F. Giraudo, F. Lisa - seminari di analisi matematica

Francesca Giraudo
Francesco Lisa
matricola : 702717
matricola : 706874
L’enigmistica
Il calcolo combinatorio è una branca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o
ordinare secondo date regole gli elementi di un insieme finito di oggetti. Esso, oltre ad essere un
supporto pragmatico nei problemi del quotidiano, può assumere anche le sembianze di una forma di
svago nella società; infatti permutazioni, combinazioni e disposizioni hanno dato vita a molti
rompicapi celebri, quali il gioco del 15, la Torre di Hanoi e il cubo di Rubik, ma anche a passatempi
più semplici e comuni.
Al contrario di ciò che si crede, i giochi matematici non sono fatti solo per chi è esperto nel campo,
bensì vengono adoperati persino nelle più elementari riviste enigmistiche: cruciverba, sudoku, rebus
e quant’altro si basano su interessanti schemi numerati.
Sicuramente gli appassionati hanno ben nota la cosiddetta “Pagina della sfinge”.
Gli indovinelli in essa presenti fanno ampio utilizzo delle regole fondamentali della combinatoria;
combinando e cercando le lettere di una o più parole infatti si possono creare nuove parole o frasi di
senso compiuto. Maggiori sono gli elementi che si possono combinare tra loro maggiori sono le
possibilità; nell’enigmistica, essendo 21 le lettere a disposizione, le associazioni di esse dovrebbero
in realtà limitare l’effetto di sorpresa che deriva da tal tipo di giochi.
Prima di passare ad esempi pratici, discuteremo delle nozioni matematiche essenziali per
comprendere le basi dei suddetti indovinelli.
Permutazioni semplici
Dati n elementi distinti, si dicono permutazioni, P(n), gli insiemi che si possono formare in modo
che:
• ogni insieme contenga tutti gli n elementi
• ogni insieme differisca dagli altri solo per l'ordine degli elementi
Calcolo delle permutazioni di n elementi:
P(n) = n!
Permutazioni di n elementi non tutti diversi
Queste permutazioni si hanno quando:
• negli n elementi da permutare ve ne è uno ripetuto m volte
• oppure ve ne sono diversi ripetuti
a1 ripetuto m volte
a2 ripetuto r volte
a3 ripetuto s volte…
Calcolo delle permutazioni di n elementi non tutti diversi.
P(n, m, r, s, ...) = n! / m!r!s!...
Disposizioni semplici
Dati n elementi distinti e un numero k≤n si dicono disposizioni di questi n elementi, presi a k a k (o
di classe k), D(n,k), tutti gli insiemi che si possono formare con gli elementi dati, in modo che:
• ogni insieme contenga k elementi distinti
• due insiemi qualunque differiscano fra loro per qualche elemento oppure per l'ordine
in cui gli elementi sono disposti
Calcolo delle disposizioni semplici.
D(n,k) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)
Disposizioni con ripetizione
Dati n elementi distinti e un numero k≤n si dicono disposizioni con ripetizione di questi n
elementi, presi a k a k (o di classe k), D'(n,k), tutti gli insiemi che si possono formare con gli
elementi dati, in modo che:
• ogni insieme contenga k elementi non necessariamente distinti
• ogni elemento possa trovarsi ripetuto nell’insieme fino a k volte
• due insiemi qualunque differiscano fra loro per qualche elemento oppure per l'ordine
in cui gli elementi sono disposti
Calcolo delle disposizioni con ripetizione.
D'(n,k) = nk
Combinazioni semplici
Dati n elementi distinti e un numero intero positivo k≤n, si chiamano combinazioni C(n,k) di
questi n elementi, a k a k (o di classe k), tutti gli insiemi che si possono formare con gli elementi
dati, in modo che:
• ciascun insieme contenga k elementi
• due insiemi qualunque differiscano per almeno un elemento.
Calcolo delle combinazioni.
C(n,k) = D(n,k) / P(k)
C(n,k) = [n(n-1)(n-2)...(n-k+1)] / n!
Combinazioni con ripetizione
Dati n elementi distinti e un numero intero positivo k≤n, si chiamano combinazioni con
ripetizione C'(n,k) di questi n elementi, a k a k (o di classe k), tutti gli insiemi che si possono
formare con gli elementi dati, in modo che:
• ciascun insieme contenga k elementi
• ogni elemento possa trovarsi ripetuto nell’insieme fino a k volte
• due insiemi qualunque differiscano per almeno un elemento
Calcolo delle combinazioni con ripetizione.
