
1.0914/12
2. Il suo valore secco è:
P 0 = 1017.7 − 40 ·
4
= 991.03
6
3. La duration delle entrate generate dal titoloè:
D=
40
1.092/12
·
2
12
+
40
1.098/12
·
8
12
1017.7
+
1040
1.0914/12
·
14
12
= 1.1094
Esercizio 1.5. Si consideri un titolo con cedole che scade tra 8 mesi. Il valore
nominale e di rimborso dello stesso è N = 1000. Il tasso cedolare è j = 8%. Le
cedole sono semestrali. Il suo rendimento annuo effettivo è i = 9%.
1. Calcolare il valore tel quel P .
2. Calcolare il valore secco P 0 .
3. Calcolare la durata media finanziaria D delle entrate che esso genera.
Soluzione:
3
1. Si ha:
P =
2. Si ha:
40
1040
+
= 1021.4
2/12
1.09
1.098/12
4
4
P 0 = P − 40 = 1021.4 − 40 = 994.73
6
6
3. Si ha:
D=
40
2
12 1.092/12
+
8 1040
12 1.098/12
1021.4
= 0.64734
Esercizio 1.6. Un titolo obbligazionario promette il seguente cash-flow:
Scadenza
1
2
3
Entrata
11
11
111
1. Determinare il suo prezzo odierno (alla data 0) P0 , sulla base del saggio di
rendimento annuo effettivo i = 11%.
2. Determinate la duration D del cash-flow.
3. Approssimare, attraverso D, la variazione assoluta ∆P del prezzo provocata
da una variazione ∆i = −1% del rendimento annuo effettivo.
Soluzione:
1. Si ha:
P0 =
2. Si ha:
D=
1×
11
11
111
+
+
= 100
2
1.11 1.11
1.113
11
1.11
11
+ 2 × 1.11
2 + 3 ×
100
3. Si ha:
∆P ∼ −100 ×
111
1.113
= 2.7125
2.7125
× (−0.01) = 2.4437
1.11
Esercizio 1.7. Si consideri un impiego in un titolo a reddito fisso con le seguenti
caratteristiche: valore nominale N = 1000; premio di rimborso R = 10; scadenza
m = 8 mesi; TAN j = 6%, con cedole semestrali.
1. Se ne calcoli il prezzo tel quel P , sapendo che il suo saggio di rendimento annuo
effettivo è x∗ = 7.5%.
4
2. Se ne calcoli il prezzo secco P 0 .
3. Se ne calcoli il prezzo tel quel proiettato un mese più tardi P 00 , in ipotesi
d’invarianza del rendimento annuo effettivo.
Soluzione:
1. Si ha:
30
1040
+
= 1020.7
2/12
1.075
1.0758/12
P =
2. Si ha:
4
P 0 = P − 30 = 1000.7
6
3. Si ha:
P 00 =
30
1040
+
= 1026.9
1/12
1.075
1.0757/12
Esercizio 1.8. I valori di una quota d’un fondo d’investimento a varie date sono:
Data
0
1
2
Valore
1000
a
1200
1. Calcolare il rendimento annuo composto r per chi investe da 0 a 2.
2. Determinare per quale valore di a il rendimento annuo composto per chi investe
da 0 a 1 è ancora r.
3. Calcolare la duration D del flusso di entrate generato dall’investimento che
consiste nell’acquistare quattro quote del fondo alla data 0, vendendone poi
una alla data 1 e tre alla data 2.
Soluzione:
1. Si ha:
r
r=
1200
− 1 = 9.5445%
1000
2. Si ha:
a = 1000(1 + r) = 1095.45
3. Si ha:
D=
1095.45
3·1200
1 1+0.095445
+ 2 (1+0.095445)
2
4000
= 1.75
5
Esercizio 1.9. Un’obbligazione con valore nominale N = 1000 paga cedole semestrali con tasso cedolare annuo j = 6%. La sua scadenza è tra 8 mesi. Il suo
rendimento annuo effettivo è x∗ = 8%.
• Determinare il suo prezzo tel quel corrente P .
• Determinare il suo corso secco corrente P 0 .
• Determinare la duration D del flusso di cassa che esso genera.
Soluzione:
• Si ha:
P =
30
1030
+
= 1008.1
2/12
1.08
1.088/12
• Si ha:
P0 = P −
• Si ha:
D=
2
12
·
30
1.082/12
+
4
· 30 = 988.1
6
8
12
·
1030
1.088/12
1008.1
= 0.6519794
6