C'(n,k) = C'(n+k-1,k)
Consideriamo ad esempio gli anagrammi:
Abbiamo visto che il numero di possibili ordinamenti di n oggetti distinti è n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅2⋅1 = n!
Ma il numero di anagrammi di una parola di n lettere è pari a n! solo se le sue lettere sono tutte
diverse. Il numero è invece inferiore in presenza di ripetizioni: ad esempio, gli anagrammi della
parola ASSO non sono 4! = 24, ma solo i seguenti 12:
ASSO, ASOS, AOSS, SASO, SAOS, SOAS, SOSA, SSAO, SSOA, OASS, OSAS, OSSA.
Anche in questo caso, un opportuno ragionamento ci consente di determinarne a priori il numero:
basta tenere conto che l’uguaglianza tra lettere produce una identificazione tra permutazioni
formalmente distinte. Poiché in ASSO coincidono la 2a e la 3a lettera, sono identici gli anagrammi
corrispondenti a:
1 2 3 4 e 1 3 2 4 (ASSO)
1 2 4 3 e 1 3 4 2 (ASOS)
e così via. In generale, sono da identificare le permutazioni che si ottengono una dall’altra
invertendo 2 e 3. Le permutazioni vengono così raggruppate 2 a 2, e ciò spiega perché le
permutazioni distinte sono, in tutto, 24/2 = 12. In altri termini, occorre dividere il numero totale di
permutazioni per il numero di permutazioni di due elementi (2 e 3), cioè, appunto, per 2! = 2.
Nell’esempio qui a fianco si riscontra un’applicazione
elementare dell’anagramma. L’enigmista usa un contesto
di poesia con tanto di rima per dare degli indizi,
semplificando così il gioco. Il significato delle parole
risultanti non di rado risulta affine al contesto originario,
rendendo quasi immediata la soluzione.
Ad ognuna delle undici x va associata una lettera.
Considerando la cosa in modo strettamente matematico si
avrebbero 2111 possibilità. Tuttavia, per creare le rime,
almeno le ultime tre lettere di entrambe le parole sono
note, di conseguenza le nostre combinazioni calano considerevolmente, riducendosi a 218:
Prima parola: x x x x x x x x - a t a.
Giocando con il significato della frase, supponiamo di aver intuito che la parola sia “spensierata”. A
questo punto, per la seconda parola, essendo un anagramma, non ci resta che giocare con le lettere
appena trovate, escluse quelle per la rima: x x x x x x x x - n t i; dunque le possibilità si riducono a
8!/(2!*2!*2!) siccome ve ne sono 3 che si ripetono due volte.
Pare ovvio che la parola cercata sia “esasperanti”.
E’ incredibile notare da questo primo esempio come la matematica si insinui in giochi accessibili a
tutti.
Il lucchetto:
Il lucchetto è uno schema enigmistico che relaziona almeno tre parole e segue una formula del tipo
XZ / ZY = XY. Le parti Z delle prime due parole vengono scartate e dall'unione dei resti si ottiene
una terza parola XY. Pertanto gli scarti da effettuare avvengono, nel gioco, prima in coda poi in
capo.
Nell’ indovinello a lato il lucchetto è formato da
tre spezzoni di parole, due da 2 lettere e uno da
3; secondo il principio del gioco basterà dunque
indovinare due delle parole per avere di
conseguenza la terza. Come nell’esempio
precedente oltre all’intuito si può studiare la
logica delle possibili combinazioni. Risulta
chiaro che, per lo stesso principio utilizzato
nell’anagramma, dovrà essere applicata due volte
consecutive la disposizione con ripetizione.
(214 possibilità per trovare la prima parola: “me-le”; 213 per “le-nta”).
Sempre nella Pagina della Sfinge vi sono molte varianti di questi due esempi, risolvibili sempre con
la stessa logica di possibilità ed intuizione.
Sfogliando la rivista si possono poi trovare molti altri giochi che si basano essenzialmente sulla
matematica, alcuni dei quali si presentano esplicitamente come giochi di numeri, senza nascondere
l’aspetto combinatorio che li caratterizza.
Il gioco rappresentato qui a lato è il seguente:
in questo quadrato è possibile invertire di posto due numeri, in
modo che moltiplicando tra loro i tre numeri di ciascuna riga,
di ciascuna colonna e delle due diagonali, risulti sempre la
stessa cifra.
Si chiede di trovare quali siano i due numeri.
Senza ragionare su quali siano i numeri, le possibilità di
scambiare tra loro due di essi sarebbero molte: il 36 potrebbe
invertirsi con qualsiasi degli altri 8 numeri; si hanno così 8
possibilità. Ma a sua volta il secondo numero potrebbe essere
scambiato con uno degli altri qualsiasi. Sottraendo l’accoppiata
36-8 che era già stata considerata nell’analisi del numero
precedente si hanno 7 nuove possibilità, e così via per gli altri
numeri, per un totale di 36 casi plausibili. Ma effettuiamo i prodotti nel quadrato originario:
1a riga: 36*8*12 = 3456
1a colonna: 36*2*24 = 1728
1a diagonale: 36*6*4 = 864
2a colonna: 8*6*18 = 864
2a diagonale: 12*6*24 = 1728
2a riga: 2*6*72 = 864
a
a
3 riga: 24*18*4 = 1728
3 colonna: 12*72*4 = 3456
Dato che 864*2 = 1728 e 864*4 = 3456, bisogna scambiare due numeri, uno dei quali sia il doppio
dell’altro per dimezzare i prodotti 3456 e raddoppiare i prodotti 864. questi due numeri inoltre non
devono essere né sulla prima colonna né sulla terza riga, perché i loro prodotti non devono
cambiare. Tenendo presente tutte queste considerazioni rimane una sola possibile soluzione: i
numeri cercati sono il 12 ed il 6; scambiandoli tra loro infatti la prima riga dimezza e la seconda
raddoppia, la seconda colonna raddoppia e la terza dimezza, la prima diagonale raddoppia. Tutti i
prodotti danno così 1728.
Note sono poi le classiche “parole crociate”, famose spesso semplicemente come “cruciverba”.
Si tratta di schemi numerati divisi in file di quadretti verticali e orizzontali nei quali vanno inserite
le soluzioni di date definizioni in modo da creare un incastro perfetto. Vediamone uno strettamente
matematico preso sempre dalla rivista de La settimana enigmistica.
Leggiamo la prima definizione orizzontale,
notando che la quinta vi è strettamente collegata:
cerchiamo un numero palindromo di due cifre
(le ha quindi uguali), il cui quadrato è un numero
palindromo di tre cifre. I numeri che rimangono
invariati se letti da destra o da sinistra e
compresi tra 10 e 99 sono 9, ma in realtà,
tenendo conto della seconda informazione a
nostra disposizione, la nostra scelta dovrà essere
ristretta a 11 (il cui quadrato è 121) o a 22 (il cui
quadrato è 484). Ma se fosse 11 la prima
definizione verticale inizierebbe per 1 ed
essendo un quadrato sarebbe uno dei seguenti
numeri:
1024=322 1089=332 1156=342
2
1225=35
1296=362 1369=372 1444=382
1521=392
1600=402 1681=412 1764=422
2
1849=43
1936=442.
In nessuno di questi casi però la radice quadrata
del numero è uguale alla somma del numero
formato dalle prime due cifre del numero stesso
con quello costituito dalle altre due (ad esempio
10+24=34 mentre invece dovrebbe venire 32).
Perciò l’1 orizzontale non è 11 ma 22 e si può
trovare, esaminando i quadrati dei numeri
compresi tra 45 (452=2025) e 54 (542=2916),
che proprio 2025 è il solo numero che soddisfa la condizione; infatti 20+25=45 .
per ora sappiamo le seguenti : 1 verticale = 2025; 1 orizzontale = 22; 5 orizzontale = 484.
Tenendo presente le scoperte già effettuate per la definizione 3 verticale si esaminano i quadrati di
quattro cifre che hanno per seconda cifra l’8. Essi sono: 1849 = 432 2809 = 532 3844 = 622
6889 = 832 8836 = 942 9801 = 992.
Tra tutti questi solo 9801 è accettabile, dato che 98+1=99. Le cifre che ancora mancano nel quadro
vengono di conseguenza: il 7 verticale sarà 89, il 6 orizzontale è 2608, poiché le cifre note bastano a
svolgere il semplice conto, ed il 3 orizzontale è 97 (l’unico numero primo di due cifre che inizia per
9). Fino a questo punto tutte le cifre trovate danno come somma 67,e dato che il totale deve
corrispondere al 4 verticale, che è 74, l’ultima cifra da inserire è 7. Così, l’ottava definizione
verticale e la seconda orizzontale che sembravano impossibili da individuare nelle infinite
possibilità, in realtà si presentano come uniche: sono rispettivamente 5719 e 2467.
A divertire gli appassionati di tutto il mondo ha contribuito anche
un altro tipo di gioco numerico, il sudoku, che ha riscontrato una
notevole diffusione negli ultimi anni, invadendo le numerose
riviste enigmistiche. Si tratta di una griglia di 9x9 quadretti in
ognuno dei quali si dovrà scrivere un numero, da 1 a 9. La griglia
è a sua volta divisa in 9 regioni di 3x3 quadretti.
C'è una sola regola per comporre un Sudoku: in ogni colonna, in
ogni riga e in ogni regione, ogni numero deve comparire una volta
sola. La difficoltà sta nel fatto che gli schemi sono già
parzialmente compilati e bisogna terminarli seguendo una logica
che viene dunque imposta. Praticamente ogni colonna deve dare 45
come somma dei numeri, così ogni riga ed ogni riquadro interno.
I numeri prestampati possono andare da un minimo di 20 in su. Ovviamente meno numeri sono
prestampati, più difficile sarà trovare i mancanti. E' vero, per risolvere un Sudoku non è necessario
eseguire calcoli numerici, ma la matematica non si esaurisce nelle quattro operazioni.
Il Sudoku è un classico problema le cui soluzioni devono essere cercate fra un numero più o meno
elevato di possibilità o combinazioni. Gli studiosi Bertram Felgenhauer, Frazer Jarvis e Ed Russell,
hanno stabilito che l'universo di tutti i possibili Sudoku avrebbe 6.670.903.752.021.072.936.960
combinazioni. Più di 6.670 miliardi di miliardi! Se un computer ne risolvesse 1.000 al secondo
impiegherebbe 211 miliardi di anni per risolverli tutti.
Tuttavia un sudoku perfetto deve presentare una sola soluzione ed esistono programmi per
computer capaci di risolverne uno qualunque in una manciata di secondi e addirittura di elencare
tutti i ragionamenti logici che hanno fatto per giungere alla soluzione.
Osserviamo lo schema qui sotto:
Apparentemente sembra esserci un numero molto elevato di
possibilità, poiché in ogni quadretto vuoto sappiamo di dover
inserire un numero da 1 a 9, ma in realtà le regole del gioco
ed i numeri già presenti costringono tutte le persone che
tentano di compilarlo a raggiungere la stessa soluzione. Lo
schema dell’esempio è molto semplice; inseriamo dunque in
rosso le varie possibilità senza escludere quelli che scopriamo
essere numeri fissi mentre eseguiamo tale operazione (Per
esempio nella seconda riga del secondo quadrante si poteva
fare a meno di scrivere il 2 nella casella centrale 245 perchè il
2 è rimasto fisso nella casella di destra).
Procediamo adesso ad
eliminare dalle caselle i
nuovi numeri fissi che
abbiamo trovato, e se
troviamo ulteriori
numeri fissi
continuiamo
nell'operazione; un
tassello alla volta alla
fine il sudoku è risolto
come qui a lato.
Ma chiaramente nei sudoku più difficili, essendoci meno numeri fissi di partenza, ci saranno di
conseguenza più possibilità di inserimento nelle varie caselle, e finita questa operazione ci
potremmo trovare in situazioni di stallo…tuttavia esistono dei ragionamenti che possono essere
molto utili nelle indecisioni. Vediamone alcuni:
La regola del numero solo:
nel seguente schema, come già in quello precedente, sono riportati in blu i numeri fissi già presenti,
ed in rosso quelle che sono le varie possibilità.
Una volta presa confidenza con i metodi le deduzione salteranno all'occhio subito.
Guardando nel primo quadrante della
fila centrale, ci rendiamo conto che il 6
può essere collocato nella sola terza
casella (quella a sfondo verde) le altre
posizioni sono infatti precluse dai sei già
posizionati nello schema. Andremo
quindi a fissare il 6 nella casella verde e
a cancellare tutti i sei nella stessa riga e
colonna, per sfortuna ne abbiamo solo
uno nell'ultima casella a destra della riga
ma non importa, nel quadrante dove
abbiamo fissato il 6 eliminando 2345,
ci rimane un unico 3 nella seconda casella della prima riga, fissiamo quindi pure il 3 ed andiamo ad
eliminare tutti i 3 sulla stessa riga e colonna, questa volta ce ne sono un po’ di più.
La regola della terna:
Osserviamo le tre caselle a sfondo grigio
sulla quarta riga dello schema: 278 28 e
278. Vuol dire che in quelle tre caselle
potranno esserci solo 2 7 e 8, cioè questi
tre numeri non possono trovarsi in altre
caselle della stessa riga (sarebbe stato lo
stesso ragionamento in una colonna o in
quadrante). Andremo quindi ad eliminare
tutti 2 i 7 e gli 8 della riga; quindi si fissa
il 4 nella casella verde, eliminando anche
il due della prima casella, e così pure il 4
avendolo fissato nella casella verde.
Di conseguenza nella prima casella rimarrà fissato il 5. Ripuliamo poi il 4 ed il 5 dai rispettivi
quadranti, righe e colonne.
Succede una cosa interessante: le tre caselle
a sfondo grigio sulla terza riga del quadrante
centrale, contengono i soli numeri 1 2 e 9,
perciò, per lo stesso principio del passaggio
precedente andremo ad eliminare tutti gli 1, i
2 e i 9 contenuti nelle caselle del quadrante e
della riga, in particolar modo vedremo che
nelle caselle a sfondo verde del quadrante
si fissano il 7 e l'8, e di conseguenza nella
casella a sfondo giallo si fissa il 2, mentre
nella prima casella della riga (a sfondo
verde) si fissa il 4.
Adesso non ci resta che ripulire lo schema dai numeri che vengono esclusi dai nuovi numeri fissi,
perciò via tutti i quattro dalla prima colonna, dalla sesta riga e dal quarto quadrante, via i 7 dalla
quarta colonna, dalla quarta riga e dal quinto quadrante, via gli 8 dalla quinta colonna, dalla quarta
riga e dal quinto quadrante, e via i 2 dalla nona colonna dalla quarta riga e dal sesto quadrante, ora
la quarta riga è completamente fissa.
La regola della coppia:
Dopo aver ripetuto le due precedenti regole per
un po’di volte ci si presenta l'opportunità di
applicare un nuovo ragionamento.
Esaminando il sesto quadrante ci accorgiamo
che le due celle in grigio contengono 35, questo
significa che necessariamente saranno o 3 o 5
per cui potremo procedere ad eliminare tutti i 3
e i 5 all'interno del quadrante, in questo caso
essendo le due celle sulla stessa riga anche dalla
riga. Nel caso specifico andremo quindi a
fissare il 6 nella casella a sfondo verde.
La regola dei numeri in gabbia:
Esaminiamo il quadrante centrale, ci
accorgiamo che 1 e 3 si trovano solo
sulle due caselle della quinta riga, questo
significa che nel quadrante 1 e 3 devono
necessariamente trovarsi sulla quinta
riga, per cui andremo ad eliminare tutti
gli altri 1 e 3 della riga stessa (celle a
sfondo giallo).
Fermandosi un attimo a pensare, è davvero sorprendere accorgersi come, anche nel quotidiano più
comune, possano rientrare schemi e precetti matematici; investimenti finanziari, giochi di carte e
d’azzardo, vita domestica e quant’altro, ovunque si trova un seme di quella strana e “pazza”
matematica. Sicuramente nessuno utilizzerà numeri e conti per decifrare un anagramma della
settimana enigmistica o per vincere una partita di scala 40 tra amici, tuttavia, guardando un po’ più
in là, si comprende che, con qualche acuto accorgimento, anche al “caos del caso” può essere
conferito un determinato ordine.
Bibliografia:
Capitoli tratti da
“Incontri con la sfinge : nuove lezioni di enigmistica” di Stefano Bartezzaghi. - Torino : G. Einaudi,
2004.
“Lezioni di enigmistica” di Stefano Bartezzaghi ; illustrazioni di Gabriella Giandelli. - Torino :
Einaudi, 2001.
Sitografia:
utenti.quipo.it/base5/combinatoria/combinatorio
www.windoweb.it/guida/svago/sudoku.htm